Chapitre XI
DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES.
Prenons pour f(x) et F(x) deux fonctions entières de la variable x.
f(x)F(x)
sera ce qu’on appelle une fraction rationnelle. Si l’on désigne par m le degré de son dénominateur F(x), l’équation
admettra m racines réelles ou imaginaires, égales ou inégales ; et si, en les supposant d’abord toutes inégales, on les représente par
x0,x1,x2,…,xm−1,
les facteurs linéaires du polynôme F(x) seront respectivement
x−x0,x−x1,x−x2,…,x−xm−1.
Cela posé, faisons
et
φ(x) n’étant pas nul, la constante A restera finie, et la différence
f(x)φ(x)−A=f(x)−Aφ(x)φ(x)
s’évanouira pour x=x0. Par suite, il en sera de même du polynome
f(x)−Aφ(x),
et ce polynôme sera divisible algébriquement par x−x0; en sorte qu’on aura
f(x)−Aφ(x)=(x−x0)χ(x),
χ(x) désignant une nouvelle fonction entière de la variable x. Si l’on divise par F(x) les deux membres de cette dernière équation, en ayant égard à la formule (2), on en conclura
Donc, si l’on partage le polynôme F(x) en deux facteurs dont l’un soit linéaire, on pourra décomposer la fraction rationnelle f(x)F(x) en deux autres qui aient pour dénominateurs respectifs les deux facteurs dont il s’agit, et dont la plus simple ait un numérateur constant.
Concevons maintenant que l’on partage la fonction F(x) en deux facteurs dont le premier, au lieu d’être linéaire, corresponde à plusieurs racines de l’équation F(x)=0. Prenons, par exemple, pour ce premier facteur le facteur du second degré
(x−x0)(x−x1),
et posons, en conséquence,
La fraction f(x)φ(x) conservera une valeur finie, non seulement pour x=x0, mais encore pour x=x1; et, si l’on désigne par u un polynôme du premier degré qui, dans l’une et l’autre hypothèse, devienne égal à f(x)φ(x), on trouvera (Chapitre IV, § I)
Le polynôme u étant déterminé, comme on vient de le dire, l’équation
f(x0)φ(x0)−u=0
ou
f(x)−uφ(x)=0
comptera parmi ses racines x0 et x1; et par suite le polynôme
f(x)−uφ(x)
sera divisible par le produit
(x−x0)(x−x1).
On aura donc
f(x)−uφ(x)=(x−x0)(x−x1)χ(x),
χ(x) désignant une nouvelle fonction entière de la variable x. Si l’on divise la dernière équation par F(x), en ayant égard à la formule (6), on en conclura
On prouverait de même qu’il suffit de poser
et
pour obtenir une équation de la forme
etc.
Ainsi généralement, lorsque l’équation F(x)=0 n’a pas de racines égales, si l’on partage le polynôme F(x) en deux facteurs dont le premier soit le produit de plusieurs facteurs linéaires, la fraction rationnelle f(x)F(x) sera décomposable en deux’autres fractions de même espèce qui recevront pour dénominateurs respectifs les deux facteurs cidessus mentionnés, et dont la première aura un numérateur d’un degré moins élevé que son dénominateur.
Je passe au cas où l’on suppose que l’équation F(x)=0 a des racines égales. Soient, dans cette seconde hypothèse,
a,b,c,…
les diverses racines de cette même équation, et désignons par m′ le nombre des racines égales à a; par m″ le nombre des racines égales à b; par m‴ le nombre des racines égales à c, etc. La fonction F(x) sera équivalente au produit
(x−a)m′(x−b)m″(x−c)m‴…
ou à ce produit multiplié par un coefficient constant, et l’on aura
m′+m″+m‴+…=m.
Cela posé, faisons
et
φ(a) n’étant pas nul, la constante A restera finie, et la différence
f(x)φ(x)−A
s’évanouira pour x=a. On en conclura que le polynôme
f(x)−Aφ(x)
est divisible par x−a, et l’on aura, par suite,
χ(x) désignant une nouvelle fonction entière de la variable x. Enfin, si l’on divise par F(x) les deux membres de l’équation (15) en ayant égard à la formule (13), on trouvera
On démontrerait, en raisonnant de la même manière, qu’il suffit de poser
et
pour obtenir une équation de la forme
· · ·
§ II. — Décomposition d’une fraction rationnelle, dont le dénominateur est le produit de plusieurs facteurs linéaires inégaux, en fractions simples qui aient pour dénominateurs respectifs ces mêmes facteurs lineaires et des numérateurs constants.
Soit
f(x)F(x)
la fraction rationnelle que l’on considère ; m le degré de la fonction F(x), et
x0,x1,x2,…,xm−1
les racines de l’équation
supposées inégales. On aura, en désignant par k un coefficient constant,
et, en vertu des principes établis dans le paragraphe qui précède, la fraction rationnelle f(x)F(x) pourra être décomposée en deux autres, dont la première sera de la forme
A0x−x0,
A0 représentant une constante, tandis que la seconde aura pour dénominateur
F(x)x−x0=k(x−x1)(x−x2)…(x−xm−1).
En décomposant cette seconde fraction rationnelle par la même méthode, on obtiendra :
1 Une nouvelle fraction simple de la forme
A1x−x1;
2 Une fraction qui aura pour dénominateur
k(x−x2)…(x−xm−1).
En continuant ainsi, on fera disparaître successivement du polynome
F(x)=k(x−x0)(x−x1)…(x−xm−1)
tous les facteurs linéaires qu’il renferme ; en sorte qu’on réduira définitivement ce polynôme à la constante k. Donc, lorsque, par une suite de décompositions partielles semblables à celles que nous venons d’indiquer, on aura extrait de la fraction f(x)F(x) une suite de fractions simples de la forme
A0x−x0,A1x−x1,A2x−x2,…,Am−1x−xm−1,
le reste ne pourra être qu’une fraction rationnelle à dénominateur constant, c’est-à-dire une fonction entière de la variable x. En désignant par R cette fonction entière, on trouvera
Il reste maintenant à savoir quelles sont les valeurs des constantes
A0,A1,A2,…,Am−1.
Ces valeurs se déduiraient sans difficulté de la méthode de décomposition indiquée dans le § I. Mais on parvient plus directement à leur détermination à l’aide des considérations suivantes :
Si l’on multiplie par F(x) les deux membres de l’équation (3), on en tirera
Si dans les deux membres de cette dernière formule on fait
la somme
RF(x)+A1F(x)x−x1+A2F(x)x−x2+…+Am−1F(x)x−xm−1,
qui est évidemment un polynôme en x divisible par x−x0, prendra la forme
zZ,
Zdésignant une fonction entière de z, et l’on aura, par suite,
Supposons maintenant que la substitution de x+z au lieu de x dans la fonction F(x) donne généralement
On en déduira
F(x0+z)=zF1(x0)+z2F2(x0)+…,
et l’équation (5) deviendra
f(x0+z)=A0[F1(x0)+zF2(x0)+…]+zZ.
Lorsqu’on fait dans cette dernière z=0, elle se réduit à
f(x0)=A0F1(x0),
et l’on en conclut
On trouverait, par un calcul entièrement semblable,
Les valeurs qu’on vient d’obtenir pour
A0,A1,A2,…,Am−1
sont évidemment indépendantes du mode employé pour la décomposition de la fraction rationnelle f(x)F(x); d’où il résulte que cette fraction ne peut être décomposée que d’une seule manière en fractions simples qui aient pour dénominateurs les facteurs linéaires du polynome F(x) avec des numérateurs constants.
Il est aisé de voir comment l’équation (7) et la formule (3) du paragraphe précédent s’accordent entre elles. En effet, F1(x0) est ce que devient le polynôme
F1(x0)+zF2(x0)+…=F(x0+z)z=F(x)x−x0
lorsqu’on y fait z=0 ou x=x0; et par suite, si l’on pose
on aura
F1(x0)=φ(x0),
Pour montrer une application des formules ci-dessus établies, supposons qu’il s’agisse de décomposer en fractions simples la fraction rationnelle
xnxm−1,
n désignant un nombre entier inférieur à m. On aura, dans ce cas particulier,
f(x)=xn,F(x)=xm−1,k=1;
et, si l’on représente par h un nombre entier qui ne surpasse pas m2, les diverses racines de l’équation F(x)=0, toutes inégales entre elles, seront comprises dans la formule
cos2hπm±−1sin2hπm.
Soit a l’une de ces racines, et cherchons le numérateur A de la fraction simple qui a pour dénominateur x−a. Ce numérateur sera
A=f(a)F1(a)=anF1(a),
la valeur de F1(a) étant déterminée par l’équation
F(a)+zF1(a)+…=F(a+z)=(a+z)m−1=am−1+mam−1z+…,
et par conséquent égale à mam−1. On trouvera, par suite,
A=anmam−1=1man+1−m.
Comme on a d’ailleurs
(cos2hπm±−1sin2hπm)n+1−m=cos2h(n+1)πm±−1sin2h(n+1)πm,
on conclura de ce qui précède, en faisant, pour abréger,
On trouverait, en raisonnant de la même manière,
Il est essentiel d’observer que la dernière des fractions simples comprises dans le second membre de l’équation (12) ou (13) sera, pour des valeurs paires de m, s’il s’agit de l’équation (12), et pour des valeurs impaires de m, s’il s’agit de l’équation (13),
cosmθx+1=cos(n+1)πx+1=(−1)n+1x+1.
Ainsi, par exemple, on aura
(14)1x2−1=12(1x−1−1x+1),(15)xx2−1=12(1x−1+1x+1),(16)1x3+1=−13(cosπ3+−1sinπ3x−cosπ3−−1sinπ3+cosπ3−−1sinπ3x−cosπ3+−1sinπ3−1x+1),………………………………………………………………….
On peut remarquer encore que, si dans les seconds membres des équations (12) ou (13) on réunit par l’addition deux fractions simples correspondantes à deux facteurs linéaires conjugués du binôme xm±1, la somme sera une nouvelle fraction qui aura pour dénominateur un facteur réel du second degré, et pour numérateur une fonction réelle et linéaire de la variable x. On trouvera, par exemple, en prenant n=0, m=3,
Il est facile de généraliser cette remarque ainsi qu’il suit.
Supposons que, les fonctions entières f(x),F(x) étant réelles, on désigne par
α+β−1,α−β−1
deux racines imaginaires conjuguées de l’équation (1), et prenons pour A et B deux quantités réelles propres à vérifier la formule
F1(x) représentant toujours le coefficient de z dans le développement de F(x+z). On aura nécessairement
f(α−β−1)F1(α−β−1)=A+B−1;
et par suite, si l’on décompose la fraction rationnelle f(x)F(x), les deux fractions simples correspondantes aux facteurs linéaires conjugués
seront respectivement
En ajoutant ces deux fractions, on obtiendra la suivante :
Cette dernière, qui a pour numérateur une fonction réelle et linéaire de la variable x et pour dénominateur un facteur réel du second degré du polynôme F(x), ne diffère pas de la fraction
u(x−x0)(x−x1)
que renferme la formule (9) du paragraphe I, dans le cas où l’on suppose
x0=α+β−1,x1=α−β−1.
Soient
f(x)F(x)
la fraction rationnelle que l’on considère, m le degré du polynome F(x), et
a,b,c,…
les diverses racines de l’équation
On aura, en désignant par k un coefficient constant, et par m,m′,m″,… plusieurs nombres entiers dont la somme sera égale à m,
Cela posé, si l’on fait usage de la méthode exposée dans le paragraphe I, on décomposera la fraction rationnelle f(x)F(x) en deux autres dont la première sera de la forme
A(x−a)m′,
tandis que la seconde aura pour dénominateur
F(x)x−a==k(x−a)m′−1(x−b)m″(x−c)m‴….
En décomposant cette seconde fraction rationnelle par la même méthode, on obtiendra : 1 une nouvelle fraction simple
A1(x−a)m′−1,
dans laquelle A1, représentera une constante ; 2 une fraction qui aura pour dénominateur
k(x−a)m′−2(x−b)m″(x−c)m‴….
En continuant ainsi, on fera disparaître successivement du polynôme F(x) les différents facteurs linéaires dont se compose la puissance (x−a)m′; et, lorsqu’on aura extrait de f(x)F(x) une suite de fractions simples de la forme
A(x−a)m′,A1(x−a)m′−1,A2(x−a)m′−2,…,Am′−1x−a,
le reste sera une nouvelle fraction rationnelle dont le dénominateur se trouvera réduit à
k(x−b)m″(x−c)m‴….
Si de ce reste on extrait une seconde suite de fractions simples de la forme
B(x−a)m″,B1(x−a)m″−1,B2(x−a)m″−2,…,Bm″−1x−a,
on obtiendra un second reste dont le dénominateur sera
k(x−c)m‴−1….
Enfin, si l’on prolonge ces opérations jusqu’à ce que le polynôme F(x) se trouve réduit à la constante k, le dernier de tous les restes sera une fonction rationnelle à dénominateur constant, c’est-à-dire une fonction entière de la variable x. Appelons R cette fonction entière. On aura définitivement pour la valeur de f(x)F(x) décomposée en fractions simples
A,A1,…,Am′−1; B,B1,…,Bm′−1; C,C1,…,Cm′−1; désignant des constantes que l’on peut facilement déduire des principes exposés dans le paragraphe I, ou calculer directement à l’aide des considérations suivantes.
(4) Faisons, pour plus de commodité,
Qsera une nouvelle fonction entière de la variable x, et l’équation (3) deviendra
f(x)F(x)=A(x−a)m′+A1(x−a)m′−1+…+Am′−1(x−a)+Q(x−b)m″(x−c)m‴….
Si l’on multiplie les deux membres de cette dernière par
F(x)=k(x−a)m′(x−b)m″(x−c)m‴….
on en conclura
et par suite, en faisant
on trouvera
Zdésignant la valeur du polynome kQ exprimée en fonction de z. Supposons maintenant que la substitution de x+z, au lieu de x, dans les fonctions f(x) et F(x), donne généralement
On aura, en prenant x=a+z, et observant que le développement de la fonction
F(x)=F(a+z)
doit être divisible par (x−a)m′=zm′,
Cela posé, la formule (6) se trouvera réduite à
et l’on en tirera, en égalant dans les deux membres les coefficients des puissances semblables de z,
On trouvera par un calcul entièrement semblable
Ces diverses équations suffiront pour fixer complètement les valeurs des constantes A,A1,A2,…, B,B1,B2,…, C,C1,C2,…, Elles donneront, par exemple,
Les constantes ainsi déterminées étant évidemment indépendantes du mode employé pour la décomposition de la fraction rationnelle f(x)F(x), il en résulte que cette fraction est décomposable d’une manière seulement en fractions simples de la forme de celles que renferme le second membre de l’équation (3).
Il est aisé de voir que la première des équations (13) s’accorde avec la formule (14) du paragraphe I. En effet, la quantité Fm′(a) est ce que devient le polynôme
Fm′(a)+zFm′+1(a)+z2Fm′+2(a)+…=F(a+z)zm′=F(x)(x−a)m′
lorsqu’on y fait z=0 ou x=a; et par suite, si l’on pose
on aura
Fm′(a)=φ(a),
Dans le cas où, les fonctions f(x) et F(x) étant réelles l’une et l’autre, l’équation F(x)=0 admet m′ racines égales à α+β−1, la même équation admet encore m′ racines égales conjuguées aux premières, et par conséquent représentées par
α−β−1.
Dans cette hypothèse, si, après la décomposition de la fraction rationnelle
f(x)F(x),
on réunit deux à deux les fractions simples qui ont pour dénominateurs
(x−α−β−1)m′et(x−α+β−1)m′,(x−α−β−1)m′−1et(x−α+β−1)m′−1,…………………,…………………,
enfin
les différentes sommes obtenues seront des fractions réelles et rationnelles qui auront pour dénominateurs respectifs
[(x−α)2+β2]m′,[(x−α)2+β2]m′−1,………………, (x−α)2+β2,
et dont le système pourra être remplacé par une suite d’autres fractions qui, avec les mêmes dénominateurs, auraient pour numérateurs des fonctions réelles et linéaires de la variable x. Au reste, il est facile de calculer directement cette nouvelle suite de fractions, en commençant par celles qui correspondent aux plus hautes puissances de (x−α)2+β2. Cherchons, par exemple, celle qui a pour dénominateur
[(x−α)2+β2]m′=(x−α−β−1)m′(x−α+β−1)m′.
D’après les principes établis dans le paragraphe I, elle sera
pourvu que l’on fasse
et
Ajoutons que, si dans la formule précédente, on pose successivement
on en conclura, eu égard à la seconde des équations (8),
φ(α+β−1+z)=Fm′(α+β−1)+zFm′+1(α+β−1)+…(2β−1+z)m′,φ(α−β−1+z)=Fm′(α−β−1)+zFm′+1(α−β−1)+…(2β−1+z)m′,
et, par suite,
