v V 2 − v 2 {\displaystyle {\frac {v}{\sqrt {\mathrm {V} ^{2}-v^{2}}}}}

la masse transversale est en raison inverse de V 2 − v 2 {\displaystyle {\sqrt {\mathrm {V} ^{2}-v^{2}}}} et la masse longitudinale en raison inverse du cube de cette quantité.

On voit que, si v {\displaystyle v} est très faible, la force vive est sensiblement proportionnelle à v 2 , {\displaystyle v^{2},} la quantité de mouvement sensiblement proportionnelle à v , {\displaystyle v,} les deux masses sensiblement constantes et égales entre elles. Mais, quand la vitesse tend vers la vitesse de la lumière, la force vive, la quantité de mouvement et les deux masses croissent au delà de toute limite.

Dans l’hypothèse d’Abraham, les expressions sont un peu plus compliquées : mais ce que nous venons de dire subsiste dans ses traits essentiels.

Ainsi la masse, la quantité de mouvement, la force vive deviennent infinis quand la vitesse est égale à celle de la lumière. Il en résulte qu’aucun corps ne pourra atteindre par aucun moyen une vitesse supérieure à celle de la lumière. Et, en effet, à mesure que sa vitesse croît, sa masse croît, de sorte que son inertie oppose à tout nouvel accroissement de vitesse un obstacle de plus en plus grand.

Les auteurs qui ont écrit sur la Dynamique de l’Électron parlent, il est vrai, des corps qui vont plus vite que la lumière ; mais c’est pour se demander comment se comporterait un corps dont la vitesse initiale serait plus grande que celle de la lumière, qui aurait, par conséquent, déjà franchi la limite, avant qu’on s’occupât de lui ; ce n’est pas pour nous dire par quels moyens il pourrait franchir cette limite.

Une question se pose alors : admettons le Principe de Relativité ; un observateur en mouvement ne doit pas avoir le moyen de s’apercevoir de son propre mouvement. Si donc aucun corps dans son mouvement absolu ne peut dépasser la vitesse de la lumière, mais peut en approcher autant qu’on veut, il doit en être de même en ce qui concerne son mouvement relatif par rapport à notre observateur. Et alors on pourrait être tenté de raisonner comme il suit : L’observateur peut atteindre une vitesse de 200 000 kilomètres ; le corps, dans son mouvement relatif par rapport à l’observateur, peut atteindre la même vitesse ; sa vitesse absolue sera alors de 400 000 kilomètres, ce qui est impossible, puisque c’est un chiffre supérieur à la vitesse de la lumière.

C’est qu’il faut tenir compte de la façon dont il convient d’évaluer les vitesses relatives ; il faut les compter non avec le temps vrai, mais avec le temps local. Soient A et B deux points invariablement liés à l’observateur ; soit t {\displaystyle t} et t + h {\displaystyle t+h} les moments où le corps passe en A et en B, moments évalués en temps vrais ; soient α t {\displaystyle \alpha t} et α ( t + h ) {\displaystyle \alpha (t+h)} ces mêmes moments évalués en temps local de A ; soient α ( t + ε ) {\displaystyle \alpha (t+\varepsilon )} et α ( t + h + ε ) {\displaystyle \alpha (t+h+\varepsilon )} ces mêmes moments évalués en temps local de B. Si l’on évaluait la durée du parcours en temps vrai, cette durée serait donc h {\displaystyle h} et la vitesse relative AB h {\displaystyle {\frac {\text{AB}}{h}}}  ; mais nous devons l’évaluer en temps local, c’est-à-dire noter l’instant du passage en A en temps local de A, et celui du passage en B en temps local de B, de sorte que la durée du parcours sera α ( ε = h ) {\displaystyle \alpha (\varepsilon =h)} et la vitesse relative :

AB α ( ε + h ) ⋅ {\displaystyle {\frac {\text{AB}}{\alpha (\varepsilon +h)}}\cdot }

Et c’est ainsi que se fait la compensation.