La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume
Séance du 17 mars 1921.
D. Mirimanoff. — La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume.
Dans une série de communications et d’articles, M. Ed.Guillaume a cherché à introduire dans la théorie de la relativité une représentation monoparamétrique du temps. Il a réussi à donner de ce problème une solution intéressante dans le cas où le nombre des systèmes de référence est égal à deux. Cette solution comporte, comme on sait, une interprétation géométrique simple.
Je me propose d’en donner une interprétation nouvelle. Je ferai voir que le paramètre t {\displaystyle t} de M. Guillaume ne diffère que par un facteur constant du temps τ {\displaystyle \tau } d’un système particulier d’Einstein que j’appelle système médian. À chaque couple de systèmes de référence correspond un système médian et un paramètre t {\displaystyle t} de M. Guillaume. On se rend mieux compte alors pourquoi le procédé de M. Guillaume n’aboutit plus lorsque le nombre n {\displaystyle n} des systèmes de référence est supérieur à deux. En effet, pour n > 2 {\displaystyle n>2} le nombre des systèmes médians et par conséquent celui des paramètres t {\displaystyle t} est supérieur à un et ces paramètres sont en général distincts.
1. Système médian. Soient S 1 {\displaystyle S{1}} et S 2 {\displaystyle S{2}} deux systèmes de référence d’Einstein animés l’un par rapport à l’autre d’un mouvement de translation uniforme le long des axes o 1 x 1 , o 2 x 2 {\displaystyle o{1}x{1},o{2}x{2}} . Je suppose que la transformation de Lorentz-Einstein soit applicable à ces systèmes et que par conséquent les coordonnées x 1 , x 2 {\displaystyle x{1},x{2}} et les temps τ 1 , τ 2 {\displaystyle \tau {1},\tau {2}} soient liés par les relations
x 1 = β ( x 2 + α c τ 2 ) , x 2 = β ( x 1 − α c τ 1 ) , c τ 1 = β ( c τ 2 + α x 2 ) , c τ 2 = β ( c τ 1 − α x 1 ) . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x{1}&=\beta (x{2}\ +\alpha c\tau {2}),\qquad &x{2}&=\beta (x{1}\ -\alpha c\tau {1}),\\c\tau {1}&=\beta (c\tau {2}+\alpha x{2}),&c\tau {2}&=\beta (c\tau {1}-\alpha x{1}).\end{alignedat}}\qquad \qquad } (1)
où α = v c {\displaystyle \alpha ={\tfrac {v}{c}}} , β 2 = 1 1 − α 2 {\displaystyle \beta ^{2}={\tfrac {1}{1-\alpha ^{2}}}} , v {\displaystyle v} étant la vitesse de S 2 {\displaystyle S{2}} par rapport à S 1 {\displaystyle S{1}} .
Envisageons maintenant un 3 système S parallèle à S 1 {\displaystyle S{1}} et S 2 {\displaystyle S{2}} et animé également d’un mouvement de translation le long de o 1 x 1 {\displaystyle o{1}x{1}} . Soit v 0 {\displaystyle v{0}} sa vitesse par rapport à S 1 {\displaystyle S{1}} . La transformation de Lorentz s’applique encore et l’on a
x 1 = β 0 ( x + α 0 c τ ) , x = β 0 ( x 1 − α 0 c τ 1 ) , c τ 1 = β 0 ( c τ + α 0 x ) , c τ = β 0 ( c τ 1 − α 0 x 1 ) . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x{1}&=\beta {0}(x\ +\alpha {0}c\tau ),\qquad &x&=\beta {0}(x{1}\ -\alpha {0}c\tau {1}),\\c\tau {1}&=\beta {0}(c\tau +\alpha {0}x),&c\tau &=\beta {0}(c\tau {1}-\alpha {0}x{1}).\end{alignedat}}\qquad \qquad } (2)
où x {\displaystyle x} et τ {\displaystyle \tau } sont l’abscisse et le temps correspondants dans S {\displaystyle S} , α 0 = v 0 c {\displaystyle \alpha {0}={\tfrac {v{0}}{c}}} , etc.
Supposons que la vitesse de S 2 {\displaystyle S{2}} par rapport à S {\displaystyle S} soit aussi égale à v 0 {\displaystyle v{0}} . Je dirai que le système S {\displaystyle S} est le système médian correspondant. Comment s’expriment v 0 , α 0 , β 0 {\displaystyle v{0},\alpha {0},\beta {0}} en fonction de v , α , β {\displaystyle v,\alpha ,\beta } ? Pour le trouver il suffit d’exprimer x 1 , τ 1 {\displaystyle x{1},\tau {1}} en fonctions des paramètres x , τ {\displaystyle x,\tau } (form. (2)) et ces derniers en fonction de x 2 , τ 2 {\displaystyle x{2},\tau {2}} et identifier les formules finales avec (1), ce qui donne
2 α 0 1 + α 0 2 = α , α 0 = β − 1 α β , β 0 2 = β + 1 2 , ( 1 − α α 0 ) β = 1. {\displaystyle {\frac {2\alpha {0}}{1+\alpha {0}^{2}}}=\alpha ,\quad \alpha {0}={\frac {\beta -1}{\alpha \beta }},\quad \beta {0}^{2}={\frac {\beta +1}{2}},\quad \left(1-\alpha \alpha {0}\right)\beta =1.\quad } (3)
2. Contraction. Envisageons deux points P ′ {\displaystyle P'} et P ″ {\displaystyle P''} . Soient x 1 ′ , x 2 ′ , x ′ {\displaystyle x'{1},x'{2},x'} ; x 1 ″ , x 2 ″ , x ″ {\displaystyle x''{1},x''{2},x''} leurs coordonnées dans S 1 {\displaystyle S{1}} , S 2 {\displaystyle S{2}} et S {\displaystyle S} au même moment τ {\displaystyle \tau } (temps d’Einstein du système médian). En vertu de (2)
x 1 ′ = β 0 ( x ′ + α 0 c τ ) , x 1 ″ = β 0 ( x ″ + α 0 c τ ) . {\displaystyle x'{1}=\beta {0}\left(x'+\alpha {0}c\tau \right),\quad x''{1}=\beta {0}\left(x''+\alpha {0}c\tau \right).}
Donc
x 1 ″ − x 1 ′ = x 2 ″ − x 2 ′ {\displaystyle x''{1}-x'{1}=x''{2}-x'{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } (4)
Il n’y a donc pas de contraction, pourvu que P ′ {\displaystyle P'} et P ″ {\displaystyle P''} soient envisagés au même moment τ {\displaystyle \tau } .
La réciproque est vraie, en d’autres termes : Si la contraction n’a pas lieu en adoptant le temps τ {\displaystyle \tau } d’un système d’Einstein, ce système est le système médian.
3. Autre relation. Soit P {\displaystyle P} un point d’abscisses x 1 {\displaystyle x{1}} et x 2 {\displaystyle x{2}} dans S 1 {\displaystyle S{1}} et S 2 {\displaystyle S{2}} . On a, en remplaçant dans la 1 formule (1) le paramètre τ 2 {\displaystyle \tau {2}} par son expression en fonction de x 2 {\displaystyle x{2}} et τ {\displaystyle \tau }
x 1 = β { ( 1 − α α 0 ) x 2 + α β 0 c τ } = x 2 + β β 0 v τ , {\displaystyle x{1}=\beta \left\{\left(1-\alpha \alpha {0}\right)x{2}+{\frac {\alpha }{\beta {0}}}c\tau \right\}=x{2}+{\frac {\beta }{\beta {0}}}v\tau ,\qquad \qquad } (5)
en vertu de (3).
4. L’heure universelle de M. Guillaume. Soit k {\displaystyle k} une fonction quelconque de v {\displaystyle v} . Comme v {\displaystyle v} est const., k {\displaystyle k} est constant. Supposons k > 0 {\displaystyle k>0} et posons t = k τ {\displaystyle t=k\tau } . Si au lieu du temps d’Einstein τ {\displaystyle \tau } , on adopte le temps t {\displaystyle t} , la simultanéité n’est pas troublée. L’égalité (4) reste vraie, donc pas de contraction, l’égalité (5) s’écrit x 1 = x 2 + 1 k β β 0 v t {\displaystyle x{1}=x{2}+{\tfrac {1}{k}}{\tfrac {\beta }{\beta {0}}}vt} . Supposons en particulier que k = β β 0 {\displaystyle k={\tfrac {\beta }{\beta {0}}}} , d’où t = β β 0 τ {\displaystyle t={\frac {\beta }{\beta {0}}}\tau } . L’équation (5) s’écrit
x 1 = x 2 + v t {\displaystyle x{1}=x{2}+vt\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } (6)
Multiplions la 2 équation du second groupe (2) par k = β β 0 {\displaystyle k={\tfrac {\beta }{\beta {0}}}} , il vient, en vertu de (3),
c τ 1 = c β t + β − 1 α β x 1 . {\displaystyle c\tau {1}={\frac {c}{\beta }}t+{\frac {\beta -1}{\alpha \beta }}x{1}.}
On tombe, comme on voit, sur l’équation qui définit le temps universel t {\displaystyle t} de M. Guillaume. Par conséquent le temps t {\displaystyle t} défini par t = β β 0 τ {\displaystyle t={\tfrac {\beta }{\beta {0}}}\tau } est bien le paramètre de M. Guillaume. Il ne diffère du temps τ {\displaystyle \tau } du système médian que par le facteur constant k = β β 0 {\displaystyle k={\tfrac {\beta }{\beta {0}}}} .
5. Cas de trois systèmes. Envisageons trois systèmes S 1 , S 2 , S 3 {\displaystyle S{1},S{2},S{3}} parallèles animés d’un mouvement de translation uniforme parallèlement aux axes des x {\displaystyle x} . Soient v 12 , v 13 , v 23 {\displaystyle v{12},v{13},v{23}} les vitesse relatives de S 2 {\displaystyle S{2}} par rapport à S 1 {\displaystyle S{1}} , de S 3 {\displaystyle S{3}} par rapport à S 1 {\displaystyle S{1}} , de S 3 {\displaystyle S{3}} par rapport à S 2 {\displaystyle S{2}} et t 12 , t 13 , t 23 {\displaystyle t{12},t{13},t{23}} les paramètres de M. Guillaume. On aura alors en vertu de (6).
x 1 = x 2 + v 12 t 12 ; x 1 = x 3 + v 13 t 13 ; x 2 = x 3 + v 23 t 23 ; {\displaystyle x{1}=x{2}+v{12}t{12}\,;\quad x{1}=x{3}+v{13}t{13}\,;\quad x{2}=x{3}+v{23}t{23}\,;}
par exemple l’abscisse x 1 {\displaystyle x{1}} de O 2 {\displaystyle O{2}} est donnée par x 1 = v 12 t 12 {\displaystyle x{1}=v{12}t{12}} , celle de O 3 {\displaystyle O{3}} par x 1 = v 13 t 13 {\displaystyle x{1}=v{13}t{13}} . Les paramètres t 12 , t 13 , t 23 {\displaystyle t{12},t{13},t{23}} ne doivent pas être confondus entre eux.
