Chapitre II

Les fonctions auxquelles s’appliquent les définitions précédentes peuvent avoir une infinité de points de discontinuité ; mais ces points sont encore exceptionnels, en ce sens qu’ils forment un ensemble non dense. Dirichlet a rencontré incidemment la fonction

χ(x)=limm=∞[limn=∞(cos⁡m!πx)2n],

dont tous les points sont des points de discontinuité, puisqu’elle est nulle pour x irrationnel, égale à 1 pour x rationnel. Les considérations de Cauchy et de Dirichlet ne s’appliquent donc pas à toutes les fonctions au sens de Cauchy. Riemann a montré, sur un exemple, comment l’emploi des séries permettait de construire des fonctions dont les points de discontinuité forment un ensemble partout dense, fonctions auxquelles les définitions précédentes ne peuvent donc s’appliquer.

Soit (x) la différence entre x et l’entier le plus voisin ; si x est égal à un entier plus 1/2, on prend (x)=0. La fonction ainsi définie se nomme excès de x ; c’est une fonction au sens de Cauchy, car elle admet un développement de Fourier, procédant suivant les lignes trigonométriques des multiples de 2πx, qui est partout convergent. Considérons la fonction, au sens de Cauchy,

f(x)=(x)12+(2x)22+(3x)32+… ;

on voit immédiatement que si x n’est pas de la forme 2p+12n (n et 2p+1 étant premiers entre eux) f(x) est continue. Au contraire, si x est de la forme indiquée, quand x tend en croissant vers 2p+12n, f(x) tend vers une limite que l’on note

f(2p+12n−0)

et qui est

f(2p+12n−0)=f(2p+12n)+π216n2 ;

quand x tend vers 2p+12n en décroissant, f(x) tend vers

f(2p+12n+0)=f(2p+12n)−π216n2.

Dans tout intervalle, f(x) a des points de discontinuité ; les considérations du Chapitre précédent ne sont pas applicables à f(x).

En employant un procédé analogue à celui de Riemann, il était possible de former de nombreux exemples de fonctions très discontinues. En utilisant la notion maintenant classique de série uniformément convergente, il est facile de donner un énoncé général : une série uniformément convergente de fonctions discontinues fn définit une fonction f qui admet pour points de discontinuité tous les points de discontinuité des fonctions fn, pourvu que chacun de ces points ne soit point de discontinuité que pour une seule fonction fn. Lorsqu’il n’en est pas ainsi, comme dans l’exemple de Riemann, il faut rechercher si les différentes discontinuités, que l’on rencontre pour la valeur considérée, ne se compensent pas de telle manière que f soit continue.

On a souvent l’occasion d’appliquer un procédé analogue, quand, connaissant des fonctions fn qui présentent une certaine singularité en des points isolés An, on veut construire une fonction présentant cette singularité dans tout intervalle. On essaie si l’on n’obtiendrait pas le résultat désiré en prenant une série uniformément convergente de fonctions fn, telles que les An correspondants forment un ensemble partout dense. C’est cette méthode de construction qui a reçu le nom de principe de condensation des singularités.

Les exemples de Riemann montrent que les fonctions, auxquelles les procédés de définition examinés dans le Chapitre précédent ne peuvent s’appliquer, ne forment pas une classe très particulière dans l’ensemble des fonctions au sens de Cauchy. Et comme la restriction que nous avons imposée, avec Cauchy, aux fonctions f(x), savoir que la relation entre f(x) et x soit exprimable analytiquement, n’est jamais intervenue dans nos raisonnements, elle n’a simplifié ni les énoncés, ni les solutions des problèmes que nous nous sommes proposés. Il n’y a donc aucun inconvénient à dire, avec Riemann : y est fonction de x si, à chaque valeur de x, correspond une valeur de y bien déterminée, quel que soit le procédé qui a permis d’établir cette correspondance. C’est cette définition que nous adopterons maintenant ; seulement, au lieu de supposer toujours que x puisse être pris quelconque dans un intervalle (a,b), nous supposerons quelquefois que x doive être pris dans un certain ensemble E pour les points duquel la fonction y sera ainsi définie, sans l’être pour tous les points d’un intervalle. Par exemple, la fonction [1x]! est définie pour l’ensemble des inverses des entiers positifs.

Avant d’entreprendre l’étude de l’intégration des fonctions au sens de Riemann je vais donner celles de leurs propriétés qui nous seront utiles dans la suite.

Si l’on sait qu’une fonction reste toujours comprise entre deux nombres finis A et B, on dit qu’elle est bornée. C’est à l’étude des fonctions bornées que l’on s’est le plus souvent limité. Lorsqu’une fonction est bornée, elle admet une limite supérieure L et une limite inférieure l ; ces nombres sont définis, on le sait, par la condition que (l,L) soit le plus petit intervalle contenant toutes les valeurs de f(x). ω=L−l est dit l’oscillation de f(x).

Soit A un point limite de l’ensemble E dans lequel f(x) est définie. Soit δ1 un intervalle contenant A ; dans cet intervalle il existe des points de E ; ils forment un ensemble e1. La fonction f(x) définie sur e1 admet des limites supérieure et inférieure, L1, l1, une oscillation ω1. Soit δ2 un intervalle contenant A et compris dans δ1, il lui correspond les nombres L2, l2, ω2 ; et l’on a évidemment

l1≦l2≦L2≦L1,L2−l2=ω2≦ω1.

Si nous considérons des intervalles δ1,δ2,δ3,… contenant tous A et compris les uns dans les autres, nous avons une suite de limites supérieures et inférieures vérifiant les inégalités

l1≦l2≦l3≦…≦L3≦L2≦L1.

Les li d’une part, les Li d’autre part, tendent donc vers deux limites l et L (l≦L) et les ωi tendent vers

ω=L−l.

Nous allons voir que les nombres ainsi obtenus, L, l, ω, sont aussi les limites des nombres L'i, l'i, ω'i correspondant à des intervalles δ'i contenant A et dont les deux extrémités tendent vers A quand i augmente indéfiniment ; en d’autres termes, ils sont indépendants du choix des intervalles δi et l’on peut supposer que ces intervalles ne sont pas contenus nécessairement les uns dans les autres. En effet, i étant choisi arbitrairement, si j est assez grand, δ'j est contenu dans δi, si k est assez grand, δk est contenu dans δ'j ; donc on a

ce qui suffit à démontrer la propriété.

Les nombres L, l, ω sont appelés le maximum ou limite supérieure, le minimum ou limite inférieure et l’oscillation de la fonction en A. A est un point de continuité ou de discontinuité, suivant que ω est nul ou positif, c’est-à-dire suivant que L et l sont égaux ou inégaux.

Si x0 est l’abscisse de A et si l’on convient de ne considérer que les valeurs de x supérieures à x0 (x>x0), on obtient le maximum Md, le minimum md et l’oscillation ωd à droite en A. Si ωd=0, c’est-à-dire si Md=md, f(x0+0) existe et est égale à Md. Si Md=md=f(x0), la fonction f(x) est dite continue à droite. On définit de même les nombres Mg, mg, ωg.

Si ωd et ωg sont nuls, c’est-à-dire si f(x0+0) et f(x0−0) existent, la discontinuité est dite de première espèce, sinon elle est dite de seconde espèce.

Toutes ces définitions pourraient être données pour des fonctions non bornées ; rien ne serait changé, sauf que les nombres définis ne seraient plus nécessairement finis.

Aux notions précédentes, on peut rattacher la notion de limite d’indétermination qui nous sera souvent utile ; cette notion est due à P. du Bois-Reymond.

Un procédé de calcul fournit, dans certaines conditions, un nombre déterminé φ ; dans d’autres conditions, au contraire, il ne fournit plus un nombre déterminé, mais, suivant la manière dont on l’applique, il fournit différents nombres qui forment un ensemble A. On peut alors, ou dire que le procédé ne fournit plus aucun nombre, ou dire que le procédé donne pour nombre φ l’un quelconque des nombres de A. Le nombre φ est ainsi considéré comme indéterminé. Le plus petit intervalle qui contient tous les points de A, soit à son intérieur, soit confondus avec ses extrémités, a pour origine et pour extrémité les limites inférieure et supérieure d’indétermination du nombre φ. Ces limites sont finies ou infinies, elles ne font pas nécessairement partie de A.

Par exemple, on donne l’expression

φ=limn=∞xn,

où n est entier. φ est nul pour |x|<1 ; pour calculer φ dans ce cas on peut choisir arbitrairement une suite d’entiers croissants n1,n2,… et prendre la limite de la suite xni correspondante. Si x n’est plus compris entre −1 et +1, en opérant ainsi et en choisissant convenablement les ni, on aura encore une limite, mais cette limite dépendra en général du choix des ni. Pour x=−1, l’ensemble A de ces limites contient les deux seuls nombres −1 et +1 qui sont les limites d’indétermination. Pour x<−1, l’ensemble A ne contient que +∞ et −∞ qui sont les deux limites d’indétermination.

Pour x=1, φ est égal à 1. Pour x>1, φ est égal à +∞.

La notion des limites d’indétermination peut souvent être remplacée par la notion plus simple de plus petite et de plus grande limite, notion que l’on doit à Cauchy.

Supposons que le nombre φ soit défini comme la limite pour λ=λ0 d’un nombre ψ(λ) ; λ prendra toutes les valeurs possibles ou seulement celles d’un certain ensemble dont λ0 est un point limite (l’exemple précédent se ramène à ce cas si l’on prend λ=1n, où n est entier, et λ0=0). La fonction ψ(λ) n’est pas définie pour λ=λ0, mais nous savons qu’elle a pour λ=λ0 une limite inférieure l et une limite supérieure L ; ces nombres, finis ou non, sont respectivement la plus petite et la plus grande des limites que l’on peut obtenir quand, dans ψ(λ), on fait tendre λ vers λ0. l et L sont les deux limites d’indétermination précédemment définies ; mais, dans le cas qui nous occupe, ces nombres sont compris dans l’ensemble A des valeurs limites, tandis que, dans le cas général, ils font seulement partie de A ou du dérivé A′ de A.

Mais il se peut aussi, et l’on en verra bientôt des exemples, que la fonction ψ(λ) ne soit plus une fonction bien déterminée, mais soit une fonction à plusieurs déterminations.

On dit que l’on a une telle fonction si, à chaque valeur de λ, prise dans un certain ensemble où la fonction est définie, on fait correspondre un ensemble de nombres ; chacun de ces nombres est représenté par la notation ψ(λ). Ce qui a été dit relativement aux limites supérieure et inférieure pour les fonctions à une seule détermination, s’applique sans aucun changement aux fonctions à déterminations multiples. ψ(λ) a donc une limite inférieure l et une limite supérieure L pour λ=λ0, qui sont, respectivement, la plus petite et la plus grande des limites que l’on peut atteindre en choisissant une suite de nombres λi tendant vers λ0 et en choisissant convenablement les nombres ψ(λi) correspondants. Ces deux nombres sont les limites d’indétermination de la limite de ψ(λ) quand λ tend vers λ0.

Revenons maintenant à l’étude des fonctions.

Il y a une relation très simple entre les oscillations relatives aux intervalles contenus dans (a,b) et les oscillations aux divers points de (a,b). On peut l’exprimer ainsi :

Si, en tous les points de (a,b), l’oscillation est au plus égale à ω, dans tout intervalle intérieur à (a,b) et de longueur λ, l’oscillation est inférieure à ω+ε dès que λ est assez petit ; ε étant un nombre positif quelconque.

S’il en était autrement, on pourrait trouver des couples de points ap, bp, tels que bp−ap tende vers zéro et que l’on ait

|f(bp)−f(ap)|>ω+ε.

L’ensemble des ap a, au moins, un point limite α. Si l’on prend une suite de valeurs ap tendant vers α, les bp tendent aussi vers α, donc en α l’oscillation est au moins ω+ε. Il y a là une contradiction avec l’hypothèse.

La propriété est démontrée. Dans le cas où ω=0, elle se réduit à ce fait bien connu : une fonction continue en tous les points d’un intervalle est continue dans cet intervalle.

La réciproque de notre propriété n’est pas vraie. Soit une fonction égale à −1 pour x négatif, à +1 pour x positif, nulle pour x nul. Son oscillation pour x=0 est 2 et, cependant, si l’on emploie le point de division x=0, la fonction a une oscillation seulement égale à 1 dans chacun des deux intervalles obtenus.

Nous allons maintenant définir l’oscillation moyenne d’une fonction bornée f(x) définie dans un intervalle fini (a,b). Partageons (a,b) en intervalles partiels δ1,δ2,…,δn. Soit ωi l’oscillation de f(x) dans l’intervalle δi, les extrémités de δi étant ou non considérées comme faisant partie de l’intervalle. Et formons la quantité

A=δ1ω1+δ2ω2+…+δnωnb−a.

Si Ω est l’oscillation de f(x) dans (a,b), ω1,ω2,…,ωn étant au plus égaux à Ω, A est au plus égal à Ω. Si donc nous divisons δi en intervalles partiels δi1,δi2,…,δipi, auxquels correspondent les oscillations ωi1,ωi2,…,ωipi, on a

δiωi≧∑j=1j=piδijωij.

En subdivisant les intervalles δi on remplace donc A par un nombre plus petit.

Considérons deux séries de divisions de (a,b) en intervalles partiels ; aux divisions de la première série correspondent les nombres A1,A2,… ; à celles de la seconde les nombres α1,α2,…. Nous supposons que, pour chacune des deux séries, le maximum de la longueur des intervalles employés dans la i division tend vers zéro avec 1i ; dans ces conditions nous allons voir que les Ai et αi ont une même limite.

Comparons Ai et αj ; les intervalles qui seront dans la division Δj qui donne αj sont de deux espèces : les uns, les intervalles d, contiennent à leur intérieur des points de la division Di qui donne Ai ; les autres, les intervalles d′, sont compris dans les intervalles de Di. La contribution des intervalles d au numérateur de αj est au plus nλjΩ, si n est le nombre des points de division de Di et λj le maximum de la longueur des intervalles de Δj. Les intervalles d′ font partie de la division Δ'j obtenue en réunissant les points de division de Di et Δj, donc ils fournissent au numérateur de αj une contribution au plus égale à (b−a)A'j, où A'j est le nombre analogue à A et relatif à Δ'j. Mais, puisque l’on sait que A'j est au plus égal à Ai, on en déduit

αj≦Ai+nλjΩ.

Tous les αj, à partir d’un certain indice, sont inférieurs à Ai+ε, (ε>0) ; donc leur plus grande limite est au plus Ai+ε et, puisque i et ε sont quelconques, la plus grande limite de αj est au plus égale à la plus petite des Ai. Rien n’empêche d’échanger dans le raisonnement Ai et αj ; donc, toutes les limites des Ai et des αj sont égales, Ai tend vers une limite déterminée. Cette limite ω est l’oscillation moyenne de la fonction dans (a,b).

Il faut remarquer ce que nous avons démontré : Ai tend uniformément vers ω ; c’est-à-dire que, dès que tous les intervalles sont inférieurs à un certain nombre λ, le nombre A ne diffère de ω que d’une quantité inférieure à ε choisi à l’avance.

Ces définitions posées, arrivons à la définition de l’intégrale telle que l’a donnée Riemann.

Riemann porte son attention sur le procédé opératoire qui permet, dans le cas des fonctions continues, de calculer l’intégrale avec telle approximation que l’on veut, et il se demande dans quels cas ce procédé, appliqué à des fonctions discontinues, donne un nombre déterminé.

Soit une fonction bornée f(x) définie dans un intervalle fini (a,b). Divisons (a,b) en intervalles partiels δ1,δ2,…,δn et choisissons arbitrairement, quel que soit i, un point xi dans δi ou confondu avec l’une des extrémités de δi. Considérons la somme

S=δ1f(x1)+δ2f(x2)+…+δnf(xn).

Augmentons constamment le nombre des intervalles δ et choisissons-les de telle manière que le maximum de leur longueur tende vers zéro. Alors, si S tend vers une limite déterminée, indépendante des intervalles et des points xi choisis, Riemann dit que la fonction f(x) est intégrable et a pour intégrale, dans (a,b), la limite de S.

Lorsque δ1,δ2,…,δn sont choisis, le nombre S n’est pas entièrement déterminé ; ses limites inférieure et supérieure d’indétermination sont :

S=∑liδi,S‾=∑Liδi,

où li et Li représentent les limites inférieure et supérieure de f(x) dans δi. Posons Li−li=ωi, alors

S‾−S≦S‾−S=∑δiωi.

Pour que S tende vers une limite déterminée, il faut d’abord que S‾−S tende vers zéro ; mais ∑δiωi, tend vers (b−a)ω, où ω est l’oscillation moyenne de f(x) ; donc, pour que f(x) soit intégrable, il faut qu’elle soit à oscillation moyenne nulle.

Cette condition est suffisante. Pour le démontrer, il suffit de prouver que S‾ a une limite bien déterminée, puisque S‾−S tend vers zéro. Supposons, pour faire cette étude, que l’on raisonne non sur la fonction f, mais sur f+k, k étant une constante telle que f+k ne soit jamais négative.

Soient les divisions D1,D2,… ; Δ1,Δ2,…, telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zéro, ce maximum est λj pour Δj. Soient S1‾,S2‾,… ; Σ1‾,Σ2‾,…, les nombres analogues à S‾ et correspondant à ces divisions.

Comparons Si‾ et Σj‾. Partageons les intervalles de Δi en deux espèces, comme il a été dit dans l’étude de l’oscillation moyenne (p. 23). Les intervalles d fournissent, dans Σj‾, une contribution au plus égale à nλjL, où L est le maximum de f(x) dans (a,b). Les intervalles d′ figurent tous dans Δ'j, à laquelle correspond Σ'j‾ ; donc, la contribution des intervalles d′ dans Σj‾ est au plus égale à Σ'j‾. Mais Δ'j s’obtient en morcelant les intervalles de Di ; il est évident, dans ces conditions, que Σ'j‾ est au plus égale à Si‾. De tout cela on tire

Σj‾≦Si‾+nLλj.

De cette inégalité on conclut, comme précédemment, que Si‾ et Σj‾ ont la même limite et même qu’ils tendent uniformément vers cette limite.

La propriété est démontrée pour f+k, donc elle est vraie pour f, car, en passant de f à f+k, on augmente toutes les sommes S‾ de k(b−a).

Il est important, pour la suite, de remarquer que nous avons démontré l’existence d’une limite pour S‾ sans faire aucune hypothèse sur la fonction bornée f(x). La condition que f(x) est à oscillation moyenne nulle est intervenue seulement lorsque, de l’existence d’une limite pour S‾, nous avons déduit l’existence d’une limite pour S.

On peut transformer la condition d’intégrabilité obtenue : il faut et il suffit que la somme ∑δiωi tende vers zéro. Cela revient à dire que les intervalles δ1, dans lesquels ωi est supérieure à un nombre positif ε arbitrairement choisi, ont pour i assez grand une longueur totale λ aussi petite que l’on veut, car on a :

λε≦∑δiωi≦(b−a−λ)ε+λΩ,

Ω étant l’oscillation de f(x) dans (a,b). On a ainsi l’énoncé donné par Riemann :

Pour qu’une fonction bornée soit intégrable dans (a,b), il faut et il suffit qu’on puisse diviser (a,b) en intervalles partiels tels que la somme des longueurs de ceux de ces intervalles dans lesquels l’oscillation est plus grande que ε, quel que soit ε>0, soit aussi petite que l’on veut.

Si une telle division est possible, il s’en trouve une infinité dans toute suite de divisions telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zéro, puisque, quelle que soit cette suite, ∑δiωi tend toujours vers le même nombre.

De cette propriété de ∑δiωi résulte aussi que, si à une suite de divisions de la nature considérée correspondent des nombres S et S‾ ayant la même limite, nous pouvons affirmer l’intégrabilité de la fonction considérée.

La forme donnée par Riemann à la condition d’intégrabilité montre bien que les fonctions continues sont intégrables, mais elle ne met pas en évidence le rôle des points de discontinuité de la fonction. Paul du Bois-Reymond a mis ce rôle en évidence par une transformation de la condition d’intégrabilité. L’énoncé de du Bois-Reymond suppose connue la définition des groupes intégrables.

Un ensemble de points d’une droite constitue un groupe intégrable, si les points de l’ensemble peuvent être enfermés dans un nombre fini de segments dont la somme des longueurs est aussi petite que l’on veut.

Un nombre fini de points constitue un groupe intégrable, mais la réciproque n’est pas vraie.

Considérons l’ensemble Z des points dont les abscisses sont données par la formule

dans laquelle tous les a sont égaux à 0 ou 2. Cet ensemble s’obtient en retranchant de l’intervalle (0,1) d’abord les points intérieurs à l’intervalle (13,23), puis les points intérieurs aux intervalles (132,232), (23+132,23+232) puis les points intérieurs aux intervalles (133,233), (232+133,232+233), (23+133,23+233), (23+232+133,23+232+233), …. On divise donc toujours chaque intervalle restant en trois parties égales et l’on enlève la partie du milieu. Après n de ces opérations, il reste 2n intervalles ; ces 2n intervalles peuvent servir à enfermer les points de Z ; or, ils ont une longueur totale 2n3n, Z est donc un groupe intégrable. Cette construction de Z montre de plus qu’il est parfait, donc il a la puissance du continu.

Il est évident que l’ensemble formé par la réunion des points de deux groupes intégrables est un groupe intégrable.

Voici maintenant l’énoncé de du Bois-Reymond :

Pour qu’une fonction bornée soit intégrable, il faut et il suffit que, quel que soit ε>0, les points où l’oscillation est supérieure à ε forment un groupe intégrable.

Supposons f intégrable, alors on peut diviser (a,b) en intervalles partiels tels que ceux dans lesquels l’oscillation est supérieure à ε aient une longueur totale inférieure à η. Un point où l’oscillation est supérieure à ε ne peut être contenu dans un intervalle où l’oscillation n’est pas supérieure à ε, donc un tel point est nécessairement l’un des points qui ont servi à la division de (a,b), ou bien il est dans les intervalles de longueur η. Les points de division étant en nombre fini, les points où l’oscillation est supérieure à ε peuvent être enfermés dans un nombre fini d’intervalles de longueur totale 2η, et, comme η est quelconque, ils forment un groupe intégrable.

Réciproquement, nous supposons que les points d’oscillation plus grande que ε forment un groupe intégrable. On peut donc les enfermer dans un nombre fini d’intervalles de longueur totale η. Employons ces intervalles I à la division de (a,b) et soient I′ les autres intervalles. Dans chaque I′, il n’y a plus de points d’oscillation plus grande que ε, chacun de ces intervalles peut donc être divisé en intervalles partiels I″ dans chacun desquels l’oscillation est au plus 2ε. Les seuls intervalles, à oscillation plus grande que 2ε, sont donc certains des intervalles I ; leur longueur totale est au plus η et cela suffit, d’après le criterium de Riemann, pour affirmer que f est intégrable.

Dans l’énoncé précédent, on peut remplacer l’ensemble G(ε) des points où l’oscillation est supérieure à ε par l’ensemble G1(ε) des points où l’oscillation n’est pas inférieure à ε, car G(ε2) contient G1(ε) qui contient lui-même G(ε).

L’ensemble G1(ε) jouit d’une propriété qui va nous permettre une dernière transformation de la condition d’intégrabilité : G1(ε) est fermé. En effet, si A est un point limite de G1(ε), tout intervalle contenant A contient des points de G1(ε) et f a une oscillation au moins égale à ε dans cet intervalle.

Pour le nouvel énoncé de la condition d’intégrabilité, je vais faire appel à une notion qu’on retrouvera dans la suite : celle d’ensemble de mesure nulle. C’est un ensemble dont les points peuvent être enfermés dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d’intervalles dont la longueur totale est aussi petite que l’on veut.

Un point, un groupe intégrable sont des exemples d’ensembles de mesure nulle. L’ensemble E formé par la réunion d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles En de mesure nulle est évidemment aussi de mesure nulle ; tout ensemble dénombrable de points est de mesure nulle. Ceci suffit pour montrer la différence qu’il y a entre un ensemble de mesure nulle et un groupe intégrable : le premier peut être partout dense, le second est toujours non dense.

Soit f(x) une fonction intégrable, ses points de discontinuité sont ceux de l’ensemble obtenu par la réunion des groupes intégrables G(1),G(12),G(13),… ; ils forment donc un ensemble de mesure nulle.

Soit maintenant une fonction bornée f(x) dont les points de discontinuité forment un ensemble de mesure nulle. G1(ε) faisant partie de cet ensemble est de mesure nulle, et il est fermé ; nous démontrerons plus tard que cela suffit pour affirmer que G1(ε) est un groupe intégrable. f est intégrable.

Pour qu’une fonction bornée f(x) soit intégrable, il faut et il suffit que l’ensemble de ses points de discontinuité soit de mesure nulle.

Comme exemple de fonction discontinue intégrable, Riemann cite la fonction

f(x)=(x)1+(2x)4+(3x)9+….

Son intégrabilité résulte du fait que les seuls points de discontinuité, étant de la forme x=2p+12n, forment un ensemble dénombrable, donc de mesure nulle ; ou encore, du fait que, l’oscillation étant π28n2 pour x=2p+12n, les points en lesquels l’oscillation est supérieure à ε sont en nombre fini.

Pour avoir une fonction intégrable ayant une infinité non dénombrable de points de discontinuité, reprenons l’ensemble Z qui a été défini précédemment (p. 26). La fonction f(x) admettant la période 1, qui entre 0 et 1 est nulle pour tous les points, sauf pour les points de Z où elle est égale à 1, est intégrable. Ses points de discontinuité forment en effet le groupe intégrable Z ; Z étant parfait a la puissance du continu.

Si l’on veut maintenant que, dans tout intervalle, il y ait un ensemble non dénombrable de points de discontinuité, il suffira d’appliquer le principe de condensation des singularités. On pourra considérer, par exemple, la fonction

φ(x)=f(x)1+f(x2)22+f(x3)32+….

Ses seuls points de discontinuité sont, d’après les propriétés des séries uniformément convergentes, ceux ou certains de ceux des fonctions f(x),f(x2),… ; donc ils forment un ensemble de mesure nulle et φ est intégrable.

Le raisonnement qui précède est général, il permet de démontrer que :

Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est une fonction intégrable.

En effet, les points de discontinuité de la fonction somme sont compris dans l’ensemble E formé des points de discontinuité des différents termes. Les points singuliers d’un terme forment un ensemble de mesure nulle, donc E est de mesure nulle et la série représente une fonction intégrable.

En particulier, la somme de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable. De même le produit de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable, car les points de discontinuité du produit sont points de discontinuité pour l’un au moins des facteurs.

De même aussi, si f est intégrable et que 1f soit bornée, 1f, est intégrable ; si f est intégrable, la racine m arithmétique de f, si elle existe, est intégrable ; si f est positive et intégrable et φ intégrable, fφ est intégrable ; etc.

L’opération f(φ), appliquée à des fonctions intégrables, peut au contraire donner des fonctions non intégrables.

Prenons pour f une fonction partout égale à 1, sauf pour x=0, où elle est nulle. f n’ayant qu’un point de discontinuité est intégrable. φ sera nulle pour x irrationnel et égale à 1q pour x rationnel et égal à pq (p et q premiers entre eux). φ est intégrable puisque ses points de discontinuité, étant ceux d’abscisses rationnelles, forment un ensemble dénombrable.

La fonction f(φ) est ici la fonction χ(x) de Dirichlet (p. 15), fonction non intégrable puisque tous ses points sont des points de discontinuité.

On peut préciser les deux premiers théorèmes qui viennent d’être obtenus. Soient f et φ deux fonctions intégrables ; partageons l’intervalle où elles sont données en parties δ1,δ2,…,δn dans lesquelles nous choisissons des valeurs x1,x2,…,xn. On a

∑δi[f(xi)+φ(xi)]=∑δif(xi)+∑δiφ(xi) ;

or les trois sommes qui figurent dans cette égalité sont des valeurs approchées des intégrales de f+φ, f, φ ; donc l’intégrale de f+φ est la somme des intégrales de f et de φ.

L’intégrale d’une somme est la somme des intégrales. On suppose, bien entendu, qu’il s’agisse d’une véritable somme, c’est-à-dire de la somme d’un nombre fini de termes et non pas d’une série.

Pour arriver au cas des séries uniformément convergentes, il nous sera commode de nous servir du théorème de la moyenne.

Soit f(x) une fonction comprise entre l et L dans (a,b). L’intégrale de f est, on le sait, la limite de la somme S=∑δif(xi), mais on a

(b−a)l=∑δil≦∑δif(xi)≦∑δiL=(b−a)L.

Donc S, et par suite sa limite, l’intégrale, est comprise entre (b−a)l et (b−a)L ; elle est donc de la forme (b−a)μ, où μ est compris entre l et L ; c’est le théorème de la moyenne.

Ce qui le distingue du théorème des accroissements finis, démontré pour les fonctions continues, c’est qu’il nous est impossible d’affirmer que μ est l’une des valeurs que prend f dans (a,b).

De ce théorème il résulte que, si le module de f est inférieur à ε, l’intégrale de f est en module inférieure à |b−a|ε.

Ceci posé, soit une fonction f somme d’une série uniformément convergente de fonctions intégrables

f=u1+u2+…+un+….

Soient sn la somme des n premiers termes, rn le reste correspondant, F, Un, Sn, Rn les intégrales de f, un, sn, rn. Sn est la somme des n premiers termes de la série

U1+U2+…+Un,

d’après le théorème sur l’intégration d’une somme. Ce même théorème montre que

F=Sn+Rn.

Or, dès que n est plus grand que n1, rn est en module inférieur à ε, donc Rn est en module inférieur à |b−a|ε. Dès que n est plus grand que n1, |F−Sn| est inférieur à |b−a|ε. La série ∑Un est donc convergente et de somme F.

Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est intégrable terme à terme.

Les théorèmes précédents ne sont démontrés que dans le cas où l’intervalle (a,b) est un intervalle positif (b>a), puisque l’intégrale n’a été définie que dans ce cas. On complète la définition comme précédemment.

L’intégrale dans (a,b) se notant toujours ∫abf(x)dx, la définition complémentaire s’exprime par l’égalité

∫abf(x)dx+∫baf(x)dx=0.

Il est évident que les théorèmes précédemment démontrés pour les intervalles positifs sont vrais aussi pour les intervalles négatifs.

J’ajoute qu’on vérifie immédiatement que

∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx+∫caf(x)dx=0.

La définition qui vient de nous occuper a été obtenue en appliquant, à des fonctions discontinues, le procédé de calcul des intégrales de fonctions continues. Nous savons qu’il existe des fonctions bornées, les fonctions non intégrables, pour lesquelles ce procédé ne conduit pas à un nombre déterminé. Mais on peut cependant, à l’aide de ce procédé, attacher à chaque fonction bornée deux nombres parfaitement définis.

Nous avons vu (p. 25) que les sommes S‾=∑δiLi, tendent vers une limite parfaitement déterminée quand les δi tendent vers zéro d’une manière quelconque, cette limite est l’un des deux nombres dont il s’agit ; on l’appelle l’intégrale par excès et on le représente par le symbole ∫abf(x)dx‾, qui s’énonce : intégrale par excès de a à b de f(x).

De la même manière, on peut démontrer l’existence d’une limite pour les sommes S=∑δili. D’ailleurs, en étudiant l’oscillation moyenne (p. 22), nous avons vu que ∑δiωi tend vers une limite parfaitement déterminée (b−a)ω et comme l’on a

S‾−S=∑δiωi,

l’existence de la limite de S est démontrée. C’est l’intégrale par défaut qu’on note ∫abf(x)dx.

Ces deux nombres ont été définis pour la première fois, d’une façon précise, par Darboux.

Pour compléter leurs définitions, données seulement pour b>a, on pose

∫ab‾+∫ba‾=0,∫ab+∫ba=0.

Il faut remarquer que, dans un intervalle négatif, l’intégrale par excès est plus petite que l’intégrale par défaut.

On a toujours

∫ab‾+∫bc‾+∫ca‾=0,∫ab+∫bc+∫ca=0.

mais, l’intervalle d’intégration étant positif, on a

∫(f+φ)‾≦∫f‾+∫φ‾=0,∫(f+φ)+∫f+∫φ=0.

comme on le voit par un raisonnement analogue à celui de la page 31, et non pas les mêmes relations où les signes d’inégalité sont remplacés par des signes d’égalité ; les signes d’inégalité sont indispensables ; par exemple, prenons f(x)=χ(x) (p. 15), et φ(x)=−χ(x) ; nous aurons, dans (0,1),

∫f‾=1,∫φ‾=∫f+φ‾=1,∫f=∫f+φ=0,∫φ=−1.

L’intégrale a été définie comme la limite du nombre

S=∑δif(xi)

quand le maximum λ des δi tend vers zéro. Posons S=ψ(λ), nous définissons ainsi une fonction à déterminations multiples (p. 21). Les limites d’indétermination de la limite de ψ(λ) pour λ=0 sont les deux intégrales par excès et par défaut. Ceci fait prévoir que ces deux intégrales nous feront souvent connaître des limites inférieure et supérieure d’un nombre quand on saura que ce nombre est donné par l’intégrale ∫fdx toutes les fois que f est intégrable.

Pour mieux étudier l’indétermination de la limite de S, il faudrait déterminer l’ensemble A de toutes les valeurs limites de S. Pour le cas de l’intégrale, on a cette propriété que je me contenterai d’énoncer : Tout nombre compris entre les intégrales par excès et par défaut est l’une des limites des sommes S, quand λ tend vers zéro.

f(0)=0,f(x)=1xpourx≠0.

Sauf avis contraire, je me servirai toujours de la définition du texte.

Je crois qu’il vaut mieux adopter le langage du texte, plus conforme aux idées modernes sur la détermination des fonctions.

(b−a)ω=∫f(x)dx‾−∫f(x)dx=∫L(x)dx‾−∫l(x)dx=∫ω(x)dx‾.

Les mêmes relations sont vraies si, dans la définition de L(x), l(x), ω(x), on exclut la valeur x de la variable, ou si, par ces notations, on désigne les limites supérieure, inférieure et l’oscillation à droite ou à gauche, x étant exclu ou non. (Voir la note 1, p. 19.)