Chapitre VII

Les applications classiques de l’intégration des fonctions continues, les applications faites précédemment de l’intégration au sens de Riemann ou au sens de Duhamel et Serret, suffisent pour mettre en évidence le rôle de certaines propriétés simples, conséquences de toutes les définitions de l’intégrale déjà étudiées, et pour convaincre que ces propriétés doivent nécessairement appartenir à l’intégrale, si l’on veut qu’il y ait quelque analogie entre cette intégrale et l’intégrale des fonctions continues.

C’est pourquoi nous nous proposons d’attacher à toute fonction bornée f(x), définie dans un intervalle fini (a,b), positif, négatif ou nul, un nombre fini, ∫abf(x)dx, que nous appelons l’intégrale de f(x) dans (a,b) et qui satisfait aux conditions suivantes :

1. Quels que soient a, b, h, on a

∫abf(x)dx=∫a+hb+hf(x−h)dx ;

2. Quels que soient a, b, c, on a

∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx+∫caf(x)dx=0 ;

3.

∫ab[f(x)+φ(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abφ(x)dx ;

4. Si l’on a f≧0 et b>a, on a aussi

∫abf(x)dx≧0 ;

5. On a

∫011×dx=1 ;

6. Si fn(x) tend en croissant vers f(x), l’intégrale de fn(x) tend vers celle de f(x).

La signification, la nécessité et les conséquences des cinq premières conditions de ce problème d’intégration sont à peu près évidentes ; nous ne nous y étendrons pas.

La condition 6 a une place à part. Elle n’a ni le même caractère de simplicité que les cinq premières ni le même caractère de nécessité. De plus, tandis qu’il est facile de construire des nombres satisfaisant à quatre quelconques des cinq premières conditions, sans satisfaire à toutes les cinq, ce qui montre que ces cinq conditions sont indépendantes, on ne sait pas si les six conditions du problème d’intégration sont indépendantes ou non.

En énonçant les six conditions du problème d’intégration, nous définissons l’intégrale. Cette définition appartient à la classe de celles que l’on peut appeler descriptives ; dans ces définitions, on énonce des propriétés caractéristiques de l’être que l’on veut définir. Dans les définitions constructives, on énonce quelles opérations il faut faire pour obtenir l’être que l’on veut définir. Ce sont les définitions constructives qui sont le plus souvent employées en Analyse ; cependant on se sert parfois de définitions descriptives ; la définition de l’intégrale, d’après Riemann, est constructive, la définition des fonctions primitives est descriptive.

Lorsque l’on a énoncé une définition constructive, il faut démontrer que les opérations indiquées dans cette définition sont possibles ; une définition descriptive est aussi assujettie à certaines conditions : il faut que les conditions énoncées soient compatibles. Le procédé jusqu’ici toujours employé pour démontrer que des conditions sont compatibles est le suivant : on choisit dans une classe d’êtres antérieurement définis des êtres jouissant de toutes les propriétés énoncées. Cette classe d’êtres est généralement la classe des nombres entiers ; on admet que la définition descriptive de ces nombres ne contient pas de contradiction.

Il faut aussi étudier la nature de l’indétermination des êtres que l’on vient de définir. Supposons, par exemple, que l’on ait démontré l’impossibilité de l’existence de deux classes différentes d’êtres satisfaisant aux conditions indiquées, et que, de plus, on ait démontré la compatibilité de ces conditions en choisissant une classe d’êtres y satisfaisant ; cette classe d’êtres sera la seule définie, de sorte que la définition constructive qui a servi à effectuer le choix est exactement équivalente à la définition descriptive donnée.

Nous allons rechercher une définition constructive équivalente à la définition descriptive de l’intégrale.

On démontrera d’abord sans peine en s’appuyant sur les conditions 3 et 4 que l’on a la condition S

lorsque k est une constante. Ceci posé, soit f(x) une fonction quelconque, nous désignerons par E[α<f(x)<β] l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a α<f(x)<β, et par E[f(x)=α] l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a f(x)=α.

Soit (l,L) l’intervalle de variation de f(x) ; partageons cet intervalle en intervalles partiels à l’aide des nombres

l0=l<l1<l2<…<ln=L,

supposons que li+1−li ne soit jamais supérieur à ε.

Désignons par ψi (i=0,1,2,…,n) la fonction égale à 1 quand x appartient à E[f(x)=li], ou à E[li<f(x)<li+1], et nulle pour les autres points ; désignons par Ψi (i=0,1,2,…,n) la fonction égale à 1 quand x appartient à E[li−1<f(x)<li], ou à E[f(x)=li] et nulle pour les autres points. On a évidemment

φ(x)=∑i=0i=nliψi(x)≦f(x)≦∑i=0i=nliΨi(x)=Φ(x).

Lorsque nous saurons intégrer les fonctions ψ qui ne prennent que les valeurs 0 et 1, nous en déduirons, grâce aux conditions 3 et S, les intégrales des φ(x) et Φ(x), lesquelles comprennent l’intégrale de f(x) (conditions 3, 4).

De plus φ(x) et Φ(x) diffèrent de f(x) de ε au plus, donc tendent uniformément vers f(x) quand ε tend vers zéro ; il est facile d’en conclure que leurs intégrales tendent vers celle de f(x).

En effet, si les limites inférieure et supérieure de g(x) sont l et L, d’après 3 et 4, ∫abg(x)dx est comprise entre

∫abldx=l∫abdxet∫abLdx=L∫abdx ;

faisons maintenant

g(x)=f(x)−φ(x),

on a

ε≧L≧l≧0,

donc l’intégrale de g(x) est inférieure en module à ε∫abdx, quantité qui tend vers zéro avec ε.

Pour savoir calculer l’intégrale d’une fonction quelconque, il suffit de savoir calculer les intégrales des fonctions ψ qui ne prennent que les valeurs 0 et 1.

Il faut remarquer que nous avons démontré incidemment la possibilité d’intégrer terme à terme les séries uniformément convergentes, si le problème d’intégration est possible.

La quantité ∫abdx qui figure dans la démonstration précédente se calcule facilement ; en se servant de 1, de 2 et de 5, on voit qu’elle est égale à b−a.

Si la fonction f(x) est comprise entre l et L, son intégrale dans (a,b) est comprise entre l(b−a) et L(b−a) ; c’est le théorème de la moyenne.

Si nous appliquons ce théorème après avoir décomposé (a,b) en intervalles partiels, nous trouvons que ∫abf(x)dx est comprise entre les sommes qui servent à définir les intégrales par défaut et par excès ; l’intégrale est donc comprise entre les intégrales par défaut et par excès. En particulier, si le problème d’intégration est possible, pour les fonctions intégrables au sens de Riemann, il n’admet pas d’autre solution que l’intégrale de Riemann.

Occupons-nous maintenant des fonctions ψ qui ne prennent que les valeurs 0 et 1. Une telle fonction est entièrement définie par l’ensemble E[ψ(x)=1] des valeurs où elle est différente de 0 ; l’intégrale d’une telle fonction, dans un intervalle positif, est un nombre positif ou nul qu’on peut considérer comme attaché à la partie de l’ensemble E[ψ(x)=1] comprise dans l’intervalle d’intégration. Si l’on traduit en langage géométrique les conditions du problème d’intégration des fonctions ψ, on a un nouveau problème, le problème de la mesure des ensembles.

Pour l’énoncer, je rappelle que deux ensembles de points sur une droite sont dits égaux si, par le déplacement de l’un d’eux, on peut les faire coïncider, qu’un ensemble E est dit la somme des ensembles e si tout point de E appartient à l’un au moins des e. Voici la question à résoudre :

Nous nous proposons d’attacher à chaque ensemble E borné, formé de points de ox, un nombre positif ou nul, m(E), que nous appelons la mesure de E et qui satisfait aux conditions suivantes :

1′. Deux ensembles égaux ont même mesure ;

2′. L’ensemble somme d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles, sans point commun deux à deux, a pour mesure la somme des mesures ;

3′. La mesure de l’ensemble de tous les points de (0, 1) est 1.

La condition 3′ remplace la condition 5 ; la condition 2′ provient de l’application des conditions 3 et 6 à la série

ψ=ψ1+ψ2+…,

dans laquelle tous les termes et la somme sont des fonctions ψ ; quant à la condition 1′ c’est la condition 1. Une explication est cependant nécessaire ; il y a deux espèces d’ensembles égaux : ceux que l’on peut faire coïncider par un glissement de ox et ceux que l’on peut faire coïncider par une rotation de π autour d’un point de ox ; c’est aux premiers seulement que s’applique la condition 1′. Je n’ai pas mis cette restriction dans l’énoncé parce que, dans les raisonnements suivants, on peut s’astreindre à ne pas employer d’autres déplacements que des glissements et cependant on obtiendra toujours pour deux ensembles égaux de l’une ou l’autre manière des mesures égales.

Une conséquence simple des conditions 1′, 2′, 3′ est que tout intervalle positif (a,b) a pour mesure sa longueur b−a, que les extrémités fassent ou non partie de l’intervalle.

Si l’on se reporte au Chapitre III, on voit immédiatement que, si le problème de la mesure est possible, on a

ei(E)≦m(E)≦ee(E) ;

pour les ensembles mesurables J, le problème de la mesure est possible au plus d’une manière et la mesure est l’étendue au sens de M. Jordan.

Soit maintenant un ensemble quelconque E, nous pouvons enfermer ses points dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d’intervalles ; la mesure de l’ensemble des points de ces intervalles est, d’après 2′, la somme des longueurs des intervalles ; cette somme est une limite supérieure de la mesure de E. L’ensemble de ces sommes a une limite inférieure me(E), la mesure extérieure de E, et l’on a évidemment

m(E)≦me(E)≦ee(E).

Soit CAB(E) le complémentaire de E par rapport à AB, c’est-à-dire l’ensemble des points ne faisant pas partie de E et faisant partie d’un segment AB de ox contenant E. On doit avoir

m(E)+m[CAB(E)]=m(AB),

donc

m(E)=m(AB)−m[CAB(E)]≧m(AB)−me[CAB(E)] ;

la limite inférieure ainsi trouvée pour m(E), limite qui est nécessairement positive ou nulle, s’appelle la mesure intérieure de E, mi(E) ; elle est évidemment supérieure ou au moins égale à l’étendue intérieure de E.

Pour comparer les deux nombres me, mi, nous nous servirons d’un théorème dû à M. Borel :

Si l’on a une famille d’intervalles Δ tels que tout point d’un intervalle (a,b), y compris a et b, soit intérieur à l’un au moins

des Δ, il existe une famille formée d’un nombre fini des intervalles Δ et qui jouit de la même propriété [tout point de (a,b) est intérieur à l’un d’eux].

Soit (α,β) l’un des intervalles Δ contenant a, la propriété à démontrer est évidente pour l’intervalle (a,x), si x est compris entre α et β ; je veux dire que cet intervalle peut être couvert à l’aide d’un nombre fini d’intervalles Δ, ce que j’exprime en disant que le point x est atteint. Il faut démontrer que b est atteint. Si x est atteint, tous les points de (a,x) le sont ; si x n’est pas atteint, aucun des points de (x,b) ne l’est. Il y a donc, si b n’est pas atteint, un premier point non atteint, ou un dernier point atteint ; soit x0 ce point. Il est intérieur à un intervalle Δ, (α1,β1). Soient x1 un point de (α1,x), x2 un point de (x,β) ; x1 est atteint par hypothèse, les intervalles Δ en nombre fini qui servent à l’atteindre, plus l’intervalle (α1,β1), permettent d’atteindre x2>x0 ; x0 n’est donc ni le dernier point atteint, ni le premier non atteint ; donc b est atteint.

Du théorème de M. Borel il résulte que si l’on a couvert tout un intervalle (a,b) à l’aide d’une infinité dénombrable d’intervalles Δ, la somme des longueurs de ces intervalles est au moins égale à la longueur de l’intervalle (a,b). En effet, on peut aussi couvrir (a,b) à l’aide d’un nombre fini des intervalles Δ et le théorème, étant évidemment vrai quand on ne considère que ces intervalles en nombre fini, l’est a fortiori quand on considère tous les intervalles Δ.

Reprenons maintenant l’ensemble E et son complémentaire CAB(E). Enfermons le premier dans une infinité dénombrable d’intervalles α, le second dans les intervalles α, on a

m(α)+m(β)≧m(AB),

puisque AB est couvert par les intervalles α et β. De là, on déduit

me(E)+me[CAB(E)]≧m(AB),me(E)≧m(AB)−me[CAB(E)],me(E)≧mi(E).

La mesure intérieure n’est jamais supérieure à la mesure extérieure.

Les ensembles dont les deux mesures extérieure et intérieure sont égales sont dits mesurables et leur mesure est la valeur commune des me et mi. Il reste à rechercher si cette mesure satisfait bien aux conditions 1′, 2′, 3′. Cela est évident pour 1′ et 3′, reste à étudier la condition 2′.

Soient E1,E2,… des ensembles mesurables, en nombre fini ou dénombrable, n’ayant deux à deux aucun point commun, et soit E l’ensemble somme.

On peut enfermer Ei dans une infinité dénombrable d’intervalles αi et CAB(Ei) dans des intervalles βi de manière que la mesure des parties communes aux αi et βi soit égale à εi ; les ε étant des nombres positifs choisis de manière que la série ∑εi soit convergente et de somme ε.

Soient α'2, β'2 les parties des α2 et β2 qui sont contenues dans les intervalles β1, soient α'3, β'3 les parties des α3, β3 qui sont contenues dans les β'2 et ainsi de suite. Ei est enfermé dans α'i. E est donc enfermé dans α1+α'2+…, sa mesure extérieure est donc au plus égale à la somme m(α1)+m(α'2)+m(α'3)+…=s ; évaluons cette somme. On a évidemment

m(α1)+m(β1)=m(AB)+ε1,m(α'i)+m(β'i)≦m(β'i−1)+εi,

et ceci suffit pour montrer que la série s est convergente ; d’ailleurs on a

m(Ei)≦m(α'i)≦m(αi)≦m(Ei)+εi,

donc s est comprise entre ∑m(Ei) et ∑m(Ei)+ε. Cela donne

me(E)≦∑m(Ei).

Le complémentaire de E, CAB(E), peut être enfermé dans β'i ; or β'i a, en commun avec α1+α'2+α'3+…, les intervalles α'i+1+α'i+2+…, plus une partie des intervalles communs, à α1, βi, une partie de ceux communs à α2, β2, …, une partie de ceux communs à αi, βi. β'i a donc une mesure au plus égale à

[m(AB)−s]+ε1+ε2+…+εi+m(α'i+1)+m(α'i+2)+…,

et, par suite,

me[CAB(E)]≦m(AB)−∑m(Ei),

c’est-à-dire

mi(E)≧∑m(Ei).

L’ensemble E est donc mesurable et de mesure ∑m(Ei), la condition 2′ est bien vérifiée.

L’ensemble des ensembles mesurables contient l’ensemble des ensembles mesurables J, mais il est beaucoup plus vaste, comme on va le voir. On peut, en effet, sans sortir de l’ensemble des ensembles mesurables, effectuer sur des ensembles mesurables les deux opérations suivantes :

I. Faire la somme d’une infinité dénombrable d’ensembles ;

II. Prendre la partie commune à tous les ensembles d’une famille contenant un nombre fini ou une infinité dénombrable d’ensembles.

Pour le démontrer, remarquons d’abord que la seconde opération ne diffère pas essentiellement de la première, car si E est la partie commune à E1,E2,…, C(E) est la somme de C(E1),C(E2),…. Il suffit donc de s’occuper de la première ; soit

E=E1+E2+E3+….

Si E'i est l’ensemble des points de Ei ne faisant pas partie de E1+E2+…+Ei−1, on a

E=E1+E'2+…,

les termes de la somme étant sans point commun deux à deux. Or, il est facile de voir que E'2 est mesurable ; en effet, enfermons E1 dans les intervalles α1, C(E1) dans les intervalles β1, E2 dans α2, C(E2) dans β2 et soient ε1 et ε2 les longueurs des parties communes aux α1 et β1 d’une part, aux α2 et β2 d’autre part. Si α'2 et β'2 sont les parties des α2 et β2 communes aux β1, E'2 peut être enfermé dans α'2 et C(E'2) dans α1+β'2 et les parties communes à ces deux systèmes d’intervalles ont une mesure au plus égale à ε1+ε2, donc E'2 est mesurable. De là résulte que

E1+E2=E1+E'2,

est mesurable, donc que E'3, partie de E3 n’appartenant pas à l’ensemble mesurable E1+E2, est mesurable et ainsi de suite. Tous les E'i sont mesurables, E l’est.

Un intervalle étant un ensemble mesurable, en appliquant les opérations I et II un nombre fini de fois à partir d’intervalles nous obtenons des ensembles mesurables ; ce sont ceux-là que M. Borel avait nommés ensembles mesurables, appelons-les ensembles mesurables B. Ce sont les plus importants des ensembles mesurables ; tandis que, pour un ensemble quelconque, nous pouvons seulement affirmer l’existence des deux nombres me, mi, sans pouvoir dire quelle suite d’opérations il faut effectuer pour les calculer, il est facile d’avoir la mesure d’un ensemble mesurable B en suivant pas à pas la construction de cet ensemble. On se servira de la propriété 2′ toutes les fois qu’on utilisera l’opération I ; quand on se servira de l’opération II, on emploiera un théorème dont la démonstration est immédiate :

La mesure de la partie commune à des ensembles E1,E2,… est la limite de m(Ei) si chaque ensemble Ei contient tous ceux d’indice plus grand.

Les ensembles fermés sont mesurables B parce qu’ils sont les complémentaires d’ensembles formés des points intérieurs à un nombre fini ou à une infinité dénombrable d’intervalles. Soit E un tel ensemble, la mesure de son complémentaire est évidemment l’étendue intérieure de ce complémentaire, donc la mesure d’un ensemble fermé est son étendue extérieure. De là découle la propriété qui nous a servi : un ensemble fermé de mesure nulle est un groupe intégrable (p. 29).

Comme application de ces considérations théoriques, calculons la mesure de l’ensemble E1 des points de (0, 1) tels que la suite de leurs chiffres décimaux de rang impair soit périodique (p. 92). Soit

un tel nombre, écrivons-le

y est rationnel, l’ensemble des nombres y est dénombrable. À chaque nombre rationnel y correspond un ensemble de nombres x ayant même mesure que l’ensemble des nombres z dont les chiffres de rang impair sont nuls. Pour démontrer que E est mesurable et de mesure nulle, il suffit donc de démontrer que l’ensemble des nombres z jouit de cette propriété. Or cet ensemble s’obtient en enlevant de (0, 1) l’intervalle (110,1), puis de (0,110) les intervalles (p102+1103,p+1102), où p est un entier inférieur à 10, puis de chaque intervalle restant (p102,p102+1103) les intervalles (p102+q104+1105,p102+q+1104), et ainsi de suite. À chaque opération nous enlevons les 9/10 des intervalles qui restent. L’ensemble des z est donc mesurable B et de mesure nulle.

Pour que les considérations précédentes nous permettent d’attacher une intégrale à une fonction f(x), il faut que, si petit que soit ε, nous puissions trouver les nombres li (p. 101) tels que, ou les fonctions ψi correspondantes, ou les Ψi, soient associées à des ensembles mesurables. Supposons que les ensembles correspondant aux ψi soient mesurables, et soient α et β deux nombres quelconques. À un nombre ε correspond un certain système de nombres li ; soient lp le plus petit de ceux qui sont compris entre α et β et lp+q le plus grand. L’ensemble

E(ψp=1)+E(ψp+1=1)+…+E(ψp+q=1)=E(ε)

est mesurable ; or quand on donne à ε une suite de valeurs décroissantes tendant vers zéro ε1,ε2,…, on a

E[α<f(x)<β]=E(ε1)+E(ε2)+…,

donc E[α<f(x)<β] est mesurable.

Nous dirons qu’une fonction bornée ou non est mesurable si, quels que soient α et β, l’ensemble E[α<f(x)<β] est mesurable. Lorsqu’il en est ainsi, l’ensemble E[f(x)=α] est aussi mesurable, car il est la partie commune aux ensembles E[α−h<f(x)<α+h] quand h tend vers zéro. On verrait aussi que, pour qu’une fonction soit mesurable, il faut et il suffit que l’ensemble E[α<f(x)] soit mesurable, quel que soit α.

La somme de deux fonctions mesurables est une fonction mesurable. Soient les deux fonctions mesurables f1 et f2 ; à tout nombre ε faisons correspondre une division de leur intervalle de variation, fini ou non, à l’aide de nombres li, tels que li+1−li soit au plus égale à ε, et considérons les ensembles Eij de valeurs de x, tels que l’on ait à la fois

li<f1(x),lj<f2(x)(li+lj>α).

La somme E(ε) des ensembles Eij est mesurable, puisque chacun d’eux l’est ; et si l’on donne à ε des valeurs εi tendant vers zéro, on a

E[α<f1+f2]=E(ε1)+E(ε2)+…,

donc f1+f2 est une fonction mesurable.

On démontrerait de même que l’on peut effectuer, sur des fonctions mesurables, toutes les opérations dont il a été parlé au sujet des fonctions intégrables (p. 30) sans cesser d’obtenir des fonctions mesurables. Mais il y a plus : la limite d’une suite convergente de fonctions mesurables est une fonction mesurable ; si fn tend vers f, l’ensemble E[α≦f(x),α<f(x)] est la somme des ensembles En, En étant la partie commune aux ensembles E[fn(x)<α],E[fn+1(x)<α],…, et tous ces ensembles sont mesurables si les fonctions fn sont mesurables.

Appliquons ces résultats ; les deux fonctions f=const., f=x sont évidemment mesurables, donc tout polynôme est mesurable. Toute fonction limite de polynômes est aussi mesurable : donc, d’après un théorème de Weierstrass, toute fonction continue est mesurable. Les fonctions discontinues limites de fonctions continues, que M. Baire appelle fonctions de première classe, sont mesurables. Les fonctions qui ne sont pas de première classe et qui sont limites de fonctions de première classe (M. Baire les appelle fonctions de seconde classe) sont des fonctions mesurables.

Remarquons encore que les fonctions ainsi formées de proche en proche sont mesurables B, c’est-à-dire que les ensembles qui leur correspondent sont mesurables B ; ce sont ces fonctions que nous rencontrerons uniquement.

On peut souvent démontrer qu’une fonction est mesurable en se servant de la propriété suivante : si en faisant abstraction d’un ensemble de valeurs de x de mesure nulle, la fonction f(x) est continue, elle est mesurable. Car les points limites de l’ensemble E[α≦f(x)] qui ne font pas partie de cet ensemble font nécessairement partie de l’ensemble de mesure nulle négligé, donc ils forment un ensemble de mesure nulle. L’ensemble E[α≦f(x)], étant fermé à un ensemble de mesure nulle près, est mesurable. On voit ainsi, en particulier, que toute fonction intégrable au sens de Riemann est mesurable ; on voit aussi que la fonction χ(x) de Dirichlet, qui est non intégrable, est mesurable.

Définissons maintenant l’intégrale d’une fonction mesurable bornée en supposant l’intervalle d’intégration (a,b) positif. Nous savons que, s’il s’agit d’une fonction ψ, cette intégrale est

m[E(ψ=1)],

et que, s’il s’agit d’une fonction f(x) quelconque, l’intégrale doit être la limite commune des intégrales de φ et Φ (p. 101) quand le maximum de li+1−li tend vers zéro. D’après les conditions du problème d’intégration, ces intégrales sont

σ=∑i=0i=n−1li(m{E[f(x)=li]}+m{E[li<f(x)<li+1]}),Σ=∑i=1i=nli(m{E[li−1<f(x)<li]}+m{E[f(x)=li]}).

Nous savons déjà que ces deux nombres diffèrent de moins de ε(b−a) parce que Φ−φ est inférieure à ε. Si nous faisons tendre ε vers zéro, en intercalant entre les li de nouveaux nombres, alors σ croît, Σ décroît, Σ−σ tend vers zéro ; donc σ et Σ ont une même limite.

Soient σ1,Σ1;σ2,Σ2;… les sommes obtenues par ce procédé ; soient σ'1,Σ'1;σ'2,Σ'2;… les sommes obtenues en faisant tendre ε vers zéro d’une autre manière ; soient σ′'1,Σ′'1 les sommes obtenues en réunissant les nombres li donnant σ1,Σ1 et σ'1,Σ'1 ; soient σ′'2,Σ′'2 celles obtenues en réunissant les li donnant σ2,Σ2 ; σ'1,Σ'1 ; σ'2,Σ'2 ; et ainsi de suite. On a évidemment

σi≦σ′'i≦Σ′'i≦Σi,σ'i≦σ′'i≦Σ′'i≦Σ'i ;

la seconde de ces inégalités montre que σ'i et Σ'i ont la même limite que σ′'i et Σ′'i, car nous savons que σ′'i et Σ′'i ont une limite et que Σ'i−σ'i tend vers zéro. La première montre que cette limite est aussi celle de σi et Σi.

La valeur de l’intégrale est donc indépendante de la manière dont le maximum de li+1−li tend vers zéro.

Nous complétons cette définition en posant

∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx.

Il reste à voir si l’intégrale satisfait bien aux conditions du problème d’intégration ; il nous suffit évidemment d’examiner les conditions 3 et 6.

Lorsque l’on additionne deux fonctions ne prenant chacune qu’un nombre fini de valeurs différentes, comme les fonctions φ et Φ de la page 101, la condition 3 est évidemment vérifiée. Soient maintenant f1 et f2 deux fonctions mesurables bornées ; nous savons que f1 et f2 diffèrent de moins de ε de deux fonctions φ1 et φ2 de la nature de celles dont il vient d’être parlé, donc f1+f2 diffère de moins de 2ε de φ1+φ2 ; ∫ab(f1+f2)dx diffère de moins de 2ε|b−a| de ∫ab(φ1+φ2)dx=∫abφ1dx+∫abφ2dx, c’est-à-dire de moins de 4ε|b−a| de ∫abf1dx+∫abf2dx. La condition 3 est donc bien remplie.

La condition 6 est aussi remplie, car on a la propriété suivante :

Si les fonctions mesurables fn(x), bornées dans leur ensemble, c’est-à-dire quels que soient n et x, ont une limite f(x), l’intégrale de fn(x) tend vers celle de f(x).

En effet, nous savons que f(x) est intégrable ; évaluons

∫ab[f(x)−fn(x)]dx.

Si l’on a toujours |fn(x)|<M et si f−fn est inférieure à ε dans En, f−fn, étant inférieure à la fonction égale à ε dans En et à M dans C(En), a une intégrale au plus égale en module à

εm(En)+Mm[C(En)].

Mais ε est quelconque, et m[C(En)] tend vers zéro avec 1n parce qu’il n’y a aucun point commun à tous les En, donc

∫ab(f−fn)dx

tend vers zéro. La propriété est démontrée.

Une autre forme de ce théorème est la suivante :

Si tous les restes d’une série de fonctions mesurables sont en module inférieurs à un nombre fixe M, la série est intégrable terme à terme.

Les définitions et les résultats précédents peuvent être étendus à certaines fonctions non bornées. Soit f(x) une fonction mesurable non bornée. Choisissons des nombres …,l−2,l−1,l0,l1,l2,…, en nombre infini, échelonnés de −∞ à +∞ et tels que li+1−li soit toujours inférieur à ε. Nous pouvons former les deux séries, infinies dans les deux sens,

σ=∑−∞+∞lim{E[li≦f(x)<li+1]},Σ=∑−∞+∞lim{E[li−1<f(x)≦li]}.

En reprenant les raisonnements précédents, on voit immédiatement que, si l’une d’elles est convergente, et par suite absolument convergente, l’autre l’est aussi et que, dans ces conditions, σ et Σ tendent vers une limite bien déterminée quand le maximum de li+1−li tend vers zéro d’un manière quelconque. Cette limite est, par définition, l’intégrale de f(x) dans l’intervalle positif d’intégration ; on passe de là à un intervalle négatif comme précédemment.

Nous appellerons fonctions sommables les fonctions auxquelles s’applique la définition constructive de l’intégrale ainsi complétée. Toute fonction mesurable bornée est sommable.

Les raisonnements employés montrent que le problème d’intégration est possible et d’une seule manière, si on le pose pour les fonctions sommables.

On ne connaît aucune fonction bornée non sommable, il est facile au contraire de citer des fonctions non bornées non sommables. La fonction nulle pour x=0 et égale à

(x2sin⁡1x2)′=2xsin⁡1x2−2xcos⁡1x2

en est un exemple ; cependant cette fonction peut être intégrée par les méthodes de Cauchy et de Dirichlet développées au Chapitre I. On pourra, dans certains cas, appliquer ces méthodes aux fonctions non sommables pour définir leur intégrale ; je n’insisterai pas sur cette généralisation.

Voici une dernière définition ; si une fonction f(x) est définie dans un ensemble E, nous dirons qu’elle est sommable dans E si la fonction f1, égale à f pour les points de E et à 0 pour les points de CAB(E), a une intégrale dans AB, qui sera, par définition, l’intégrale de f sur E. Donc, si un ensemble E est la somme d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles mesurables Ei, sans point commun deux à deux, on a

∫E=∫E1+∫E2+… ;

cela est évident si la fonction sommable considérée est bornée ; on le démontrera sans peine pour une fonction sommable quelconque.

La définition constructive de l’intégrale à laquelle nous venons d’arriver est analogue à la définition développée au Chapitre II ; seulement, pour calculer une valeur approchée de l’intégrale, au lieu de se donner comme dans ce Chapitre une division de l’intervalle de variation de x nous nous sommes donné une division de l’intervalle de variation de f(x). Recherchons maintenant s’il est possible d’obtenir une définition analogue à celle du Chapitre III.

Cela suppose résolu le problème de la mesure des ensembles formés de points dans un plan, problème que l’on pose comme pour le cas de la droite, la condition 3′ devenant : la mesure de l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient les inégalités

est 1.

On démontrera facilement que la mesure d’un carré est son aire, au sens élémentaire du mot. De là on déduira que la mesure d’un ensemble quelconque est comprise entre sa mesure extérieure et sa mesure intérieure, mesures qu’on définira comme dans le cas de la droite, les carrés remplaçant les intervalles.

Pour démontrer que la mesure intérieure ne surpasse jamais la mesure extérieure, il faudra démontrer qu’un carré C ne peut être couvert à l’aide d’un nombre fini de carrés ci que si la somme des aires des ci est au moins égale à l’aire de C, ce que l’on peut faire élémentairement ; puis il faudra démontrer le théorème de M. Borel lorsqu’on remplace dans son énoncé le mot intervalle par le mot carré ou le mot domaine.

La démonstration peut se faire comme pour le cas de la droite, mais je veux, à cette occasion, indiquer comment on peut employer la courbe de M. Peano et les autres courbes analogues (p. 44). Soit le domaine D dont tout point (ainsi que les points frontières) soit intérieur à l’un des domaines Δ. Nous pouvons définir, à l’aide d’un paramètre t variant de 0 à 1, une courbe C qui remplit le domaine D et qui ne passe par aucun point extérieur. Chaque domaine Δ découpe sur C des arcs correspondant à certains intervalles de variation pour t, soient δ ces intervalles. Un domaine Δ peut d’ailleurs avoir des points de sa frontière communs avec C, ces points ne formant pas d’intervalles ; nous négligeons ces points et nous ne nous occupons que des intervalles. (0, 1) est évidemment couvert avec les δ, donc avec un nombre fini d’entre eux, d’après le théorème de M. Borel pour le cas de la droite, et, par suite, D est couvert avec les Δ en nombre fini qui correspondent à ces δ.

Cette propriété démontrée, la suite des raisonnements et des définitions se poursuit comme dans le cas de la droite, les intervalles étant toujours remplacés par des carrés. Comme dans le cas de la droite on définit les ensembles mesurables, les ensembles mesurables B, et l’on démontre à leur sujet les mêmes propriétés.

Il ne faut pas confondre la mesure des ensembles de points dans le plan avec celle des ensembles de points d’une droite ; nous les distinguerons lorsqu’il y aura doute en les qualifiant mesure superficielle ms et mesure linéaire ml.

Arrivons à la définition de l’intégrale.

Àtoute fonction f(x) attachons les deux ensembles superficiels E1[f(x)],E2[f(x)] (Chap. III, p. 46) ; par analogie avec ce qui a été fait précédemment, il est naturel d’appeler intégrale de la fonction f la quantité}}

I=ms[E1(f)]−ms[E2(f)].

Étudions dans quels cas cette définition s’applique ; nous allons démontrer que c’est lorsque la fonction f est mesurable et seulement dans ce cas. Pour cela, il suffira évidemment de le démontrer pour la fonction φ(x) égale à f(x) quand f(x) n’est pas négative, et nulle quand f(x) est négative ; c’est de cette fonction φ(x) que nous allons nous occuper.

Quand on fait décroître α, l’ensemble linéaire E(φ≧α) ne perd aucun point, de là on déduit que les mesures linéaires inférieure et supérieure ml,i[E(φ≧α)] et ml,e[E(φ≧α)] sont des fonctions non croissantes. De plus, E(φ≧α) est l’ensemble des points qui appartiennent à tous les E(φ≧α−h) ; de là on déduit que ml,i[E(φ≧α)] et ml,e[E(φ≧α)] sont des fonctions de α continues à gauche. Ceci posé, supposons que l’on ait

ml,e[E(φ≧α)]>ml,i[E(φ≧α)]+ε,

alors il en sera encore de même dans tout un certain intervalle (α−h,α). Considérons la partie E de E1(φ) comprise entre y=α−h et y=α. Enfermons les points de E dans des carrés A, les points de C(E) dans des carrés B ; on peut supposer les A et B de côtés parallèles à ox et oy. Ils ont en commun des rectangles C dont la somme des aires est au moins ms,e(E)−ms,i(E) et en diffère aussi peu que l’on veut. La section des carrés A par la droite y=K est composée d’intervalles a qui enferment E[φ(x)≧K], celle des carrés B est composée d’intervalles b qui enferment C{E[φ(x)≧K]}, celle des rectangles C est formée des parties e communes aux a et b ; on a donc

ml(c)≧ml,e{E[φ(x)≧K]}−ml,i{E[φ(x)≧K]}.

ml(c) est donc supérieure à ε quand K varie de α−h à α, et ms,e(E)−ms,i(E) est au moins égale à εh. E et par suite E(φ) n’est donc mesurable que si φ est mesurable.

Supposons que φ bornée soit mesurable et partageons l’intervalle de variation de φ à l’aide de nombres li. Soit E la partie de E(φ) comprise entre y=li−1 et y=li, nous allons évaluer sa mesure. Enfermons dans des intervalles a les points de E(φ≧li) et ceux de C[E(φ≧li)] dans des intervalles b, soient c les intervalles faisant partie des a et des b. Considérons l’ensemble 𝒜 des points dont les abscisses sont points de a et dont les ordonnées sont comprises entre li−1 et li ; soit 𝒞 l’ensemble analogue relatif à c. L’ensemble 𝒜−𝒞 étant contenu dans E, on a

ms,l(E)≧ms(𝒜)−ms(𝒞)=(li−li−1)[ml(a)−ml(c)],

de là on déduit

ms,i(E)≧(li−li−1)ml[E(φ≧li)].

En faisant la somme de toutes les inégalités analogues, on a

ms,i[E(φ)]≧∑liml[E(li≦φ<li+1)]=σ.

En raisonnant d’une façon analogue, on voit que

ms,e[E(φ)]≦∑liml[E(li−1<φ≦li)]=Σ.

Nous avons démontré que les deux quantités σ et Σ tendent vers une même limite quand le maximum de li+1−li tend vers zéro, donc E(φ) est mesurable et l’on retrouve la définition de l’intégrale déjà donnée.

Nous appellerons intégrale indéfinie de f(x) l’une quelconque des fonctions

F(x)=∫αxf(x)dx+K.

Les intégrales indéfinies sont des fonctions continues. Si f(x) est une fonction bornée, cela est évident. Supposons ensuite f(x) sommable mais non bornée, alors on peut trouver α assez grand pour que les intégrales de f(x) dans les deux ensembles E(f>α), E(f<−α) soient toutes deux inférieures en module à ε. Posons f=f1+f2, f1 étant nulle pour les deux ensembles E(f>α), E(f<−α) et f2 étant nulle pour E(−α≦f≦α). Alors l’intégrale indéfinie de f1 est une fonction continue ; l’intégrale de f2 dans tout intervalle étant 2ε au plus, autour d’un point quelconque x0, on peut donc trouver un intervalle dans lequel l’accroissement de F(x) soit au plus 3ε, ce qui prouve que F(x) est continue.

Si f(x) est sommable, |f(x)| l’est aussi et, dans tout intervalle, l’intégrale indéfinie de f(x) subit un accroissement en module inférieur à celui de l’intégrale indéfinie de |f(x)| ; cette dernière intégrale étant croissante, toute intégrale indéfinie est à variation bornée.

Les propositions trouvées au Chapitre V (p. 69) relativement à la limitation des nombres dérivés de F(x) à l’aide des maxima et des minima de f(x) sont encore exactes ; elles se démontrent de même.

Occupons-nous de la recherche des fonctions primitives. Soit ℱ(x) une fonction ayant une dérivée f(x), nous savons que f(x) est mesurable, car c’est une fonction de première classe. Supposons que f(x) soit bornée, alors r[ℱ(x),x,x+h] est aussi borné, quels que soient x et h. Et puisque f(x) est la limite pour h=0 de r[ℱ(x),x,x+h] on peut écrire, d’après un théorème énoncé à la page 114,

∫0xf(x)dx=limh=0∫0x[ℱ(x+h)−ℱ(x)]dxh=ℱ(x)−ℱ(0),

car ℱ(x) est une fonction continue.

Donc les intégrales indéfinies d’une fonction dérivée sont ses fonctions primitives. Nous avons résolu le problème fondamental du calcul intégral pour les fonctions bornées. De plus, nous avons un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si une fonction bornée est ou non une dérivée.

Pour aller plus loin, démontrons que les nombres dérivés d’une fonction continue sont mesurables et même mesurables B. Considérons pour cela une suite de fonctions u1,u2,…, et les fonctions u‾,u égales, pour chaque valeur de x, à la plus grande et à la plus petite des limites un ; ce sont les enveloppes d’indétermination de la limite des u. Voici comment on peut obtenir l’enveloppe supérieure u‾ ; vi est la fonction qui, pour chaque valeur de x, est égale à la plus grande des fonctions u1,u2,…,ui ; wi est la limite de la suite de la suite croissante vi,vi+1,vi+2,… ; u‾ est la limite de la suite décroissante w1,w2,…. Si les ui sont des fonctions continues, il en est de même des vi, les wi sont donc au plus de première classe et u‾ au plus de seconde classe. Un raisonnement analogue s’applique à u.

La définition des enveloppes d’indétermination aurait pu être donnée pour une fonction g(x,h), où h est un paramètre remplaçant l’indice de la fonction ui. L’un des nombres dérivés de f(x) est l’une des enveloppes d’indétermination de r[f(x),x,x+h], quand on fait tendre h vers zéro, par valeurs de signe déterminé. Mais r[f(x),x,x+h] étant continue en (x,h) pour h≠0, on peut, pour la recherche de ces enveloppes, remplacer l’infinité non dénombrable des valeurs de h par une suite de valeurs de h tendant vers zéro et convenablement choisies. Les nombres dérivés sont donc au plus de seconde classe et en tout cas.

Ceci posé, soit Λ le nombre dérivé supérieur à droite de f(x), nous le supposons fini. Prenons arbitrairement des nombres ln échelonnés de −∞ à +∞ quand n parcourt la suite des nombres entiers de −∞ à +∞, et supposons que ln+1−ln ne surpasse jamais ε. Prenons des nombres positifs an, tels que ∑−∞+∞an|ln| soit inférieure à ε. Désignons, pour abréger, E(ln<Λ≦ln+1) par en, et rangeons les ei en suite simplement infinie en1,en2,…. Enfermons en1 dans des intervalles An1, et C(en1) dans des intervalles In1 choisis de manière que la somme de leurs parties communes soit au plus an1. Enfermons en2 dans des intervalles An2, et C(en1+en2) dans des intervalles In2, les An2 et les In2 étant intérieurs aux In1 et ayant des parties communes de longueur au plus égale à an2. On enfermera de même en3 dans An3 et C(en1+en2+en3) dans In3, ces intervalles étant contenus dans In2 et ayant pour mesure de leurs parties communes an3 au plus.

En continuant ainsi, on enferme en dans An et m(An)−m(en) est au plus an ; de plus An n’a en commun avec les autres An+p que des intervalles, chacun d’eux étant compté une seule fois, de longueur totale inférieure à an.

Les deux sommes ∑|ln|m(en) et ∑|ln|m(An) sont convergentes ou divergentes à la fois et, si elles convergent, elles diffèrent de moins de ε. Les deux expressions ∫|Λ|dx et ∑|ln|m(An) ont donc un sens en même temps et, si elles en ont un, elles diffèrent de moins de ε(b−a−1), (a,b) étant l’intervalle positif d’intégration. La même remarque s’applique aux deux expressions ∫Λdx et ∑lnm(An).

Soit un point x appartenant à ep, A'p celui des intervalles Ap qui contient x. Nous attachons à x le plus grand intervalle (x,x+h) contenu dans A'p, de longueur au plus égale à ε, et tel que

lp≦r[f(x),x,x+h]≦lp+1≦ε.

Àl’aide des intervalles ainsi définis, on peut former une chaîne d’intervalles couvrant (a,b) à partir de a (p. 63). Cette chaîne peut servir à évaluer une valeur approchée de la variation totale de f. Cette valeur approchée ainsi trouvée v est comprise entre v1−ε(b−a) et v1+ε(b−a) où v1=∑|lp|m(Bp), en désignant par Bp les intervalles employés dans la chaîne et qui proviennent des points de ep. Les points de Ap qui ne font pas partie de Bp font nécessairement partie de l’un des ensembles Ap+q (q≠0), donc leur mesure est au plus égale à ap et v1 diffère de ∑|ln|m(An) de moins de ∑an|ln|<ε.

Donc, pour que l’un des nombres dérivés d’une fonction, supposé fini, soit sommable, il faut et il suffit que cette fonction soit à variation bornée ; sa variation totale est l’intégrale de la valeur absolue du nombre dérivé.

Si, reprenant le raisonnement précédent, on se sert des intervalles employés pour calculer l’accroissement f(b)−f(a) de f(x) dans (a,b), on voit que l’intégrale indéfinie d’un nombre dérivé sommable est la fonction f dont il est le nombre dérivé.

Ainsi nous savons résoudre les problèmes B, B′, C, C′ quand la fonction donnée est bornée ou quand on sait que la fonction inconnue ne peut être à variation non bornée.

Voici d’autres conséquences : soit une fonction f ayant ses nombres dérivés à droite partout finis, on a

f(b)−f(a)=∫abΛd(f)dx=∫abλd(f)dx

donc Λd−λd est une fonction non négative d’intégrale nulle et, par suite, elle est partout nulle, sauf peut-être aux points d’un ensemble de mesure nulle. Sauf en ces points, f a donc une dérivée à droite.

On peut aller plus loin et démontrer qu’une fonction à variation bornée et à nombres dérivés finis a une dérivée pour un ensemble de points dont le complémentaire est de mesure nulle ; de plus une telle fonction est l’intégrale indéfinie de sa dérivée considérée seulement pour l’ensemble des points où elle existe. Ces deux propriétés, qui s’appliquent en particulier aux fonctions à nombres dérivés bornés, résultent des considérations suivantes :

Les intégrales indéfinies des fonctions sommables ont toutes, nous allons le voir, des dérivées en certains points ; nous comparerons cette dérivée à la fonction intégrée f. Considérons d’abord le cas d’une fonction mesurable ψ ne prenant que les valeurs 0 et 1, soit Ψ son intégrale indéfinie et posons E(ψ=1)=E. Enfermons E dans des intervalles Ap dont la somme des longueurs est m(E)+εp et faisons tendre εp vers zéro. L’ensemble ℰ commun à A1,A2,…, contient E et n’en diffère que par un ensemble de mesure nulle, de sorte que, dans le calcul de Ψ, on peut remplacer ψ par ψ′ tel que E(ψ′=1)=ℰ. ψ′ est la limite vers laquelle tendent en décroissant les fonctions ψp attachées à Ap, E(ψp=1)=Ap ; soit Ψp l’intégrale indéfinie de ψp. Dans tout intervalle positif, l’accroissement de Ψp est au moins égal à celui de Ψ, de sorte que

ΛΨp≧ΛΨ≧0,

Λ étant l’un quelconque des nombres dérivés.

Mais ΛΨp étant égal à 1 pour tous les points intérieurs aux intervalles Ap, n’est différent de zéro qu’en ces points et en un ensemble de points de mesure nulle. Par suite, ΛΨ n’est différent de zéro qu’en des points de ℰ (ou de E) et en un ensemble de points de mesure nulle. Mais, puisque ΛΨ n’est jamais supérieur à I, que Ψ est l’intégrale de ΛΨ et que, si E est contenu dans (a,b),

Ψ(b)−Ψ(a)=m(E),

ΛΨ est égal à 1 pour les points de E, sauf pour les points d’un ensemble de mesure nulle. Cela étant vrai pour l’un quelconque des nombres dérivés, ψ est la dérivée de Ψ, sauf pour les points d’un ensemble de mesure nulle.

Soit maintenant la fonction sommable f, reprenant les notations de la page 101 nous considérons f comme la limite vers laquelle les fonctions φ tendent en croissant quand le maximum de li+1−li tend vers zéro. φ est la dérivée de son intégrale indéfinie, sauf pour un ensemble de mesure nulle, car c’est une somme de fonctions ψ. On déduit de là, en faisant tendre li+1−li vers zéro, que les nombres dérivés de l’intégrale indéfinie F de f sont au moins égaux à f sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, car dans tout intervalle l’accroissement de l’intégrale de f est au moins égal à celui de l’intégrale de φ. De même, en considérant les fonctions Φ qui tendent vers f en décroissant, on voit que ces nombres dérivés sont, sauf en un ensemble de mesure nulle, au plus égaux à f, donc l’intégrale indéfinie d’une fonction sommable admet cette fonction pour dérivée sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle.

Si l’on rapproche cet énoncé de la définition proposée à la page 94, on reconnaît que cette définition est exactement équivalente pour les fonctions bornées à celle étudiée dans ce Chapitre. L’intégration des fonctions sommables bornées est donc, en un certain sens, l’opération inverse de la dérivation.

Soit une courbe rectifiable

définie dans (a,b) par les fonctions x(t),y(t),z(t) à nombres dérivés bornés. Ces fonctions admettent toutes trois à la fois des dérivées, sauf pour un ensemble de valeurs de t de mesure nulle, E, et soit E le complémentaire de E. Nous allons démontrer que la longueur de la courbe est

l=∫ℰx′(t)2+y′(t)2+z′(t)2dt.

Remarquons d’abord que, dans un intervalle (t0,t1), l’arc s croît au plus de M3(t1−t0) si les nombres dérivés de x,y,z sont inférieurs en valeur absolue à M. Donc on peut enfermer les points de E dans des intervalles A dont la contribution dans s est inférieure à ε et dont la contribution dans l’intégrale l est aussi inférieure à ε.

Ceci posé, partageons l’intervalle fini de variation de

p(t)=x′2+y′2+z′2

à l’aide de nombres li tels li+1−li soit inférieur à ε. en étant l’ensemble E(ln<p(t)≦ln+1) nous pouvons enfermer en dans des intervalles An dont les parties communes avec d’autres An+q ont une longueur totale au plus égale à an ; les nombres an étant tels que la série ∑|ln|an soit convergente et de somme ε. À tout point t de ep attachons le plus grand intervalle (t,t+h) d’origine t, de longueur au plus égale à ε, intérieur à celui des An qui contient t et tel que

ln≦[x(t+h)−x(t)]2+[y(t+h)−y(t)]2+[z(t+h)−z(t)]2≦ln+1+ε.

Àun point t de E, nous attachons le plus grand intervalle (t,t+h) d’origine t, de longueur au plus égale à ε et contenu dans celui des A qui contient t.

Avec ces intervalles, on peut couvrir (0, 1), à partir de 0, par une chaîne d’intervalles qu’on peut employer pour le calcul de l’arc. Cela donne une valeur approchée de l’arc différant de moins de ε(b−a)+ε de σ=∑lim(A'i), en désignant par A′ les intervalles employés provenant des points de ei. Les points de Ai qui ne font pas partie de A'i sont des points de A ou de Ai+j (j≠0). Or les points de ℰ contenus dans A fournissent, dans

σ1=∑lim(Ai),

une contribution qui diffère de moins de ε(b−a) de l’intégrale de p(t) dans A ; c’est-à-dire qu’ils donnent une contribution au plus égale à ε(b−a)+ε. D’autre part, les points des Ai qui font partie des Ai+j (j≠0) fournissent, dans σ1, une contribution au plus égale à ∑li|ai|=ε. Donc σ1−σ tend vers zéro avec ε et comme, dans ces conditions, σ1 tend vers l, la propriété est démontrée.

La fonction s(t) qui représente l’arc, étant l’intégrale indéfinie de p(t), admet p(t) pour dérivée, sauf pour les points d’un ensemble de mesure nulle.

Ainsi lorsqu’une courbe rectifiable est définie à l’aide de fonctions de t à nombres dérivés bornés, on a la relation

s′2=x′2+y′2+z′2,

sauf pour des valeurs de t formant un ensemble de mesure nulle.

Considérons une courbe rectifiable ; exprimons ses coordonnées à l’aide de l’arc s ; alors on a, en général,

xs′2+ys′2+zs′2=1.

Soit σ l’arc de la courbe (x,y,0) projection sur le plan des xy ; σ est une fonction de s à nombres dérivés bornés et l’on a

σs′2=xs′2+ys′2,1=σs′2+zs′2,

sauf pour un ensemble de points de mesure nulle.

De là résulte que l’ensemble A des points où σs′ et zs′ sont nuls en même temps est de mesure nulle. Sauf aux points de A, σs′zs′ a une valeur déterminée finie ou infinie. Si σs′ est nul et zs′ non nul, la courbe a une tangente parallèle à oz ; si s n’appartient pas à A et si σs′ est différent de 0, puisque σs′2=xs′2+ys2, xs′ et ys′ ne sont pas nuls à la fois, la courbe a une tangente.

Les courbes rectifiables ont donc en général des tangentes, les points où il n’y a pas de tangentes correspondent à un ensemble de valeurs de l’arc dont la mesure est nulle. Ce sont ces points que l’on peut négliger dans le calcul de l’arc à l’aide de l’intégrale de x′2+y′2+z′2.

Soit f(x) une fonction à variation bornée continue, appliquons la propriété qui précède à la courbe y=f(x). Cette courbe a, en général, des tangentes ; si s est son arc, xs′ et ys′ existent sauf pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle. Sauf aux points de cet ensemble et à ceux de l’ensemble E où xs′ est nulle, ys′ existe et est finie. Je dis que A est de mesure nulle.

S’il n’en était pas ainsi, les points où l’un, convenablement choisi, des quatre nombres dérivés de f(x) serait infini, formeraient un ensemble de mesure non nulle. On pourrait alors reprendre le raisonnement des pages 121 et 122 pour évaluer f(x) à l’aide de ce nombre dérivé Λf(x), mais parmi les li figurerait l’un des nombres l−∞=−∞, l+∞=+∞, et l’on aurait les ensembles e−∞, e+∞, l’un d’eux étant de mesure non nulle. L’intervalle que l’on attacherait au point x de e+∞ serait le plus grand intervalle (x,x+h) de longueur au plus égale à ε, contenu dans celui A'−∞ des A−∞ contenant x et tel que l’on ait

M≦f(x+h)−f(x)h,

Métant choisi arbitrairement. La chaîne d’intervalle correspondante donnera une valeur approchée de la variation totale qu’on pourra faire croître indéfiniment avec M et 1ε si l+∞ est de mesure non nulle et si l’on a pris

Ma+∞+Ma−∞+∑−∞+∞|li|ai<ε ;

ceci est contraire à l’hypothèse, E est de mesure nulle.

Or, par hypothèse, f(x) est variation bornée, donc xs′ est nul pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle. ys′ existe donc et est finie sauf pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle. Mais aux valeurs de s, formant un intervalle δ, correspondent des valeurs de x formant un intervalle δ1 au plus égal à δ ; si l’on enferme les valeurs de s d’un ensemble E dans des intervalles de longueur totale l, les valeurs correspondantes de x forment un ensemble E1 qu’on peut enfermer dans les intervalles correspondants de longueur totale au plus égal à l. À un ensemble de valeurs de s de mesure nulle correspond donc un ensemble de valeurs de x de mesure nulle.

Il est ainsi démontré que toute fonction à variation bornée f(x) a une dérivée finie sauf pour les valeurs de x d’un ensemble de mesure nulle. Le raisonnement de la page 122, tel qu’il vient d’être complété, montre même que cette dérivée est sommable dans l’ensemble des points où elle est finie, mais sa fonction primitive n’est pas nécessairement f(x), comme le montre l’exemple de la fonction ξ(x) de la page 55. Le théorème qui vient d’être démontré est donc différent de celui concernant la dérivation des intégrales indéfinies ; en d’autres termes, il existe des fonctions continues à variation bornée, ξ(x) par exemple, qui ne sont pas des intégrales indéfinies.

On pourrait le démontrer dès à présent, sans se servir de la valeur de l’intégrale des fonctions, et l’on pourrait aussi démontrer que, si l’on supprime les

On a déduit du théorème, tel qu’il est énoncé dans le texte, une jolie démonstration de l’uniformité de la continuité.

Soit f(x) une fonction continue en tous les points de (a,b), y compris a et b ; chaque point de (a,b) est, par définition, intérieur à un intervalle Δ dans lequel l’oscillation de f(x) est inférieure à ε. À l’aide d’un nombre fini d’entre eux, on peut couvrir (a,b) ; soit l la longueur du plus petit intervalle Δ employé, dans tout intervalle de longueur l l’oscillation de f est au plus 2ε, car un tel intervalle empiète sur deux intervalles Δ au plus ; la continuité est uniforme.

Cette application du théorème complété fait bien comprendre, il me semble, tout l’usage qu’on en peut faire dans la théorie des fonctions.

Les conditions S (p. 100) et S1 constituent ce qu’on peut appeler la condition de similitude, elles font connaître ce que devient une intégrale par les transformations

x1=kx,f1(x)=kf(x).

Peut-être pourrait-on remplacer la condition 6 par des conditions de cette nature.

M. Borel avait indiqué (note 1, p. 48 des Leçons sur la théorie des fonctions) les principes qui nous ont guidés dans la théorie de la mesure.

Toute fonction mesurable est continue, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, quand on néglige les ensembles de mesure ε, si petit que soit ε.

Voir Borel, Comptes rendus, 7 décembre 1903 ; Lebesgue, Comptes rendus, 28 décembre 1903.

Si, dans l’énoncé de la page 94, on n’assujettit pas f(x) à être bornée, ni F(x) à être à nombres dérivés bornés, mais seulement à la condition précédente, on a une définition de l’intégrale équivalente à celle développée dans ce Chapitre et applicable à toutes les fonctions sommables, bornées ou non.