III · (III)

|∂F∂x∂F∂y∂Φ∂x∂Φ∂y|=0

Cette relation (III) constitue donc, dans l’hypothèse envisagée, la « condition de satisfaction maximum ». Du reste, dans le cas particulier de l’échange de deux produits dont les utilités sont considérées comme indépendantes, cette condition se réduit à l’équation de Jevons :

φ1(a−x)ϕ1(y)=φ2(x)ϕ2(b−y)

|φ1(a−x)ϕ1(y)φ2(x)ϕ2(b−y)|=0

car on a alors :

F(x,y)=∫oxφ1(a−x)dx+∫oyϕ1(y)dy

ϕ(x,y)=∫oxφ2(x)dx+∫oyϕ2(b−y)dy

La courbe représentée par le déterminant (III) ci-dessus étant le lieu des points où les transactions entre les deux individus considérés sont possibles, M. Edgeworth lui a donné le nom de courbe de contrat. Il est d’ailleurs possible de parvenir à la notion de courbe de contrat par une voie légèrement différente de celle que nous avons suivie. On peut en effet considérer la relation (I) comme l’équation différentielle de la « famille » des courbes représentatives des valeurs conjuguées de x et de y, qui laissent identique à elle-même la situation du premier individu, et que, pour cette raison, le professeur d’Oxford a désignées sous le nom de courbes d’indifférence ou de satisfaction constante. Chacune de ces courbes correspond à une quantité de plaisir P déterminée par la forme de la fonction F.

On voit donc (fig. 13) qu’en chaque point M(x,y) il y a une ligne de force ou de préférence normale à la courbe d’indifférence passant par ce point, suivant laquelle on peut dire, d’une façon elliptique, que l’individu a le plus grand intérêt à essayer de se déplacer, tandis qu’il lui importe peu de se mouvoir ou non perpendiculairement à cette direction, le long d’une ligne d’indifférence. Les mêmes considérations sont évidemment applicables au second individu. Or, une position d’équilibre des transactions entre les deux individus est nécessairement telle que l’un d’eux ne puisse pas accroître la quantité de plaisir dont il jouit sans diminuer celle de l’autre. Par suite, pour qu’un point corresponde à une position d’équilibre, il faut qu’en ce point la ligne d’indifférence du premier individu coïncide avec celle du second (et que leurs lignes de préférence non seulement coïncident, mais encore soient dirigées en sens inverse), c’est-à-dire que ce point doit être un point de contact d’une courbe d’indifférence du premier individu avec une courbe d’indifférence du second, d’où la condition :

δFδxδFδy=δϕδxδϕδy

Nous retrouvons ainsi la courbe de contrat comme lieu des points de contact des deux familles de courbes d’indifférence.

Remarquons en passant qu’au lieu de regarder l’équation

P=F(x,y)

comme l’équation d’une famille de courbes, on peut la considérer comme l’équation d’une surface, colline du plaisir, telle que la cote P de l’un de ses points au-dessus du plan des x,y (soit le plan du papier) soit égale à l’utilité (totale) ou, ce qui revient au même, au plaisir correspondant à la combinaison (x,y). Dès lors, les lignes de niveau de cette surface sont des lignes d’égale utilité — de satisfaction constante, — de telle sorte que sa représentation topographique est fournie par l’ensemble des lignes d’indifférence, précédemment prises en considération, en assimilant à des cotes les quantités de plaisir qui les caractérisent. Cela étant, en disant, pour abréger, qu’un individu occupe sur la colline du plaisir la position (x,y) lorsqu’il jouit de la combinaison correspondant à ce point, il est clair que cet individu doit, en vue d’améliorer sa situation, chercher à élever sa position le plus possible sur cette colline en s’efforçant de suivre une ligne de plus grande pente. Or, une ligne de plus grande pente ayant précisément pour projection une ligne de préférence, on se rend ainsi un compte exact de ce que nous avons précédemment exposé.

Ainsi que nous l’avons signalé dans la seconde partie de ce travail, dix ans après la publication des Mathematical Psychics, qu’il ne connaissait pas, le professeur Irving Fisher a eu aussi recours à la conception de la ligne d’indifférence. Mais il s’est placé à un point de vue légèrement différent, ce qui lui a permis de généraliser ses conclusions, tandis que M. Edgeworth s’était, après avoir étudié le cas que nous venons d’examiner, borné à esquisser l’application de sa théorie au cas où trois individus sont en présence et à indiquer seulement la possibilité de l’étendre à un marché moins restreint en ayant recours à la notion d’hyperespace.

Au lieu d’étudier de prime abord l’équilibre d’un marché, fut-il limité à deux individus, le professeur de Yale commence par examiner un problème d’économie individuelle.

Imaginons un individu en présence d’une quantité de numéraire déterminée avec laquelle il lui est loisible de se procurer une certaine quantité de deux produits (A) et (B), dans la proportion qui lui semblera la plus avantageuse, et proposons-nous de déterminer à quelle combinaison il s’arrêtera.

Si nous traçons deux axes Ox et Oy, et que nous portions sur Ox, en OA, une longueur représentant la quantité de produit (A) que cet individu obtiendrait s’il n’achetait que de ce produit, puis sur Oy, en OB, une longueur représentant la quantité de produit (B) qu’il obtiendrait dans les mêmes conditions, il est clair — en admettant, comme nous l’avons fait jusqu’à présent, que les prix sont constants pour les portions successives d’un même produit — que les diverses combinaisons qui lui sont offertes, étant données ses ressources, sont représentées par les différents point de la droite AB. On voit donc que si l’on a tracé d’autre part les courbes d’indifférence de cet individu pour les deux produits (A) et (B), le point d’équilibre cherché sera sur le point de contact M de la droite AB avec l’une de ces courbes, puisque, en deçà comme au delà de M, l’individu jouirait d’une quantité de plaisir moindre qu’en M.

La position de satisfaction maximum d’un premier individu ainsi déterminée, introduisons un second individu, et désignons par OA' et OB' les segments analogues à OA et OB et par M' le point correspondant au point M. Les segments OA et OA' étant proportionnels au prix pa de (A) (en admettant qu’il n’y ait sur le marché qu’un seul prix pour chaque article) et les segments OB et OB' au prix pb de (B), on a :

OAOB=OA′OB′(=papb)

Par suite les droites AB et A'B' (fig. 15) sont parallèles,

(Fig. 15).

c’est-à-dire que la courbe d’indifférence relative au premier individu passant par M et la courbe d’indiffépence du second individu passant par M′ ont des tangentes et, par suite, des normales parallèles. M. Irving Fisher a donné à ces normales — que nous avons précédemment appelées, avec le professeur F.-Y. Edgeworth, des lignes de préférence — le nom de directions maxima. On peut donc dire que pour que deux individus en présence de deux produits puissent participer à un même équilibre économique, il faut que leurs directions maxima soient parallèles.

Nous ne nous sommes implicitement préoccupé dans ce qui précède que des consommateurs, mais les mêmes considérations sont applicables à des producteurs, pour lesquels il y a également des courbes d’indifférence, encore qu’elles n’aient pas la même allure générale que celles des consommateurs. D’ailleurs, de même que pour la consommation, on rencontre, au point de vue de la production, des biens concurrents et des biens complémentaires, tels que les « produits secondaires ».

Quoiqu’il en soit, il n’y a évidemment aucune différence essentielle entre la conclusion à laquelle nous venons de parvenir et celle à laquelle était précédemment arrivé M. Edgeworth (Cf. sup. § 2) dans le cas particulier que nous avons examiné, mais la voie suivie par le professeur de Yale offre l’avantage de permettre une généralisation facile, car la condition de parallélisme des directions maxima subsiste quel que soit le nombre des individus, ainsi que cela résulte immédiatement de l’exposé précédent, et aussi quel que soit le nombre des produits.

En effet, si au lieu de limiter le marché à deux produits (A) et (B), nous en ajoutons un troisième (C), et que nous tracions trois axes rectangulaires Ox,Oy,Oz, les points A, B et C étant respectivement déterminés de la même manière que les points A et B l’ont été dans le premier cas, les nécessités afférentes aux ressources de l’individu l’obligeront à se maintenir dans le plan ABC (Partial income plane). Or, dans le cas où l’individu a le choix entre trois produits, les courbes d’indifférence devenant des surfaces d’indifférence, le point correspondant à la combinaison optima est le point de contact de ce plan avec une surface d’indifférence, et la direction maximum la normale à cette surface en ce point. Par suite, les divers plans, tels que ABC, étant, pour les mêmes raisons que ci-dessus, parallèles entre eux, les directions maxima sont encore parallèles entre elles.

Plus généralement, si le marché comporte m produits, chaque point d’équilibre individuel est, dans l’hyperespace à m dimensions, un point de contact d’une « variété D linéaire (flat) — analogue à un plan — correspondant aux ressources de l’individu considéré (Partial income flat) avec une variété d’indifférence du même individu. Et l’on voit, de la même manière que précédemment, que les directions maxima, normales aux variétés d’indifférence relatives aux différents individus, sont toujours parallèles entre elles.

Or, les composantes suivant les axes de coordonnées d’une direction maximum sont les utilités finales dUdAi,dUdBi,… des divers produits (A), (B),… pour l’individu (I) considéré. La condition de parallélisme des directions maxima relatives aux différents individus se traduit analytiquement par les relations :

dUdA1:dUdB1:…=dUdA2:dUdB2:……=(pa:pb:…)

Et on a ainsi n(m−1) équations qu’il suffit de substituer au groupe I des équations de Walras (Cf. supra II) pour obtenir, en tenant compte de l’interdépendance des biens, les équations générales de l’équilibre économique sous un régime de libre concurrence, car il est évident que les autres relations qui conditionnent cet équilibre ne subissent aucune modification. — Nous allons néanmoins revenir sur ces autres relations, pour indiquer l’expression élégante, en connexion directe avec l’exposé géométrique précédent, que M. Irving Fisher leur a donnée en faisant appel à la théorie des quaternions.

Considérons un marché comprenant m produits (A), (B),… (M), n individus tout à la fois consommateurs et producteurs, conformément à la réalité. Il est bien entendu que regardant comme positives les quantités consommées et comme négatives les quantités produites, on ne doit, pour chaque individu, faire état que de sa consommation nette, lorsqu’il est en même temps consommateur et producteur de la même marchandise.

Pour que l’équilibre s’établisse sur ce marché, il faut :

1 Que, conformément à ce que nous avons vu, les directions maxima relatives aux différents individus soient identiques aussi bien pour la production que pour la consommation ;

2 Que les revenus et les dépenses de chaque individu se balancent exactement, c’est-à-dire que les diverses variétés linéaires correspondant aux budgets individuels (Total income and expenditure flats) passent par l’origine (ces diverses variétés devant déjà avoir (1) la même orientation, on voit qu’elles se confondront) ;

3 Que la quantité produite de chaque marchandise soit égale à la quantité consommée, c’est-à-dire que l’origine soit le centre de gravité des points d’équilibre individuels — points d’utilité maximum — I, II, … N.

Cela étant, désignons par I, III, … N les vecteurs des points I, II, … N ; par U1,U2, etc., l’utilité totale correspondant aux points I, II, etc. ; et par 𝓇U1,𝓇U2 etc., les vecteurs représentant en grandeur et direction le taux maximum d’accroissement de l’utilité en chacun de ces points, c’est-à-dire les directions maxima. Les conditions d’équilibre précédemment exprimées se traduisent alors par les relations suivantes :

(1)

𝓇U11𝓇U21𝓇U31…1𝓇Un

(2)

(3)

I𝓇U1=II𝓇U2=…=N𝓇Un=0

auxquelles il faut ajouter les équations indiquant dans chaque cas la distribution de l’utilité :

(4)

𝓇U1=F(I);𝓇U2=F(II);…𝓇Un=F(N)

On peut immédiatement déduire des relations précédentes les équations canoniques de l’équilibre économique telles que nous les avons rencontrées jusqu’à présent. Or, il est essentiel de remarquer, ainsi que le fait observer le professeur Irving Fisher, que pour établir ces relations on ne fait entrer en ligne de compte que les directions maxima tangentes aux lignes de préférence normales aux lieux (courbes, surfaces, variétés) d’indifférence. Ainsi, les conditions générales de l’équilibre économique ne dépendent que de ces lignes de préférence, et elles sont absolument indépendantes de la quantité d’utilité résultant d’une combinaison quelconque, id est de densité de l’utilité au point (du plan, de l’espace ou de l’hyperespace) correspondant à cette combinaison. Dès lors, puisqu’il suffit en chaque point de connaître les directions maxima sans avoir à faire état des quantités d’utilité totale — dont l’intégration est d’ailleurs impossible en général — on voit, conformément à ne que nous avons annoncé (II, III, 4), qu’il n’y a pas lieu de se préoccuper de la définition du rapport de deux utilités (Définition III du passage cité). Nous aurons d’ailleurs l’occasion de revenir dans le chapitre suivant sur ces considérations, qui ont eu une très grande influence sur l’évolution de l’économie pure.

M. Vilfredo Pareto a repris la notion d’indifférence sur laquelle nous venons de nous étendre assez longuement, mais observant que pour déterminer l’équilibre économique, il n’est nullement besoin de mesurer le plaisir (ou l’utilité), qu’il suffit d’en repérer les divers degrés au moyen d’indices, il est parvenu, ainsi que nous l’avons indiqué (II, III, 5), à établir sur cette base une théorie de l’équilibre économique entièrement débarrassée de toute hypothèse métaphysique sur la nature de l’utilité et, par là, entièrement à l’abri de la critique formulée par M. Irving Fisher.

Dans cette théorie, au lieu de partir de la notion d’utilité, d’ophélimité suivant son expression, pour en déduire celle de ligne d’indifférence, l’éminent professeur de Lausanne, renversant le problème, considère les lignes d’indifférence comme des données de fait pouvant être obtenues expérimentalement par « la détermination des quantités de biens qui constituent des combinaisons indifférentes pour l’individu ». Puis, pour distinguer les diverses lignes d’indifférence qui dès lors ne correspondent plus à des quantités de plaisir déterminées, il les affecte d’indices satisfaisant aux conditions suivantes :

1 Deux combinaisons entre lesquelles le choix est indifférent doivent avoir le même indice ;

2 De deux combinaisons, celle qui est préférée à l’autre doit avoir un indice plus élevé ;

3 Enfin, mais ce n’est pas indispensable, parmi les systèmes d’indices, en nombre infini, que l’on peut avoir, il convient de retenir seulement ceux qui jouissent de la propriété suivante : que si en passant de la combinaison I à la combinaison II, l’homme éprouve plus de plaisir qu’en passant de la combinaison II à la combinaison III, la différence des indices de I et II soit plus grande que celle des indices de II et de III.

Ainsi, ces indices ne sont nullement des cotes, ils sont absolument arbitraires, d’où il résulte qu’il y a une infinité de collines des indices du plaisir, tandis que la colline du plaisir dont nous avons parlé ci-dessus était unique, et que, par suite, pour représenter une certaine combinaison (x, y) par un point d’une colline des indices du plaisir, il faut commencer par faire choix d’un système d’indices déterminé ; mais quel que soit le système choisi, pourvu qu’il satisfasse aux conditions précédentes, l’individu éprouve un plaisir d’autant plus grand que le point figuratif de la combinaison dont il jouit est situé à une plus grande hauteur sur la colline correspondant à ce système, et de deux combinaisons il préfère toujours celle qui est représentée par le point le plus élevé de cette colline.

Cela étant, si l’on désigne sous le nom de sentier ou de chemin le lieu géométrique des points figuratifs des diverses combinaisons dont jouit successivement un individu, on voit que cet individu s’arrêtera, c’est-à-dire qu’il sera parvenu à une position d’équilibre lorsque le sentier qu’il parcourt aura atteint soit un point terminal que les « obstacles » (II, III, 5) rendent infranchissable, soit un point de tangence avec une ligne d’indifférence, à partir duquel, ce sentier cessant de monter pour commencer à descendre, il serait contraire aux intérêts de l’individu de continuer à le suivre. Et dès lors on conçoit immédiatement que par la seule considération des lignes d’indifférence telles que nous venons de les définir, on peut obtenir les éléments de la détermination d’équilibres économiques.

Voici d’ailleurs, à titre d’exemple, comment on peut déterminer l’équilibre de l’échange de deux marchandises entre elles.

Considérons un individu possédant une certaine quantité représentée par le segment Om (fig. 16) d’une marchandise (A) dont il est disposé à échanger une partie ou même la totalité contre de la marchandise (B), et traçons les lignes d’indifférence de ces deux marchandises pour cet individu.

En admettant que l’échange de la marchandise (A) contre de la marchandise (B) se fasse à prix constant, l’individu considéré, pour transformer de l’(A) en (B), se déplacera le long d’un sentier rectiligne issu du point m et s’arrêtera au point de contact c de ce sentier avec une ligne d’indifférence, et, par suite, la position d’équilibre de cet individu se trouvera, quand l’échange sera terminé, sur le lieu des points de contact des tangentes issues de m aux diverses lignes d’indifférence, auquel M. Pareto a donné le nom de ligne des échanges. Or il en va évidemment de même pour l’individu qui fait la contre-partie. Il apparaît donc que pour trouver la position d’équilibre de l’échange des marchandises (A) et (B) entre ces individus, il suffit de déterminer le point d’intersection de leurs lignes des échanges.

L’équilibre économique est considéré par M. Pareto, ainsi que nous l’avons déjà dit, comme naissant du contraste des goûts et des obstacles. Or, nous n’avons indiqué jusqu’à présent que la manière de parvenir à la connaissance de l’équilibre des goûts d’un individu ou d’une collectivité, — cet équilibre se trouvant réalisé sur la ligne des échanges — et s’il nous a été possible de déterminer entièrement l’équilibre du marché particulièrement simple que nous avons envisagé, c’est que le seul obstacle rencontré par chaque individu était constitué par la satisfaction des goûts de l’autre.

Pour être à même d’étudier l’équilibre économique dans toute sa généralité, à l’aide de procédés analogues aux précédents, il nous faudrait donc maintenant nous préoccuper de la détermination de l’équilibre des obstacles, ce qui nous amènerait à parler des lignes d’indifférence des obstacles, qui présentent de grandes analogies avec les lignes d’indifférence des goûts tout en s’en distinguant cependant très nettement. Mais nous ne nous engagerons pas dans cette voie, parce que, si tant est qu’il soit possible de résumer une œuvre aussi concise que celle de M. Pareto, cela nous obligerait à entrer dans des détails qui nous feraient sortir des limites que nous nous sommes fixées, puisque cette étude n’a nullement pour objet de faire un exposé des théories des économistes mathématiciens, mais seulement d’essayer de donner une idée générale de l’application des mathématiques à l’économie politique en en montrant les évolutions successives.

D’ailleurs, ainsi que nous avons déjà eu l’occasion de le noter, les procédés graphiques ne constituent pas essentiellement des procédés mathématiques, et, dans le cas actuel, nous saurions d’autant moins les considérer comme tels, que M. Pareto s’est assujetti à reléguer dans un Appendice toute la partie purement mathématique de son œuvre, dont l’ensemble, rédigé à un point de vue exclusivement objectif, n’en reste pas moins imprégné d’un esprit hautement scientifique. En outre, les procédés graphiques ne sont guère appropriés aux généralisations, et, eu égard au haut degré d’abstraction des conceptions qui la constituent dans ce qu’elle a de plus rigoureux, la théorie la plus récente du savant professeur de Lausanne — telle qu’elle est exposée notamment dans l’Encyclopédie — n’est, dans toute sa généralité, guère accessible qu’au moyen de l’analyse mathématique. C’est pourquoi nous nous bornerons aux quelques notions précédentes, qui nous sont seules nécessaires pour l’exposition des paragraphes suivants que nous allons consacrer à l’étude strictement analytique de l’équilibre économique.

Soit, en désignant par I l’indice de la ligne correspondant à la combinaison (x, y),

l’équation d’une famille de lignes d’indifférence, telles que nous les avons définies au paragraphe précédent, et plus généralement, les mêmes considérations s’appliquant évidemment à un nombre quelconque de variables,

(1)

l’équation d’une famille de « variétés » d’indifférence définies de la même façon. Tout système d’indices pouvant être substitué au système représenté par l’équation est compris dans l’équation :

(2)

(F étant une fonction arbitraire dont le choix est néanmoins un peu restreint par la condition que à l’accroissement positif d’une variable indépendante corresponde un accroissement également positif de l’indice 1) et cette équation se réduit par différentiation à l’équation :

Ψ'xdx+Ψ'ydy+Ψ'zdz+…=0

ou bien, en posant ψx=Ψ'x,ψy=Ψ'y,… :

(3)

ψxdx+ψydy+ψzdz+…=0

qui est la seule à laquelle M. Pareto ait fait appel pour établir sa théorie de l’équilibre économique.

Or, on pourrait obtenir directement par l’expérience, théoriquement du moins, une relation équivalente à cette équation (3). Il suffirait de rechercher de quelle quantité positive Δ1x il faut augmenter x pour compenser la diminution représentée par la quantité négative Δy (c’est-à-dire pour qu’il soit indifférent de jouir de l’une ou de l’autre des deux combinaisons (x, y, z…) et (x+Δ1x,y+Δ1y,z,…)), puis de rechercher quel Δ3z correspond à Δz et ainsi de suite, et enfin de sommer les résultats obtenus, ce qui conduirait, en posant Δx=Δ1x+Δ2x+…, à une relation de la forme.

pxΔx+pyΔy+…=0

d’où, à la limite :

(4)

qxdx+qyqy+…=0

L’équation (3) et, par suite, une théorie de l’équilibre économique établie à partir de cette équation peuvent donc être considérées comme tout à fait indépendantes de la notion d’ophélimité et même de celle d’indice d’ophélimité. Et l’on voit ainsi comment M. Pareto, se dégageant graduellement des anciennes conceptions métaphysiques de l’économie politique, est parvenu à asseoir sa théorie sur des données purement positives, dont la détermination n’implique que la comparaison de certaines quantités de marchandises ou de biens économiques.

La théorie de l’équilibre économique de M. Pareto ne dépendant, comme nous venons de le dire, que de l’équation (3) ou, plutôt, de l’équation (4) obtenue expérimentalement, nous pourrions en aborder immédiatement l’exposé ; mais, afin de la rattacher aussi étroitement que possible à celles que nous avons rencontrées précédemment, nous ne croyons pas inutile de faire une digression pour montrer la corrélation entre l’équation (4) et les données auxquelles nous avons fait appel antérieurement.

Lorsque l’équation (4) correspond à un cycle fermée c’est-à-dire lorsque le degré de jouissance de l’individu ne dépend que des coordonnées de son point figuratif, ce qui se produit, d’une part, quand l’ordre des consommations est indifférent (Cf. II, III, 5), et, d’autre part, quand ne l’étant pas, il est fixé à l’avance (ce qui a toujours lieu en pratique), cette équation a un facteur intégrant et alors elle est équivalente à l’équation (3).

Soit : I=F(Ψ) son intégrale.

« En restreignant un peu [comme ci-dessus] la forme arbitraire de F, on peut faire en sorte que la fonction [F] jouisse des propriétés suivantes : si l’on fait croître d’une quantité positive dy une des variables indépendantes y, et que l’on considère la différentielle d F résultant de cet accroissement, l’individu se mouvra dans le sens des y positifs [id est agira de manière à faire croître y], si d F est positive ; il se mouvra en sens contraire si d F est négative ; il s’arrêtera si d F = 0. La fonction F est ainsi un indice des mouvements de l’individu ». Aussi M. Pareto désigne-t-il cette fonction sous le nom de fonction indice, tout en faisant observer qu’au point de vue exclusivement mathématique on pourrait se passer de donner un nom aux fonctions indices et les désigner simplement parla lettre I sans chercher dans quel rapport la quantité I se trouve avec les faits de l’expérience. Mais quelles que soient les restrictions apportées au choix de F, il n’en reste pas moins que la détermination des fonctions indices à partir des conditions de l’équilibre n’est pas univoque. On voit donc qu’en général I ne peut pas être pris comme mesure de l’ophélimité (abstraction faite de l’unité de mesure), en ce sens qu’à une ophélimité déterminée ne correspondrait qu’une valeur de I, et que, par suite, cette quantité n’est qu’un indice de l’ophélimité.

Il y a cependant un cas où la correspondance entre la fonction indice et l’ophélimité est univoque : c’est celui où les consommations sont indépendantes ; et alors la fonction F représente ce que M. Pareto désigne sous le nom d’ophélimité totale, tandis qu’il appelle les dérivées partielles de cette fonction les ophélimités élémentaires des divers biens envisagés. Or, cette ophélimité totale n’est pas autre chose que l’utilité totale de Jevons ou l’utilité effective de Walras, et les ophélimités élémentaires correspondent exactement aux utilités finales et aux raretés des mêmes auteurs. Nous retrouvons donc ainsi la fonction d’utilité tant critiquée, qui était à la base des travaux des premiers économistes mathématiciens, sous la forme d’une fonction-indice dont M. Pareto a réussi à faire abstraction dans toute son étude de l’équilibre économique, de telle sorte qu’il a pu dire de l’œuvre de ses prédécesseurs : « Il y a dans cette théorie quelque chose de superflu pour le but que nous nous proposons : la détermination de l’équilibre économique ; et ce quelque chose est précisément ce qu’il y a de douteux dans la théorie ».

Nous venons de voir quelle est en dernière analyse pour chaque individu l’équation à laquelle doivent satisfaire les variables économiques, pour que cet individu ne cherche pas à modifier les valeurs prises par ces variables, c’est-à-dire pour qu’il se considère comme réalisant le maximum de bonheur compatible avec les circonstances. Mais les équations de satisfaction maximum ne conditionnent pas à elles seules l’équilibre économique : les variables économiques ne sont pas des variables indépendantes, elles sont assujetties à certaines relations qui constituent les liaisons de mutuelle dépendance du système économique auquel appartient l’individu considéré. Il nous faut donc dire quelques mots de ces liaisons auxquelles M. Pareto, se plaçant à un point de vue moins abstrait, moins purement mathématique, si l’on peut dire, avait primitivement donné le nom d’équations des obstacles parce qu’elles constituent effectivement l’expression des circonstances (dont nous parlions tout à l’heure) auxquelles l’individu est obligé de se plier quand il s’efforce de satisfaire ses goûts.

Les liaisons sont de deux genres nettement différents.

Les liaisons du premier genre sont les plus faciles à observer, et, comme telles, elles ont été connues de tout temps par les économistes littéraires. Ce sont celles qui se traduisent par les équations auxquelles doivent satisfaire les valeurs prises par les variables au point d’équilibre, étant donnés les goûts des personnes avec lesquelles on contracte, les obstacles créés par l’organisation sociale, et enfin les nécessités afférentes à toutes les transformations : transformations matérielles proprement dites, transformations dans l’espace (transports), transformations dans le temps (mises en réserves et emprunts). Elles comprennent notamment toutes les relations qui résultent des conditions imposées à un système économique isolé — et l’on peut toujours regarder comme isolé le système que l’on étudie en tenant compte par ailleurs des échanges qui se produisent entre la collectivité considérée et les autres collectivités — par le grand principe de la conservation de la matière, telles que la condition de l’équilibre des budgets individuels et celle de la compensation des quantités de chaque marchandise offertes et demandées sur le marché de l’échange (Voir ci-dessus III, II, 1).

Les liaisons du second genre n’ont au contraire été prises en considération que récemment, par les fondateurs de l’économie pure. « L’origine de cette théorie », dit M. Pareto, « peut se voir dans le fameux problème du basket de A. Marshall » ; ce problème a été étudié aussi par F.-Y. Edgeworth. Mais ces auteurs ne paraissent pas s’être rendu compte de la généralité et de l’importance de la question. F.-Y. Edgeworth dit même en note : « Molte sottigliezze che sono necessarie per rifinire logicamente (le dottrine economiche) nella loro forma più generale ed astratta, hanno una ristrettissima portata pratica ». Aussi a-t-il été réservé au savant professeur de Lausanne de faire, pour la première fois, l’étude des liaisons de ce genre, et il en a donné la définition suivante : « Elles sont données par des équations se rapportant au chemin suivi pour passer de la position initiale à la position d’équilibre, c’est-à-dire par les opérations de la transformation de certaines quantités en certaines autres ». Il faut donc entendre par liaisons du second genre toutes celles qui sont l’expression de restrictions au libre jeu de l’activité individuelle, restrictions dont on rencontre un exemple typique lorsqu’on se trouve en présence d’un échangiste contraint d’acquérir à un prix unique la totalité d’une quantité de marchandise dont les diverses portions ne présentent pas pour lui la même utilité. C’est là, il est vrai, une indication un peu vague ; mais « il est tout aussi impossible d’énumérer toutes les liaisons des systèmes économiques, qu’il le serait d’énumérer toutes celles des systèmes mécaniques », de telle sorte que ce n’est qu’à propos des cas concrets que nous allons rencontrer par la suite qu’il nous sera permis de préciser les notions précédentes.

Ayant successivement rappelé, comme nous venons de le faire, d’une part, à quelles conditions les goûts d’individus constituant un groupement économique peuvent être satisfaits, et, d’autre part, par quelles espèces de relations sont rattachés les uns aux autres les différents facteurs d’un système économique, nous sommes désormais en possession des divers éléments qui concourent à la formation de l’équilibre économique, tel qu’il « résulte de l’opposition qui existe entre les goûts des hommes et les obstacles à leur satisfaction ». Nous allons donc pouvoir indiquer maintenant comment se présentent, sur les bases établies par M. Pareto, la théorie de l’équilibre de l’échange ainsi que la théorie de l’équilibre de l’échange et de la production — qui n’est autre chose que la théorie générale de l’équilibre économique — sous les différents régimes qui correspondent aux trois types de phénomènes que nous avons définis dans la seconde partie (II, 111, 5).

Type I

(Libre concurrence).

Considérons un marché composé de (θ+1) individus en présence de m biens (X), (Y), (Z), … et désignons par yi,o la quantité d’une marchandise quelconque (Y), dont est porteur à l’ouverture du marché un individu également quelconque (I).

Lorsque les goûts de l’individu (I), sont satisfaits dans la mesure où le permettent les liaisons, les quantités xi,yi,zi… des divers biens dont il dispose vérifient, d’après ce que nous avons vu au paragraphe 3, une relation telle que :

ψi,xdxi+ψi,ydyi+ψi,zdzi+…=0

D’un autre côté, les seules liaisons qui rattachent les unes aux autres les variables du système économique que nous envisageons, sont les liaisons du premier genre qui correspondent, d’une part, aux nécessités afférentes à l’équilibre des budgets individuels, et, d’autre part, à l’impossibilité de modifier la quantité totale de chaque marchandise (Voir III, II, 1).

Or, en introduisant les prix à titre de variables auxiliaires et en désignant conformément à la définition de Walras, par py=−δxiδyi le prix de (Y) en (X), la relation précédente peut être remplacée au point d’équilibre par les équations ci-après :