L'UNITÉ EST UN NOMBRE
Un major de place avait indiqué l'exercice pour telle heure. Il arrive et ne voit qu'un trompette: «Parlez donc, messieurs, pourquoi n'êtes-vous qu'un?»
CHAMPFORT.
¤---¤---¤
En arrivant à Melun, Nous étions un; En arrivant à Carcassonne, Nous étions personne. R. PONCHON.
¤---¤---¤
Victor Hugo avait déjà rimé des nombres moins problématiques:
En partant du golfe d'Otrante, Nous étions trente; Mais en arrivant à Cadix, Nous étions dix.
¤---¤---¤
À propos de cette discussion: si l'unité est un nombre, voir la Logique de Port-Royal, où l'opinion de Stevin est combattue.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
FONCTIONS TRANSCENDANTES
Si je nomme un logarithme, une exponentielle, un cosinus, une différentielle, une intégrale, on me demandera quels sont ces êtres inconnus? Vont-ils à deux ou à quatre pieds? Cela vole-t-il, rampe-t-il ou nage-t-il dans la mer ou dans l'eau douce? Sont-ce des êtres saisissables à nos sens, pesants, sonores, blancs ou noirs, chauds ou froids? Si ce sont des êtres métaphysiques, que peuvent-ils faire dans le monde matériel auquel ils sont étrangers? La pensée ne transporte point les montagnes et ce n'est pas avec des formules mathématiques que la nature meut et conserve le monde.
BABINET.
¤---¤---¤
Propos ironique.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
AUX ENCHÈRES
Dernièrement un astronome allemand a fait annoncer dans les journaux qu'ayant découvert une nouvelle planète, il lui donnerait le nom de la personne qui lui offrirait la plus forte somme d'argent. Ajoutons que le savant désirait acheter des instruments plus puissants pour son observatoire.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
MOITIÉ PLUS UN
Aujourd'hui le nombre est une religion. Le droit est une question d'arithmétique. La moitié plus un est persuadée qu'elle est la raison et la justice, par cela seul qu'elle est la moitié plus un.
PAUL LAFITTE.
¤---¤---¤
L'arithmétique est un procédé trop sec de gouvernement.
ROMIEU.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
BOUTADES
On raconte que le roi Alphonse, fatigué de cette complication de cercles et d'épicycles qui figuraient dans les conceptions de Ptolémée, s'écria: «Si Dieu m'eût consulté au moment de la création, je lui eusse donné de bons avis.» On a bien à tort taxé d'impiété cette boutade qui visait les hypothèses de l'astronome grec.
ARAGO.
¤---¤---¤
Laplace n'était pas un athée comme Lalande. Il ne faudrait pas prendre au pied de la lettre la réponse qu'il fit, dit-on, à Napoléon lui demandant pourquoi il n'avait pas nommé Dieu dans sa Mécanique céleste: «Sire, je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse.»
(Voir la préface de la Vie de Cauchy, par Valson).
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
NORD ET SUD
Le Nord et le Sud sont les points les plus diamétralement opposés à l'horizon.
(Extrait d'un dictionnaire.)
¤---¤---¤
Voici un vers assez drôle, qui date du premier empire:
Et du pôle glacé jusqu'au pôle brûlant.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
SEMAINE DES TROIS JEUDIS
Quoi qu'on en pense, il peut y avoir trois jeudis dans une même semaine, mais pour trois personnes différentes. Il suffit de supposer qu'il est jeudi dans un port, le lendemain et la veille du retour de deux vaisseaux qui ont parcouru la terre, l'un d'Orient en Occident, l'autre en sens contraire, à raison de trois degrés de longitude par jour.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
AVOCAT
Les données des problèmes algébriques sont nécessairement antérieures et supérieures à l'Algèbre. Pour les géomètres, mécaniciens, astronomes, physiciens et autres, ces données ne sauraient être arbitraires. Pour les algébristes proprement dits, toutes les données qui peuvent être mises en équation sont également bonnes. À ce titre, il en est de l'algébriste comme de l'avocat, qui est prêt à plaider toutes causes.
J. A. LANGLOIS.
¤---¤---¤
J'ai eu des relations avec les premiers mathématiciens du siècle, et il me semble qu'il y avait presque chez tous un petit grain de folie. Les calculs ont beau ne présenter aucune erreur, ils ne justifient pas les données imparfaites: or, les données ne sont assises que sur l'observation, l'expérience et le jugement. Sur une donnée que l'on croit vraie et qui ne l'est pas, on fait des calculs en l'air.
J. B. SAY.
¤---¤---¤
Le raisonnement algébrique n'accuse pas toujours la fausseté des prémisses.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
FINANCIERS
Quand on sait bien les quatre règles, on est un aigle en finances.
MIRABEAU.
¤---¤---¤
Prends-moi le bon parti. Laisse là tous les livres. Cent francs au denier cinq, combien font-ils? vingt livres. C'est bien dit. Vas, tu sais tout ce qu'il faut savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C'est ainsi qu'à son fils un usurier habile Trace vers la richesse une route facile: Et souvent tel y vient qui sait pour tout secret, Cinq et quatre font neuf, ôtez deux: reste sept. BOILEAU.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
CE PAUVRE ROTHSCHILD
Il fait le compte, ô ciel! de ses deux milliards, Cette somme en démence, Et si le malheureux s'est trompé de deux liards, Il faut qu'il recommence. DE BANVILLE (Occidentales.)
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
AU BACCALAURÉAT
--Quelle est la ligne la plus courte d'un point à un autre?
Le candidat, après un instant d'hésitation:
--C'est une ligne de chemin de fer.
Le professeur:--Vous oubliez la ligne télégraphique.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
HUMOUR
Si vous êtes du nombre de ces esprits positifs qui ne se contentent que des vérités absolues, et qui ne recevraient pas une idée frappée au coin de Montaigne et de Platon sans lui faire subir l'épreuve du trébuchet...
Si vous faites plus de cas d'une bonne addition que d'une similitude ou même que d'une comparaison... Eh, mon Dieu! vous n'avez qu'à parler! Il faut seulement s'entendre sur un point de départ, c'est-à-dire sur le calcul de Dioclès de Smyrne qui représente l'esprit de l'homme par le nombre mille.
Valeur en compte........................... 1000
Passons à l'analyse:
Soit Théodore, ou mon imagination.......... 0
Soit don Pic de Fanferluchio ou ma mémoire. 1
Soit Breloque, ou mon jugement............. 999
Je n'ai pas besoin de faire la synthèse devant vous; mais vous pouvez la vérifier facilement avec votre professeur de mathématiques, ou avec votre intendant, ou avec votre blanchisseuse.
Je pose donc hardiment le total!.. 1000.
CH. NODIER.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
DANSEUR
On pense à moi pour une place, mais par malheur j'y étais propre: il fallait un calculateur, ce fut un danseur qui l'obtint!
BEAUMARCHAIS.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
VIN
Diogène avait demandé à Platon quelques bouteilles de vin, Platon lui en envoya trois douzaines. Diogène le rencontrant le lendemain, lui dit quand on vous demande combien font deux fois deux, au lieu de répondre quatre, vous répondez vingt: en faisant semblant de le remercier, il lui reprochait la longueur de ses dialogues.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
CUISINE
Combien de grains de sel faut-il mettre dans un oeuf? demande Argand, dans Molière.--Six, huit, dix, par les nombres pairs, répond Diafoirus, comme dans les médicaments par les nombres impairs.
Voici, d'autre part, une fière déclaration que Hugues Le Roux met dans la bouche de nos maîtres queux:
«Mais patience! La cuisine aura son Chevreul. Un homme de génie démontrera que les saveurs, comme les sons, comme les couleurs sont des vibrations. Toutes les vérités mathématiques qui règlent les combinaisons musicales et lumineuses seront appliquées aux saveurs. On verra des élèves de l'École normale écrire au tableau des formules de sauces inconnues, que nous autres nous chercherons dans notre creuset, dans la casserole. Le siècle ne sera pas tourné que l'on ne pourra plus être un grand cuisinier si l'on n'est un grand mathématicien. Avant dix ans, notre corps se recrutera parmi les anciens élèves de l'École polytechnique.»
¤---¤---¤
Charles Dupin indique sérieusement quelque part le profit que les cuisiniers peuvent retirer des mathématiques.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
IMPERTINENCE
On demandait à Galilée à quoi servait la Géométrie. À peser, à mesurer et à compter, répondit-il, à peser les ignorants, à mesurer les sots et à compter les uns et les autres.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
PREMIER VENU
Un solliciteur demande un emploi et cherche à se faire valoir:
--Croyez bien, dit-il, que je ne suis pas le premier venu...
--En effet, vous êtes le douzième depuis ce matin...
PROBLÈMES CURIEUX
ET HUMORISTIQUES
Nos ancêtres goûtaient les récréations mathématiques et en particulier les problèmes plaisants et délectables (sic) de Bachet de Méziriac.
Nous proposons ici quelques questions de ce genre, en avertissant qu'un énoncé qui paraît facile conduit parfois à une équation supérieure.
ARITHMÉTIQUE
Combien faut-il de chiffres pour écrire les 10, les 100, les 1000, les 10000 premiers nombres, etc.?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Si l'on écrit bout à bout les nombres successifs, quel sera le chiffre occupant dans la suite un rang donné?--On trouvera, par exemple, que le 75872e chiffre est 4.
Étendons la question: on a écrit par ordre tous les nombres de 1 à 99999. Combien a-t-on écrit de chiffres en tout? Quel est le 40000e chiffre écrit? À quel nombre appartient-il? Enfin, combien y a-t-il de 0, de 1, de 2..... et de 9 dans la suite considérée?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Vaincus par les Romains, quarante juifs et l'historien Josèphe se réfugièrent dans une caverne, bien décidés à se tuer plutôt que de se rendre. Ils se mirent sur un seul rang, se comptèrent trois par trois, et tuèrent chaque fois le troisième. On demande quelle place choisit Josèphe pour échapper au massacre?
Josèphe se plaça au 16e ou au 31e rang et il resta finalement avec un seul homme qui devait se laisser tuer à son tour, mais qui préféra se rendre à l'ennemi.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un navire est menacé de sombrer. Il faut sacrifier la moitié de l'équipage.
Il y a 32 marins, 16 blancs et 16 noirs. Le capitaine les fait ranger sur une seule ligne pour les décimer. Dans quel ordre, pour sauver les 16 blancs?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Parmi les nombres 1; 11; 111; 1111... uniquement formés avec le chiffre 1, quels sont ceux qui sont composés, c'est-à-dire qui ne sont pas premiers?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Rendre compte de la particularité que présentent les produits de 12345679 par 9 et chacun des multiples de 9 jusqu'à 81.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Combien faut-il de temps pour compter jusqu'à un trillion, en supposant qu'on compte 200 nombres à la minute?
Réponse: 9512 ans.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
3 ouvriers mettent 5 heures pour aller de Paris à Versailles. Combien d'heures mettront 7 ouvriers pour faire le même voyage?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Le 26 mai 1876, l'âge de Louis était les 55/71 de l'âge de son frère Jean. Le 26 juillet suivant, il n'en était plus que les 7/9. Trouver la date de la naissance de chacun d'eux.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Faire écrire, par exemple, 7 nombres de 5 chiffres, puis en écrire soi-même, immédiatement, 7 autres de façon que la somme des 14 nombres égale (7 × 99999 ou) 499993.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Expliquer pourquoi tous les produits de 37 par 3 et ses multiples sont chacun formés de plusieurs fois le même chiffre.--De même, pour les produits de 12345679 par 9 et ses puissances.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Une fontaine était formée d'un lion en bronze, portant cette inscription: «Je puis jeter de l'eau par les yeux, par la gueule et par le pied droit. Si j'ouvre l'oeil droit, je remplirai mon bassin en deux jours et, si j'ouvre le gauche, en trois jours; avec mon pied il me faudrait quatre jours et avec ma gueule six heures. Dites combien il me faudrait de temps pour remplir le bassin en jetant de l'eau à la fois par les yeux, par la gueule et par le pied.»
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Deviner la date de la naissance d'une personne.
Faites écrire bout à bout les nombres obtenus en ajoutant respectivement 30, 60 et 50 au quantième, au numéro du mois et à l'âge, puis retranchez 306050 du nombre obtenu, il suffit ensuite de lire le reste.
Exemple: 18 mars 1842, alors 18 + 30 = 48, puis mars étant le 3e mois, 3 + 60 = 63 et enfin puisque, en 1890, l'âge est 48, 48 + 50 = 98; on écrit 486398 dont on retranche 306050, il reste 18348, soit le 18 du 3e mois et la personne est âgée de 48 ans.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver la racine carrée de 2/3 à 1/3 près, de 3/4 à 1/4 près, de 5/6 à 1/6 près, etc., en général de n - 1/n à 1/n.--Même question pour la racine cubique, la racine quatrième, etc.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Une femme doit partager un héritage de 350000 fr. avec son enfant à naître: si elle a un fils, elle ne recevra que la moitié de la part de ce fils, mais si elle a une fille elle prendra au contraire le double de la part de sa fille. Il advient que la femme a deux jumeaux, un fils et une fille. Comment répartira-t-on l'héritage?
Réponse.--À la mère 100 000 fr., au fils 200 000 fr., à la fille 50 000 fr.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Montrer que la différence des deux escomptes égale l'escompte en dehors de l'escompte en dedans et qu'elle égale aussi l'escompte en dedans de l'escompte en dehors.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On appelait règle d'or notre vulgaire règle de trois, qui est un problème et non une règle, et où il s'agit généralement de plus de trois nombres.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Voir dans Taine (De l'Intelligence, t. 1) la philosophie de la règle de trois.
«J'ai un jardin enclos de haies, et on me vole mes fruits; je me décide à l'entourer d'un mur, je prends ce que je trouve d'ouvriers dans le village, quatre par exemple et je vois au bout d'un jour qu'ils m'ont fait ensemble seulement douze mètres. J'envoie chercher six autres ouvriers au village voisin...»
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Le fameux 45 peut être divisé en 4 parties telles qu'on obtienne le même résultat, en ajoutant 2 à la première, en retranchant 2 à la seconde, en multipliant la 3e par 2 et enfin en divisant la 4e par 2. (Question analogue pour 75 et 4.)
En second lieu, on a:
987654321 45 123456789 45 --------- 864197532 45
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver m nombres entiers consécutifs dont aucun ne soit premier.
Former N = 2 × 3 × 4 × 5 × 6... × m × (m + 1), puis prendre N + 2, N + 3, N + 4,... N + m + 1.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
D'un nombre de trois chiffres, on retranche le nombre renversé et on donne le nombre des unités de la différence. Deviner les deux autres chiffres.
Réponse: Dans la différence, le chiffre des dizaines est toujours 9 et la somme des deux autres chiffres est toujours 9.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Combien y avait-il de pêches dans un panier que j'ai distribué à mes trois enfants? Le premier a reçu la moitié du tout plus la moitié d'une pêche; le second la moitié du reste plus la moitié d'une pêche; enfin le 3e la moitié du reste plus la moitié d'une pêche. Il m'est alors resté quatre pêches et je n'ai eu à couper aucune pêche.
Réponse: 39.--Autres solutions, lorsqu'on n'indique plus le nombre des pêches restantes: 7; 15; 23; 34; 47... Généralisation pour n enfants.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les enfants montrent que 6 et 7 font 9; que 6 et 3 font 8; que 4 et 2 font 1, etc. Pour cela, ils tracent autant de petits traits verticaux que l'indique le premier des trois nombres et ils les joignent convenablement par autant de traits horizontaux ou inclinés que l'indique le second nombre, de façon à écrire, en lettres capitales, le troisième nombre.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Sur le bord d'une rivière se trouvent trois rois et trois valets. Ces derniers ont projeté de tuer les rois. Il n'y a qu'un bateau si petit que deux personnes seules peuvent y tenir. Il s'agit d'opérer l'embarquement de telle sorte que les valets ne soient jamais sur une rive en nombre supérieur aux maîtres.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver un nombre de trois chiffres sachant qu'il est divisible par 5 et que le quotient est le nombre formé par les deux derniers chiffres du nombre demandé.
Les seules solutions sont 125, 250 et 375.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver deux nombres sachant que l'un d'eux surpasse l'autre de 13-1/2 et le contient 13 fois 1/2.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Vous demandez mon âge et mon prénom?
Mon âge est égal à son tiers plus le produit de son neuvième par les deux tiers de son septième. Quant à mon prénom, vous le trouverez dans le calendrier si à la moitié du nombre des jours écoulés depuis le commencement de l'année vous ajoutez le tiers des jours à courir du jour de ma fête jusqu'à la fin de l'année ordinaire.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver un nombre de 4 chiffres égal au carré du nombre formé par ses deux derniers chiffres.
Réponse: 5776.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
De combien de marches se compose un escalier quand en le montant de deux en deux, il en reste une; de trois en trois, il en reste deux; de quatre en quatre, il en reste trois; de cinq en cinq, il en reste quatre; de six en six, il en reste cinq; et de sept en sept il n'en reste pas.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver un nombre égal au cube de la somme de ses chiffres.
Réponse: 6859; 4913; 1; 512; 17576; 19683.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Dans son Monte-Christo, Alexandre Dumas demande d'établir une addition composée de tous les neuf premiers chiffres sans les répéter et sans employer le zéro, de façon que le total soit cent.
Réponse: 74; 25; 3/6; 9/18.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les nombres 49; 4 [48/] 9; 44 [48/] 89; 444 [48/] 889 etc., obtenus en insérant 48 au milieu du précédent sont des carrés parfaits.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver un nombre entier x tel que la somme des x premiers nombres entiers se compose de 3 chiffres égaux.
Réponse: seulement x = 36 et alors la somme des 36 premiers nombres est 666.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un nombre quelconque étant donné, si on le récrit en plaçant le 1er chiffre sous le 4e et si l'on ajoute, on a le nombre primitif multiplié par 7 × 11 × 13.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Dans un compte, on trouve l'article suivant:
{*}1 à 2^{f},{*}8 ci............ {*}98^{f},38.
Les astérisques indiquent des chiffres effacés ou illisibles qu'il s'agit de rétablir.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trois frères ont 30 ans, 20 ans et 6 ans; dans combien d'années la somme des âges des deux plus jeunes égalera-t-elle l'âge de l'aîné?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Combien faut-il de chiffres pour paginer un livre de 1645 pages?
Il en faut 5473.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quel est le nombre de pages d'un dictionnaire dont la pagination a nécessité 15321 chiffres?
4107 pages.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On demande le nombre de 3 chiffres dont le double représente le nombre des chiffres de tous les nombres non supérieurs au nombre cherché.
Réponse: 108.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver deux nombres entiers tels que leur somme égale leur produit.--Même question pour trois nombres.
Réponses: 1º 2 et 2; 2º 1, 2 et 3.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver un nombre entier de deux chiffres qui soit égal au double produit de ses chiffres.
Réponse: 36.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Une brebis, un agneau et deux lapins mangeraient l'herbe d'un enclos, la première en 30 jours, le 2e en 45 jours et les deux derniers en 90 jours, si cette herbe ne poussait pas; mais l'herbe se renouvellerait en 60 jours. Dans combien de jours, l'herbe de l'enclos sera-t-elle épuisée?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quels sont les nombres égaux à la somme des chiffres de leurs cubes?
Ce sont 1, 8, 17, 18, 26 et 27.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un escargot grimpant le long d'un poteau de 12 mètres fait 3 mètres le jour et redescend 2 mètres la nuit. Au bout de combien de jours et de nuits aura-t-il atteint le sommet du poteau?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Une ficelle a 30m de long; chaque jour, d'un coup de ciseau, on en coupe un mètre. Dans combien de jours aura-t-on fini?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un arabe laisse à ses trois fils 17 chameaux. Le premier doit en avoir la moitié, le second le tiers et le troisième le neuvième. Comment répartir les 17 chameaux?
Le cadi appelé arrive monté sur son chameau, il y a alors 18 chameaux, le premier des frères en reçoit 9, le deuxième 6 et le troisième 2. Le cadi remonte sur son propre chameau et rentre sous sa tente.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Y a-t-il sur le globe deux hommes ayant le même nombre de cheveux?
Soit 100 000, par exemple, le nombre de cheveux maximum sur une seule tête, alors il n'y a pas plus de 100 000 individus ayant un nombre de cheveux différent, or la terre compte plus de 100 000 habitants...
Question proposée par Nicole à la duchesse de Longueville.--Auguste Comte en parle aussi.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver 6 fois 13 en 12.
Écrire les 12 premiers nombres, prendre les produits des extrêmes et ceux des nombres qui en sont équidistants.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les trois Grâces, portant chacune le même nombre de couronnes, rencontrent les neuf Muses et leur distribuent des couronnes de façon que chaque Grâce et chaque Muse en ait autant l'une que l'autre. On demande combien chaque Grâce portait d'abord de couronnes?
Extrait de l'Anthologie grecque.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Sur le bord d'une rivière se trouvent un loup, une chèvre et un chou; il n'y a qu'un bateau si petit, que le batelier seul et l'un d'eux peuvent y tenir. Il s'agit de les passer tous les trois, de telle sorte que le loup ne mange pas la chèvre, ni la chèvre le chou en l'absence du batelier.
Ce problème de Bachet a peut-être donné lieu à la locution: «Ménager la chèvre et le chou», à moins qu'il n'ait été inspiré par elle.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trois piétons, marchant ensemble, ont fait 24 lieues; combien chacun a-t-il fait de lieues?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Nous empruntons aux Récréations scientifiques de M. Lagarrigue, le problème suivant:
Trois femmes vont au marché pour vendre des oranges; la 1re en a 50, la 2e 30 et la 3e 10. Comment pourront-elles faire pour vendre leurs oranges au même prix et pour rapporter cependant chacune la même somme?
Réponse.--Les femmes vendent leurs moins belles oranges à 7 pour 5 centimes autant de fois que possible, puis le reste à 15 centimes pièce.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un cuisinier donne la moitié de ses oeufs et la moitié d'un oeuf, à son 1er aide; au 2e aide, la moitié du reste des oeufs et la moitié d'un oeuf; au 3e aide, encore la moitié du reste des oeufs et la moitié d'un oeuf. Combien le cuisinier avait-il d'oeufs et comment a-t-il pu procéder, pour ne pas casser d'oeufs?
Réponse.--39 oeufs, par exemple, et il en reste ensuite 4 au cuisinier.
GÉOMÉTRIE
Diviser un triangle en deux parties qui aient à la fois même périmètre et même surface.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Construire un triangle, un pentagone, et plus généralement un polygone d'un nombre impair de côtés, connaissant les milieux de tous les côtés.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quelle est la graduation de l'arc qui a la même longueur que le rayon?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Tout triangle dont deux des bissectrices sont égales est isoscèle.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Connaissant le rayon d'un rouleau de papier peint et le nombre des feuilles, déterminer la longueur du rouleau.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Décrire une route circulaire équidistante de quatre points.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Étant donné un point sur une sphère impénétrable, construire le point diamétralement opposé, en se servant du compas sphérique.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver avec le compas seulement les points de division d'une circonférence en quatre parties égales.--De même, en cinq, huit, douze, etc. parties égales.
On peut résoudre des problèmes avec le compas seul; on peut aussi en résoudre avec la règle seule.
On a ainsi la géométrie du compas et la géométrie de la règle.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Inscrire dans un cercle un polygone régulier de dix-sept côtés.
Gauss, dans ses Disquisitiones arithmeticæ, démontre qu'on peut construire, avec la règle et le compas, le côté de tout polygone régulier inscrit dont le nombre des côtés est premier de la forme 2^{m} + 1.
Il y a de curieuses relations entre les équations binomes et l'inscription des polygones réguliers.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Le triangle de Pythagore a pour côtés les nombres consécutifs 3, 4 et 5 et, en multipliant ces nombres par un nombre entier quelconque, on obtient une infinité de triangles rectangles, à côtés entiers.
Ce triangle simple permet d'élever, à l'aide de trois cordeaux, la perpendiculaire en un point d'une droite.
On déduit du triangle de Pythagore un autre triangle rectangle à côtés entiers, qui ne lui est pas semblable, en prenant pour côtés de l'angle droit la différence des carrés des deux côtés primitifs et le double produit de ces mêmes côtés. On trouve 7, 24 et 25.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Si les côtés de trois polygones semblables sont proportionnels à 3, 4 et 5, la surface du plus grand vaut la somme des surfaces des deux autres.
Proposition analogue pour quatre polyèdres semblables dont les côtés sont proportionnels à 3, 4, 5 et 6. On considère alors les volumes.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Deux villages occupent des positions connues des deux côtés d'un ruisseau, établir un pont qui soit équidistant de chacun d'eux.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Étant donné un triangle isoscèle, construire un second triangle isoscèle de même surface et de même périmètre que le premier.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un gourmet paye un franc une botte d'asperges, entourée d'une ficelle; le lendemain, il demande pour deux francs une botte des mêmes asperges, qui soit entourée d'une ficelle double. Est-ce équitable?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Couper une pyramide quadrangulaire quelconque suivant un parallélogramme.
Couper un cube suivant un hexagone régulier.
Couper un prisme suivant un triangle équilatéral.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On propose de recouvrir entièrement une portion de plan avec un carrelage formé de polygones réguliers de même espèce, ou d'espèces différentes.
Montrer qu'on peut exécuter un pavage avec des triangles équilatéraux, ou avec des carrés, ou avec des hexagones réguliers, mais qu'on ne le peut avec des pentagones réguliers ou des polygones réguliers de plus de six côtés.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
M. X... laisse à sa mort un pré carré dont on doit donner le quart aux pauvres, puis partager le reste entre les quatre enfants du défunt, en quatre parties de même surface et de même forme.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver un triangle rectangle dont les côtés soient des nombres entiers et dont l'aire soit exprimée par le même nombre que le contour.
Réponses: 5, 12 et 13; 6, 8 et 10.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Décrire une circonférence tangente à trois circonférences données.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Décrire trois circonférences telles que chacune touche les deux autres et soit tangente à un côté d'un triangle donné.
MALFATTI.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Construire un triangle connaissant ses trois médianes ou ses trois hauteurs.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Tracer sur le terrain l'ovale de jardinier avec trois piquets et un cordeau.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Inscrire un carré à un triangle.--Sur lequel côté s'appuie le plus grand carré?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Décomposer un pentagone régulier en sept parties, de façon qu'assemblées convenablement, elles forment un carré.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver la surface d'une figure qu'il est impossible de décomposer en figures géométriques calculables.--Même question pour le volume.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver la distance des centres de deux sphères données, en ne se servant que de la règle et du compas.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
1º Mener la bissectrice d'un angle dont on ne peut pas prolonger les côtés jusqu'à leur point de rencontre.
2º Mener par un point donné une droite qui irait passer par le sommet de l'angle précédent.
3º Distance d'un point à un point inaccessible.
4º Distance de deux points inaccessibles.
5º Hauteur d'une tour dont le pied est accessible.
6º Hauteur d'une tour ou d'une montagne dont le pied est inaccessible.
7º Rayon d'un bassin inaccessible.
8º Prolonger une droite au-delà d'un obstacle.
9º Déterminer la largeur d'une rivière qu'on ne peut traverser.
10º Reconnaître si quatre points sont dans un même plan, puis s'ils sont sur une même circonférence.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Au grand soleil, je viens de mettre La lance de mon étendard; Sa longueur vaut trois fois le mètre; Son ombre a cinq mètres un quart. Vois aussi la tour de l'église: Par son nombre elle marque cent. Calcule la hauteur précise Du vieux clocher retentissant. VITREY.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Décomposer un carré en portions telles, qu'en les réunissant convenablement, on forme: 1º huit carrés égaux, 2º cinq carrés égaux, 3º trois carrés égaux.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un jour d'été, une pie aperçoit de l'eau dans un trou conique de 3 pouces de diamètre au fond. Elle accourt et constate que l'eau a une surface de 6 pouces de diamètre et s'élève à une hauteur de 2 pouces. La pie ne pourrait atteindre l'eau que si sa surface avait 8 pouces de diamètre. Elle vole vers un trésor qu'elle a découvert, combien faudra-t-il qu'elle y prenne de pièces de monnaie d'une ligne d'épaisseur et de 16 pouces de diamètre pour qu'en les portant dans l'eau elle puisse boire à son aise?
Cette pie n'était pas curieuse du système métrique.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un étang a la forme d'un carré; au sommet de chacun des angles est planté un arbre extérieur. Donner à l'étang une surface double sans changer sa forme et sans déplacer les arbres qui doivent toujours rester en dehors de l'étang.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Faire un dodécagone équilatéral et rectangulaire.
(Il est concave: c'est la croix de Genève.)
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Au milieu d'une pièce d'eau carrée de 10 pieds de longueur et de largeur pousse un roseau qui s'élève d'un pied au-dessus de l'eau. En le tirant vers le milieu d'un côté, il atteint juste le bord. Quelle est la profondeur de l'eau?
La réponse à ce très ancien problème chinois est 12 pieds.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Partager un cercle en un nombre donné quelconque de parties ayant toutes le même périmètre et la même surface.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Étant donnés deux sommets d'un carré, déterminer les deux autres à l'aide du compas seul.
ALGÈBRE
Passant, sous ce tombeau repose Diophante, Et quelques vers tracés par une main savante Vont te faire connaître à quel âge il est mort; Des jours assez nombreux que lui compta le sort, Le sixième marqua le temps de son enfance; Le douzième fut pris par son adolescence. Des sept parts de sa vie une encore s'écoula, Puis, s'étant marié, sa femme lui donna Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère, Reçut de jours, hélas! deux fois moins que son père. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut: Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.
SOLUTION
Représente par x le nombre en question Et, sans rien oublier, pose une équation Où dans le premier membre on trouve le sixième, Puis le douzième d'x, augmentés du septième. Ajoutes-y neuf ans: le tout égalera La moitié d'x. Transpose, ajoute... et cætera. Tu verras aisément, sans qu'on puisse en rabattre, Que l'âge du bonhomme est bien quatre-vingt-quatre.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un mulet et un âne portent des charges de quelques quintaux. L'âne se plaint de la sienne et dit au mulet: il ne me manque que de porter encore un quintal de ta charge pour que la mienne soit le double de la tienne. Le mulet répond: et moi, si je prends un quintal de ta charge, la mienne sera triple de la tienne. On demande combien de quintaux ils portent chacun.
EULER.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
En supposant qu'il faille 24 clous, pour ferrer un cheval, et que le maréchal prenne un centime pour le 1er clou, 2 centimes pour le 2e, 4 centimes pour le 3e, etc., en doublant toujours. À combien reviendront le 24e clou et tous les clous ensemble?
Réponse: 83.886 fr. 08 et 167.772 fr. 15.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quelqu'un a un vase de douze litres plein de vin; il veut faire un cadeau de six litres ou de la moitié, mais il n'a pour mesurer les six litres que deux vases, l'un de huit litres, l'autre de cinq. Comment s'y prendre pour mettre les six litres dans le vase de huit?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un gentilhomme fait faire deux habits, l'un bleu et l'autre écarlate, mais il n'en fait garnir qu'un en or. Le bleu vaut 84 fr., sans le galon. Si l'on pose le galon sur le bleu, son prix est double de celui de l'autre. Si, au contraire, le galon est mis sur l'habit écarlate, le prix de celui-ci sera triple de celui du bleu. Calculer séparément le prix de l'habit écarlate et le prix du galon.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Il y a actuellement près d'un milliard trois cents millions d'hommes et l'augmentation annuelle de la population est d'environ 1/200. Combien y a-t-il d'années que vivaient Adam et Ève?
Réponse: 4.100 ans.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Bacchus, ayant vu Silène Auprès de sa cuve endormi, Se mit à boire sans gêne Au dépens de son ami. Ce jeu dura pendant le triple du cinquième Du temps qu'à boire seul Silène eut employé; Il s'éveille bientôt, et son chagrin extrême Dans le reste du vin est aussitôt noyé. S'il eût bu près de Bacchus même, Ils auraient, suivant le problème, Achevé six heures plus tôt; Alors Bacchus eût bu, pour son écot, Deux tiers de ce qu'à l'autre il laisse. Ce qui maintenant m'intéresse, Est de savoir exactement, Le temps qu'à chaque drôle il faut séparément Pour vider la cuve entière, Sans le secours de son digne confrère.
Voici la réponse, par un élève du lycée Charlemagne:
Dans cette occasion Silène eut tout l'honneur. En quinze heures, Bacchus acheva la besogne; Il n'en fallut que dix au digne précepteur: J'en conclus qu'il était de moitié plus ivrogne!
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un maître promet à son valet 360 fr. par an et une livrée; il le renvoie au bout de 10 mois et en lui donnant 290 fr. et la livrée. Combien valait cette livrée?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Combien doit-on à un maçon qui s'était engagé à creuser un puits de 20 mètres de profondeur et qui tombe malade après avoir creusé le dixième mètre?
Réponse: 125 francs, si l'on suppose qu'on paye cinq francs pour creuser une profondeur d'un mètre et pour emporter la terre.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Construire avec un carton carré, la boîte de capacité maximum.--Cas où le carton est rectangulaire.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Construire avec une toile carrée la tente régulière carrée de capacité maximum.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
À quelle distance du pied de la colonne Vendôme, un vieux soldat doit-il se placer pour voir son Empereur sous le plus grand angle possible?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Une dame, ayant laissé tomber un bijou dans le lac de Genève, promet 100 fr. aux plongeurs qui le lui rapporteront. Trois sociétés de bateliers se présentent, l'une de Genève, la 2e de Suisse et la 3e de Savoie. Les bateliers de la société qui fera la découverte recevront 5 fr. par tête et le reste sera partagé également entre les autres. Si les Genevois réussissent, les autres auront 2^{f}(1/4); si ce sont les Suisses, les autres auront 1^{f}(2/3); enfin si ce sont les Savoisiens, les autres auront 1 fr. par tête. On demande de combien de bateliers se compose chaque société.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Deux horloges A et B sonnent l'heure en même temps; A avance de 3 secondes sur B. Les coups de l'horloge A se succèdent à 5 secondes d'intervalle, ceux de B à 4 secondes, d'ailleurs lorsque l'intervalle qui sépare deux coups ne surpasse pas une seconde, l'oreille ne perçoit qu'un son. On a entendu 14 coups; quelle heure est-il?
Réponse: 10 heures.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Comment deviner un nombre pensé?
1º Du carré du nombre immédiatement supérieur, faites retrancher le carré du nombre; on vous dit la différence, vous retrancherez un, puis vous prenez la moitié.
2º Vous pouvez aussi faire multiplier le nombre immédiatement supérieur par le nombre immédiatement inférieur; on vous dit le produit, vous ajoutez un, puis vous prenez la racine carrée.
3º Autrement: faites tripler le nombre pensé, retranchez ensuite un, triplez le nouveau résultat et ajoutez ensuite le nombre pensé; demandez ce qu'on a ainsi obtenu, ajoutez 3 au résultat et prenez les dizaines du nombre obtenu.
4º On peut encore faire tripler le nombre, prendre la moitié du triple, tripler cette moitié et enfin prendre le neuvième du résultat: en doublant ce neuvième, on aura le nombre primitif.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Dans une cage de lapins et de faisans, il y a en tout 35 têtes et 94 pattes.
Combien y a-t-il d'animaux de chaque espèce?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Lorsqu'un ouvrier travaille tous les jours, même le lundi, il économise 5 francs par semaine; mais quand il ne travaille pas le lundi, il se met en retard de 3 fr. Au bout de 12 semaines il a épargné 36 fr.; combien a-t-il eu de bonnes semaines?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Combien un piéton fait-il de kilomètres à l'heure, sachant qu'ayant fait 24 kilomètres, s'étant reposé une heure et ayant fait ensuite 15 kilomètres en marchant deux fois moins vite, son voyage a duré 14 heures et demie?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Archimède, voulant connaître la composition en or et en argent de la couronne du roi Hiéron, constata qu'elle pesait 20 livres dans l'air et qu'elle perdait une livre 1/4, lorsqu'on la pesait dans l'eau. Les densités de l'argent et de l'or sont 10,5 et 19. Quelle était la composition de la couronne?
(On sait qu'un corps plongé dans un liquide perd une partie de son poids égale à celui du liquide qu'il déplace.)
C'est Vitruve qui nous a fait connaître l'expérience d'Archimède.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Deux localités A et B étant distantes de 225 kilomètres, le quintal de charbon coûte 3 fr. 75 en A et 4 fr. 25 en B et le transport 0 fr. 08 par tonne et par kilomètre. On demande le point entre A et B où le charbon revient au même prix, qu'on le fasse venir de A ou de B.--Montrer que c'est en ce point que le charbon revient le plus cher.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On vous nomme un nombre, faites écrire à la suite le nombre renversé et diviser le nombre total successivement par 7, par 11 et par 13. Deviner le dernier quotient.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un vieillard, fin spéculateur, qui a ses trente-deux dents, fait le marché suivant: les sommes qu'il touchera pour chaque dent extraite de sa bouche seront en progression géométrique de premier terme et de raison 2. Mais pour chaque dent non extraite de la même bouche, les sommes à payer au dentiste seront en progression géométrique de premier terme et de raison 3. Contrairement à ses prévisions, le vieillard se trouve mal après l'extraction de la dix-neuvième dent et renonce à continuer. Calculez: 1º la somme qui eût été gagnée si l'extraction des trente-deux dents avait été complète; 2º la somme à payer au dentiste par suite des treize dents non arrachées.
(Ce problème de dentiste est baroque.)
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
18 boeufs ont mangé en 2 jours l'herbe contenue dans 55 ares de terrain, plus l'herbe qui y a poussé pendant ces 5 jours.--15 boeufs ont mangé en 8 jours l'herbe contenue dans 70 ares de terrain, plus l'herbe qui y a poussé pendant ces 8 jours.--Combien faudra-t-il de boeufs pour manger en 20 jours l'herbe contenue dans 385 ares de pré, plus l'herbe qui y pousserait pendant ces 20 jours?
Réponse: 39 boeufs.
NEWTON.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un banquier qui fait pour 10 millions d'affaires par an, veut savoir ce qu'il gagne à renouveler le placement de ses capitaux 2 fois, 3 fois, 4 fois, etc., par an et enfin en les replaçant à chaque instant. (Les intérêts se composent à 6%.)
Réponse: Au lieu de 10600000 fr., le banquier a au bout de l'année 10612080 fr., etc., etc., et enfin 10618365 fr.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver entre 1000 et 2000 deux nombres consécutifs dont la différence des cubes soit un carré?
M. L. Thomas trouve 1455 et 1456.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un marchand de bestiaux achète 40 moutons à 32 fr. pièce; il en perd un certain nombre et revend les autres en augmentant par tête le prix d'achat d'autant de francs qu'il a perdu de moutons. Il gagne ainsi 15 fr. sur son marché. Combien avait-il perdu de moutons?
Même question, en supposant que le marchand ne gagne ni ne perd sur son marché.
Même question encore, en supposant que le marchand perd 20 fr. sur son marché.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un voyageur, d'une taille de 1m,80, s'avance vers un phare allumé; au début son ombre est de 3m et, lorsqu'il a avancé de 100 mètres, son ombre est de 2m,20; à quelle distance est-il du phare dans sa seconde position et quelle est la hauteur du phare?--Même question lorsqu'on ne donne pas la taille de l'homme et qu'on ne demande pas la hauteur du phare.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver l'âge, en 1892, d'une personne, sachant qu'il est égal à la somme des chiffres de l'année de la naissance.
Réponse: 19 ans.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Une montre à trois aiguilles marque deux heures; à quelle heure l'aiguille des secondes sera-t-elle bissectrice de l'angle des deux autres?--Les pointes des trois aiguilles peuvent-elles former un triangle équilatéral?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
D'après l'article 757 du Code civil, le droit de l'enfant naturel est d'un tiers de la portion héréditaire qu'il aurait eue s'il eût été légitime. Partager en conséquence la succession d'une personne qui laisse l enfants légitimes et n enfants naturels.
Réponse.--En prenant l'héritage pour unité, M. Catalan trouve pour la part d'un enfant légitime:
(1/l)-(n/3 l(l+1))+(n(n+1)/3^{2}l(l+1)(l+2))-... ±(n(n-1)...3.2.1/3^{n}l(l+1)...(l+n))
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un renard poursuivi par un lévrier a 60 sauts d'avance; le renard fait 9 sauts pendant que le lévrier en fait 6, mais trois sauts du lévrier en valent 7 du renard. Après combien de sauts le lévrier atteindra-t-il le renard?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un lévrier vient d'atteindre un lièvre qui avait 77 sauts d'avance. On sait que 12 sauts du lévrier en valent 17 du lièvre et que pendant que le lévrier aurait fait autant de sauts qu'en a fait le lièvre, celui-ci en aurait fait 216 de plus. Combien le lièvre avait-il fait de sauts avant d'être atteint?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un père a 49 ans et son fils en a 10. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le quadruple de celui du fils?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
À quel prix un bouquiniste avait-il acheté un vieux livre, sachant que, l'ayant revendu 171 fr., il a gagné autant pour cent que le livre lui avait coûté?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Deux bureaux de bienfaisance ont distribué chacun 1200 francs à des pauvres; le second en a secouru 40 de plus que le premier, mais il a donné 5 francs de moins à chacun. Combien chaque bureau a-t-il secouru de pauvres?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quand les deux orifices sont ouverts, un réservoir est vidé en 15 heures; le petit étant seul ouvert, met 16 heures de plus que le grand pour vider le bassin. Combien de temps chaque orifice met-il seul pour vider le bassin?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Le roi des Perses ayant demandé à Sessa, l'inventeur du jeu des échecs, quelle récompense il désirait, Sessa répondit qu'il désirait un grain de blé pour la première case, deux pour la seconde, quatre pour la troisième, huit pour la quatrième et ainsi de suite, en doublant toujours jusqu'à la soixante-quatrième case.
Le roi sourit; or, en faisant le calcul, on trouve 2^{64}-1 = 18.446.744.073.709.551.615 grains de blé, huit fois plus que la terre ne produirait en un an, si toute sa surface était ensemencée en blé.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un tonneau contient cinquante litres de vin pur; on en retire deux litres qu'on remplace par de l'eau; du nouveau vin on retire encore deux litres qu'on remplace par de l'eau; on agit de même une troisième fois, on demande la composition en vin et en eau du mélange final.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Combien a-t-on eu de mètres d'étoffe pour 180 fr.; sachant que si, pour ce prix on avait eu 2 mètres de plus, chaque mètre aurait coûté 3 francs de moins?
EULER.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Combien une horloge, sonnant les heures, les quarts, les demies, les trois quarts, frappe-t-elle de coups pendant le tour du cadran?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Déterminer sur la droite qui joint deux lumières le point également éclairé.
CLAIRAUT.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver un triangle ayant pour côtés trois nombres entiers consécutifs et dont le plus grand angle soit double du plus petit.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un arpenteur, après avoir mesuré un terrain rectangulaire, en a oublié les dimensions, mais il sait que leur somme est 650 mètres et que la superficie du terrain est de 10 hectares 46 ares 45 centiares. Calculer les deux dimensions du champ.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Des singes s'amusaient: de la troupe bruyante Un huitième au carré gambadait dans le bois; Douze criaient tous à la fois Au haut de la colline verdoyante. Combien étaient-ils au total?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
D'un essaim de mouches à miel Prends la moitié, puis la racine; Dans un champ de jasmin, cette troupe butine. Huit neuvièmes du tout voltigent dans le ciel. Une abeille solitaire Entend, dans un lotus, son mari bourdonner: Attiré par le miel, pendant la nuit dernière, Il s'était fait emprisonner. De combien est l'essaim, le saurais-tu, ma chère?
Ce problème et le précédent sont traduits par M. L. Rodet du Lilawâti, recueil mathématique en vers que l'hindou Bhâscara, vivant au XIIe siècle, dédia à sa fille.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver les rayons d'un cylindre et d'un cône, de même hauteur connue, sachant qu'ils sont équivalents en volume et en surface.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Le prix du diamant étant proportionnel au carré de son poids, un diamant cassé en deux morceaux quelconques perd de sa valeur; dans quel cas la dépréciation est-elle la plus grande possible?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quelle annuité faut-il payer pour réduire de moitié, au bout d'un temps donné, une dette contractée à intérêts composés à un certain taux?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Dans le trajet d'une voiture, on a remarqué que la roue du devant, qui a 2m,20 de tour, a fait 2000 tours de plus que la roue de derrière, qui a 4 mètres de tour. Quelle est la longueur du trajet?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On fait une première saignée et on pèse la partie solide du sang coulé; on injecte un poids connu d'eau distillée: on fait une seconde saignée de même poids que la première et on pèse encore la partie solide. Calculer d'après ces expériences, le poids du sang circulant dans le corps.
VALENTIN.
À l'aide de données numériques que nous omettons, on trouve 14 kilogrammes, nombre un peu trop fort parce qu'on néglige l'eau transsudée pendant les cinq minutes nécessaires pour que l'eau se répartisse dans tout le sang.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Pour calculer la profondeur d'un puits, on peut noter, avec une montre à secondes, combien de temps il s'écoule entre l'instant où on laisse tomber une pierre à l'ouverture du puits et l'instant où l'on entend le choc contre le fond.
NEWTON.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Calculer la vitesse propre d'un bateau, sachant que pour descendre 24 kilomètres sur une rivière dont le courant est de 3 kilomètres par heure et pour remonter ensuite 13 kilomètres, il a fallu en tout 7 heures au bateau.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver un nombre de deux chiffres égal au produit de la somme de ses chiffres par leur différence.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Sur le bord d'une rivière s'élève une colonne surmontée d'une statue; un observateur, placé sur la rive opposée, voit sous un même angle la statue et un soldat placé au pied de la colonne: on demande, connaissant les hauteurs de la colonne, de la statue et du soldat, de calculer la largeur de la rivière.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Voici un joli tour: il s'agit de deviner une carte pensée.
On prend au hasard 21 cartes que l'on range en 3 paquets de 7 cartes, en en plaçant d'abord 3 à côté l'une de l'autre, puis les 3 cartes suivantes successivement sur les 3 premières et ainsi de suite. On demande à une personne de penser une des cartes qu'elle voit ainsi ranger et on lui demande dans quel paquet se trouve la carte pensée. On met alors les 3 paquets l'un au-dessus de l'autre, en ayant soin de placer au milieu le paquet contenant la carte pensée, les rectos des cartes étant tous du même côté. On range de nouveau les cartes en 3 paquets de 7 cartes en procédant comme tout à l'heure, on demande encore dans quel paquet se trouve la carte pensée, on place ce paquet entre les deux autres et on recommence une troisième fois la même manoeuvre.--Finalement, la carte pensée se trouve être la onzième!
MÉCANIQUE
Deux courriers marchant uniformément sur deux droites, quelle position occupent-ils lorsque leur distance est minimum?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Faire tourner les deux pieds autour des talons restant fixes, jusqu'à ce que la base d'appui soit maximum: c'est alors que la stabilité est la mieux assurée.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Une marchande de cerises a perdu ses poids; arrivée sur le marché, elle trouve un grès de 40 livres, le partage en quatre morceaux et vend au détail la marchandise: Quels sont les poids des quatre fragments qui servent pour les pesées entre 1 et 40 livres?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
À deux de ses clients, un marchand pèse un même poids de marchandise, avec une balance à bras inégaux. Il intervertit dans les deux cas l'usage des plateaux. Le marchand, en procédant ainsi, gagne-t-il ou perd-il?
Il perd.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Centre de gravité d'une sphère dans l'intérieur de laquelle est pratiquée une cavité sphérique; 2º lorsque la cavité est remplie de substance différente.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Calculer l'heure indiquée par une horloge, sachant que les aiguilles sont dirigées: la petite dans l'intervalle entre les chiffres XI et XII du cadran, la grande dans celui entre les chiffres XII et I et que la marche naturelle du mécanisme peut à un autre instant les substituer l'une à l'autre.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un commerçant se servant d'une balance fausse gagne 11% de plus que si elle était exacte. Mais s'il changeait de plateau, la marchandise et les poids, son gain serait nul. Quel serait le gain pour cent, si la balance était exacte?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Expliquer la suspension des cerfs-volants sous l'action du vent et de la traction de la corde.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Faire voir qu'en orientant convenablement la voile, on peut, sous l'action d'un vent de direction donnée, faire prendre à un bateau des directions presque en sens contraire.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les deux problèmes suivants sont dûs à M. G. Tarry:
3 ballons se meuvent uniformément en ligne droite; on donne leurs positions à 2 instants différents. Construire une droite qui puisse être parcourue uniformément par un ballon, de façon que les trois premiers ballons paraissent immobiles à l'aéronaute du 4e.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
4 trains se meuvent uniformément sur des voies rectilignes; on donne leurs positions à 2 instants différents. Construire une voie rectiligne qui puisse être parcourue uniformément par un train de façon qu'à tout instant les 4 premiers trains paraissent immobiles aux voyageurs du 5e.
ASTRONOMIE
On demande combien de kilomètres par minute parcourt un paralytique du Pérou, qui se croit cloué sur son fauteuil.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les aiguilles coïncident à midi, on demande l'heure exacte de leur prochaine rencontre, puis de leur position en ligne droite.--Qu'arriverait-il si elles marchaient en sens contraire l'une de l'autre?
En supposant trois aiguilles, à quelle heure l'aiguille des secondes divisera-t-elle en deux parties égales l'angle des deux autres?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver, en un point donné, le jour du plus petit crépuscule.
NONIUS, 1573.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quel est le dernier jour de la semaine? Quel jour finira le XIXe siècle?
Henri Heine, se vieillissant de quelques jours, prétendait être né le 1er janvier 1800, pour pouvoir se dire le premier homme de son siècle. Faute analogue de calcul de la part de Victor Hugo, né en 1802, lorsqu'il en conclut: «Ce siècle avait deux ans...»
Le XIXe siècle a commencé le 1er janvier 1801, et non en 1800, car aucune année ne porte le numéro zéro; il finira le 31 décembre 1900.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Se servir du cadran solaire comme d'un cadran lunaire, connaissant l'âge de la lune.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quelle heure est-il, sachant qu'il reste encore à s'écouler de la journée les quatre tiers de ce qui s'est écoulé?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
À quelle distance deux marins dont les vaisseaux marchent en sens contraire cessent-ils de s'apercevoir? On connaît leur hauteur commune au-dessus du niveau de la mer.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Calculer la différence des chemins parcourus par le sommet et le pied de la tour Eiffel, haute de 300 mètres, pendant une rotation de la terre sur elle-même.--Calculer aussi la surface alors engendrée par l'axe de la tour.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quelles seraient les apparences astronomiques pour un observateur situé sur la lune?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un habitant de Nogent-le-Rotrou fait, par son testament, légataire universel, l'aîné de ses deux neveux, qu'il ne désigne pas autrement. L'un est né à Nancy à six heures du matin et l'autre le même jour à Brest à cinq heures et demie du matin (heures locales). Lequel des deux doit hériter?
MATHÉMATIQUES SUPÉRIEURES
Une caisse parallélépipédique, étant remplie d'un très grand nombre de petites boules égales, on demande quelle partie de la caisse est occupée par les boules.
Réponse: [¯pi¯]/3[[V¯]2], environ les 3/4.
Même question, avec des cercles dans le plan.
Conclure qu'on ne peut remplir le plan avec des cercles, ni l'espace avec des sphères.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Huit personnes, contentes de dîner ensemble, se proposent de s'inviter mutuellement, jusqu'à ce qu'elles aient épuisé toutes les façons de se placer à table.
Réponse: 40 320 dîners, soit 110 ans.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On casse au hasard une barre en trois morceaux; quelle est la probabilité pour qu'on puisse former un triangle avec les trois morceaux?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Disposer 30 prunes et 10 pêches, de façon à avoir toutes les pêches en les prenant de 12 en 12.
Réponse: Pêches aux places 7. 8. 11. 12. 21. 22. 24. 26. 37.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Au jeu d'échecs, faire parcourir au cavalier les 64 cases, l'une après l'autre, sans le faire passer deux fois dans la même.
Chacun sait qu'un cavalier placé sur une case d'une certaine couleur ne peut passer que sur les cases de l'autre couleur qui sont à deux rangs de la sienne.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Deux tonneaux de capacité différente sont pleins de deux vins différents, trouver quel même nombre de litres il faut prendre dans les deux pour qu'après l'échange les deux pièces aient la même composition.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Même question en supposant une proportion différente de même vin et d'eau dans les deux tonneaux.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Le nombre des décès étant de 1/42 de la population et le nombre des naissances de 1/35, on demande en combien de temps la population d'un pays sera doublée.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Pierre et Paul sont soumis à un scrutin de ballottage; l'urne contient m bulletins favorables à Pierre; n favorables à Paul; m est plus grand que n, Pierre sera élu. Quelle est la probabilité pour que, pendant le dépouillement du scrutin, les bulletins sortent dans un ordre tel que Pierre ne cessera pas un seul instant d'avoir l'avantage?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On tire à la cible. L'arme, sans être parfaite, ne présente aucun défaut systématique; les déviations ont en tous sens la même probabilité. Quelle est la probabilité pour que le point frappé soit à une distance du but comprise entre r et r + dr?
Données insuffisantes.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Combien y a-t-il de mots formés de neuf lettres? (les mots peuvent n'avoir aucune signification et même ne pas être prononçables).
Réponse: 98 956 601 600 mots.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver l'arc double de sa corde.
Ce problème donne lieu à une équation transcendante; il ne peut pas être résolu avec la règle et le compas. De même pour les trois exercices suivants.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Partager un demi-cercle en deux parties équivalentes par une parallèle au diamètre.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quelle doit être la longueur de la longe d'un cheval pour qu'en la fixant au contour d'un pré circulaire l'animal ne puisse tondre que la moitié du pré?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Percer une voûte hémisphérique de quatre fenêtres égales de façon que le reste de la surface soit exactement carrable. (Fenêtres de Viviani.)
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Dans un pays qui compte 10 millions d'électeurs, on en désigne 20.000 par un tirage au sort, pour leur faire élire un représentant. En supposant que le pays soit partagé entre deux opinions, 4.500.000 d'un côté et 5.500.000 de l'autre, quelle est la probabilité pour que le candidat élu appartienne à la minorité?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Dans la question des intérêts composés continus, on demande ce que devient, au bout d'un nombre donné d'années, un capital placé à un taux connu, en supposant que l'intérêt se capitalise d'instant en instant.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver le diamètre d'un cercle, étant données les longueurs de trois cordes formant un contour fermé terminé aux extrémités de ce diamètre.
NEWTON.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On place, bout à bout, n couples de cartes inclinées l'une sur l'autre et une carte entre deux couples; par dessus, on met n - 1 couples dont on assure la stabilité de même, et ainsi de suite. Combien faudra-t-il de cartes pour faire ce château?
Même question pour un château à étages carrés, la stabilité étant obtenue en remplaçant chaque couple par un nombre de couples égal à celui des couples primitifs.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un chien part d'un point en dehors de la route et court vers son maître qui chemine uniformément. Étudier la courbe du chien.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Trouver le lieu du point tel que le produit de ses distances à plusieurs droites données soit dans un rapport constant avec le produit de ses distances à d'autres droites données.
Ce problème, qui avait occupé les Anciens, est traité par Descartes au commencement de sa Géométrie.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Comment passer successivement sur tous les ponts de Paris, sans passer deux fois sur aucun d'eux?
Cas où l'on ne tient pas compte du pont en bois de l'Estacade et cas où l'on en tient compte.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Donner un triangle dont les trois côtés et la surface soient représentés par des nombres entiers. Il suffit de prendre pour côtés 3, 4 et 5 ou 13, 14 et 15.
Voici une autre solution donnée par M. Catalan:
a = 12355, b = 12363, c = 34, s = 204204.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Des enfants dansent en rond en se donnant la main, autour d'un autre placé au centre. Comment faut-il disposer les enfants, dans leurs rondes successives, pour que chacun d'eux se trouve une fois au centre, et deux fois voisin de tous ses camarades?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quinze jeunes filles se promènent journellement trois par trois; on demande comment il faut arranger leurs promenades de telle sorte que chaque jeune fille se trouve successivement une seule fois en compagnie avec toutes les autres.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On sacrifiait à Apollon sur un autel cubique en or. Pendant une épidémie, on fit demander au dieu, pour l'apaiser, ce qu'il désirait; l'oracle répondit: Doublez l'autel.
Les prêtres construisirent un autel de côté double, mais la peste ne cessa point.
Le problème de la duplication du cube n'est pas élémentaire, c'est-à-dire qu'il ne peut pas se résoudre avec la règle et le compas, en traçant seulement des droites et des circonférences.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Diviser un angle en trois parties égales. Problème de la trisection.
Même observation que pour la question précédente: on ne peut que procéder approximativement.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Construire le carré équivalent à un cercle de rayon donné: tel est le problème de la quadrature du cercle.
Il faudrait savoir d'abord rectifier la circonférence, c'est-à-dire tracer la droite de même longueur qu'une circonférence de rayon donné, puis prendre la moyenne proportionnelle entre cette droite et la moitié du rayon.--Voici une solution très approchée, due au jésuite polonais Koskanski: aux extrémités du diamètre d'une demi-circonférence, élevez les perpendiculaires égales au triple du rayon et au demi-côté de l'hexagone régulier, la distance des deux points obtenus a sensiblement même longueur que la demi-circonférence.
On a démontré récemment que le problème de la quadrature du cercle est impossible avec la règle et le compas. Ce n'est pas seulement parce que [pi] est incommensurable, puisqu'on sait construire rigoureusement certains nombres incommensurables.
Les Anciens avaient imaginé, pour résoudre les trois problèmes précédents, les courbes appelées cissoïde, conchoïde et quadratrice.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un jardin circulaire renferme un puits à son centre. Le jardinier puise de l'eau dans le puits et s'en sert pour arroser le jardin. Combien mettra-t-il de temps pour l'arroser en entier?
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un bon bourgeois fait faire dans sa cave un casier de neuf cases disposées en carrés; la case du milieu était destinée à recevoir les bouteilles vides provenant de la consommation de soixante bouteilles pleines, qu'il disposa dans les huit autres cases en mettant six bouteilles dans chaque case des angles et neuf dans chacune des autres cases. Son domestique enleva d'abord quatre bouteilles qu'il vendit, et disposa les bouteilles restantes de manière qu'il y en eût toujours vingt et une sur chaque côté du carré. Le maître, trompé par cette disposition, pensa que son domestique n'avait fait qu'une transposition de bouteilles, et qu'il y en avait toujours le même nombre. Le domestique profita de la simplicité de son maître pour enlever de nouveau quatre bouteilles, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il n'y fût plus possible d'en enlever quatre sans que le nombre vingt et un cessât de se trouver sur chaque côté du carré. On demande comment il s'y prit à chaque fois et de combien de bouteilles il fit tort à son maître.
BACHET DE MÉZIRIAC.
L'erreur provenait de ce que les bouteilles placées dans les coins comptaient double.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Déterminer toutes les manières possibles de placer huit reines sur l'échiquier ordinaire, de telle sorte qu'aucune des reines ne puisse être prise par une autre.
GAUSS.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Faire rapidement la somme des piles de boulets sphériques: piles carrées, rectangulaires ou triangulaires.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Le problème du déblai et du remblai a beaucoup occupé les mathématiciens. Il s'agit de partager la tranchée à creuser et le remblai à élever en volumes élémentaires, se correspondant deux à deux, de façon qu'en multipliant la masse de chacun des volumes élémentaires du déblai par le chemin qui le sépare du volume équivalent du remblai, la somme des produits obtenus soit la plus petite possible. Les frais de transformation du déblai en remblai seront alors minimums.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Discuter l'équation de la courbe du diable:
y^{4} - x^{4} + ay^{2} + bx^{2} = 0.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
De combien de manières peut-on replier sur un seul une bande d'un nombre donné de timbres-poste?
Nous croyons qu'on n'a pas encore pu résoudre ce problème proposé par M. Em. Lemoine.
NOTE BIBLIOGRAPHIQUE
Aux renseignements sur les livres célèbres de mathématiques, épars dans cet ouvrage, nous allons ajouter les titres seulement de quelques livres sur la philosophie, l'histoire, les applications, l'enseignement et les curiosités des mathématiques.
PHILOSOPHIE DES MATHÉMATIQUES
AMPÈRE.--Philosophie des sciences, 2 vol.
J. F. BONNEL.--De l'imagination dans les principes des sciences exactes.
DE BROGLIE (abbé).--Influence du 1er livre d'Euclide sur la formation philosophique des esprits.
DE CAMPOU.--Théorie des nombres négatifs.
L. CARNOT.--Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal.
T.-V. CHARPENTIER.--Descartes.
CHASLES.--Géométrie supérieure.
COYTEUX.--Exposé des vrais principes des mathématiques.
A. COMTE.--Philosophie positive (fin du premier volume et commencement du second).
DELBOEUF.--Prolégomènes philosophiques de la géométrie.
EVELLIN.--Infini et quantité.
DE FREYCINET.--Essai sur la métaphysique du haut calcul.
GIGON.--Nombres incommensurables.
HOÜEL.--Essai de critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire.--Théorie élémentaire des quantités complexes.
L. HUGO.--Du symbolisme licite en mathématiques.
JACQUIER.--De l'esprit des mathématiques supérieures.
LAGUERRE.--Recherches sur la géométrie de direction.
LAISANT.--Théorie des quaternions.
LIARD.--1º Définitions géométriques et définitions empiriques; 2º Descartes; 3º Les logiciens anglais contemporains.
MOIGNO (abbé).--De l'impossibilité du nombre actuellement infini.
MOUREY.--La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires.
PASCAL.--Presque toutes ses oeuvres.
PONCELET.--Traité des propriétés projectives.
DE TILLY.--Essai sur les principes fondamentaux de la géométrie et de la mécanique.
F. VALLÈS.--Des formes imaginaires en algèbre.
WOLF.--Les hypothèses cosmogoniques.
HISTOIRE
ALLEGRET.--Pascal, Viète, Newton et Leibniz.
MARIE AGNESI.--Traité de calcul infinitésimal (Traduction de Bossut).
F. ARAGO.--Notices biographiques.
J. BERTRAND.--Les fondateurs de l'astronomie moderne.
BOSSUT.--Histoire des mathématiques (2 vol., 1810).
CHASLES.--Aperçu sur les méthodes en géométrie.
CANTOR.--Histoire des mathématiques (en allemand).--Les deux premiers volumes, jusqu'en 1668.
DELAMBRE.--Rapport sur les progrès des sciences mathématiques (1810).
DESBOVES.--Étude sur Pascal.
ENESTRÖM.--Programme d'un cours universitaire d'histoire des mathématiques. Stockholm, 1890.
LOUIS FIGUIER.--Vies des savants illustres (cinq volumes).
FONTENELLE.--Éloges des académiciens.
GARNIER.--Trisection de l'angle (1809).
DE FONVIELLE.--La mesure du mètre.
SOPHIE GERMAIN.--Mémoire sur les surfaces élastiques.
CHARLES HENRY.--Lettres de Lagrange, de Laplace, d'Euler; les deux plus anciens traités français de mathématiques; introduction à une esthétique scientifique, etc.
HERMITE.--Discours à l'inauguration de la nouvelle Sorbonne.
G. HUMBERT.--Progrès des mathématiques en France de 1878 à 1888. (Dans le compte rendu du Congrès bibliographique.)
E. LEBON.--Notions sur l'histoire de l'astronomie. (Dans le Bulletin scientifique.)
MAINDRON.--L'Académie des sciences.
MANSION.--Précis de l'histoire des Mathématiques.
MAXIMILIEN MARIE.--Histoire des sciences mathématiques (12 volumes).
MONTUCLA.--Histoire des Mathématiques (4 volumes).
PINET.--Histoire de l'École polytechnique.
SAVÉRIEN.--Progrès de l'esprit humain dans les sciences exactes.
P. TANNERY.--La géométrie grecque.
VALSON.--Essai sur la vie et les travaux de Cauchy.
APPLICATIONS
AMIGUES.--À travers le ciel.
Annuaire du bureau des longitudes. (Petit mémorial indispensable, avec des notes scientifiques.)
J. BERTRAND.--Calcul des probabilités.
BUFFON.--Essai d'arithmétique politique.
CHARLON.--Théorie mathématique des opérations financières.
COLLET.--La carte dite de l'État-Major.
COURNOT.--Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses.
DORMOY.--Théorie mathématique des assurances sur la vie.
CHARLES DUPIN.--Géométrie et mécanique des Arts et métiers (4 volumes).
FLAMMARION.--Études et lectures sur l'astronomie (9 petits vol.).
DE LA GOURNERIE ET E. LEBON.--Arches biaises.
GUYOU ET SIMART.--Géométrie du navire.
LABOSNE.--Instruction sur la règle à calcul.
LAPLACE.--Exposition du système du monde; Essai philosophique sur le calcul des probabilités.
SÉBASTIEN LECLERC.--Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain (1764).
MAURICE LÉVY.--La statique graphique (4 vol.).
ÉDOUARD LUCAS.--Application de l'arithmétique à la construction de l'armure des satins réguliers.
G. DE LONGCHAMPS.--Essai sur la géométrie de la règle et de l'équerre.
MAHISTRE.--L'art de tracer les cadrans solaires.
AMIRAL MOUCHEZ.--La photographie astronomique.
PERRY.--Physiologie mathématique.
A. PICARD.--Introduction aux principes mathématiques du monde physique.
LE P. SECCHI.--Le soleil.
SONNET.--Dictionnaire des mathématiques appliquées.
F. THOMAN.--Théorie des intérêts composés et des annuités.
ENSEIGNEMENT
DAUGE.--Méthodologie mathématique.
DEVELAY.--Arithmétique et algèbre d'Émile. (Avec cette épigraphe: Que mon élève n'apprenne pas la science; qu'il l'invente).
DUHAMEL.--Des méthodes dans les sciences de raisonnement (5 vol.).
JOANET.--Traité des réciproques de la géométrie de Legendre.
LACROIX.--Essai sur l'enseignement des mathématiques.
LAGOUT.--Tachimétrie.
REDOULY.--ABC de l'X: Grammaire et logique des mathématiques.
PAUL SERRET.--Des méthodes en géométrie.
CURIOSITÉS
BACHET DE MÉZIRIAC.--Problèmes plaisants et délectables.
BALL.--Récréations et problèmes. (En Anglais).
BERGERY.--L'arithmétique sans chiffres.
BOISSIÈRE.--Rhythmomachie ou combat des nombres.
PRINCE BONCOMPAGNI.--Cinq lettres de Sophie Germain à Gauss.
BOUCHET (Ch.)--La poésie des mathématiques.
BUSSCHOP.--Recherche sur le jeu du solitaire (Bruges, 1879).
CALINON.--Étude sur la sphère, la ligne droite et le plan.
CARLET.--Application des Mathématiques à la Médecine.
Carrés magiques.--Frénicle, Sauveur, Euler, Violle, Thompson, Horner, Laquière, Frolow, etc.
CARTAUD.--Pensées critiques sur les mathématiques.
CHAM.--Arithmétique illustrée.
CHAVIGNAUD.--Nouvelle arithmétique mise en vers.
CLOAREC.--Dynamique intellectuelle ou application de l'algèbre à la Théologie.
CORIOLIS.--Théorie mathématique du billard.
COSSERAT.--Sur le cercle considéré comme élément générateur de l'espace.
DELBOEUF.--Sur le théorème de d'Alembert.
VAN ETTEN.--Récréations mathématiques (1633).
FLAMMARION.--Lumen.
FLEURY.--Clé du taquin (Marseille, 1880).
FONTENELLE.--Entretiens sur la pluralité des mondes.
FOUCHER.--La géométrie métaphysique. La géométrie en vers techniques (1807).
GAUKES.--De medicinâ ad certitudem mathematicam evehenda.
GUYOT.--Nouvelles récréations mathématiques.
DU HAYS.--Sur le jeu du loto.
Intégration de God save the queen.
JACOBY.--Henri Mondeux.
DE LABOURDONNAYE.--Traité du jeu des échecs (1833).
LAISANT.--Géométrie des quinconces.
LAMBERG.--Courbe algébrique reproduisant les traits d'un visage.
DE LA LANDELLE.--Phylon Binome.
LAQUIÈRE.--Géométrie de l'échiquier.
LEIBNIZ.--Arithmétique binaire.
EM. LEMOINE.--Mesure de la simplicité en mathématiques.
ÉDOUARD LUCAS.--Récréations mathématiques (4 vol.).
LUYA.--Amusements arithmétiques et algébriques de la campagne (Genève, 1799).
MARIAGE.--Numération par huit.
MASCHERONI.--La géométrie du compas.
LE P. MERSENNE.--Questions inouyes (1633).
MEYNIEZ.--Paradoxes contre les mathématiciens qui abusent la jeunesse.
DE MIRVAL.--Théâtre scientifique.
MONTUCLA.--Histoire des recherches sur la quadrature du cercle.
MYDORGE.--Récréations mathématiques.
OZANAM.--Récréations mathématiques (4 vol.).
J. B. PÉRÈS.--Comme quoi Napoléon n'a jamais existé.
DE POLIGNAC.--Sur la course du cavalier au jeu des échecs.
POTT.--Le système numéral quinaire et vigésimal.
REISS.--Combinaisons au jeu des 28 dominos.
RICARD (DOMINIQUE).--La sphère, poème en huit chants.
STOMMA.--Les échecs.
STUPUY.--Oeuvres philosophiques de Sophie Germain.
TARNIER.--Le langage des nombres.
THOMSON.--La géométrie sans axiomes.
Trois livres d'arithmétique de Tahiti, en langue indigène (Oahu, 1836).
VINOT.--Récréations mathématiques.
VITREY.--Contes et comptes; 148 problèmes en vers.
WEIGEL.--Arithmétique tétractique.
H. DE WRONSKI.--Technie de l'algorithmie (1811).
INDEX
Cette table analytique comprend les noms de choses et ceux de personnes, ces derniers en italique. On pourra ainsi suivre le même sujet dans tout le livre, en se reportant aux divers renvois.
A
Abdank-Abakonowicz, 255
Abeilles, 443
Abel, 185, 190, 260, 275
Aboul-Wefa, 121
About, 279
Abrégeons, 427
Abstractions, 20, 365
Absurde (Par l'), 26, 31
Académie, 132, 143, 182, 219, 229, 290, 330, 335, 374, 529
Addition, 258, 465
Admiration, 313
Achille, 410
Âge du capitaine, 460
Agnesi (Marie), 273, 528
Agripa, 295
Ahmès, 121
Albert Girard, 47
Albert-Lévy, 422
Alcuin, 384
D'Alembert, 10, 36, 42, 113, 123, 127, 144, 151, 188, 199, 247, 341, 385, 406
Alexandrie (École d'), 120
Algèbre, 297, 493
Algèbre morale, 227
Allégorie, 398
Allegret, 321, 528
Almageste, 121, 126
Alphabet, 263
Amateurs (Appel aux), 1
Âme de la terre, 364
L'âme et la vie, 350
Amigues, 529
Amitié, 160, 443
A. Ampère, 14, 145, 191, 198, 316, 352, 372, 527
J. Ampère, 198
Amsler, 255
Amusettes, 331
Analyse, 4, 24, 33, 42, 113, 168
Anarchie, 259
Anatomistes, 252
Anaxagore, 374
Ancêtres, 324
D. André, 144
Âne (sa mesure), 421
Anecdotes, 177
Anglais (Jeune), 215
Angoulême (Duc d'), 212
Animaux (Savent-ils compter?), 361, 387
Annuaire du Bureau des longitudes, 529
Anonyme, 71, 106, 119, 130, 168
An quarante, 418
Antechrist, 358
Anthologie grecque, 483
Antipodes, 412
Anxiété, 260
L'Aperçu historique, 130, 383
Apollonius, 120, 125, 138, 236, 273
Apologue, 304
Appell, 142, 143
Applicable à tout, 236
Applications, 12, 63, 529
Approximations, 94, 160
Arabes, 121
Arago, 37, 63, 71, 75, 110, 128, 188, 204, 213, 215, 279, 298, 462, 528
Arbogast, 132
Archimède, 32, 79, 120, 125, 138, 196, 206, 297, 352, 377, 499
Architecte mal payé, 218
Arénaire, 297
Argent (De l'), 193, 353
Argot, 421, 429
Argot de l'X, 422
Argument, 50
Aristophane, 373
Aristote, 3, 232, 257
Arithmétique, 67, 471, 531
Arithmétique de grand-papa, 252
Arithmétique politique, 256
Arithmomanie, 444
D'Arlincourt, 430
Arnauld, 295
Arnoux, 369
Arpentage, 6, 68, 135, 505
Artillerie, 64
Arts (Beaux), 159, 419
Arts mécaniques, 69
Arts militaires, 70
Aryabhata, 121
Assemblées délibérantes, 95
Assurances, 67, 529
Astrologie, 218
Astronomie, 84, 513
Asymptotes, 10, 408
À Athènes, 284
Attraction universelle, 123, 281, 288, 303, 418
Saint-Augustin, 296, 453
Auteur embarrassé, 192
Autobiographie, 182
Autres et soi, 443
Auxerre, 215
Avant Leibniz et Newton, 345
Avatar du nombre, 378
Avenir, 352
Aveugles, 186
Avocat, 166, 464
Axiomes, 21, 102, 341, 347, 356, 367
B
Babinet, 461
Baccalauréat, 465
Bacchus et Silène, 495
Bach, 380
Bachet de Méziriac, 158, 471, 523, 530
Bäcklund, 143
F. Bacon, 156, 391
R. Bacon, 374
Badoureau, 318
Bailly, 187
Balances, 99, 392, 510, 511
Balistique, 70
Ball, 530
Ballottage, 518
H. de Balzac, 363, 369
Banques, 67, 501
De Banville, 465
Barbara, 225
Bardot, 254
Barème suffit, 309
Barrow, 236
Abbé Barthélemy, 284, 379
Barthélemy Saint-Hilaire, 163
Bassot, 143
Bataille ou rançon? 430
Beaumarchais, 466
Beauté de la science, 316
Beaux esprits, 310
Becquerel, 143
Bellavitis, 29, 51
Beltrami, 143
Benzine, 366
Béranger, 55, 226
Berchoux, 335
Berdellé, 411, 424
Bergery, 530
Cl. Bernard, 316
Bernardin de Saint-Pierre, 213
Les Bernoulli, 98, 141, 182, 275, 377, 440
Berthelot, 143, 241, 292, 316
Bertrand (de Genève), 20
Joseph Bertrand, 92, 98, 99, 116, 141, 143, 159, 280, 359, 374, 528, 529
Bessel, 266
Bezout, 141, 207
Bhâscara, 121, 297, 506
Bible, 146, 318, 373
Bibliographie, 301, 302, 527
Bichat, 358
Billard, 194, 531
Binet, 220
Biot, 128, 181, 298
Bjirknes, 143
Charles Blanc, 424
Blanchet, 335
Blé (Prix du), 158, 454
Bowdwich, 272
Boileau, 430, 464
Boissière, 531
Boiste, 168
Bol, 190
Bolyai, 293, 386
de Bonald, 305
Prince Boncompagni, 140, 531
Bonhomie, 195
J.-F. Bonnel, 29, 45, 57, 394, 527
Bon sens, 14
Boole, 344
Borda, 131, 284
Bordas-Demoulin, 147
Borel, 144
Borelli, 252
Borné, 352
Bossuet, 82
Bossut, 13, 127, 140, 184, 273, 528
Bouchet, 531
de Boufflers, 330
Bougaev, 293
Bouguer, 130
Bouquet de la Grye, 143
Bourdeau, 10
J. Bourget, 50, 142
P. Bourget, 352
Bourse (La), 67
Boussinesq, 17, 57, 143, 347, 359
Boutades, 462
Brachistochrone, 373
Bradley, 193
Bramagupta, 121
Brésil, 378
Brioschi, 143
Brisse, 142, 144
Brocard, 144
Brochard, 410
De Broglie, 527
Brouette, 279
Buchanan, 415
Budan, 141
Budget, 67
Le P. Buffier, 368
Buffon, 60, 351, 387, 397, 529
Burdeau, 278
Buses graves, 423
Busschop, 531
