Ï-'TS
LEÇON' X. • fl4,
tangx = ™-U (' -*?. - -bs]nu cosu — e cos(u— -e)*
y b sin x b sinr/^/i — «* 6* i e»
sinu sin u ' 1 — ecosu ~ 1— c cosu^T— ccosü *
3q. Toutes ces formules sont faciles à calculer , ai l’on connaît x ou u, mais rarement connaît-on u et jamais x ; on ne connaît guères que * ; alors les formules sont indirectes, on ne peut les résoudre que par tâtonnement; cependant elles suffisent pour calculer une tab'e de l'équation du centre ou prostaphérèse, c’est-à-dire de la différence (z — u) entre l’anomalie moyenne et l’anomalie vraie; calculez pour toutes les valeurs de x, de degré en degré ,
ou même de io en 10 minutes , la valeur de f Mn r vouS
sin T *
aurez z=x-f- e sin x; calculez ensuite tangiu=cos<ptangir ou cherchez (z — u) par la série en x , vous aurez une suite de valeurs de (z — a) pour un grand nombre de valeurs de z; tous les arcs z auront des degrés, des minutes, des secondes et des fractions; mais si vous avez calculé de 10 en 10' les valeurs de x, les différences de (z — u ) serpnt sensiblement proportionnelles aux différences de st; et par de simples règles de trois, vous en conclurez les équations pour tous les z, de 10 en io', et vous aurez une table qui vous servira à changer une anomalie moyenne quelconque z en une anomalie vraie, c’est-à-dire, à calculer rigoureusement le lieu vrai d’une planète pour un instant quelconque , ni-.que z ne dépend que du tems écoulé depuis le passage t I apogée. Yoipi un exemple pour une excentricité o,a5, c est-à-dire pour l’excentricité la plus grande à fort peu près . que l’on connaisse.
xS
Ayant ainsi u pour chaque valeur de z , on en déduirait
les rayons vecteurs par la formule V = — . Nous
1 — e cos u
avons supposé le demi-grand axe = î ; s’il était a nombre quelconque , il faudrait multiplier par a tous les rayons vecteurs trouvés.
LEÇON X. , a45
4°- Cette méthode est la plus élémentaire et la plus courte peut-être pour calculer les tables du mouvement elliptique; niais si l'on n'a qu'une seule anomalie vraie à calculer par 1 anomalie moyenne , on peut s'y prendre de la manière suivante :
Nous avons dit que l'angle au foyer supérieur différait peu de 1 anomalie moyenne , et qu'on avait à fort peu près
tang *«-(—) tang ±z,
» z donné et j u trouvé ainsi, nous aurons } (z+u) c’est-* a-dire , la moyenne arithmétique entre z et u ; mais x diffère peu de cette moyenne arithmétique. Nous pouvons regarder ï(* + “) comme une valeur approchée de x soit ainsi a/=i(z+u). ’
Nous calculerons z' = x' + e sin x'
la véritable valeur serait z = x + e sin x -, d'où
C 2 — z' ) — ( x — x')-f-e (sin x — sin a/),
=zx — x' -f* ae sin 5 ( x — x' ) cos |( x+x^ )
* (z— -')= j (x — x) -f- e sin i (x— x')cos£ (x+x'),
= i(x—x') (i+ecos± (x+x');
car (x— x') sera toujours un arc de peu de minutes mie nous pourrons supposer égal à son sinus. ^
Donc
mais
Kz— a')
i-+-e cos j ( x-f-x* ) *
i + e cos
+ i (a— V) - i e (z — z') cos \
a=z’-ie(î j') cosx', *
donc
i-f-e cos fx" — je(î — z') cos a;]
î-f-e cos x"cos 5 Q<*(z — z')cos x"3+î sin (z— z')cosx",
i -f-e cos x"-f-j e“ sin (z — z“) sin x' cos x"*
Ainsi le calcul se réduit aux formules suivantes :
taug y=(^0 tangiz; x' = (£ z-f y) ,
z' —x' -+-« sin iç' \ x" — x' -f- i (z — z' ) ,
X X i -fe cos x" -j- 3 e* sin ( z — z“ ) sin x" cos x" * x ~ x' — ( x' — x ) ;
et vous calculerez enfin z — x +e sin x pour servir de preuve à l’opération. Cette méthode est un composé de celles de La Caille , de Simpson et de Cagnoli.Elle est plus directe et moins longue. Connaissant x , vous auriez
tang i u = tang ^x.
4t. Voici deux autres manières de trouver x. Suivant Cassini le triangle CSX donne
cx+cs: CX— CS : : tangi (CSX+CXS) : tangi (CSX— CXS) i +e : 1 — e :: tang i Z : tang iy ,
sin CSX : sinSCX:: CX:SX= — , "n Z,
sini (z+
prolongez NC en T, abaissez la perpendiculaire ST = esinx = N Xj menez Xba perpendiculaire sur ST, et par conséquent parallèle à NT, vous aurez
CèX=ACN=x.
Mais
aS
C6X = CSX+aXS = x=iz + iy-f-arcsin=^
, , /. TS— nT NX — sinNX
= i (z-bO+arc. Qun= ;
Cassini s’arrête à cette équation j mais on a . . . .
^ X — sm NX . , sin £ ( z -4- y')
cy — L esinx — sm (esmx)l î-A -ü
aA J sin z
— s*n ï (~ ~f~ >' ) /e1 sin’ x e5 sin5 n \
sin z \ i.2.3 1. a. 3. 4- 5. C,C /'
Pour avoir l’arc dont cette expression est le sinus, il faudrait y ajouter le sixième du cube qui sera toujours insensible. On pourra mettre sin £ ( z -f-y ) en place du sin x ; on aura la petite différence qui peut se trouver entre ces deux derniers arcs, et l’opération se réduit aux formules suivantes :
TanS ; j, = (J-31!) tang J a,
e5 sm 6 A ( z -f. yy e? 8,n« x (z -f-y ) sin z sin 120" 5o4o sin 5 sinTr’
tangia=(~)‘ tangix.
