DER
on obtient finalement, pour — 2 E dt”?
dl se dÀ +, I d (5e) a(z) am" = dU n'dt fi—e?cos’s! (| r'dt n'dt Pn'dt à f\ née dr!
dv’ ds' do
e AE ANS EG — 2 rl cos?s' de! n'dt
En supposant y — 0, on a, avec l’approximation adoptée,
Avec la même approximation, on peut réduire équation en os à la suivante, en faisant 07 & oc am”
nd p' JD Büsin(ie +0").
15. Proposons-nous d’abord d'intégrer cette équation. Elle est de la forme
LT + ay + 40 —0,
où & désigne une petite quantité de lPordre de la masse de la planète perturbatrice, Q une foncuon de &.
Laplace a montré l’emploi que l’on peut faire de cette équation pour la déterminalion des perturbations des divers ordres des mouvements des corps célestes.
Il a trouvé pour l'intégrale complète (cf. Livre Il, Chap. V)
Co» C a sin at œ COS al :
= since =cosot— EE fQæe COS al + EE f Qursinar: a «a
cet c' désignent les deux constantes d'intégration; si l’on suppose qu’à l’origine : d :
du temps on ait y = 0, —0 on doit prendre ec 10; Dans le cas qui nous occupe, Q est composé de termes de la forme
sin K (mt+e).
cos
On a alors pour y le terme correspondant
aK sin
<= (mt+e).
nm” — 4° COS Nous avons ici l 1 am D —— 2 == ORSAUE = m=— — n'y",
Q = D BWsin(ig + 8), min —{(i—1)r".
20 D. SAINT-BLANCAT.
E n° Alors, en désignant — par w, e 2)
Ss t fe ii no: ; m—=R êe je Lt —(r—1)], a) a < ' REPERE S * 1 m°— a — + I[to— (i—-1)F—0*; u ee. se à ni 24 / t+i n°?
= — [+De—(—n][E-ne-(E-n]=(t-1}G-oe)(+— - © } —; o Ê—1 A] par suile MENT. @° UE - (H) d——a} — S' BG : sin(io +9").
L' mi ; à + (t—1)PG—0o)|{1i—- a] \ ir ,
Cette formule est en défaut pour i—1; ce que l'on pouvait voir & priori,
puisque dans ce cas m2 — n'= @. Le temps sort alors du signe sinus.
16. Passons à l'équation en 2 et à la formule qui donne À, en nous proposant d'abord de trouver pour ces deux fonctions de t les termes dépendant de y’. On
peut faire T— oetr'— «’. On a alors
, OÙ l a N » aBE-1 ; ; e À d— — =-ya a ——— | cos(io +— 29 )— costo |, ar" a es da [ CT d ?] : I à : J 1 Re RP SRG) on fre 1 007) sr 7 SE NES (dU) — il NinB sin(to + 29°) + À Ÿ in'BU-U sin co, pes Me ot : s Fa a) £ (dU)=— -: Ne —— BL cos(io #20") + - y" ŒUcoSr J of mi(i—2)—io A ) 2 Dent Er Nr , OÙ a dU) + D J dr AS SL D 210 BEN = MIA D (Ë—1) - .
= == — —«- - COS (19 +— 29 2! Der da te ) il "+ ©. $ 2 @) S oBG-1 ?
+= >) — BG-0— g! : Cost.
2 ss nt à) da
En faisant = a’ dans l'équation (14), qui détermine 5, on obtient par l’application de la formule de Laplace
: LORS cos(to + 28°) É A) ! JBU—-1) (K) DR) 2 N A - - RS OR no u NN 6 i—1 Î+I ; "Ue- DO (à— 2} 1 — - @ }[ 1 —- @ | (ë—2)[ 1 —- A) t—2 . Ê— 2 i—9 CM cos io A ' i—1) et CN : | Spore CPR mn si , i—1 CRE D NOEE er —o ni — : œ) U , 0
dr
Dans la formule qui donne À, on peut remplacer 1 — e/2 par 1, = À | Ê a! n'dt
lo am” ol D see M NI, 2 “ Deer # n fs fau +2 A | de
On obtient, toutes réductions faites, pour les termes de À dépendant de ”, l’expression suivante :
5 par o.
Elle se réduit à
: Li 36) a'm" 4 de ee (£ 4 , . . 7 D) £ my OSIN (10 20") - = BG-1) ; : u 2 Ü—1 HI 2(1—92)} [1 — - A) I— - oO | [1— - 6) [—2 t—2 it -2 (à) ,0BÜ-1) Sn a ; à à ÿ Ê—1 +1 da (ü— 2} [1 — S)[1— - o)[r— 6) l— 2 il —2 + —2 am" Ces De —— ; My sin to É Bti--1) F- a t— 1 \ + 21(1— 0) (1 — ©) [1 ——0w J l 6) ,0BU-1) Oa'
17. Il nous reste à trouver les termes de o et À qui dépendent des excentricités, en négligeant le troisième ordre.
Nous avons à développer par la formule de Taylor la fon cuon
= > AU costo.
Pour les accroissements des variables, nous adoptons les mêmes notations que dans le n° 4, où leurs expressions ont été données.
On a généralement
F—EF, + a! 0F ! a dF EE I a’? Cu D?+ a'a" dE Pl 1 y FE 12 Er da? FT Gal 2% ar? F aroa PP T3 arf 0F 1 dF EF F
Mo dr T4 0a 09 1? Ame] da" 99 l?
0F LA œ A 4 F, et — étant des fonctions homogènes de degré — 1 deæ'et æ’,ona
d9 DIN COS ,®F , dF 0F Me out 0 T9 0e da"09 do
92 D. SAINT-BLANCAT.
OPEN OM + , ne Dai © Sa’ tant homogènes de degré — 2, on a également " TR : ; RC 7 ES ne OL.
E Gar TT Gad “da? da da" GNT da”?
d’où l’on ure y dE Fe OF aa OURS a 0F . ®F a da” 0 da 2 da da’ — 7 ga’ da? ?
dF 0F ®F dF OF SCORE.
f2 ——— — 2 a'— + a? D a % a” Hot da | Ÿ ÿa*’ dJa”0o 09 da" 09
Portant dans F, il vient
0F OF I 0?F OF EF Ein ! ! [EF he ALES 12 ! 12 1! os da? P (r, É 7) ui 2 P Ce da ? ré
F,+ 2 CARRAPUEE le CAP Do
dF r0!F Ad ue ) 4 2 06? De da 09 Fe 00 ‘ da'0o Es
en ; I 7 L'application de cette formule au développement de < > A0 cos to donne l’ex-
pression suivante, où l’on suppose que dans A, 'et r” sont remplacés par a’ et 4”,
l | : i f 2 12 1 0 LL) ï [2 AN 12 à S | cosig [ati —e -p°— <ôu) + a SE (PP? p PER) AURA 1 y er 1 yo Den Pme ) - ; À (0) 7 OA ! 7 +sinio|z up) Era MORTE not) .
Remplaçons p’, 9”, ... par leurs expressions déjà obtenues au n° 4, et posons
da!
0? A () : 13 AG Ÿ gas.
Et on trouve, toutes réductions faites, pour le développement cherché,
D Cosio (za) + e!cos(io + [') (sai = af)
! 0 {14 I ; i I } ! D i I È I na +e”cos(ip + l (2 —i)A ) + Fab] *cosio( TA He)
L' ?) Ki:
qe ne M el MCOSr 0 — — A AUDE () > ( - zAi )
(suite)
+e"® cos(io +2l)
