CAT

Si le point M, au lieu de se trouver dans la portion ABD du triangle ABC,

se trouve dans la portion ADC (fig. 12), les coordonnées # et #' seraient rem- A

m' nm / B / . C À / VAT à LR ge e;/e de À

placées par / et /', rapports des coordonnées

(ny —B)(l—1)=y(l'+r)(al+ y)

tion (88) prend la forme

l’ensemble des relations entre #, #', ou /, let la coordonnée cherchée (88) ou (89), entre # ou let e (61), joint à l'équation des courbes K (55) permettra le calcul de la coordonnée z ou y par approximations successives ; un exemple

de ce genre de calculs est donné plus loin. [ Étude du diagramme (1, 1, —2).]

Singularités des courbes. Inflexions. Droites d'inflexion. — [es formules que nous avons données (85) pour la détermination des tangentes en un point (æ, y, z) montrent que, dans certains cas, les tangentes passent par les sommets B ou C; les cotes #, ou /, deviennent infinies quand le point de contact se

trouve sur les droites y — ERA nie

n Le)

Si ces droites, qui sont les parallèles aux côtés AC ou AB menées par le point caractéristique, coupent le triangle de référence ABC, les tangentes aux points situés sur ces droites passeront par les sommets B ou C. Ces droites rencon-

treront le triangle si 6 n ou y << n, c'est-à-dire si y > «ou B > a. Dans ces cas, la tangente en B ou C aux courbes considérées sera Le côté BC lui-même; les courbes, qui, au voisinage de AD, sont concaves vers BC, devront

Miro

donc présenter une inflexion pour pouvoir devenir finalement tangentes au côté BC.

Nous déterminerons le lieu des points d’inflexion en cherchant sur chaque courbe le lieu des points pour lequel les cotes k, ou /, (cote du point d’intersection de la tangente avec les prolongements des côtés AB ou AC) sont maxima (elles doivent devenir négatives pour qu'il y ait inflexion); la résolution du système général

dk, 0 ou al, = 0 [ooir (83) et (84) ],

\ yP3Y :

(90) | s AR K, Z+Y+s—I

donne l'équation du lieu cherché; ce sont deux droites passant par le point caractéristique du diagramme. Leur équation rapportée aux axes obliques EZ, EX parallèles à BC et BA menées par le point E est

(91) Y(B— x) X?—20yXZ — (6 + y) Z— 0,

RE ; X® ; : ; ; le coefficient angulaire © — = (') de ces droites est racine de l’équation 8 T TX q (92) Y(B—a)o—2ayp—a(B + Y)—0o.

Soient El,, EL, ces deux droites, ®” et o' leurs coefficients angulaires (2"> 0, 2'< 0); les portions de ces droites intérieures au triangle de référence sont les lieux des points d’inflexion des courbes étudiées (ces droites peuvent être extérieures aux triangles : ET, coupe le triangle si « 6, EL, si a < y).

Pour un point M situé sur la portion d’une de ces droites, EI, par exemple, intérieure au triangle de référence, la coordonnée du point d'’intersection de la tangente d'inflexion avec le prolongement du côté AC est donnée d’après (85) par

Le second facteur est justement le coefficient angulaire ©” = é de la droite ET,

(*) Ce coefficient angulaire n’est nullement égal à la tangente de l'angle ZEI—% : on à en effet

(93) tang Y — V3

fus

Ti fs

rapportée aux axes EZ, EX. Le premier facteur est la coordonnée /,— = du point de contact M, quotient des coordonnées trilinéaires que nous utilisons ici.

Les tangentes d’inflexion sont donc déterminées par les cotes kà,, le. ("),

| AO, — + An 9”,

(94) l lo,=— la o",

de leurs points d’intersection avec les prolongements des côtés AB ou AC. La position extrême des points @ sur ces prolongements s'obtient en prenant pour point de contact de la tangente d’inflexion les points d’intersection des droites EL,, EL avec les côtés AB et AC eux-mêmes. Sa cote #,, ou 4, qui limite la graduation du prolongement de AB ou de AC, est donnée par l'équation

a ce Y LES RS SR el | : n n r (99) Ke === , ln = — L va Hi œ E cron er ES no n no n

(!) Le prolongement du côté AC (ou AB) étant gradué en valeur de ; | (ou £ = ») ,

ainsi que la portion CI! du côté AC, les relations (94) deviennent alors

(96) 18—=——=— Au.

ou xO, ©. Cr

dans laquelle 2 est racine de l’équation (92). La racine positive +” donne 4, auquel cas la fraction est affectée du signe —, la racine négative o' donne #,, sans changement de signe.

Forme des diagrammes. — |.a forme des diagrammes dépendant uniquement des coefficients x, 6, y, et le point caractéristique E étant également déterminé quand on connaît ces trois quantités, nous pouvons donc déduire la forme générale des courbes de la position du point E dans le plan du triangle ABC. Nous avons vu que les lieux des points des courbes pour lesquels les tangentes passent par les sommets B ou C sont les parallèles aux côtés AC ou AB menées

par le point caractéristique E. Si donc, pour certaines positions de E, ces droites coupent les côtés du triangle, les courbes présenteront desinflexions. Le point E se déplaçant dans l’angle (AB, AC), en dehors du côté BC, cette partie du plan peut être décomposée en plusieurs régions, dans lesquelles les diagrammes con-