Additions au cours de gèomètrie decriptive dèmostration nouvelle des propriètes principales des sections coniques

Dans ce nouvel ouvrage sur In géométrie descriptive , que je livre à l’examen de roux qui aiment et cultivent avec intérêt la science de l’espace figuré, je me suis proposé deux buts que j’exposerai un peu plus loin.

Ainsi qu’on le sait , j’ai appuyé , dans le Cours de géométrie descriptive publié en 1844 , toutes les propriétés des sections coniques sur les théorèmes que l'on doit à MM. Quetelet et Dandelin (*) ; ces théorèmes sont relatifs aux foyers , à la tangente et aux focales.

Les démonstrations données par les deux savants géomètres de Belgique sont d’autant plus remarquables , qu'outre leur simplicité et la facilité avec laquelle les trois sections coniques 'sc trouvent soumises à un même mode de recherche géométrique, elles sont comme un reflet de la géométrie antique. Et en effet, il est impossible de ne pas se dire , après avoir lu leufs mémoires imprimés dans les Actes de l’académie de Bruxelles , que les géomètres anciens auraient pu dire tout ce qu’ils ont , dit, attendu que les anciens géomètres savaient et connaissaient parfaitement bien tous les théorèmes qui conduisent MM. Quetelet et Dandelin à démontrer, ainsi qu’ils l’ont fait :

1* Que la sphère inscrite à un cône droit (ou de révolution) et à un plan sécant touche ce plan en le foyer de la conique , section faite dans le cône par ce plan ; ou , en d'autres termes et par déduction , que pour une section conique à deux foyers 'a somme ou la différence des rayons vecteurs est constante;

2* La propriété des directrices, propriété qui appartient aux trois courbes , en remarquant que la parabole n’a qu’une seule directrice;

(*) Nous sommes dans l'habitude de daigner ces théorèmes sous le nom do théorèmes de MM. Quetelet et Dandt I n : mais il no fout pas oublier que c'est à M. Dandelin que l'on doit le théorème des foyer» et des tangentes , un peu plus tard M. Quclolel démontra la propriété des focale »,? n se servant de le sphèro inscrite au cène droite! au plan sécant, mode de démonstration que l'on doit à M. Dandelin.

Je viens d'apprendre la mort de M. Dandelin; c’est une perle bien regrettable pour la géométrie qu’il cultivait avec un grand talent. M. Dandelin , colonel d« génie belge et membre de l’académie roynle de» science de Bruxelles , est décédé en mers 1 847.

3* La propriété donl jouit la tangente à une section conique, savoir qu’elle divise en deux parties égales l’angle des deux rayons vecteurs ;

l* L'existence des courbes focales et les propriétés géométriques dont elles jouissent.

Car Imites ces propriétés fondamentales des sections coniques sont démontrées par MM. Quetclet et Dandclin, en s’appuyant sur ce que :

t" Un cône droit est tangent à une sphère suivant un cercle ;

2’ Un plan tangent en un point d'une sphère, contient les tangentes à tous les cercles , grands ou iietits, tracés sur la sphère et se croisant en ce point ;

3* Les tangentes menées par un point extérieur à une sphère sont égales; et ■ les tangentes menées à un cercle et par un point pris sur le plan de ce cercle sont éirales ;

I' Le plan tangent à un cône de révolution, suivant une génératrice droite,, contient les tangentes aux eourlies planes tracées sur le cône et se coupant en un point de la génératrice de contact.

Cette dernière propriété n“ l était connue des géomètres grecs, mais ils ne s’en sont point son is dans leurs recherches géométriques , tandis que les géomètres modernes ont fait un emploi frequent du plan tangent ; et nous devons aussitôt ajouter à ce qui précède: la propriété du plan tangent en un point, d'un cône était connue des géomètres avant l’invention admirable due à Dkscvbtes, et ainsi avant l’application de l’algèbre, ou de Vaiut/t/se, à la géométrie ; quelques géomètres s’en sont servi* dans leurs recherches; mais ce n’est qu’après Descabtes, et en se servant de l'analyse infiniiésinmle appliquée à la géométrie , que l’on a démontré que le plan tangent en un point d’une surface quelconque , contenait les tangentes à toutes le» courbes qui, tracées sur celle surface, se croisent au point considéré (*) , et c’est depuis cette époque que l'emploi du plan tangent est devenu familier dans les recherches géométriques.

(*)<• Les' ancien* géomètres devaient savoir que le plan langent contenait les tangentes a tons lis cerclas qui , tracés sur la surface d’uae sphère , sc croisaient en un point.

Et en effet , les anciens géomètres disaient :

La lahgcnle en un point du cercle est perpendiculaire au rayon passant par ce point :

Le plan tangent en un point d’une sphère est perpendiculaire au rayon passant par ce point.

Bf ils démontraient que la tangente au cercle et te plan tangent à la sphère , définis ainsi qu’on vient de le dire , étaient tels que la tangente et le ocrcle , que le plan tangent et la sphère , n'avaient qu’un seul point en commun, qu’ils appelaient point de contact ; et ils démontraient que telle était la relation de (Kisition entre le cercle et sa tangente , entre la sphère cl son plan tangent en un point ni , en démontrant que si l’on menait par le centre o du cercle ou de la sphère , une oblique au rayon ont , et coupant le cercle en un point a: et sa tangente en un point y, ou coupant la sphère en un point x et son plan tangent en un point y, on avait toujours : IX < oy,

De celte proposition, les anciens géomètres pouvaient lrés*facilement arriver à la conséquence suivante,

vit

Ainsi , nous pouvons dire que les géomètres anciens, et surtout ceux qui vivaient du temps de Descxims , auraient pu donner les démonstrations géométriques que nous devons à MM. Quetelet et Dandelin, et dès lors nous avons pu dire en toute vérité que ces démonstrations étaient comme un reflet de la géométrie antique, reflet vraiment remarquable.

Toutefois, les solutions géométriques de MM. Quetelet et Dandelin ne me satisfaisaient pas, parce qu’elles n’étaient pas dans l’esprit de la géométrie descriptive, qui seule mérite le nom de géométrie moderne.

Lorsque je me proposai d'écrire sur la géométrie descriptive , avec des vues que je puis dire nouvelles, quoiqu'elles ne fussent réellement que la continuation de

savoir : que si par ud point m d’une sphère S on faisait passer un plan tangent T et une suite de plans sécants P, P’, P",..* coupant la sphère S suivant des cercles C, C\ C'\... et le pian T suivant des droites fi , 6', 5",... les droites ô, fi r ,fi",... étaient respect ivumenl tangentes en le point maux cercles C,C\C*\... car ils savaient que si du centre o de* la sphère Son abaissait des perpendiculaires II , R', R r ',... sur les plans P. P', P*',... ces normales perçaient ces plans en des {joints r, r\ r",... qui étaient les centres respectifs dus cercles C, C', C",... et que les droites fi , fi’, S”,... étaient respectivement perpendiculaires aux plans (m, R), (m, R'), (m, R"),... en sorte que les droites S, fi', étaient respectivement perpendiculaires aux rayons mr, mr\ mr",... des cercles C, C', et que «Jès lors ces droites 9 , 6% fi",...

6 laient les tangentes respectives des cercles C, C\ C",.,. pour le point m.

2* D’après le mode do démonstration alors adopté, les anciens géomètres pouvaient démontrer trèsfacilement que le plan langent T en un ypint m d'un cône droit a ou d’un cône oblique a' à base circulaire , contenait les tangente» à tou testes courbes planes qui , tracées sur ce cônu a ou a', $c croisaient au point m.

Et en effet :

Désignant parC le cercle base du cône droit a ou du cône oblique a', par t le sommet de ce cône, on savait que tout plan X parallèle à la base coupait le cône suivant un cercle /; par conséquent faisant passer lo plan X par le point m, on avait pour section dans l’un ou l’autre cône un cercle S, et l'un savait que la droite qui unissait le sommet t du cône et le centre o du cercle ba?e C, coupait lu plan X en un point d , centre du cercle /.

Dès lors, menant par le sommet t et le point m une droite, on avait une génératrice droite du cône a ou a’, laquelle coupait le cercle base C en un point n , et (es rayons on et dm des ccicles Cet J étaient évi- dominent parallèles; dès lors les tangentes f en n au cercle C et fi en m au cercle i étaient parallèle*; des lors les trois droites t, fi et m étaient dans un mémo plan T. qui ôtait dit plan tangent en m au cône a ou a*.

Cela dit :

Si le plan T coupait par hasard le cône a ou a en d'autres points que ceux situés sur la génératrice droite sm.dite génératrice de contact, en désignant ce point par x, on pouvait mener par ce point? un plan Y parallèle au plan X et coupant le cône a ou a' suivant un cercle /, ci la génératrice tm en un |>oiht m et le plan T suivant une droite fi', et la droite so on un point d‘, centre du cercle S ; par conséquent , la droise fi' étant perpendiculaire à l’extrémité du rayon dm du cercle f, no pouvait couper ce cercle eu un point x autre que te point m

Cola posé:

Menant pur le point m un pian oblique quelconque Z , il coupait le cône a ou a' suivant une conique C.elle plan T suivant une droite * qui , d’après ce qui précède , ne pouvait avoir en commun avec