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celles de Mosge, fondaleur de cette science (*), je dis en 1831 à M. Quetelet, que -, * je baserait toutes les recherches touchant les propriétés géométriques de6 sections coniques et des surfaces du second ordre sur les théorèmes belges , c’est-à-dire sur le mode de démonstration employé par lui et M. Dandelin (mon ancien camarade à l’École polytechnique) , pour la manifestation des propriétés principales des sections coniques.

C’est ainsi que j’ai procédé dans la rédaction de l'ouvrage que j'ai publié sous le titre : Cours de géométrie descriptive.

Mais tout homme impartial reconnaîtra sans peine, qu’à part les théorèmes relatifs aux foyers, à la tangente (divisant l’angle des deux rayons vecteurs en deux

la courbe C d'autre» points que le point m , et d'après la définition adoptée la droite >. était bien la tangente au point m a la conique C,

Mais, en parlant de la définition de la tangente , savoir : que c'était une droite qui n’avait en commun avec une courbe qu'un seul point , las anciens géomètres pouvaient bien démontrer le théorème relatif au plan tangent en un point d'une sphère et en un point d'uo cône droit ou d’un cône oblique à base circulaire, tant qu ils ne considéraient que des courbe» planes tracées sur ces surfaces; mais ils ne pouvaient pas démontrer que le plan langent contenait les tangentes à toutes les courbes a double courbure tracées sur les surfaces coniques et sphériques et se croisant au point do contact; et à plus forte raison ils igno- « raient que celle propriété du plan langent existait pour toutes les surfaces, quel que fût leur mode de k génération.

Pour arriver à la démonstration du théorème général énoncé «i-ges$us, il fallait quo la géométrie entrât dans une voie nouvelle et fût amenée à considérer une courbe comme étant la limite d'un polygone, dont lesrôtés pouvaient devenir indé/Çninien/ petits; en sorte que l’on pouvait, dans les recherches géométriques, remplacer et rigoureusement une courbe par un polygone d’un nombre infini de côtés , chaque côté étant infiniment petit , ce polygone prenant le nom de polygone infinitésimal.

Si les géomètre* anciens ont quelquefois employé les considérations de l’espace pour résoudre certains problèmes-plans , et ainsi , si pour résoudre un problème relatif à des lignes tracées sur un plan , ils ont considéré un syslèmo de lignes qui , situées dans l'espace , donnaient pour projection le système plan proposé, ils n’ont jamais employé la considération du plan tangent , parce qu’à ce sujet leurs connaissance» géométriques étaient très-bornées ; c’est ainsi quAncQiMÊDB vit bien que sa spirale était la projection sur un plan de la spirale à double courbure, qui était l'intersection d’un cône droit et d'un filet de vis carrée, mais il ne put pas, et ne pouvait pas, trouver la construction de la tangente en un point de sa courbe plane, en la déduisant de la construction de la tangente en un point de la courbe à double courbure , parce que s'il connaissait le plan tangent en un point du cône droit , il ignorait la construction du plan tangent en un point de la surface gauche.

(•) Je puis dire que mes vues en géométrie descriptive étaient nouvelles , car tous les savants qui ont écrit après Monge sur cette science, ont toujours considéré la géométrie descriptive comme n’étant propre qu’è construire les résultats géométriques donnés par Y analyse ; donnés par la géométrie des anciens , ou donnés par la méthode de l’involution de six pointa (propriétés géométriques très-restreintes, trèslimitées, puisqu'elles ne peuvent s’appliquer qu’aux sections coniques), celto méthode est due à Drsabgües (citoyen lyonnais) ; après lui Cahnot en fit de très-remarquables applications ; ou donnés par la méthode plus générale , dite : des proportions harmoniques , employée par Laiuhk et dont plusieurs géomètres se sont servis avec succès dans ces derniers temps.

parties égales) , aux directrices et aux focales, toutes les aulres'proprielés des courbes du second ordre, et en général tontes les recherches géométriques touchant les autres courbes et les surfaces diverses dont on a étudié les propriétés dans l’ouvrage dont il s’agit , sont établies d'après les vrais principes de la géométrie descriptive , tels que Monge nous les a enseignés, principes qui sont tout autres que ceux enseignés par les géomètres anciens.

Car si l’on veut réfléchir un instant sur les méthodes des anciens géomètres, on . verra bientôt qu'elles s'appliquaient essentiellement aux problèmes de relations métriques ; les anciens n'avaient pas compris et n’avaient pas connu la science des relations de position ; or cette science est précisément celle qnc Monge a nommée géométrie descriptive. La géométrie des relations de position est due aux géomètres modernes , et c’est celle que j’ai désignée ci-dessus par le nom do géométrie moderne (*).

Et lorsque je dis que les anciens géomètres n'avaient pas connu la géométrie ' descriptive , je ne veux pas dire qu'ils n'ont jamais employé des méthodes analogues à celles de la géométrio descriptive pour la solution de certains problèmes traités par eux. Mais autre chose est d’employer une méthode particulière pour la solution de quelques problèmes du même genre , et autre chose est de faire de cette méthode un moyen de recherche pour un grand nombre de questions géométriques, et surtout de déterminer les genres de questions géométriques qui sont du domaine de cette méthode.

Or c’est ce que Mongk a fait , et personne ne peut le nier ; personne ne peut mettre en doute que Mongk ne comprit parfaitement la puissance de sa méthode géométrique, la méthode des projections, quoiqu’il n’ait pas publié tout ce qu’il lui devait pour les recherches qu’il nous a données sous une autre forme dans son grand ouvrage sur l’analyse appliquée ù la géométrie; car Monge dit positivement, dans I ouvrage qui a pour titre : Développements sur renseignement adopté pour l’école centrale des travaux publics, et qui a été imprimé par ordre du comité do salut public:

« De la géométrie descriptive.

n La géométrie descriptive est une langue nécessaire et couimuup à l'homme de

* génie qui conçoit un projet , aux artistes qui doivent en diriger l'exécution , et

* aux ouvriers qui doivent l'exécuter. Cette langue , susceptible de précisiou , a » encore l’avantage d’être un moyen de rechercher la vérité et d'arriver à des ré- » sultats inconnus; comme toutes les autres langues, elle ne peut devenir familière

(*) Les Allemands donnent a la géométrie descriptive le nom de géométrie française, l’our eux, la connaissance complète de cette science date do 1815 .

s que par l'usage habituel ; ainsi , pendant les trois années que durera le cours » d’instruction dans l’école centrale des travaux publies , les élèves la pratiqueront ; » continuellement. »

Ainsi , on ne peut nier que Mosge ne regardât la méthode des projections , en un mot la géométrie descriptive (*) . comme pouvant conduire à la découverte et à la démonstration de vérités géométriques nouvelles.

Mais écoutons co que dit Carxot dans son rapport (**) lu le 23 mars 1812, à la classe des sciences physiques et mathématiques de l’Institut, sur l’ouvrage de Hachette , ayant pour titre : Supplément à la géométrie descriptive de Mosge.

k Le but de la géométrie descriptive est de représenter sur des surfaces planes » qui n’ont que deux dimensions , les objets qui en ont trois , cl réciproquement » de retrouver la formo de ces objets à trois dimensions, d’après les dessins qui les » représentent sur ces surfaces planes.

» Le moyen qu’on emploie, pour y parvenir consiste à faire sur ces plans les » projections des corps proposés.

» La science des projections, en général, se divise en deux branches, dont l’une » est l’exécution raisonnée mais purement graphique de ces projections , et l’autre » est leur théorie purement analytique.

» Quoique ces deux branches de la mémo science no soient , à proprement • » parler, que deux méthodes différentes de traiter les mêmes questions, leurs pron cédés respectifs ont entre eux si peu d’analogie apparente, que l'identité constante » de leurs résultats forme des rapprochements continuels dont on ne peut s’em- » pécher d’être frappé. On admire la correspondance intime de deux sciences qui » vont toujours d’un pas égal, dont l’une, n'employant jamais le calcul, semble a être entièrement du domaine de l’imagination, et dont l’antre, no tirant du fond » de la question que les données strictement nécessaires pour l’expression algé- » brique des conditions proposées , laisse ensuite à l’analyse la plus abstraite , la » plus dégagée de toute autre considération , le soin de dénouer successivement » toutes les difficultés , et de ramener enfin aux résultats les plus élémentaires que » puisse comporter la nature de la question.

. » Cet accord imperturbable de ce que l’analyse a de plus transcendant avec ce » que la synthèse offre de plus simple et cependant de plus subtil, donne la satis-

{•) Dans les Développements sur renseignement , adopté pour l'École centrale de* travaux publics, Mosge a dit encore : L'art de décrire les formes et les positions des objets , consiste à ex primer d'une manière complète , eur des destins gui n’ont que deux dimensions , les objet gui en ont trois. Parmi ees objets , les uns ont des formes susceptibles d'une définition rigoureuse; les procédés pour les décrire «ont loumt» d des régies certaines, et composent ce qu'on peut appeler ta géouéthie descriptive.

(**) Imprimé dans la Correspondance de l'École polytechnique , tome III , page 234 .

» faction de voir deux théories , si disparates ail premier aspect, se continuer eepen- , n liant l'une par l’autre, s’expliquer, se généraliser réciproquement ; l’une, en Un » mot, former des tableaux qui parlent aux yeux, tandis que l’autre s'occupe à » les décrire aussi fidèlement qu'exactement dans la langue qui lui est ^propre. » r.

Peut-il rester, après avoir lu ces pages écrites par Monge et parCiRxoï, le moindre doute dans l'esprit de tout homme de bonne foi ?

Oui, Monge et Carnot ont tous deux regardé la géométrie descriptive connue une science, et comme une science d'une utilité incontestable; oui, Monge et Carnot , ont tous deux pensé, quo la méthode des projections pouvait conduire à rechercher et à démontrer des vérités géométriques encore inconnues.

.Depuis 1815, Moxce et Cirnot étant tous les deux proscrits, tous les deux exilés de V Institut de France , de cette France , leur patrie , qu'ils avaient tous deux si bien sqpie, la puissance de la méthode des projections et l’utilité comme science de la géométrie descriptive ont été méconnues et niées; mais il faut le dire, ce fui pardès hommes très-savants , sans nul doute , mais, qui n'avaient point passé par les services publics, qui n’avaient point été ingénieurs, ou qui n’avaient fait que traverser l’École des ponts et chaussées et celle des mines, pour s’adonner tout entiers • . à l’étude purement philosophique, purement spéculatrice des sciences, et qui dès lors ont dédaigné la science qui offre des contacts si multipliés avec la pratique, avec l’art de l'ingénieur.

Aussi, ne doit-on pas être surpris que M. Chasles, nommé en 1810 professeur de géométrie supérieure à la faculté des sciences de Paris , s'exprime dans son discours d’ouverture , ainsi qu’il l’a fait ; il dit (*) :

« Mais il ne faut pas perdre de vue que , dans toutes ces questions , la géométrie » descriptive n’est toujours qu’un instrument dont l’ingénieur se sert (jour traduire » sa pensée et exécuter sur le papier les opérations que la science, je veux dire la » géométrie générale , lui indique. La géométrie descriptive exécute, mais elle ne » crée pas. Si elle montre aux yeux la courbe d'intersection de denx surfaces, elle » n’en fait point connaître les propriétés ; elle ne saurait indiquer, mathématique- . '

» ment parlant , si cette courbe est plane ou à double courbure. Elle n’a point de m méthodes pour ces recherches, qui sont exclusivement di^ domaine delà géo- » métric rationnelle (**.). »

Ainsi , nous en sommes revenus , en 1 8 46 , à Y art des projections, qui écrit graphiquement des résultats géométriques obtenus par la géométrie rationnelle.

(*) Voyez le Journal dti mathématiques pures et appliquées , publié par M, Liocvulx , tome Xll , pages t cl suis. ( n»do janvier 1817 ).

(••J Voyez à la fia de cet ouvrage l'addition . n- 4. '

Ainsi , nous revenons au point d’où est parti Monge ; et , en 1 846 , tous les travaux de Monge sont oubliés , ils sont comme non avenus; bien plus, gardons-nous de considérer la géométrie descriptive, comme une méthode de recherches, c’est une grave erreur que, depuis 1815 jusqu’en 1846, les savants en géométrie rationnelle n'ont jamais pardonnée!

Mais pour certains savants, ainsi qu’il y a une géométrie rationnelle , il y a une mécanique rationnelle ; et si l’on veut bien y réfléchir un moment , on reconnaîtra sans peine quoce que l’on appelle aujourd’hui géométrie et mécanique rationnelles, n’est autre chose que l’emploi del 'analyse à la recherche des propriétés géométriques des surfaces, et à la démonstration des principes de la mécanique.

Mais, quoi qu’on en dise, on reviendra par la force de la vérité à reconnaître que l’analyse n'est qu’un outil do recherche ; mais bien plus , c’est une langue au moyen de laquelle l’idée que l’on conçoit devient saisissable par l'intelligence de ceux qui nous entourent, de telle manière qu’ils conçoivent Vidée d’autrui, comme s’ils l’avaient eux-mémes conçue les premiers.

L’analyse peut aussi être considérée comme une méthode , mais elle n’est pas la seule méthode que l’homme puisse employer à la recherche des vérités géomé- . triques ou mécaniques.

Comme tout ce qui vient de l'homme, l 'analyse a scs bornes, ses limites, ses avantages, ses inconvénients; si elle a une grande puissance, elle a aussi sa part de faiblesse ; parfaite en certains points , elle est imparfaite en d’tfütres.

Toutes les autres méthodes en sont là.

Pour certaines recherches, certaines méthodes sont préférables à d’autres; choisir entre les méthodes, suivant le problème à résoudre, voilà le point important ; c’est ce choix judicieux qui montre l’intelligence du philosophe ( en donnant à ce nom de philosophe son acception antique , homme qui cherche la vérité dans r intérêt de l’humanité, sans orgueil et sans vanité, n ayant d'autre ambition que celte d'être utile).

L’homme ne crée, aucunes vérités géométriques , elles préexistent toutes.

Lorsque l’on engendre une surface parle mouvement d'une courbe, cette surface jouit immédiatement certaines propriétés géométriques qui dérivent de la nature géométrique de la courbe génératrice et de la loi mécanique, du mouvement imprimé à cette courbe génératrice (que cette courbe reste constante de forme, ou varie de ibrme à chaque instant de son mouvement , la loi des variations de la forme géométrique de cette courbe génératrice étant liée à la loi mécanique de son mouvement dans l’espace).

Tontes les propriétés géométriques de la surface ainsi engendrée sont implicites.

Lu géomètre parvient à rendre ces propriétés explicites , en se servant de ce qu'on

appelle méthode de recherche. Les méthodes sont des outils dont se sert le raisonnement géométrique pour l'aider dans la découverte des vérités cachées.

Les méthodes ne créent rien , elles mettent dans la lumière ; elles nous aident à voir les choses telles qa'elles sont réellement , et à démontrer que ce que nous disons être est bien réellement ce qui estr

Mais pour qu’une vérité trouvée, découverte' par un homme, puisse être utile à tous, il faut qu’elle puisse être comprise par tous; il faut donc un moyen de transmission des idées, de l’intelligence d’un homme à celle d’un autre homme; cette transmission s’opère au moyen des Itmyucs.

C’est ainsi que pour la transmission d’homme à homme des idées géométriques , nous avons deux langues distinctes , la géométrie algébrique et la géométrie descriptive. La première emploie des symboles, qu’elle combine entreeux suivant des règles certaines; la seconde emploie des lignes, qu’ello trace aussi suivant des règles certaines ; ces règles sont exactes, parce qa’elles sont établies par le raisonnement , en vertu de déductions successives et logiques fondées sur la ndÊtre des choses.

Ces deux langues sont basées sur des principes différents ;%t langue algébrique a pour principe fondamental, l’arithmétique, c’est-à-dire le nombre ; et aussi s’applique-t-elle en géométrie à la scjjulion des problèmes de relations métriques. La langue graphique a pour principe fondamental la forme, et aussi s’applique-t-elle, en géométrie , à la solution des problèmes de relations de position.

Comme toutes les langues dont la formation dérive de principes différents, ces deux langues algébrique et graphique ont des puissances et une fécondité différentes 91 elles demandent aussi à être employées , maniées par le géomètre d’une manière différente , car leur esprit ou génie est différent , puisque les principes qui leur ont donné naissance sont différents (*).

Mais pour bien savoir, pour bien parler une langue, pour qu’elle vous soit familière, comme le dit Monge, il faut plusieurs années d’études cl de pratique.

Et dès lors comment des géomètres peuvent-ils se prononcer sur 1a géométrie descriptive, et sans craindre d’errer, lorsqu’ils en connaissent seulement les premiers éléments!

Une pratique constante peut seule nous faire découvrir toutes les ressources scientifiques que possède la géométrie descriptive. . Si un homme qui aurait appris dans sa jeunesse quelques phrases de la langue allemande, et qui ne l’aurait point pratiquée depuis, voulait plus tard discuter sur le génie de cette langue et examiner si elle est plus ou moins poétique que. telle ou telle antre langue , ne lui

l*) N’eet-on pas dans l’habitude de dire : le génie d’une langue, — le génie de ces dem langues est différent , — ne pas confondre le génie d’une langue avec celui d’un^antre langue.

dirait-on pas : apprenez et éludiez la langue allemande avant d’en parler si au long ?

La géométrie descriptive, comme méthode , nous permet de trouver des propriétés géométriques nouvelles (ou inconnues jusqu’alors); comme langue, elle nous permet d’écrire et de transmettre ainsi aux ingénieurs des vérités géométriques, et de les mettre à même do les vérifier et de s’en servir ; eu un mot de les utiliser dans leurs travaux sur le terrain. •

La géométrie descriptive procède ainsi qu’il suit :

Liant donné un système dans l’espace, on le projette sur deux plans; ces projections sont .construites rigoureusement, exactement, en sorte que les lignes qui g composent une projection sont entre elles en îles positions rigoureuses, exactes. En regardant avec attention l’une et l'autre projection, on peut parvenir à déterminer les relations de position , rigoureuses, exactes, des diverses lignes qui composent le système de I espace.

On peut donc affirmer que les lignes du système de l'espace ont entre elles telles ou telles relations déposition.

En énonçant , eu langage ordinaire , ccs relations de position , on dicte des théorèmes.

Ainsi , c’est en lisant les projections d’un système situé daus l’espace , comme on lit des liquations , qu’on découvre les propriétés géométriques écrites graphiquement sur V épure , et que par suite on arrive à découvrir, d’une manière certaine, les propriétés géométriques qui subsistent, qui existent dans ce système de l’espace; et il me semble que cette marche conduit bien à une démonstration réelle , positive, d'une vérité inconnue et (pie révélait le système donné daus l’espace.

Ainsi , l'on ne peut mettre en doute que cette manière de procéder, que cette méthode, qui constitue ce que l’on appelle la géométrie descriptive, ou la science 'des projections, tte conduise à lu découvert# d’une vérité géométrique inconnue; car faire voir qu'une chose est telle qu'on le dit et non pas autrement qu’on ledit, n’esl-ce pas démontrer que celte chose est; en d'autres termes, n'est-ce pas démontrer des théorèmes de géométrie?

J’ai dit ci-dessus qu’on lisail une épure comme on lisait des pages d'analyse, des pages remplies de formules algébriques; entrons à ee sujet dans quelques détails.

Lorsqu’on emploie l'analyse it la recherche des propriétés géométriques, on ne fait pas autre chose j>our mettre le problème en équation que d'écrire les équations des lignes qui sont les projections sur trois plans des lignes situées dans l’espace.

Un combine cuire elles ces équations d’après les règles algébriques , et l'on obtient en définitive des formules algébriques qui expriment la solution du problème; et en traduisant en langage ordinaire la solution écrite dans ces formules , on énonce la solution du problème proposé . ou la vérité du théorème qui était à démontrer.

On lit donc des équations comme on lit- une jdirnso écrite en telle on telle langue, cette phrase exprimant uneidée. \ j v »

Lorsqu’on emploie la géqgiélric descriptive ii la recherche des propriétés géométriques , on ne fait pas autre chose pour établir les données du problème que de tracer sur l 'épure les lignes qui sont, sur les deux plans de projection , les projet'- , lions horizontales et verticales des lignes situées dans l’espace.

On combine eulreelles ces lignes-projections d’après les règles graphiques (les règles de la géométrie descriptive), et l'on obtient en définitive des figures graphiques qui expriment la solution du problème; et en traduisant en langage ordinaire les relations qui existent enta* les diverses parties de ces figures, auxquelles on est arrivé en définitive, on énonce un résultat géométrique , on énonce un théorème ; on lit donc nnofigure, une construction géométrique, comme on lit des équations, comme on lit des formules algébriques.

On voit donc- bien que. l 'esprit du géomètre procède dans les deux cas de In même manière, et qu’il n'y a d'antres différences (et il ne peut évidemment y en avoir d’autres) que celles qui doivent provenir do l’emploi de deux langues differentes, savoir : la langue algébrique et la langue graphique.

Aussi Lagrange, écoulant une leçon de Monge, a-t-il dit : Je ne savais pas que je lavais la géométrie descriptive.

Les analystes de nos jours ont interprété cet aveu si naif et si profond de Lagrange de la manière suivante:

Tons ceux gui savent /’ analyse peuvent enseigner la géométrie descriptive.

El par suite ils ont ajouté :

La géométrie descriptive ne peut servir qu’à tracer graphiquement les résultats géométriques obtenus par l'analyse.

Je crois que ce n’est pas là ce que Lagrange pensait; je crois qu'il fut frappé de l'unité qui existait dans la manière de manifester les vérités de la géométrie à trois dimensions, d'intelligence à intelligence, d’homme à homme.

Je crois qu’il se replia en lui-même, et qu’il se dit intérieurement-: En toute vérité, le procédé des projections est le procédé fondamental dont le géomètre se sert , soit qu'il s’exprime dans la langue algébrique , soit qu'il s'exprime dans la langue GRAPHIQUE.

Ne pourrait-on pas dire , avec ipiclquc raison , que si les algébristes qui ne sont pas mécaniciens , et qui écrivent sur lu mécanique , dédaignaient moins la géométrie descriptive , ils auraient appris à lire dans l’espace le système dont ils veulent s'occuper, et qu'ils choisiraient plus judicieusement, qu’ils ne l'ont fait assez souvent, les plans sur lesquels ils doivent projeter ce système, de manière à avoir des équations très-simples à traiter , très-faciles à manier ? .

M. Poncelet a donné très-souvenl , à ce sujet, de bonne» et utiles leçons, dans

son cours , à la Faculté des sciences.

Et lorsque je dis : les algébrisles et les géomètres qui ne sont pas mécaniciens , j’entends parler des savants qui s’occupent de mécanique générale et de mécanique céleste ou d’astronomie, désignant par mécaniciens ceux qui s’occupent delà théorie des machines. Ces derniers ne peuvent ignorer la construction et les formes géométriques des diverses parties des machines dont ils s’occupent ; ils ne peuvent ignorer la nature et la résistance des matériaux employés ; ils ne peuvent être étrangers aux ateliers et aux outils; en un mot, ils doivent être ingénieurs.

Les mécaniciens doivent, de toute nécessité, savoir la géométrie descriptive; au reste c’est la pensée de M. Poncelet, qui a dit très-souvent qu’il préférait employer la géométrie, au lieu de l'analyse, dans les démonstrations des principes de la mécanique, parce qu’on était conduit tout naturellement à des tracés graphiques que l'on pouvait immédiatement utiliser dans la construction des machines; car il est de toute é\ idence qu’on ne peut pas construire une machine sans en avoir fait l'épure.

Je m'étais proposé deux buts en écrivant ce mémoire; le premier, de donner une preuve évidente que la géométrie descriptive pouvait construire et démontrer, ainsi que l’avait dit Monge , et non pas seulement construire, comme l'affirme M. Chasles ; et le second, de remplacer les théorèmes de MM. Quclelot et Dandclin , par d’autres qui fussent plus dans l'esprit de la géométrie descriptive?.

Je soumets ce travail au jugement des géomètres impartiaux et de bonne foi , qui aiment la science pour elle-mémc; qui , n’étant point des ambitieux politiques, sont «lès lors ennemis des intrigues , et ignorent toutes ces mauvaises passions humaines qui gâtent le cœur de l'homme et avilissent le caractère du savant.

Ai-je besoin d’ajouter que, si j’ai mis quelque chaleur dans cette discussion , l’on veuille bien songer à ceci : ce ne sont point mes idées , ce n’est point mon œuvre que je défends ; je défends l’œuvre de Monge et h» idées de Carnot, qui furent deux grands savants et «leux grands citoyens, ayant l’un et l’autre au fond du cœur l’amour «le la patrie et des sciences , amour «pii fut pur et désintéressé.

Efforçons-nous de les imiter !