ADDITION AU COURS DE GÉOXÉTRIE DESCRIT1VE, 1" PARTIE

Note sur le changement des plans de projection.

La fouille de papier sur laquelle s'exécutent les projections dos points et lignes de l’espace, a une longueur déterminée et qu'on ne peut pas, en général, agrandir.

La ligne de terre LT étant tracée sur la feuille de papier, nous savons tout de suite que la partie de la feuille de papier située au-dessous de cette ligne LT feprésente la partie antérieure du plan horizontal et la partie inférieure du plan vertical , et que la partie de la feuille située au-dessus de cette ligne LT, rejfcvsente la partie postérieure du plan horizontal et la partie supérieure du plan vertical.

Ces parties antérieure, postérieure, inférieure et supérieure des deux plans de projection sont donc limitées en raison de la position que la ligne de terre LT occupe sur la feuille de papier.

Or il peut arriver que l'on ait, comine dans la fig. b, pi. 15, les projections d’une droite B* et B" telles qu’un point n , situé sur la droite B , se trouve avoir sa projection verticale n* placée tout au haut de la feuille de papier et que sa projection horizontale n* soit située hors de la feuille de papier; et cependant, pour la solution du problème à résoudre , il serait utile de connaître ( si toutefois la chose est possible graphiquement ) , la distance du point n au plan vertical de projection.

On peut résoudre ce problème par un changement de plan horizontal de projection, en relevant le plan horizontal ancien de la hauteur n*q\ en sorte que la nouvelle ligne de terre LT sera parallèle à l’ancienne LT.

On voit de suite que toute la feuille de papier située au-dessous de la ligne - LT"

représentera maintenant la partie antérieure du nouveau plan horizontal de projection et la partie inférieure du plan vertical ; et remarquons que le plan vertical de projection reste le même.

En sorte que la feuille de papier se trouve, doublée , en longueur, et qu’on peut’ y construire des points de la droite P , dont la distance au plan vertical sera double de la distance de la ligne de terre LT au bas de la feuille de papier.

Si donc les projections primitives B” et B* sont telles que la distance du point n (de la droite B) au plan vertical n’est pas plus grande que la longueur totale de la feuille de papier, on pourra déterminer graphiquement cette distance au moyen du changement de plan horizontal opéré ainsi que nous venons de l’exécuter.

On peut donc dire qu’en relevant ou abaissant le plan horizontal parallèlement à lui-même, ou en avançant ou reculant le plan vertical parallèlement à lui-même, on peut doubler la partie antérieure ou postérieure du plan horizontal , ou doubler la partie supérieure ou inférieure du plan vertical.

En un mot, au moyen de ce mode de changement des plans de projection , on peut doubler ç n longueur la feuille de papier pour les constructions graphiques à exécuter par la méthode des projections, sans changer les dimensions de cette feuille de papier.

ADDITION AU «Ol'RS DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE , 2 * PARTIE, CBP. l", PAGE 8.

Note sur la démonstration relative à la propriété dont jouit le plan tangent , savoir : que Je plan tangent en un point d'une surface , quel que soit le mode de génération de cette surface , contient les tangentes ci toutes les courbes qui , tracées sur la surface , se croisent au point de contact.

Une surface 2, quelle qu’elle soit , peut toujours être considérée comme engendrée par le mouvement d’une ligne C , et de plusieurs manières différentes.

Ainsi : 1*on peut prendre sur la surface 2 un point m , faire passer par ce point m un plan R coupant la surface 2 suivant une courbe C , mener à la courbe C et au point m la tangente S et supposer que par la droite 0 on fasse passer uno série de plans.R , R', R", B'",.-* coupant dès lors la surface 2 et respectivement suivant le»

ligne* C , C', C", G'",.-- qui «front évidemment toutes tangentes entre elles et au point m , la tangente qui leur est commune en le point m étant la droite 9.

On peut donc supposer la surface 2 engendrée par le mouvement de rotation de la ligne C autour de la droite 9 , cette ligne C changeant de forme pendant son mou- •vement de rotation et prenant successivement les forme s C, C", C",...

2* On peut mener une suite de plans R,', R", R, parallèles entre eu* et au plan R et coupant la surface 2 et respectivement suivant des courbes ou lignes C,', C.", G/",... et l’on pourra considérer la surface 2 comme engendrée par le mouve- ment de la courbe on ligne C qui, se mouvant parallèlement à elle-même, se déforme successivement pour prendre successivement les formes C,', C/', C,"',...

3° On peut mener une droite D coupant, perçant la surface 2 en un point ou plusieurs points m , et faire passer par cette droite D une suite de plans R,, R,', R.'', R,"',." coupant la surface 2 et rosjwctivement suivant les lignes C., G/, C/', C/",... qui toutes se croiseront , se couperont en le point m , ou on les divers points m.

Et l’on pourra supposer que la surface 2 est engendrée par la rotation de la courbe C, autour de la sécante D, celte courbe C, prenant successivement les formes

C, Cf, c;”,...

Au lieu d’engendrer la surface 2 par des courbes ou lignes planes, on pourrait sans peine la supposer engendrée par des courbes à double courbure.

Gela posé :

La démonstration du théorème relatif au plan tangent, savoir : que le plan tangent en un point m d’une surface 2 contient les tangentes h tontes les courbes qui , tracées sur cette surlace, se croisent en ce point m, doit varier suivant que l’on considère tel ou tel mode de génération de la surface 2.

Dans le Cours de géométrie descriptive , nous avons considéré la surface 2 comme . engendrée par le premier mode indiqué ci-dessus, et le théorème a été démontré directement, en ce sens que nous n’avons pas eu besoin d’établir, au préalable, ce théorème pour une surface simple , et ainsi pour une surface développable , pour ensuite le faire passer sur la surface générale 2.

. Dans cette note , nous allons supposer que la surface 2 est déterminée par le second mode de génération exposé ci-dessus, et nous ferons passer le théorème du plan tangent , de dessus une surface développable, sur cette surface générale 2 , et cela de la manière suivante :

On sait qu’il n\ a rien de plus facile que de démontrer le théorème relatif au plan tangent pour une surface développable.

Et en effet : __

Rappelons-nous qu’une surface développable K peut être engendrée de deux manières principales : oui’ au moyen de son arête de rebroussement £ dont toutes les

tangentes forment les génératrices droites ( ou les caractéristiques ) de la surface K ; ou 2* au moyen d’un plan 0 roulant tangentiellement sur deux courbes directrices B et B,.

Si l’on considère le premier mode de génération de la surface développable K , nous pourrons considérer une. génératrice droite G de cette surface, laquelle sera une tangente à l’arête de rebroussement £.

• La position voisine de G sera G' ; et dès lors en menant par un point m de G une suite de plans ou de surfaces quelconques , on coupera la surface K suivant des courbes planes ou à double courbure C, C', C",... qui se croiseront au point m et qui couperont la génératrice G' et respectivement aux points n, n', n",...

Or il est évident que mn, mn', mn",... seront les éléments rectilignes des courbes C, C, C",... Ces éléments rectilignes prolongés donneront les tangentes 6, 9', 0",... à ces courbes C , C, C", . . . pour le point m ; et comme les génératrices droites successives et infiniment voisines G et G' se coupent en un point qui appartient à la courbe £ , il s'ensuit que toutes les tangentes 9, 0’, 0",... sont situées sur un même plan 0 qui passe par les droites G et G', et c’est ce plan 0 qui a reçu le nom de plan tangent.

Ainsi , le théorème relatif au plan tangent en un point m d’une surface développable K se trouve démontré, lorsque l’on considère cette surface K comme étant donnée par son. arête de rebroussement £ , comme étant dès lors engendrée par une ligne droite G assujettie , par la loi de son mouvement dans l’espace, à être tangente en toutes ses positions successives à une courbe donnée £.

Cela posé:

Le théorème relatif du plan 0 , tangent en un point m d’une surface développable K , étant démontré pour un certain mode de génération de la surface K , subsistera, quel que soit le mode de génération de cette surface K.

. Par conséquent , si nous supposons que la surface K est engendrée par un plan 0 roulant tangentiellement sur deux courbes directrices B et B, tracées sus cette surface K, le théorème subsistant toujours, nous pourrons en conclure ce qui suit :

Si la courbe B se ment sur la surface K en changeant de forme pour arriver à Ja forme et en la position B, ( le changement de forme et la loi du mouvement étant déterminés), on conçoit sans peine que la courbe B passera en une position infiniment voisine B' (B' ayant une forme modifiée), et que la surface K sera tout aussi bien engendrée par le plan 0 roulant tangentiellement Sur les courbes B et B, (situées à distance finie) , que par le plan 0 roulant tangentiellement sur les courbes B et B' (situées à distance infiniment petite).

Cela dit :

Les courbes C, C', C",... couperont respectivement la courbe B' en les points p,

р, p",.., qui , en vertu du nouveau mode de génération de la surface 2, seront des points successifs et infiniment voisins du poiritm; en sorte que mp, mp, mp",... seront dans ce nouveau mode de génération les éléments rectilignes dos courbes C,

с, cr,

Or ces éléments rectilignes prolongés donneront les tangentes 9, S', fl'',. .. aux courbes C , C', C",... et nous savons, à priori, par ce qui a été démontré plus haut (en nous servant du premier mode de génération de la surface développable K), que toutes ces tangenU-s sont situées dans un même plan , qui n’est autre que le plan 0 tangent en m à la surface K.

Cela posé:

Si nous considérons une surface générale 2 et un point m sur cette surface , noiis pourrons tracer sur cette surface une courbe B, laquelle passera par le point m; puis supposer que cette courbe B se déplace sur la surface 2, en vertu d’une certaine loi de mouvement, et qu’elle arrive, en changeant de forme,. en la position B‘ infiniment voisine de B.

Les deux courbes infiniment voisines B et B' comprendront donc sur la surface X une zone élémentaire et superficielle.

Si nous faisons rouler un plan © tangenliellement aux deux courbes B et B', nous obtiendrons une surface développable K:

Si ensuite nous faisons passer par le point m une suite de pians ou de surfaces arbitraires P, P', P'',... cos plans ou surfaces couperont la surface 2 suivant des courbes 9, 9', el la surface K suivant des courbesA, A', A 1 ',... et les courbes 9 et A, i' et A',... 'passeront toutes par le point ni, et de. plus couperont la courbe B' et respectivement deux à deux en les mêmes points p, p',... Par conséquent , ces courbes 9 et A, 9 1 et A',... auront mêmes tangentes 9 au point m , puisqu’elles auront deux à deux même élément rectiligne mp, mp', mp ',...

Or nous savons que le% tangentes 9, 9',... aux diverses courbes A, A',... de la surface K sont dans un même plan ; donc nous pouvous affirmer le théorèmesuivant :

Théorème. Si fou trace une série de courbes C, C’, C”,... sur une surface quelconque 2, toutes ces courbes se croisant en un point m , les tangentes menées au point m il ces diverses courbes sont toutes situées dans un seul plan , auquel on donne le nom de pus tangent au point m de la surface 2.

Cette nouvelle manière de démontrer le théorème relatif au plan tangent offre l’avantage suivant :

n.Voyez le ehap. Vit (1rs Développements de géométrie descriptive.

• Ce que nous avons dit pour un point m de la courbe B tracée sur la surface générale 2 peut se dire de tout autre point de cette même courbe B.

Par conséquent , la surface développable K jouit de la propriété d'avoir en commun avec la surface 2 la zone élémentaire et superficielle comprise entre les deux courbes successives et infiniment voisines B et B’, et aussi d’avoir en chaqne point de la courbe B même plan tangent avec la surface 2 , propriété que l’on énonce en disant que la sm-race développable K engendrée par un plan 0 roulant tangenliellement à la surface 2 et sur la courbe B, est tangente à la surface 2 tout le long de la courbe B.

En nous servant , ainsi que nous venons de le faire , d’une surface simple ( une surface développable) pour démontrer l’existence d'un théorème pour une surface générale , nous avons employé une méthode très-familière à la géométrie descriptive et qui est très-féconde. En effet : lorsque l’on voudra plus tard chercher la construction des divers points d’une certaine courbe X tracée surune surface générale 2, et de manière à satisfaire à certaines conditions , on tracera sur la surface 2 une série de courbes a, a', a",.-, d’après une loi donnée, et l’on cherchera sur ces Courbes au moyen des surfaces développables A, A', A",... tangentes à la surface 2 suivant ces courbes a, %, a.",... les points Cn lesquels ces courbes a, coupent la courbe X.

Ce ne seront pas toujours des surfaces développables que l’on emploiera , mais ce seront toujours des surfaces plus simples que la surface 2 proposée, et pour chacune desquelles on pourrra facilement et presque immédiatement résoudre le problème proposé pour la surface 2.

On en trouve un exemple remarquable danB la construction "par pointe de la courbe de contact d’un cône ou d’un cylindre avec une surface de révolution quelconque 2. Alors , pour chaque parallèle de la surface de révolution 2, on remplace cette surface de révolution 2 par un cône A (surface développable la plus simple) ou par une sphère S (surface do révolution la plus simple), ces gurfaces à ou S étant tangentes à cette surface de révolution 2 tout le long d’un parallèle.

Or il est utile, dans l’enseignement, d’employer le plus possible les mômes idées, pour ne pas surcharger la mémoire des élèves.

Je pense donc que la manière de démontrer le théorème relatif au plan tangent, telle que je viens de l’exposer, doit être préférée , puisque les idées géométriques que l’on emploie dans cette démonstration se reproduisent plus tard dans la solution de divers problèmes importants où l’on fait usage du plan tangent.

ADDITION AC COUR» DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, 2® PARTIE, CHAP. TXT, PAGE <37.

Note sur les modes divers de construction employés pour déterminer les projections horizontale et verticale de la courbe intersection de deux surfaces.

Monge, dans sa Géométrie descriptive, § III, art. 49, dit:

« Il existe entre les opérations de l'analyse et les méthodes de la géométrie des- » criptive une correspondance dont il est nécessaire de donner ici une idée.

» Dans l'algèbre , lorsqu’un problème est mis en équations , et qu'on a autant » d'équations que d'inconnues, on peut toujours obtenir le même nombre d’equa- » tions , dans chacune desquelles il n'entre qu'une des inconnues , ce qui met à » portée de connaître les valeurs de chacune d’elles.

a L'opération par laquelle on pan ient à ce but , et qui s'appelle élimination , » consiste, au moyen d’une des équations, à chasser une des inconnues de toutes n les autres équations ; et en chassant ainsi successivement les differentes inconnues, » on arrive à nne équation finale qui n’en contient plus qu’une seule dont elle doit » produire la valeur.

» L’objet de l’élimination, dans l’algèbre, a la plus grande analogie avec les opé- » rations par lesquelles , dans la géométrie descriptive, on détermine les interseo » tions des surfaces courbes. »

Monge montre ensuite comment étant données deux équations:

et .

l’opération algébrique de l’élimination de * entre les deux équations (1)et (2) est identique h la construction en géométrie descriptive qui consiste à considérer l’équation (<) comme étant celle d’une surface X et l’équation (Z) comme étant celle d’une seconde surface X', et à chercher la projection horizontale ( ou sur le plan des x et y) de la courbe C intersection des deux surfaces 2 et 2'.

Or l'on sait que cette construction consiste à couper les deux surfaces X et X’ par une suite de plans horizontaux X , X’, X"... Chaque plan X .... coupe la surface X

suivant une courbe 6 et la surface t suivant une courbe S'. Les projections 6* et fi'‘ de ces courbes se coupent en des points q u > appartiennent à la projection C k de la courbe cherchée C.

On voit donc que cela revient à donner à s dans les équations (1 ) et (2) , une certaine valeur y ; alors les équations :

seront respectivement les équations des courbes 6‘ et ê'\ et ces deux équations (3) et ( 4 ) nous conduiront à déterminer les coordonnées x et y de chacun des points z*,... intersection des courbes 6* et 6' k .

En sorte qu’en éliminant z entre les équations (1) et (2), on aura bien en {(z, y) = 0 l’équation de la courbe C‘.

Monge n'a pas poussé plus loin les analogies qui existaient entre l'élimination . algébrique et les constructions diverses employées en géométrie descriptive pour déterminer les projections de la courbe intersection de deux surfaces.

Nous allons essayer de remplir cette lacune.

Monge dit que les surfaces auxiliaires doivent varier de forme et de position dans l’espace , suivant le mode de génération des deux surfaces proposées et suivant leurs positions par rapport aux plans de projection , et il donne plusieurs exemples à l’appui ; c’est donc de l’analogie qui existe entre certains procédés d’élimination en analyse , et l’emploi de ces surfaces auxiliaires en géométrie descriptive que nous allons parier.

Si l’on a deux équations :

et

et que l’élimination de z entre ces deux équations offre des difficultés analytiques, on sait que l’on parvient assez souvent à surmonter cés difficultés, en prenant une troisième équation : » '

dans laquelle la forme (/) de la fonction est arbitraire et dans laquelle m est une nouvelle inconnue.

Et remplaçant, dans les équations (5) et (G), z par la fonction (7), on a:

et

Alors on éliminant m entre les équations (8) et (9) , on obtiendra une équation :

É(i,S)=o - • jtO) •

qui sera l’équation finale demandé*.

On voit donc que l’on doit examiner avec soin quelle est la forme de la fonction (J) qui conduira le plus facilement à l’élimination de in - r or, il est évident que I» forme de la fonction (/) dépendra de la forme des fonctions (ç) et (^).

En géométrie descriptive, nous opérons absolument de la même manière. L’équation (7) est celle d’une surface auxiliaire X , et cette surface X doit être choisie de forme et de position , de manière à ce que l’on puisse facilement construire son intersection avec cliacune des surfaces données 1 et 1'.

La forme et la position de la surface X dépend donc de la forme et de la position de chacune des deux surfaces-données 1 et

Si on lit jusqu’au bout ce chapitre de la Géométrie descriptive de Monge, dont je viens de parler, on verra que Carnot l'avait présent à l’esprit lorsqu’il rédigea en 1812 son rapport sur le Supplément à la géométrie descriptive , présenté à l’Institut de Franco par Hachette.

ADDITION AC COURS DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, 2 * PARTIE, CHAP. Tll , PAGE 137 ,

Reconnaître si la courbe intersection de deux surfaces est plane ou à double courbure. .

Nous avons dit que l’on distinguait les courbes en courbes planes et on courbes à double courbure.

La court* piano est celle dont tous h% points sont situés dans un même plan.

La courbe à double courbure est celle dont quatre points successifs et infiniment voisins ne sont pas dans un même plan , quelque part que l’on prenne ces points sur la courbe ; par conséquent , la courbe à double courbure est telle que quatre do ses points , situés à distance finie ( le choix de ses points étant arbitraire ) , ne seront pas en général dans un même plan. • .

Il nous sera donc facile, d’après ce qui précède, de reconnaître si une e.ourboC

située dans l’espace, et dont on connaît les projections C* et C, est plane ou k double courbure, et cela en nous servant des méthodes de la géométrie descriptive.

En effet :

On prendra sur la courbe C trois points arbitraires m ayant pour projections (ni*, m’), n ayant pour projections {n‘, »'), p ayant pour projections (p\ p r ) ; ces trois points m, n, p détermineront un plan P, et l’on prendra un nouveau plan vertical de projection LT perpendiculaire au plan P et coupant ce plan suivant la trace

Puis l’on projetlera la courbe C sur ce nouveau plan vertical de projection, et l’on aura la courbe Cf', j

11 est évident qu’il ne peut arriver que deux cas : ou t‘ la courbe C r ' sera trèsdistincte de la ligne droite V% et alors la coürbe C sera évidemment une courbe à double courbure ; ou 2° la courbe C*' sera presque rortÿigne , paraîtra se confondre avec la droite Y", et alors il y aura incertitude ; dans ce cas on ne pourrait afiirraer si la ligne C r 'cst une droite ou non , et dès lors on ne pourrait affirmer si la courbe C est plane ou à double courbure.

‘ Dans ce cas , sans changer l’échelle des abscisses , on pourra décupler, centupler l’échelle. des ordonnées. En sorte que si l’on considère sur la courbe C un point x, sa projection verticale étant en x’’, et ayant abaissé du point x r ' une peri>endiculaire sur la ligne de terre LT et la coupant au point q[, et cette même ordonnée coupant la droite V" en nn point r', la différence r /' en raison de la grandeur de l’échelle des ordonnées pourra être assez petite ( un dixième de millimètre par exemple ) , pour que l’on ne puisse pas ifllirmer quo les points x r ' cl r' ne se confondent pas. Mais en décuplant l’échelle des ordonnées , la différence r.'x'' deviendra égale à un millimètre,

* différence très-appréciable à l’œil ; et remarquons de plus que les erreurs graphiques ne pourront pas être plus grandes , que l’on emploie J>our les ordonnées une échelle décuple ou centuple de celle des abscisses , que lorsque l’on employait une même échelle et pour les abscisses et pour les ordonnées : les erreurs inhérentes aux instruments et à leur emploi seront toujours les mêmes.

, En sorte que l’on. peut dire', en toute exactitude et vérité, que la géométrie des-

* criptive possède un moyen de reconnaître si une courbe C est plane ou à double courbure , lorsque l’on connaît le tracé deses deux projections C* et C”.

Mais les savants qui s’occupent de géométrie pure, disent que l ’ analyse peut seule résoudre une semblable question et que la géométrie descriptive n’a pas de méthodes pour des questions de ce genre; ce qni précède leur prouvera, j'espère, qu’ils sont dans l’erreur.

Voyons' maintenant comment l'analyse peut résoudre une question de ce genre.

La courbe C sera donnée par les équations de ses deux projections , ou plus généralement par les équations des deux surfaces dont l'intersection n’est autre que cette courbe C , et ainsi :

et

seront les équations de la courbe C.

Pour reconnaître si cette, courbe C est piano , on peut employer plusieurs méthodes: • .

La première méthode consiste à prendre l'équation d’un plan :

A*+ By+Ci=:l

à éliminer * et y entre les trois équations(f), (2), (3), et l’on obtient une équation en z qui doit être satisfaite, quel que soit s; ce qui fournit un certain nombre d’équations pour déterminer A, B, C.

Si toutes les éliminations entre ces équations algébriques peuvent s'effectuer, te problème proposé sera soluble.

Mais l'élimination sera-t-elle toujours possible ?

On voit donc que la géométrie l'emporte , pour la solution d’un tel problème , sur l' analyse , puisque la géométrie descriptive peut le résoudre , quelles que soient les courbes C‘ et C", et que l ’ analyse est encore imparfaite , à ce point que nous concevons que pour certaines fonctions y et y l’élimination ne pourrait s’effectuer dans l'état actuel du nos connaissances algébriques.

Sans doute nous comprenons que la langue analytique ira toujours en se perfectionnant et qu’elle est susceptible d’un perfectionnement indéfini.

Sans doute alors nous pouvons dire qu’en nous servant de l'analyte, il n’y aura pas de problèmes que nous ne puissions un jour parvenir à résoudre ; mais pour être dans la vérité , il faut ajouter qu’aujonrd'hui l' analyse est encore trop imparfaite pour résoudre tous les problèmes.

Ainsi , si nous concevons quimplicitcmcnt elle a toute puissance, il faut convenir qu' endettement elle est encore très-bornée.

La seconde méthode consiste à trouver l'équation de la surface enveloppe £ des plans nonneaux à la courbe C, et devoir si celle équation appartient ou non à un cylindre. Si cette surface enveloppe £ est cylindrique, la courbe C est plane; ai cette Burface £ n’est |ws cy lindrique, la courbe € est à double courbure. ,

Mal* qui ne voit de suite que dans l'emploi de cette méthode peuvent se présenter

— Bi-

des difficultés d'analyse de divers genres, et que nous ne savons pas encore résoudre; car le calcul intégral n’est pas très-avancé, malgré tous les progrès qu’il a faits dans ces derniers temps (*).

La troisième méthode consiste à déterminer l'équation du plan oscillateur O en un point m de la courbe C, et de rechercher si cette équation est satisfaite ou non , quelles que soient les coordonnées (x , y, i) de ce poiul m , et ainsi quelle que soit la position du point m sur la courbe C.

Si l’équation est satisfaite , la courlie C est plane.

• On voit de suite que les difficultés <f analyse qui se présenteront dans certains cas peuvent être insurmontables , vu l'état actuel de \’ analyse.

I,a quatrième méthode consiste à prendre trois points arbitraires sur la courbe C et à faire passer par ces trois points un plan P , puis à changer la position du plan des coordonnées xi ou yz, en prenant un nouveau plan perpendiculaire au plan P, et de voir si la projection de la courbe C sur ce nouveau plan vertical sera une droite ou non, en d’autres termes de voir si l’équation de cette projection C' 1 est celle d’une droite Y" dont on connaît l’équation ; ainsi le problème est ramené à voir si deux équations sont identiques on non.

l’analyse, vu son état actuel , peut-elle répondre que dans tous les cas elle pourra résoudre la question ?(**).

Nous n’avons pas besoin d'entrer duos plus de détails au sujet de la solution que fournit la géométrie descriptive , toutefois les remarques suivantes ne seront pas inutiles (***).

L'on doit voir de suite que si les points x* et x’, projections d’un point x de la * courbe C , sont unis par une même perpendiculaire à la ligne de terre , si en x* et af il y a un nœud sur C* et C’, c’est que la courbe C offre un nœud au point x; si en x* et x r il y a un point de rebroussement sur C* et C", c’est quo la courbe offre un rebroussement au point x, etc.

Si la courbe C* ou C" a un nœud ou un point de rebroussement, la courbe C r ou C* n'ayant ni nœud, ni point de rebroussement , nous pouvons affirmer que la courbe C est à double courbure.

(*) Je crois que Ton peut dire, sans être trop sévère , que M. Chasles n'a pas réfléchi en écrivant dans son discours d'ouverture la phrase suivanto : la géométrie descriptive ne saurai/ indiquer , mathé-

matiquement parlant % si cette courbe (c ourbe intersection de deux surfaces ) est plane ou i double courbure. File n‘a point de méthodes pour ces recherches , qui sont exclusivement du domains de la géométrie ration nelle .

♦ (*•) On voit do suite que celle méthode analytique n'est que la traduction en langue algébrique de ta

méthode à laquelle la géométrie nous a conduit , et que nous avons evposé ci-dessu* on langue graphigue.

(*H) Voyez les Développements de géométrie descriptive , ch.ip. VII , page 4ûi et suivantes.

Si les courbes C* et C" offrent chacune un ou plusieurs nœuds, ou un ou plusieurs points de rebroussement, désignant , dans le cas où iï n’y a qu'un seul point singulier, par a le point singulier situé sur C*, et par 6 le point singulier situé sur C, il arrivera deux cas : ou I” les points a et b seront unis par une même perpendiculaire à la ligne de terre , et alors les points a et A seront les projections æ* et x' d’un même point x de la courbe C , et dans ce cas l’on ne pourra pas affirmer immédiatement que la courbe C est plane ou à double courbure ; ou 2” les points a et b ne seront pas situés sur une même peqiendiculairc à la ligne dé terre, et alors on pourra affirmer immédiatement que lu courbe C est à double courbure.

Si les courbes C* et C* offraient plusieurs points singuliers, la même observation s’appliquerait à chacun d’eux.

ADDITION AC COtRS DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, 2* PARTIE, CIIAP. IX, PAGE 200.

Noté sur In méthode employée par les anciens perbpectf.irs pour mettre en perspective une surface déterminée par une série de sections horizontales.

Avant que Moxge eût publié son ouvrage sur la géométrie descriptive , ceux qui, comme les perspectcurs et les tailleurs de pierre et les charpentiers, se servaient de l'art des projections, ignoraient la construction du plan tangent en un point d’une surface définie par un certain mode de génération. Ils ne savaient pas par conséquent construire par points la courbe de contact d’une surface donnée et d’un cylindre ou d’un cône.

D’ailleurs , comme nous l’avons dit dans notre préface , le théorème relatif au plan langent en un point d’une surface quelconque , savoir : que ce plan contient tes tangentes <1 tontes les courbes qui , tracées sur la surface proposée , se croisent au point considéré sur celle surface , ne fut démontré qu'après Descartes, et au moyen de C analyse infinitésimale ; plus tard ce théorème permit de construire graphiquement le plan tangent en un point'd’nnn surface définie par un certain mode de génération, et cela nu moyen des tangentes à deux courbes se croisant en ce. point et tracées Sur la surface proposée. Mais l’i>cnle de Minières ne permit pas que colle méthode gra-

phique fut divulguée. La difficulté à vaincre consistait , et consiste toujours évidemment , à choisir sur la surface proposée deux courbes telles , en vertu du mode de génération de la surface, que la construction graphique de la tangente soit connue pour l'une et l'autre de ces courbes, en un quelconque de leurs pointa.

Dès lors on voit qué si le problème est en général implicitement soluble, il ne peut l'étre explicitement que dans up certain nombre de cas particuliers.

MaiB comme dans les arts , les surfaces employées sont ordioairemenl : I - des cylindres ou des cènes de révolution ou des cylindres ou des cènes à base section conique; ou des surfhces de révolution, cdmme la sphère, ou d'autres surfaces pour lesquelles la courbe méridienne est telle, en général, qu’on sait lui construire une tangente en un quelconque de ses points; ou 3* des surfaces gauches détocrninecs par des courbes directrices pour lesquelles on sait résoudre le problème des tangentes , il s'ensuit que l’on peut déterminor la ligne de séparation d’ombre et de lumière et déterminer le coutour apparent , et par suite avoir la perspective de ces diverses surfaces, par l’emploi des méthodes que Monge nous a enseignées.

Mais avant ces méthodes nouvelles , les anciens perspecleurs employaient une méthode approximative pour la solution de ces problèmes , méthode que nous allons exposer ainsi qu'il suit : «

Étant donnée une surface 2 définie : par 1* une série de sections horizontales équidistantes ; ou 2° une série de sections planes parallèles entre elles, équidistantes ou non entre elles, les plans de ces sections étant obliques par rapport au plan horizontal; ou 3’ une série de courbes planes ou à double courbure , dont on connaît pour chacune d'elles les projections horizontale et verticale ; il sera toujours facile, de mettre en perspective cette surface 2 , sachant résoudre le problème général et fondamental en perspective , savoir ; mettre en perspective un point dont on connaît la projection horizontale ( en d'autres termes la projection au plan géométral) et la projection verticale ( en d'autres termes la hauteur au-dessus du plan géométral ).

Et en effet :

Désignant par C, C', C",... les courbes qui définissent la surface 2 , nous pourrons prendre sur la courbe C une suite de points.*,... dont doub pourrons déterminer les perspectives x.,... en unissant tous les points x,,... par une courbe C, noos aurons la perspective de la courbe C.

Nous pourrons donc nous procurer, sur le tableau, les perspectives C, , C/, C des diverses courbes C, C’, G",..-

Cela posé: * - . ;• • '-a -ï

La courbe A, , enveloppe des diverses courbes C, , . . . sert évidemment la perspeotive de la courbe A , contact de la surface 2 et du cèue S tangent à cette surface 2, ce cène S ayant pour sommet l'œil du spectateur. '

Ainsi , l’on Voit qtlc les ancien* persperteur s pouvaient déterminer la perspective d’une snrfnee quelconque.

La méthode qu’ils employaient était très-lonpne , mais enfin elle conduisait au but ; et cette solution était d'autant plus exacte (ou plus approximative ) que le* courbes C, C', C",... étaient plus rapprochées entre elles.

On doit voir de suite que la méthode survie par les anciens persficcieurs pour mettre en perspective une surface définie par ime série de courbes , était identiquement la même que celles qu’ils employaient pour déterminer l’ombre portée sur le plan horizontal par une surface de révolution dont l’axe était vertical , cettè surface étant éclairée par un rayon de lumière. ' .

ADDITION AU COCnS DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, g* PARTIE, CRAP. Il, PAGE 189.

Problème. Étant données deux droites A et B , construire une droite D qui s'appuie à la fois sur les deux droites données A et B et qui fasse un angle * avec la droite A cl an angle S arec ta droite B.

• Solution. Concevons deux droites A et B dans l’espace , ces deux droites n’ayant aucun point commun , n’étant point parallèles , et étant dès lors non situées dans un même plan.

Nous prendrons sur la droite A un point arbitraire a , et par ce point nous mènerons une droite B* parallèle à B.

Nous prendrons sur la droite B un point arbitraire b , et par ce point nous mènerons une droite A' parallèle à A. i *

Les plans (A, B') et (A', B) seront parallèles entre eux.

Si par le point a nous faisons passer une droite faisant un angle * avec la droite A, cette droite engendrera un cône de révolution 2 ayant le point a pour sommet et la ' droite A pour axe de rotation.

Si par le même point a nous faisons passer une droite faisant un angle 6 avec la droite B 1 , cette droite engendrera un cône de révolution 2' ayant le pointu pour sommet et la droite B’ pour axe de rotation. •

Ces deux cônes droits 2 et 2' pourront : t’ se toucher suivant une génératrice

droite K , laquelle aéra nécessairement dan» le plan ( A , B' ) ; 2" se couper suivant deux génératrice» droites G et G', lesquelles seront dans un plan N perpendiculaire au plan (A , B'), et oe plan N coupera le plan (A, B*) suivant une droite L qui fera des angles égaux avec les .droites G et G', ou, en d’autres termes, qui divisera en deux parties égales l’angle que ce» deux droites G et G‘ font entre elles; 3* n’avoir d’autre point commun que le sommet a. ,

’ • Cela posé :

Si par le point b, on mène une droite K, parallèle à K et deux droites G, et G,' respectivement parallèles aux droites G et G' : dans le premier cas , les plans (A, K) et (B, K,) seront parallèles,, la droite qui résout le problème sera tout entière à l'infini ; dans le deuxième cas , les plans ( A , G) et (B , G,-) se couperont suivant une droite G,, et les plans (A, G') et (B, G,'} se couperont suivant une droite G/, et les deux droites G, et G/ résoudront le problème proposé.

Maintenant, construisons l'épure; car il ne suflil pas d’avoir donné une solution géométrique purement philosophique, purement spéculative, il faut que l’on puisse s’en servir; il faut donc pouvoir <scvkc graphiquement cette solution pour que les ingénieurs puissent s’en servir, l’utiliser duus leurs travaux.

Ainsi, la géométrie descriptive vient, dans ce qui précède, de décrire ce qui existe, ce qui est dans l’espace; maintenant la géométrie descriptive va écrire sur , Je» plans de projection ce qui est dans l’espace, de manière que l’épure tracée permettra de construire , dans l’espace , la solution du problème , par conséquent permettra de placer d’une manière matérielle, dans l’espace, la droite G, ou G,' qui résout le problème proposé. '

Étant données deux droites A et B par leurs projections , ces droites étant oblique^ 0 par rapport aiix plans primitifs de projection , l’on peut , par une suite de changements de plans de projection , parvenir à deux nouveaux plans rectangulaires entre eux , l’un jtcrpendiculaire à la droite A, et l’autre parallèle à la droite B.

Nous supposerons donc tous ces changements de plans de projection effectues, et nous prendrons la droite A perpendiculaire au plan horizontal et située dans le plan vertical , et la droite B parallèle au plan vertical (Jirj. a , pl. 1 5). *"

Nous prendrons un point a sur la droite A , et nous mènerons par ce point a une droite B' parallèle à B. , -

On aura donc la droite B' dans le plan vertical de projection , le point a étant aussi dans ce plan vertical, puisque la droite A y est siluee et que la droite B est parallèle à ce plan vertical.

l)n point a cqinme centre et avec un rayon r. arbitraire , nous décrirons le cercle C dans le plan vertical de projection*

' . ' # •; . • \ — Sü — - •

jm

O rerele C sera la section laite par le plan verWm ne projection dans «ne sphère S dont le centre serait le point a et qui aurait son rayon égal à p.

Par le point a et dans le plan vertical de projection , nous mènerons deux droites , l’une qui fasse avec la droite A un angle or, et l’autre qui fasse avec la droite B' un a agio 6. Os deux droites , en tournant , la première autour de l’axe A, et la seconde autour de l’axe B', engendreront deux cônes de révolution qui se couperont suivant deux droites 6 et G, qui se projetteront verticalement en la même droite G, r et G*

La droite cherchée sera donc parallèle à G, ou G,' et s’appuiera sur les droites A

, et B. Le reste de la construction se lit facilement sur I 'épure.

On doit voir de suite que la solution du problème propose se compose île la solution de deux problèmes distincts, et qu’ainsi la combinaison des solutions de ces deux problèmes particuliers ndus donné lu solution du problème complexe propose.

Et en etfat : •

Si les deux droites A et B proposées so coupaient en un point a , la solution dn problème proposé ne serait autre que celle du problème que nons savons résoudre, savoir : étant donnés les trois angles plans d’un angle trièdre , construire les angles ilrièdres , ou , en d’autres termes , construire sur le plan de l’un des angles donnés la projection de la troisième arête de la pyramide.

•Puis ensuite :

Construire une droite G qui s’appnie sur deux droites A et B (non situées dans un même plan), et qui en même temps soit parallèle à une droite G,, est encore un problème que nous savons résoudre; car étant données trois droites A, B, D, non situées deux à deux dans un même plan , en faisant mouvoir une droite G sur oes trois droites A , B, D, on engendre an hyperboloïde à une nappe et non de révolution (en général). Les trois droites directrices A , B , D , sont des généra ticee du premier système et les diverses 'positions que peut prendre la droite G sont les génératrices du second système ; or l’on sait que deux génératrices de systèmes dilférents peuvent être parallèles, et déterminent un plan asymptote de la surface. Ainsi ' la seconde partie de la construction n’csl que la solution d’un problème déjà connu et qiie nous savons résoudre graphiquement.

Il peut arriver plusieurs cas, ainsi que nous l'avons dit ci-dessus:

1° Si l’on a (*-t-6) ou (« — S) plus grand que l’angle 7 »que font entre elles les droites A et B, alors on aura deux droites G, et G,', et* le problème aura deflx . solutions.

2" Si l’on a ( a -f 6) ou (« — g) égal à l’angle y, alors les deux cènes engendrés par la droite G qui fait un angle « avec l’axe A et un angle 6 avec l’axe B', se tou-

eheronl suivant une droite^iyoe dans le plan des axes (À, B') et dans ce cas le problème aura bien une sdMfion, mais é^tte solution sera donnée par une droite qui , s’appuyant sur les droites A et B , sera tout entière située à l’infini.

3* Si l’on u (a + 6) ou (a — S) plus petit que l’angle •/, les deux cènes ne se couperont ni ne se toucheront , et dès lors le problème sera impossible.

U* Si les angles» a et € sont tons les deux égaux entre eux et à un angle drîht , le problème aura une solution , et nne seule solution , qui sera dounéo par la plus

courte distance entre les deux droites A et B.

TA BTK~D E S "MïTIÈ R E S .

Démonstration nouvelle de» propriétés principales des sections conique* 4

Expot< du modo de démonstration. I

Démonstration nouvelle do» propriétés principales des sections coniques I

Export du modo de démonstration. I

P ftE Mt fcft ft P AftTffi.

Si de chacun des pointe d’une droite on mène deux tangentes à un cercfo, les cordes de

contact passent par un même point. . - . . .-'V

fi »

Théorème des tangentes conjuguées en un point d'une sphère. . . ! ? ! ! T T ~