XXIII

Focale de la parabole.

Nous avons vu que lorsqu’on avait uneellipseE, le lieu des foyers/,... et/,... des diverses ellipses A,... projections orthogonales de l’ellipse É sur Ja série des plans P,... passant Jous par la tangente 9 menée au sommet a delà courbe E, était un cercle S décrit sur la distance FF' (des foyers F et F' de l’ellipse) comme diamètre.

Ce cercle S augmentera donc de rayon à mesure que la distance FF' grandira , et dès lors il est évident que si l’on suppose que le foyer F reste fixe et que le foyer F' s’éloigne indéfiniment , l’ellipse E deviendra une parabole lorsque le foyer F' sera à • Fine distance infinie du foyer F, et le cercle 6 deviendra une droite perpendiculaire à l’axe infini île la parabole, cette droite S passera par le foyer F de la •parabole E et sera située dans le plan M qui, jiassant par l’axe infini de la parabole E, perj>endiculaire au plan de cette parabole. *

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant (fig. 40) :

Théorème. Étant donnas unç parabole E , son sommet a, son foyer F, sa directrice D; ayant tracé la tangente 0 en son sommet a ; menant par la droite 9 une série de plans P, P', P",... si l’on projette orlhogonalement la panèole E sur chacun de cet plans P, P' P 1 ',... on obtiendra une série de paraboles A, A', A",... dont les foyers f, F, f',... seront situés sur une droite S , laquelle sera perpendiculaire au plan de. la parabole E

et passera par le foyer F de cette parabole E. Les directrices I, I', I”,... des paraboles A , A', A",... seront situées dans un plan Z perpendiculaire au plan de la parabole E et le coupant suivant la directrice D de celte parabole E.

Cela posé, cherchons la focale de la parabole (fig. 41 ) :

a élanl le sommet de la parabole E , F son foyer et d le point en lequel sa directrice 1) perce sou axe infini xy( prenant le plan vertical Z , passant par Taxe infini , pour plan vertical de projection) , nous mènerons par le point a une série de droites A", A'%... qui couperont lu droite 8 menée par le point F perpendiculairement à xy.

Nous mènerons ensuite une droite y parallèle à la droite S, et cela par un point g situé sur xy de telle manière que l’on ait : ÿF = Fa. *

Les droites A,... couperont la droite y en des points a, ,... , et il est évident que l’on aura : fa,=fa,...

Si jmr le point a, on mène une parallèle à xy, elle coupera en un point s la pèrl>endirulnire menée par le point/ à A*.

Les divers points s,... seront lés sommets des divers cônes de révolution S,... qui enveloppent la parabole E , donnée sur le plan horizontal.

Or il est évident que l’eu a :

sa — sa, s'a= t'a,',;..

Il se trouve donc démontré quo le lie u des points s, s',... est une parabole 4 ayant xy pour axe infini , ayant pour sommet le foyer F de la parabole E et pour foyer le sommet a de cette mémo courbe E. Lt“s deux [taraboles E et 4 sont doue identiques , superposables, seulement elles sont tournées en sens inverse, et situées dans des plans différents rectangulaires entre eux.

On démontrerait , comme pour l’eHipsc, que le point d est le centre de courbure de la parabole 4 par rapport à son sommet F. Ainsi l’on pesât énoncer le théorème suivant :

TnftonfcME. Le rayon de courbure pour le sommet <T une parabole est égal à deux fois la distance du foyer au sommet de cette courbe.

Et en vertu de ce qui a été démontré au sujet de la focale : 1" de l’ellipse, 2* de l’hyperbole, et -T de la parabole, nous pouvons encore énoncer les théorèmes suivants :

Théorème. Le lieu des sommets des cônes de révolution passant par une section co^ nique , est la rxvle de cette section conique ■

TnÉoft&ue. Les axes des divers cônes de révolution , qui passent par nue section conique, sont tangents à la focvlb de cette section conique.

8 xxrv. * . • ;

Les constructions par points que nous avons dryntiées pour l'ellipse, page 26, |X)ur ['hyperbole , page 36 , et pour la parabole, page 44 , peuvent dire appliquées sur le terrain pour tracer au moyen : 1“ de jalon s , 2* d’une équerre , et 3* d’une chaîne d’arpenteur , soit une ellipse, soit une hyperbole et soit une parabole dont ofi connaît sur le terrain ja position des sommets et des foyers, ces points , sommets et foyers , étant fixés de position sur le terrain au moyep de piquets ou de jalons , et ces sommets et foyers étant les seules choses connues des sections coniques à construire par points sur le terrain.

Et en effet : .

Si{fig. 43)on imagine le cercle 6 tangent à l’axe de l’ellipse A et au sonqnet a , le contre m de ce cercle € étant sur la tangente 9 menée à l’ellipse A en son sommet A , nous savons que les tangentes à ce cercle 6 , lorsqu’elles émanent des deux foyers/ et/' de l’ellipse A, se croisent en nn pointa: de cette Bection conique A.

Nous savons aussi que la mémo construction s’applique à l'hyperbole et à la parabole. • -

Cela posé : , • * ’ •

Il nous serait impossible de tracer le cercle S sur le terraiu el de lui construire une tangente émanant d’un point extérieur Joimc ; car l’on ne peut [>as opérer sur le turraiu (surtout lorsque le rayon du cercle S sera de plusieurs dizaines de mètres} comme on opère dans le cabinet en traçant une épure , au moyen de la règle, de l'équerre et du compas.

Sur le lerrain , l’on doit fixer les points au moyeu do jalonnements et de longueurs métriques portées, dans une direction rectiligne donnée, au moyen delà chaîne diurçienteur.

Voyons donc comment nous pouvons nous dispenser de tracer sur le terrain le cercle S , et tracer cependant la direction de sa tangente émanant du foyer f *11* l'ellipse à' construire par points.

Si l’on joint le centre m du cercle S aveu le. foyer / par une droite, la droite xy ■ perpendiculaire sur m/ passera parle point y, point de contact delà tangente rfu cercle S et émanant du fgvcr /; de plus on a : ra= ry.

Nous pourrons donc fixer sjir le terrain (a position du point y de la manière Mivunto: e *

Se plaçant en station en m sur la tangente 9, tracée, au moyen d’un jalonnement et de l’éqaerre d’arpenteur, perpendiculairement à l’axe oa' de l’eHipsc à tracer, et dès lors tangente on le sommetu-de cette courbe, nous ferons placer un piquet ou jalon 7

dans la direction mf (/ étant l'un des foyers , fixé de. position sur le terrain par un jalon J. Cela fait , il sera facile de chemine.r du point m dans la direction mfq, et au moyen de l’équerre d’arpenteur il sera facile de Irom er sur cette direction m/le poiqj m r par lequel passe la perpendiculaire ar à cette direction mf.

On placera un piquet r; on mesurera avec la chaîne d’arpenteur la longueur ar, eii se conserv ant dans la direction ay au moyen du jalon s , et l’on portera avec la •• chaîne dlarpenteur la longueur ar de r en y.

Le point y étant fixé de position par un piquet , la direction yf de la première tangente sera déterminée.

On fixera de même le point de contact y de la seconde tangente yf au cercle S, et en faisant cheminer un jalon sur la direction fy, on arrivera à le placer en x sur la' direction yf. Ce point x sera un point de l’ellipse demandée. - .

On changera la position du point m sur la droite 8 , on recommencera l’opération et l’on déterminera un nouveau point x' de l’ellipse donnée par les sommets a et a' et ses foyers /et/. •*

'La fuj. H indique les constructions pour l'hyperbole.

Lu fig. iî> indique les constructions pour la parabole.

Si, au lieu d’avoir à tracer par points une ellipse, on avait un cercle, on remarquerait que le cercle est tint ellipse dont le centre cl les deux foyers se réunissent en un seul point. •

Alors les déux tangentes fy et fy' ait cercle 8 se réunissent en une seule tangente à ce cercle S et émanant du coDtre do cercle à tracer par points; et les (joints y, y' et x se confondent ell un seul et même point, qui n’est autre que le point de contact du cercle £ et de sa tangente émanant du centre du cercle à décrire; et ce point de contact est précisément un des points du cercle à décrire.

On voit donc que l’on pourra employer la même construction pour le tracé par points d’un cercle dout on connaîtra, sur le terrain, la position du centre et la longueur du rayon , ou mieux un point a de ce cercle ( ce point a et le centre du cercle étant fixés de position , sur le terrain , au moyen de piquet» ou de jalons } .

La construction que nous employons pour tracer par points une ellipse , un cercle, une hyperbole et une parabole étapt la même pour ces quatre courbes, nous sommes conduit à remarquer que la section conique ne peut offrir que quatre forme» différentes. • .

Et en effet :

Cette construction étant fondée sur les foyers, uous voyons de suite que si la courbe a deux foyers, ils ne peuvent avoir que les positions suivantes :

I” Si les foyers sont situés entre les sommets, ils peuvent être éloignés du centre ou sc confondre avec le centre de la courbe, de là V ellipte et le cercle ;

T Si les foyers sont situés au delà des sommets, on aura Y hyperbole ;

3" Si l’un des foyers est à l'infini , alors on aura la parabole.

Une seule objection peut être faite, c’est que si l’on ne considère pas les courbes comme des sections faites dans. un cène, auquel cas on reconnaît que les sommets et les foyers ne peuvent pas être placés entre eux autrement que nous venons de le dire , mais si seulement on examine ces courbe^ comme tracées sur un plan , on pourrait «voit- à considérer une position nouvelle, oulic’où l’nn des foyers serait situé entre les sommets , l’autre foyer étant situé en dehors des sommets.

Mais si l’on examine bien la construction que nous avons employée , on verra de . . suite que nous ne considérons jamais qu’un seul sommet a et les deux foyers f et /'; en sorte que les positions indiquées ci-dessus sont les seules possibles.

Et ainsi : ' - •

t° Les deux foyers / et J' étant situés tous deux à droite ou à gauche du sommet a ;

Les foyers étant éloignés du centre, on a l 'ellipse;

Les foyers et le centre étant confondus en un seul point, on a le cercle ;

2* Les deux foyers f et f étant situés l’un à droite et l’antre à gauclie du sommet a , on a V hyperbole;

3” L’un des foyers /' étant à l’infiui , le foyer / sera ou à droite ou à gauche du sommet a, alors on a la parabole* . • . .

Ainsi, la construction employée, non-seulement sert à tracer les sections coniques, mais elle vérifie qu’elles ne peuvent avoir que quatre formes différentes.