Modification REiATrvE' Atr cas ou ies figsons sont

GRANDS ET LES EFFORTS A TRANSMETTRE TRlÈS-FAIBLES.' Au Contraire , si les rayons des roues sont grands et les efforts à «transmettre assez faibles, il pourrait arriver que les* dents , tracées par la méthode du n“ 2o5 , fussent un^ ' peu courtes. Dâns'cé cas, au lien de se borner à' faire agir une dent % pendant un intervalle égal à une fois ' le pas, avant la ligne des centres et autant "après cette ' ligne V 'on* pourra prendre les arcs ab' ci ae égaux ' une fois et ‘demie ou deux fois le pas , et faire le reste dù tracé comme il est 'indiqué au' n“ 2o5 et suivans.

212. Limite de la saillie des'deni^. Dans tous les cas*, il né convient pas que la saîIHe des dents sur l’anneau qui les porte, excède i,5 fois leur épaisseur mesurée sur le ‘ cercle primîtifi

2ï3. EngAenage intériéür. d’üne rOüe et d’uiÎ pignon. Lorsque la roue conductrice mène un pignori'placé dans"* son 'intérieur, la ‘courbé ‘dés dents de là' roue et le flanc de celles du pignon , doivent encore être tracés ‘ ■ parla méthode du n® 2o5 ; mais ce tracé ne pourrait plus s’appliquer aU 'flanc - dès dents de' la roue et à la ' courbé de celle 'du pighon.

• Cette courbe devrait alors être formée' par uùé épi-' cycloïde, engendrée par un point du cerclé primitif’ de la roue, roulant extérieurement sur le cercle primitif * ddp^non; on la remplacera ’ par un aré de 'cercle', décrit’ dé -la* nàiSsamcé d’une déht avéc' un- rayon é^t-

, •' Dlÿin'i' vi

$m;&£?(AG£S. /i ' • ' Mis

à la corde de l’arc qui mesure le j>as sur le cercle .primitif du pignon.

Quant au flanc de la dent de la roue, il se réduirait dans le tracé actuel au point de la circonférence primitive , qui aurait décrit l’épicycloïde de la dent du pignon. Ce qui montre qu’alors la dent de la roue agirait avant la ligne des centres , toujours par le même point , et se creuserait d’autant plus promptement que ce genre d’engrenage est ordinairement employé pour transmettre le mouvement des roues hydrauliques > et qu’alors la roue et le pignon sont sans cesse mouillés et exposés à un frottement considérable.

Dans les cas ordinaires , où l’on aura eu l’attention de ne pas faire le pignon trop petit , et où il n aura pas à supporter des efforts trop grands., il sera possible et préférable de supprimer tout à fait l’engrenage ayant la ligne. des centres, et alors on opérera ainsi qu’il suit :

ae\ étant la Ugne des pentres (^ig. 39), n le pcnsd de coniaot dep cercles primitifs, prenez, pour les cas .ordinaires., .sur ces .cycles, on .arc égal à deux fois le pas> à l'extrémité de œt .are»

menez un rayon (pu renoontrc le cercle , dont le diaaaètre est égal à c'a s: R'.

Joignez fPn ftpinl de r^cpntre et l’extrémité de l^are pris sur le de lo roue ; sur le milieu de la ligne de jonodon , éleyez one ferpeodiculaire dont le rentjoatne eyep le cepscle primitif ea, sera le (çonbie des arcs de cercle (pii formeront la (xturbe de la dent. v ...

Le flanc du pignon aura la direction, des rayons do cercle c'. Du cendre de ta roue, déerîves, eomtne^ao

Ï16 COMMUNICATIONS IIU MOUVEMENT.

n° 206 , une circonférence qui limitera la longuenr des dents de la roue, de manière qu’une dept ne cesse dé pousser que quand la seconde qui la suit arrive à la ligne des centres. ' ‘

La longueur utile du flanc du pignon est ainsi déterminée , mais il est nécessaire de le prolonger en dehors du cercle primitif c'a, de o“,oo3 à o“,oo5 en arrondissant les angles à partir de la circonférence primitive , avec un rayon, égal à la corde du pas sur le cercle primitif du pignon. .

-De même il faut mener du centre de. la roue, des rayons tangens aux faces de la dent pour former des , flancs , qui ne servent à peu près alors * qu’à donner une profondeur' convenable'.au creux.

Les dents de la roue et du pignon étant ainsi limitées vers l’extrémité , donner au creux une profondeur telle qu’il y ait entre ces dents et le fond de ces creux o^jOcS à o“,oio de jeu. • . ■ ‘

'214. Modification pour lk cas des petits pignons soumis A DS GHANDS moKTS. Si le piguon était trop petit, il pourrait arriver que les dents ainsi construites, pour qu’il y en ait toujours deux en contact à la fois , seraient Urop minces à l’eNUrémité. Dans ce cas recommencez le tracé , en prenant des arcs égaux à i ,5 ou s’il le faut une fois le pas. Ce cas se présentera rarement.

■ Les engrenages intérieurs ainsi tracés ne conviennent qu’au cas où la roue conduit le pignon.

‘215. ENGHBNAGBU'uNPIGNqN ST d’une CRÉHAUXiRB. PoUT tracer les dents d’un pignon qui doit conduire une crén^illère , il faut d’abord déterminer la hauteur dont la xiémaillère doit s’élever pour un tour du pignon. Alors appelant < >

A cette hauteur,

r- le rayon, du cercle. primitif du pignon.

KKGR£NA«ES.

Oa aura

* iTt

Connaissant la résistance que la crémaillère oppose au, pignon, on calculera l’épaisseur b de la dent du pignon d’où l'on conclura le pas , puis le'^nombre m des dents du pignon , sera réglé par la formule

On prendra pour m le nombre entier inférieur le plus voisin, et on déduira de la relation ci-dessus, une valeur du pas a un peu plus grande que la première que l’on avait trouvée , ce qui n’a pas d’inconvéniens.

Celas fait, on enroulera un fil sur la circonférence du cercle primitif, et avec une pointe ou un style placé à son .extrémité, en. déroulant ce fil, on tracera la développante du cercle qui sera la courbe des deux faces de dent 'du pignon.» .

Deux rayons tangens aux naksances .de ces courbes à .la circonférence primitive, formeront le flanc des t ?>g- 4«‘ dents, et pour limiter la longueur utile de la courbe, de façon que le contact cesse à une distance donnée, que l’on essaiera d’abord de rendre égale au pas , on portera sur la ligne des contacts une longueur ab , égale à ce pas , et du centre c avec cb pour rayon, on tracera une circonférence qui déterminera la largeur des dents du pignon.

Quant aux dents de la crémaillère, on les tracera avec une exactitude suffisante pour la pratique , en décrivant de la naksance d'une des dents comme centre avec le pas, comme rayon, un arc

2 i 8 COMMümCATIONS DU MOUVEMEKT.

de cercle , qu’on limilera en à sa rencontre arec le cercle , dont le diamètre est égal au rayon du pignon. Ces dents auront leurs flancs perpendiculaires à la direction du mouvement, et seront symétriques ainsi que celles du pignon.

La profondeur du creux et la saillie totale , se régleront comme il a été dit aux n"* 208 et 212.

Il arrive souvent pour cet engrenage , que d’après la dimension trouvée pour le pas, il ne serait pas possible ' de faire conduire avant et après le point de contact do cercle primitif et de la ligne ab à une distance égale au pas , sans que les dents ne devinssent trop minces au bout. On restreindra alors l’amplitude du contact et l’on déterminera le rayon des courbes des dents de la crémaillère, comme il a été dit aux n“ 210 et 2o5, pour les engrenages ordinaires.

216 . Cames des moxs. Les cames des pilons se tra-^ ceront de la même manière que les dents du pignon qui conduit une crémaillère; mais comme il n’y en a qu’un petit nombre dans la circonférence , on peut se donner la condition que chacune d’elles agisse pendant une partie donnée de cette circonférence, et faire en sorte que le pilon ait le temps de retomber avant qu’une autre came soit arrivée pour le relever.

Appelant ^ •

h la levée du pilon ordinairement, donnée d’avance, m le nombre de cames qui agissent sur un même pilon >

dans une révolution de l’arbre,

» le nombre de révolutions de l’arbre en i',

Il • ' ' ’

t — la durée d’une révolution, ' * * ' • '

r le rayon du cercle primitif à développer.

L’intervalle d’une levée à une autre serait - — ,

V m mn

Mais attendu que les résistances passives peuvent un

ENGREKACES.

• *\ ENGREKACES. 9t9

peu retarde'^ la descente, on augmentera ce temps d’un sixième pour ne pas être exposé à voir les mentonnets choquer les cames en descendant.

Faisant alors - 1 i + - ) = f,

culera le rayon r par la formule

6oA

Ftg. 4i

rj

Cette formule revient à la règle suivante:

Divisez la durée dune révolution de l’arbre à cames par le nombre de cames qui agissent sur un même pilon ; augmentez ce temps (T un sixième, et retranchezen la racine quarrée du double de la levée divisée par et multipliez le reste par 6,28 fois le nombre de révolutions de l’arbre à cames en

Par le produit divisez la levée multipliée par 60,

Le quotient sera le plus petit rayon que l’on puisse prendre pour le cercle à développer.

il n’y aura aucun inconvénient à le prendre plus grand.

Exemple : Quelle est la limite inférieure du rayon du cercle à développer pour former les cames d’un moulin à pilons , dans le cas des données suivantes ? -

• ïS

COMMUNICATIONS DU MOUITIMENT.

On trouve

Le rayon que l’on adopte ordinairement est e0iron le double de cette limite inférieure.

On tracera le cercle du rayon r ainsi déterminé, et on limitera la longueur de la courbe comme il a été dit au numéro précédent , en portant sur la tangente une longueur égale à la levée et en décrivant du centre de l’arbre à cames le cercle qui passerait par le point ainsi déterminé.

Le reste du tracé ne présente pas de difficultés.

217. Cames en kpicycloïdes dktinéks a transmettre UN mouvement circulaire alternatif. Pour construire les cames qui sont employées à soulever les marteaux des foulons , les marteaux frontaux , etc. , on déterminera d’abord par l’amplitude du mouvement qu’on doit imprimer à ces outils ,• la longueur de l’arc qui correspond à la durée du contact.

On se donnera pour le cercle à cames un rayon convenable d’après les proportions en usage et suffisant pour que l’outil, en redescendant, ne rencontre pas la came avant d’être parvenu à sa position inférieure et d’avoir terminé son action.

Fig. 4n. Tracez le cercle pri-

mitif ca de la came, le cercle du rayon c'a et le cercle dont le diamètre est c(J.

Partagez ce dernier cercle et le cercle ca en parties égales, à partir de a, aux pointai, 2 , 3, 4>

, ENGRENAGES. Ml

Des points i, 2 , 3, 4 j 5 de division du cercle ca avec des rayons égaux aux cordes la, 20 , 3a, etc. du cercle de diamètre c'a , décrivez des arcs de cercle qui , par leurs intersections «uccessives , formeront la courbe de l’épicycloï<jLe de la came.

De à en 6, sur le cercle de diamètre c'a , portez un arc égal à celui pendant lequel la came doit conduire le manche. Du point c comme centre, avec un rayon égal à décrivez une circonférence qui limitera la longueur utile des cames.

Pour la facilité du dégageraept du manche , on donne à" ces cangies un flanc en ligne droite dirigé suivant le rayon, et on en déterminera la longueur d’après les dimensions du manche et le jeu nécessaire. ,

Ces cames n'étant pas exposées à être contre-menées comme les engrenages ordinaires , il n’est pas nécessaire de leur donner des deux côtés une courbure symétrique, quoique cela se pratique ordinairement.

' 218. Engrenages coniques. L’angle formé par les deux axes de rotation étant donné , élevez en un point quelconque de ses deux côtés CM et CN des perpendiculaires qui soient entre elles dans le rapport inverse des vitesses angulaires ou des nombres de tours. Par les extrémités ^ (.P et Q de ces perpendiculaires, menez deux parallèles PA et QA aux lignes CM et CIV. La ligne CA partagera l'angle MGN en deux parties, telles que les cônes, qui auraient pour génératrice cette ligne tournant respectivement autour de CM et CIV, rouleraient l’un sur l’autre en se transmettant des vitesses angulaires dans le rapport donné.

Ces cônes se nomment les cônes primitifs.

Fig. 43.

isa COaiHCNICATIONS DU MOUVBMEKT.

. Si l’on appelle

R le rayon de la roue conductrice, . '

R' le r^on du pignon ,

n le rapport des vitesses angulaires ou des nombres, de tours, on aura

R = nR',

et si l’on se donne l’un des rayons , l’autre sera déterminé.

On calculera , comme il sera dit au n“ 261, l’épaisseur et la largeur des dents, et l’on en conclura le pas a.

Divisant ensuite la circonférence 2 tR par le pas a, on aura le nombre m de dents de la roue ; et comme fl sera généralement fractionnaire, on prendra pour m le nombre entier inférieur le plus voisin , divisible à la fois par le nombre des bras de la roue et par le rapport n des vitesses , ce qui conduira à une nouvelle

valeur du pas égale à — , ou au quotient de la cir-

tn

conférence primitive par le nombre de dents adopté, et un peu supérieure à la précédente.

On aura 'ensuite le nombre de dents du pignon

m' = — , en divisant celui des dents de la roue par

le nombre de tours que le pignon doit faire par tour de roue.

La largeur des dents se porte de A en a sur la ligne GA , et l’on abaisse de a des perpendicubires ab et ad, qui sont les rayons de deux nouveaux cercles.

C’est entre les cercles AB et ab, AD et ad, qu’est comprise la denture.

Au point A , on élève sur la l^è GA , une per-

ENGKENAGES. 223

pendiculaire dont les rencontres E et F avec*les axes CB et CD, donnent le sommet de deux nouvelles ‘surfaces coniques perpendiculaires aux précédentes, et qui for^ ment les surfaces de tête de l’engrenage. ' -

' Cela fait , on développe les cônes, dont les sommets sont en E et F, et qui ont pour arêtes AE et AF. Leô cercles AB et AD qui leur servent de bases , se touchent en A dans le développement, et on les regarde - . comme les cercles primitifs d’un engrenage plan , que l’on trace comme il est dit au n® 2o5.

On fait le tracé, d’un certain nombre de drats, sur une feuille flexible de tôle mince , que l’on découpe suivant le profil déterminé, et on la présente ensuite conime un gabarit sur la ., surface de tête de la roue corrèspondante , sur laquelle î- on trace l’engrenage à la* pointe. , - v ., - ■? ^ , -

On répète les mêmes opérations , pour les surfaces coniques perpendiculaires en a aux cônes primitifs , et qui forment les surfaces de tête intérieures. >

Les deux tracés ainsi reportés sur ces surfaces' de tête étant repérés convenablement, les profils des dents ’ sur l’un et sur Fautre se correspondront exactement, et en traçant des lignes droites de l’un à l^autre des ■ points homologues, on exécutera toute là surface des dents. ' '

219. Engrekages a développantk de cercle. Lors<jü’une. roue doit conduire plusieurs pignons de diamètres différens , l’engrenage à épicycloïdes et le tracé pratique qu’on lui substitue, n® 2o5, ne satisfont plus* pour tous ces pignons , à la^condition de transmettre la vitesse' dans un rapport coûtant. Il convient , dans ce cas,,

M4 COMMCiMCAHONS DU MOUVEMENT.

de lui substituer Tengrenage dont les dents ont la forme

de développantes et l’on procédera ainsi qu’il suit :

On déterminera les rayons des cercles primitifs, l’épaisseur et la largeur des dents, ainsi qùe le pas , comme il a été dit aux n"* 20 1 et ao 4 <

Cela fait, si l’on veut que les dents se conduisent avant et après la ligne des centres, d’une quantité égale au pas , on portera , à partir du point a , sur le cercle primitif du pignon , un arc ab égal au pas, on mènera le rayon c'b. Du point a , on abaissera une perpendiculaire sur c'b, et du point c , une parallèle ce à c'b. On décrira des centres c et c' les circonférences qui auront pour tangente commune la ligne ae prolongée, et l’on enroulera sur ces circonférences un fil, dont l’extrémité soit fixée à un style ; puis en déroulant le fil -, le style tracera successivement la développante de ces deux circonférences. Les courbes', ainsi obtenues, seront celles des profils des dents. 4

. Du centre c avec un rayon égal à la distance de ce centre au pied de la perpendiculaire abaissée de a sur c'b , on décrira une circonférence de cercle , qui limitera •la longueur des dents de la roue. ■ .

La courbe de la dent du pignon étant arrivée à une distance égale au pas, rencontrera la ligne ae en un point dont la distance au centre d étant prise pour rayon, on décrira, du centre c', une circonférence de cercle qui limitera les dents du pignon.

Pour la facilité du passage des dents dans les creux, U est nécessaire de donner aux dents Jles flancs , formés par des rayons tangens à'. leur na^ance , <. et dont la

’ EVGKEÎÎAGES. ' 228

longueur mesurée en dedans des cercles développés, ne doit pas excéder o“,oo8 à o“,oio, ce qui détermine la profondeur des creux.