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ris. 43. de rotalioB èliat doué, detoi ca
> point qaelcoifBe de ses deox oôtts
et es des "perpeadiodaries qui entre elleï dans Wl||pQtt iafe/ëb '"'v^.\. TiiesBes angubires on de6 nombtet*
. ..^^^ ç ^^^^ p^ les cxtrémîtés P el Q de perpendieobôres menez deux PA et QA aox lignéi CM el CN.
ligne CA partagera l'anglee-' MCN f^\ dent parties telles, qne les cAnes qui auraient ponr gâiéralrice! eette ligne , tournant respectivement antonr de CM et CN , TOtt*j lerai^t l'on sar Tautre en se transmettant des iltesses angolaii dans le rapport donné.
Ces rftnes se nomment les cônes primiiifs. Si Ton appelle Il le rayon de la rone conductrice , R' le rayon dn pignon,
« le rapport des vitesses angulaires ou des nombres dé tonn, ' ' on aura
R=:nR',
et si Ton se donne Fun des rayons 9 l'autre sera déterminé.
On calculerar^ par les formules de la Sésistemee des tîMhiuai répaisseur et ht largeur des dents , et Ton en eonclariie p^s^-
Divisant ensuite la circonférence 277R par le pas a, on aura le nombre m de dents de la roue;, et, comme il sera généralement fractionnaire , on prendra pour m le nombre entier inférieur le plus voisin divisible k la fois par le nombre des bras de la roue et par le rapport n des vitesses , ce qui conduira à une nouvelle va-
leur du pas égale à ou au quotient de la circonférence primitive par le nombre de dents adopté , et un peu supérieure à la précédente.
On aura ensuite le nombre de dents du pignon m'=- en di-
,;risant celui des dents de la roue par le nombre de tours que le .^igiion doit faire par tour de roue.
La largeur des dents se porte de A en a sur la ligne G A , et Ton abaisse de a des perpendiculaires ab et ad , qui sont les rayons de deux nouveaux cercles.
C'est entre les cercles AB et ab , AD et ad , qu'est comprise la denture.
Au point A on élève , sur la ligne CA , une perpendiculaire ,
dont les rencontres E et F avec les axes GB et GD donnent le
flommet de deux nouvelles surfaces coniques perpendiculaires aux
précédentes, et qui forment les surfaces de tête de l'engrenage.
Cela fait, on développe les cônes dont les sommets sont en E et
Fig. 50. F^ et qui ont pour arêtes AE et AF. Les
cercles AB et AD , qui leur servent de bases , se touchent en A dans le développement , et on les regarde comme les cercles primitifs d'un engrenage plan , que ^'on trace comme il est dit au n*" 324.
On fait le tracé d'un certain nombre de dents sur une feuille flexible de tôle mince, que l'on découpe suivant le profil déterminé , et on la présente ensuite comme un gabarit sur la surface de tête de la roue correspondante , sur laquelle on trace l'engrenage à la pointe.
On répète les mêmes opérations pour les surfaces coniques perpendiculaires en a aux cônes primitifs , et qui forment les surfaces de tête intérieures.
Les deux tracés ainsi reportés sur ces surfaces de tête étant repérés convenablement , les profils de dents sur Ton et sur Taotre se' correspondront exactement; et, en traçant des lignes droites de Tun à l'autre des points homologues , on exécutera toute la surface des dents.
Fig. 51.
568. Engrenages a développantes de cercle. Lorsqu^one roue doit conduire plusieurs pignons de diamètres différents, Tengrenage à épicycloîdes et le tracé pratique qu'on lui substitue (n* 324) n& satisfont plus pour tous ces pignons à la condition de transmettre la vitesse dans un rapport constant. Il convient, dans ce cas , d'employer Tengrenage dont les dents ont la forme de développantes , et l'on procédera ainsi qu'il suit :
On déterminera les rayons des cercles primitifs , l'épaisseur et ^, la largeur des dents , ainsi que le pas,
comme il a été dit aux n"^ 331 à 324. Gela fait , si l'on veut que les dents se conduisent» avant et après la ligne des centres, d'une quantité égale au pas , on portera , à partir du point a , sur le cercle primitif du pignon, un arc au égal au pas; on mènera le rayon c'b. Du point a on abaissera une perpendiculaire sur db , et du point c une parallèle ce à c'b. On décrira des centres c et c' les circonférences qui auront pour tangente commune la ligne ae prolongée, et l'on enroulera sur ces circonférences un fil dont rexlrémité soit fixée à un style ; puis, on déroulant le fil, le style tracera successivement la développante de ces deux circonférences. Les courbes ainsi obtenues seront celles des profils des dents.
Du centre c , avec un rayon égal à la distance de ce centre au pied de la perpendiculaire abaissée de a sur c'b , on décrira une circonférence de cercle qui limitera la longueur des dents de la roue. La courbe de la dent du pignon , étant arrivée à une distance égaie au pas , rencontrera la ligne ac en un point dont on prendra la distance au centre c' pour rayon d'une circonférence de cercle ({ni limitera les dents du pignon.
Pour la facilité du passage des dents dans les creux , il est né* cessaire de donner aux dents des flancs formés par des rayons tangents à leur naissance , et dont la longueur mesurée en dedans des cercles développés ne doit pas excéder O^'.OOâ k 0™.f 05 pour les petits engrenages, et 0°>.008 k 0.010 pour les grands, ce qui détermine la profondeur des creux.
569. Modification relative au cas des pignons très petits ET DES GRANDS EFFORTS. Si , par suîte de la grande diffé-* rence des rayons primitifs R et R' et de l'épaisseur à donner aux d^ts , la condition de faire agir les dents à une distance égale au pas avant et après la ligne des centres conduisait à avoir des dents trop minces au bout , on recommencerait le tracé , en ne faisant agir les dents qn'à une distance égale aux trois quarts ou à la moitié du pas»
370. Le tracé précédent s'applique aux roues d'angles. Ce tracé des engrenages à développantes de cercle peut être appliqué aux roues d'angles comme aux engrenages plans.
371. Engrenage d'une vis sans fin conduisant un pignon. Pour tracer l'engrenage d'une vis sans fin conduisant un pignon , on déterminera d'abord l'épaisseur des dents et le pas d'après l'in^ tensité des efforts à transmettre.
Le pas des filets de la vis à la circonférence primitive sera égal au pas de l'engrenage , et , comme alors il passera une dent du pignon à chaque tour de la vis , on pourra calculer le rayon du pignon de façon qu'il fasse un tour pour un nombre de tours don*né de la vis.
Soit n ce nombre , on aura , pour déterminer le rayon du pi* gnon , la formule
qui revient k la règle suivante :
Pour déterminer le rayon du cercle primitif d'un pignon qui doit être conduit par une vis sans fin ,
Multipliez le pas par le nombre de tours que doit faire la vis par tour du pignon 9 et divisez le produit par 6.28 ;
Le quotient sera le rayon cherché.
Le pas de la vis étant conna , on aura le diamètre da noyaa , d'après les règles pratiques qui seront données au chapitre de la Résistance des matériaux^ par la formule
Quant à la ligne droite qui représenterait le cercle primitif de la vis , elle sera parallèle à Taxe de la vis et à une distance égale
Gela fait , on tracera le profil des dents du pignon et celui des filets de la vis , comme pour un pignon conduisant une crémaillère (no 334).
La vis sera ainsi entièrement déterminée.
Quant au pignon , il faut que ses dents soient inclinées sur sob axe comme les filets sur celui de la vis. A cet effet, ayant fait k tracé du profil des dents sur les deux faces de tète de Tengrenage, on ploiera sur le cylindre qui contient les sommets des dents lue ligne droite allant de Textrémité d'une dent m point homologoe de la dent précédente , dans le sens du mouvement ; et , en opérant ainsi de proche en proche , à mesure que Ton creusera les ' dents du modèle on formera la surface gauche des dents da pignon.
FROTTEBIENT. 293
379. On distingae deux genres de frottement, provenant , le premier, de la résistance qui se manifeste quand un corps glisse sur un autre , et le deuxième , de la résistance qu'un corps éprouve quand il roule sur un autre.
Dans le premier cas , la résistance prend le nom de frottement de glissement; dans le deuxième^ celui de frottement de roulement.
De nombreuses expériences * faites sur tous les corps employés dans les machines et dans les constructions , sous des pressions comparables à celles qui ont lieu dans la pratique et avec tous les enduits en usage , ont prouvé que le frottement de glissement est
1» indépendant de la vitesse du mouvement ,
2^ indépendant de l'étendue de la surface de contact ,
3^ proportionnel à la pression , dans un rapport constant pour les mêmes corps dans le même état, et variable d'un corps à l'autre.
L'expérience a aussi appris que , quand les corps ont été quel- }ue temps en contact, comme une vanne avec ses coulisses, le rottement au moment où l'on veut les faire glisser l'un sur Taure est plus grand que quand ils sont déjà en mouvement. 11 faut tonc distinguer ici deux cas : 1*" celui où les corps ont été quelque emps en con?âct , 2*" celui où les corps sont en mouvement les uns ur les antres.
Les valeurs du rapport du frottement à la pression, pour l'un t pour l'autre cas et pour tous les corps en usage dans les machiles» sont consignées dans les tableaux suivants :
^ Nouvelles expériences sur te frottement, faites à Metz en 1851, !8~)2, 1855, mprimées par ordre de I^Académie des sciences. — 1S5I, chez Mathias, libraire, I Paris.
FROTTBinUIT.
TABLEAU N* i.
raoTTuniifT DIS suirAcis puim lonqu'illes oht
QUBLQUB TEMPS M CORTÂCT.
Indication def forfaces en contaol.
Difporition deifibret.
État def snrbMi.
Chéoe sor cfaéiie.
Chéoe siir orme.
Orme sur chéoe
Frêne, sapin, hêtre, sorbier
sur chêne.
Cuir tanné sur chêne.
Goir noir cor- (•"" »«rface p'an»
royéouGoar.î *".t;;f"«-
r I sur tambo'ir en
roie. f cbéue.
?îatte de chanYre sur chêne.
Corde de chanvre sur chêne
Fer sor chêne.
Fonte sor chêne. ...*..
Cuivre jaune sur chêne. . .
Cuir de bœuf pour garniture de piston , sur fonte . . .
parallèles id.
perpendiculaires
l>oi8 debout sur boisi plat
parallèles id.
id.
pcrpendicalaires parallèles le cuir à plat le cuir de champ
id.
parallèles perpendiculaires parallèles
id.
parallèles parallèles
id.
parallèles parallèles
à plat on de champ
sans enduit.
trottëes de savou s«c
sans enduit, mouillées dYao.
sans enduit
id.
id.
frottcM de mtob pec.
sans enduit
id.
id.
mouillées d^eau.
sans enduit
id.
sans enduit, mouillées d^eau.
sans enduit
id.
mouUlées d^eaa.
id.
sans enduit
mouillées d^eau.
avec huile, suif
ou saindoux.
frottCBMl!
àla
0.44 â54 0.71 <U8 ÙJ69 0.41 0.53 0.61 0.43 0.79 0.74 0.47 0.50 0.87 0.80
o.est
o.et
