Les surfaces commençant à se roder
pour lever une vanne en chêne de l" de largeur sur 0".05 . d'épaisseur et 0».35 de hauteur, fermant un orifice de 0».30 de hauteur» et dont le milieu est à l'^.bO au-dessous du niveau de Feau?
Le montant de la vanne est en chêne et a O'^yOS d'épaisseur sur 0", 12 de largeur et 2«,30 de longueur, dont 1",60 immergé dans Teau.
La surface pressée par Feau est égale à l"X0",35=i0"-S35.
La hauteur de la colonne d'eau qui presse son milieu étant 1",50, la pression supportée par la vanne égale
Le frottement, au moment où la vanne commence à se mou* voir, est (tableau du n* 548).
0,7lX525^»i=373^».
Le poids de la vanne et de la portion du montant immergée dans l'eau est sensiblement égal à celui du volume d'eau qu'il déplace. Le poids de la partie non immergée de la tige est égala
L'effort nécessaire pour soulever la vanne est donc
Lorsque le mouvement est acquis, l'effort nécessaire pour iFaincre le frottement n'est plus, tableau n*" 2, que
DsuxiiicE EXEMPLE. Qucl cst l'cffort nécessaire pour soulever une vanne en fonte de 3~ de largeur sur 0",45 de hauteur, fermant un orifice incliné à 40*, de 0"',40 d'ouverture, et dont le milieu est immergé à 0'»,60 au-dessous du niveau de l'eau?
(Par une disposition convenable de contre-poids, le poids propre de la vanne est équilibré, et l'appareil pour la manœuvre de la vanne ne doit vaincre que le frottement de la vanne dans ses coulisses.)
La surface pressée par l'eau=3"X0",45=l'» <i,35. La hau-
AIDE-MÉHOniE. 21
328 PU PAOTTEMEIfT.
teur du ni¥eau «ur son milieu étant de O-'^eo, la pression totaie=0"î,60 X 1"'S35X 1000=810 kii.
Le frottement au moment du départ (tableau do n*" Ti&i) est
Troisième exbbiple. Quel est le frottement d*un cbâssls de sde en fonte, du poids de 50 kilogrammes, en mouvement dans des coulisses horizontales en bronze, avec enduit de saindoux?
Le frottement est (tableau du n"" 58fi)
Si les surfaces n'étaient qu'onctueuses, quel serait le frottement?
Le frottement (tableau du n* 382)= 0,14X50^=7"^.
3B4. QaANTITÉ DE TRAVAIL CONSOHUÉE PAR LE FROTTEMENT DBS
SURFACES PLANES. Pour calculcr la quantité de travail consommée par le frottement de deux surfaces planes en mouvement l'une sur l'autre sur une longueur donnée
Multipliez la pression N par le rapport f du frottement à la pression correspondant aux surfaces en contact ^ vous aurez la valeur du frottement ;
Multipliez ce frottement par le chemin e ou V espace dont les surfaces ont glissé Vune swr Vautre :
Le produit sera la quantité de travail cherchée .
Exemple. Quelle est la quantité de travail consommée par chaque course du châssis de scie horizontal du numéro précédent?
La course étant de 0"',65, cette quantité de travail est
et, s'il y a 100 coups en 1', la quantité de travail consommée en r est
555. Quantité de travail consommée par lb proithikht 015 TOURiixoNs. Pour cakokr la cpiantité de travail consommée à
DU FROTTElIfiNT. ^K3
chaque tour par le frottement des toarillons d'un arbre sur ses
coussinets,
Déterminez la pression N exercée sur les coussinets en tenant compte du poids de V arbre et de son équipage^ de le/fort de la puissance et de celui de la résistance (iv 557) ;
Multipliez cette pression N par le rapport f du frottement à la pression correspondant à Vètat des corps en contact (tableau n** 38î), vous aurez le frottement fN ;
Multipliez ce frottement par le chemin parcouru par les points en contact dans une révolution, ou par la circonférence 27rr=6,28 r du tourillon :
Leproduit 6,28fNr sera le travail consommé par le frottement pour chaque tour.
Pour avoir le travail consommé dans chaque seconde^ multipliez ce produit par le nombre n de tours faits par seconde :
Leproduit 6,28 nfNr sera le travail consommé par seconde.
Premier exemple. Quelle est la quantité de travail consommée par seconde par le frottement des tourillons d'une roue hydraulique soumise à une pression de 12 000 kilogrammes?
Le rayon des tourillons est supposé de 0"*,10; ils sont en fonte et reposent sur des coussinets en bronze enduits de saindoiax. Là roue fait cinq tours en T.
Le frottement des tourillons en fonte sur des coussinets en bronze est (tableau du n"" 532)
Le chemin parcouiii par la circonférence des tourillons en l" est
La quantité de travail consommée par le frottement des tourillons est840^X0",0523 = 44^"-
Deuxième exemple. Quelle est la quantité de travail consommée par le frottement des tourillons d'une roue hydraulique
324 OU FROiPTfiMENT.
dont Teffet utile e&t 3615^"" ou de 48,2 chevaux , dans les drconstances suivantes?
Le diamètre de cette roue=9",10.
L'effort exercé par Teau à la circonférence de Ja roue est vertical, agit de haut en bas et est égal à 1374 kilogrammes.
La résistance verticale du pignon agit de bas en haut , et est aussi égale à 1374 l^ilogrammes environ.
Le poids de la roue est de 25000"
Le poids de l'eau contenue dans la roue est de . . . 1480^^
Le rayon des tourillons en fonte sur coussinets de bronze avec enduit de saindoux 0*,ll8
La vitesse de la circonférence de la roue est de . . . 2",63
Il résulte des données ci-dessus que Teffort exercé par l'eau et celui qui est transmis au pignon sont à peu près égaux, dirigés en sens contraire, et qu'ils se détruisent.
La pression sur les tourillons est donc égale à
Le rapport du frottement à la pression, pour les coussinets ea bronze et les tourillons en fonte, avec enduit de saindoox, est (tableau du n"" 3tt2) égal à 0.08, et le frottement est en conséquence
Le chemin parcouru en 1*' par la circonférence des loorillons est
» La quantité de travail consommée par le frottement de ces tourillons en 1" est donc
2 1 1 S^\k X 0-,0682 = 1 44'",4, OU environ deux chevaux-vapeur.
Troisièmeexemple. Quel était le travail consommé par seconde pour les tourillons en fonte de la roue hydraulique du laminoir de Framonf, dont le rayon extérieur était 4", 57, et qui tournait sur des coussinets en bronze avec enduit de suif?
La quantité de travail transmise à la circonférence égale 4500^"
La résistance opposée parle premier pignon à l'effort vertical exercé par Tengrenage est dirigée de bas en haut et égale à 2930
Le poids de Teau contenue dans les augets était à peu près 5500''
Le poids de la roue hydraulique et de son équipage. 86687''
La vitesse de la circonférence de la roue 2'»', 30
Le rayon des tourillons 0™,2l
La pression sur les tourillons était
Le frottement des tourillons enduits de suif était
Le chemin parcouru par la circonférence du tourillon était
0".21 2-,30Xj^=0M06.
La quantité de travail consommée par le frottement de ces tourillons en l'' était
386. Quantité de travail consommée par le frottement des PIVOTS. Muitipliez la pression N par le rapport f du frottement à la pression (tableau du n*» 582), vous aurez le frottement;
Multipliez ce frottement fN par les ^ de la circonférence extérieure de la base du pivot^ ou par 4, 1 9 r ;
DU FROTTISHENT.
Le produit 4,19fNr sera le travail consommé à chaque tovft par le frottement du pivot.
Pour avoir le travail consommé dans chaque seconde^ mitUtipliez ce produit par le nombre n de tours faits dans !*• .
Le produit 4,19nfNr sera le travail cherché.
Exemple. Quelle est la quantité de travail consommée par seconde par le froltement du pivot d'un arbre vertical soumis aune pression de 3400 kilogrammes, faisant 150 tours en l', le rayon du pivot en acier sur crapaudine en bronze étant de 0™,03 ?
La règle ci-dessus donne, pour cette quantité de travail en \\
4,19 X 2,5 X 0,07 X 3400''»'^ X O'î^OjS = 7^"',48.
587. Manière de déterminer la pression supportée par un AXE DE ROTATION. PouT déterminer la pression supportée par on axe ou par un pivot, il se présente plusieurs cas à examiner.
1** Si toutes les forces agissent verticalement (Gg. 59), ajoutez le Fig. 59. poids M de Varbre et de son équipage aux
forces P qui agissent de haut en bas^ ajoutez-y ou retranchez-en la somme des forces Q qui agissent de haut en bas ou de bas en haut : la somme ou le reste sera la pression cherchée.
Pour les roues hydrauliques on pourra, dans la plupart des cas, négliger le poids de l'eau qu'elles contiennent par rapport à celui de la roue, et ne tenir compte que de l'effort P qu'elles transmettent à leur Fig. 60. circonférence et de la résistance qu'eDes
éprouvent de la part du premier engrenage, ainsi que de leur poids.
2o S'il y a des forces verticales et des forces horizontales^ faites séparément les sommes A et B de chacun de ces groupes de forces, en y comprenant le poids des arbres et de leur équipage.
Vous saurez presque toujours S avance quelle est la plus grmide
irn noTTBKNT. âtr
des deux sommes; alors ajoutez les û,96 de la pbis grande aux 0,04 de la plus petite^ vous aurez la pression cherchée N à moins de ^ près.
Si l'on ignore quelle est la plus grande des deux sommes ajoutezles et prenez les 0,83 du total vous aurez la pression cherchée N à moins de ^ près.
Celte approximation sera presque toujours suffisante.
3« SHl y a des forces dont la direction soit inclinée, décomposezles dans le sens vertical et dans le sens hoinzontal^ et opérez sv/r les sommes des composantes comme dans le cas précédent,
4« Siy par suite de la direction et de l'inteiuité des forces^ Vun des tourillons était pressé de haut en bas sur son coussinet et Vautre de bas en hauty calculez séparément la pression sur chacun d'eux d'après les règles précédentes*
Ce cas se présente rarement, et Ton doit Téviter autant que possible dans les constructions.
5tt8. Frottement sur un plan incuné. Lorsqu'un corps est posé sur un plan incliné et soumis à l'action d'une force extérieure et de la pesanteur» il peut se présenter plusieurs cas.
l"" Cas ou le corps doit rester naturellement au repos. L'iu* clinaison qu'il conviendia de donner au plan pour que le corps y reste en repos et en équilibre, c'est-à-dire prêt à obéir au moindre effort extérieur, sera donnée par la relation
tang a = f,
a étant l'ang^le d'inclinaison du plan sur l'borizon, fie rap* port du frottement à la pression pour les surfaces en contact.
Exemple. Quelle est Tinclinaison sur laquelle un vaisseau peut rester en équilibre sur ses chantiers; les surfaces en contact étant en bois et enduites de savon, mais devenues onctueuses, ie contact ayant duré quelque temps î
Le tableau du n** 542 donne f= 0,15 : on a donc tanga = 0,l5,
ce qui revient à dire que la hauteur du plan incliné doit être les 0,15 de sa base.
2« Le corps étant tiré de bas en haut par une force qui TEND A LE FAIRE MONTER. En nommant
e Tangle que fait le plan incliné avec l'horizon,
h Tangle que fait la direction de la force avec le plan incliné,
Q le poids du corps»
P TefTort capable de produire le mouvement ou d'entretenir un mouvement uniforme,
f le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact» dont on prendra la valeur dans le tableau n* 34S s'il s'agit de déterminer l'effort capable de produire le mouvement, ou dans celui du n^" ^U(2 s'il s'agit de l'effort capable d'entretenir un mouvement uniforme, on aura la valeur de l'effet P par la formule
^sina+/'cosa^ "^cosft+rsinô "'
qui revient à la règle suivante :
Pour déUi^niner Ve/fort de traction qu'il faut exercer de kaut en bas sous un angle donné pour faire monter un corps le long ffun plan inclinéy
Multipliez le rapport du frotUment à la pression pour les surfaces en contact par le cosinus de VangU formé par le plan incliné oxitc Vhorizontale ; ajoutez le produit au sinus du mime angle ;
Multipliez le rapport du frottement à la pression par le sinus de V angle formé par la direction de la force avec le plan; à la somme ajoutez le cosinus du mime angle ;
Divisez la première somme par la seconde, et multipliez le quotient par le poids à élever :
Le produit sera l'effort cherché.
3*> Le corps étant tiré par un effort horizontal qui tend A LE faire monter. Daus ce cas, en conservant la notation ridessus, observant seulement que l'angle 6 = a, on calculera
l'effort P par la formule
tanga+^Q l + Z-tanga'^'
quirefîent à la rètgle suivante, pour Tapplication de laquelle on remarquera que la tangente trigonométrique de l'angle a est le rapport de la hauteur du plan incliné à sa base :
Pour déterminer t effort horizontal de traction quU faut exercer pour faire monter un corps le long d^un plan incliné,
Ajoutez le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact à la tangente de V angle du plan incliné avec t horizon;
Ajoutez Vunité au produit du mime rapport par la mime tangente, et divisez la première somme par la seconde;
Par le quotient multipliez le poids à élever;
Le produit sera r effort de ti*action cherché.
4« Cas ou la force tend a pousser le corps pour le faire MONTER. Si la force fait un angle b avec la direction du plan , on se servira de la formule
p sina + /'cosa ""cos6 — fsiu b
qui revient à la règle suivante :
Pour calculer Veffort à exercer pour faire monter un fardeau en le poussant eurun plan incliné,
Multipliez le cosinus de l'angle d'inclinaison du plan avec Vhorizon par le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact; au produit ajoutez le sinus de l'angle d'inclinaison du plan sur r horizon ;
Multipliez le sinus de V angle que fait la direction de la force avec le plan par le rapport du frottement à la pressiœi ; retranchez le produit du cosinus de r angle formé par la force et le plan incliné;
Par le reste divisez la première somme^ et multipliez le quotient par le poids à élever:
Le résiUtca sera Veffort à exercer.
Si la force est horizontaloi on se servira de la formule
tangg+r *^ l-Hanga"*
qui revient à la règle suivante :
m W »#TTKIIfiNT.
P&ur ditemiinùr reffort qu'il faut ssuroM' horizoMaluneni pcwr faire manier un poids 0 te iimg <Sun planindiné^ en lêpeuuanty
Ajoutez la tangente de l'angle d'inclinaison du plan sur Fh&riam au rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact;
Multipliez la mime tangente par le rapport du frottemenl à la pression ; retranchez le produit de Funité^ et par le reste divisez la somme précédente :
Le quotient multiplié par le poids à élever sera Veffort à exercer.
5<> Dans tous les cas précédents, si la force doit seulement soutenir le corps, l'empêcher de descendre ou modérer son moaîement, on suivra les mêmes règles, en y changeant seulement le signe du frottement, c'est-à-dire en retranchant les termes où il entre comme facteur là où ils étaient additifs, et les ajoutant là où ils étaient soustractifs.
389. De l'emploi du coin dans les presses. Dans les presses à coins, où Ton se sert ordinairement de deux coins qui glissent réciproquement l'un sur l'autre par leur face inclinée, le rapport de l'effet utile au travail dépensé est donné par la formole
1— /^ — tangg ^ (l-./^jlanga + sr^"^'*' dans laquelle
a est encore l'angle des Taces inclinées sur la base des coins,
fie rapport du frottement à la pression pour ces faces,
f la valeur du même riïpport pour les bases des coins et les corps qu'elles poussent, et qui peut avoir une valeur différente du premier.
Cette formule revient à la règle suivante :
Pour calculer le rapport de V effet utile au travaU dépensé dans une presse à coins,
Multipliez la tangente de V angle des coins par le double du rajh port du frottement à la pression pour les coins; au produit ajcuUs le carré du même rapport ; retranchez la somme de l'unité;
Multipliez la tangente de l* angle des coins par Funité diminuée du carré du rapport du frottemerU à la pression pfmr lee coim; •*
W FROTTBIEHT. 331
produit ajoutez le double du rapport du frottement à la pression pour les coins et les corps à comprimer :
Le quotient du premier reste par la seconde somme multiplié par la tangente de r angle des coins sera le rapport cherché du travail utilisé au travail dépensé.
Exemple. Quel est le rapport de l'effet utile au travail dépensé dans une presse à coins où, les surfaces étant toutes bien graissées, f=f' = o,lO; tang a = 0,25, ou la hauteur des coins égale au quart de leur base?
La formule ci-dessus donne pour le rapport la valeur 0,525 : ce qui montre que, dans ce cas, il y a 0,475, ou plus des | du travail dépensé qui est perdu, non compris encore la perte qui a lieu dans les machines de ce genre, où Ton agit par choc, par les effets de compression des corps choqués.
Si, les surfaces étant de bois mouillé, on avait eu /^=/"=0,25, on aurait trouvé pour le rapport cherché la valeur 0,276 : ce qui prouve que, dans ce cas, on perd par le frottement seul 0,724, ou près des f du travail dépensé.
360. Frottement de la vis et de son écrou. Lorsqu'une vis ou un écrou à filets carrés doit produire une pression donnée, on calculera la valeur d^'effort à exercer au bout du levier qui traverse la tête de la vis ou l'ccrou par la formule suivante :
dans laquelle on représente par
Q la pression à produire,
P l'effort cherché,
r le rayon du filet moyen de la vis,
R le bras de levier de l'effort,
h le pas de la vis,
f le rapport du frottement à la pression pour Técrou et la vis,
et qui revient à la règle suivante :
Pour calculer Ce/fart à exercer à Vextréinité cFun levier pour produire une pression donnée à F aide ^unevis à fiiets cadrés y
Multipliez le rayon moyen des filets par le rapport du frottfment à la pression pour la vis et son écrou, rapport ordivairenuau égal à 0,10 pour les vis en bon état, et par 6,28; ai* produU ajoutez le pas de la vis;
Multipliez 6,28 par le rayon moyen des filets; dhninuez ce produit de celui du pas par le rapport du frottement à la pressm pour la vis et son écrou; divisez la première somme par ce reste;
Multipliez le quotient par le rapport du rayon moyen des fUeis au bras du levier de la puissance :
Le produit multiplié par la pression à obtenir sera V effort cherchr.
Exemple. Quel est Teffort que doit exercer la puissance à rextrémité d'un bras de levier de l'",5 pour produire une pression de 6000 kil. à l'aide d'une vis à Glets carrés de 0",058de diamètre moyen, et d'un pas /i = 0^,0104?
On a
si les surfaces sont passablement graissées et la formule donne
p^ 0",029 0",0104 + 6,28 X 0,10 X 0,029 1"",500 ^ 6,28 X0'»,29 — 0,10 XO-,0104^
Si l'on avait négligé l'influence du frottement, on aurait ou avec ces données
^ Q =. 0, 001 1Q= 0,0011 QX 6000 = 6",6,
ce qui montre que, par Tefifet du frottement seul de la vis el de son écrou, l'cflbrt ou le travail développé par la puissance doit être, dans le cas actuel, à peu près triple de celui qu'exigerait la résistance utile seule.
561. DÉTERMINER LA PRESSION QU'UN EFFORT DONN^ PEUT PRO- DUIRE A l'aide d'une tis a FILETS CARRis. S'il s'agtt, à l'inverse,
ou FROTTEMENT. »33
de déterminer la pression qa*une vis peut produire par l'action d'un effort donné» on calculera cette pression par la formule
qui revient à la règle suivante :
Pour caicukr la pression quhin effort donné peut exercer à Vaide iunt vis à filets carrés y
Multipliez le rayon moyen des filets par 6,28 ; du produit retranchez celui du pas de la vis par le rapport du frottement à la pression pour la vis et son écrou^ et dont la vaieur habituelle est 0,10 pour des vis en bon état; divisez le reste par le paSy augmenté du rayon moyen des filets miUtiplié par le rapport du frottement à lapres^ sûm et par 6,28 ;
Multipliez ce quotient par le rapport du bras de levier de la puissance au rayon moyen des filets :
Le produit multiplié par V effort donné sera la pression cherchée.
Exemple. Dans le cas des données de l'exemple précédent la formule donnerait
etsi l'effort de la puissance est de 20 kil., la pression produite par la vis sera
Si l'on avait calculé l'effet de cette vis sans tenir compte du frottement, on aurait eu
ce qui montre combien sont erronés les calculs de l'effet des vis où l'on néglige l'influence des frottements. Et Ton doit même observer que les formules précédentes ne tiennent pas compte du frottement des pivots, des épaulements et des guides, qui, bien que faibles par rapport à celui de l'écrou, consomment encore une portion notable du travail du moteur.
334 DU FMOTTBIlfiNT.
36iL Observation relative au FROTTEKEnrr sor les voies DE FER. Des expériences nombreuses et récentes faites par MM. Poirée et Bochet, ingénieurs des ponts et chaussées, ont montré que, si aux petites vitesses le frottement des roues sur les rails suivait les lois et avait les valeurs précédemment indiquées, il n'en était plus de nièm& aux grandes vitesses*
Les flexions des rails , les vibrations modifient les lois et les valeurs de cette résistance, et la prudence doit engager les ingénieurs à ne compter, pour Tarrét des trains en marche, que sur des valeurs environ moitié moindres du coefficient da frottement.
MS. RESISTANCE DUE A LA RomEUR DBS CORDES. La Foideur des cordes qui s'enroulent sur des poulies ou tambours, ou l'efliort qu'il faut exercer pour vaincre leur résistance à renroulemeot, se calcule par la formule
dans laquelle on exprime par
R la roideur cherchée rapportée à la circonférence moyenne de la poulie du diamètre D, y compris le diamètre de la oorde,
A un nombre constant qui exprime en kilogrammes la roideor naturelle dépendante de l'état et du mode de fabrication de la corde,
B un facteur constant par lequel il faut multiplier la tension Q du brin qui s'enroule pour avoir la partie de la résistance qui dépend de cette charge.
Les expériences de Coulomb montrent :
l"" Que pour les cordes en chanvre non goudronnées, qu'on appelle cordes blancheSf sèches ou imbibées d'eau, en bon état, les valeurs de A et B, en passant d'une corde à une autre, sont à peu près entre elles comme les carrés des diamètres;
%• Que pour ces mêmes cordes à demi usées les nombres A et B sont entre eux comme les racines carrées des cubes ëe<
diamètres ;
S*» Qae pour les cordes goudronnées la quantité B est proporlionneUe au nombre des fils de caret dont les cordes se eomposent.
C'est sur ces bases qu'a été calculé le tableau suivant, qui donne les valeurs de A et de B pour des cordes de différents diamètres, comprenant à peu près tous ceux qui sont en usage dans les machines employées à élever des fardeaux.
La première partie de ce tableau est relative aux cordes blanches, la deuxième aux cordes goudronnées.
