En nommant
R la limite supérieure de Teffort d'extension ou de compression auquel on peut soumettre chaque unité de surface d'une manière permanente sans crainte que son élasticité ne soit altérée dans le sens parallèle aux fibres ;
I le moment d'inertie de la section transversale du corps à l'endroit où la rupture tend à se faire, pris par rapport à la ligne dite des fibres invariables ;
V la plus grande ordonnée de la surface extérieure, ou la distance de la fibre de cette section la plus éloignée de la surface des fibres invariables, soit au-dessus, soit au-dessous.
RI
Le produit -— représentera la somme des moments de la résistance à la rupture de toutes les fibres de la section de rupture et ce moment devra être égal à celui de la charge ou de l'effort qui tend à rompre le corps par rapport à la même section.
C'est d'après ce principe que sont établies les formules suivantes, dans lesquelles, pour obtenir des dimensions que l'on paisse adopter avec sécurité, on a donné, en général, au nombre R, les valeurs ci-après :
Ponte 7 500000"»
Fer forgé 6000000
. . r de l** qualité 16 660000
l de qualité moyenne 12 500000
Bois de chêne et de sapin 600000
Pour les ponts de chemins de fer en fonte on prendra seuleinentR = 2000000^ et pour les ponts ordinaires et les arbres de roues hydrauliques en fonte on fera
R=3 000 000kil.
ou R=:3 750 000kiL
382 RËSISnUCfi DIS HXT£11UCX.
507. Cas ou l'on voudrait alléger les pièces. Lorsqu'on tiendra à alléger les pièces, on pourra augmenter les valeurs ci-dessus du nombre R d'un tiers environ , en employant des matériaux de qualité choisie. Ce qui domien pour
Là fonte R=10'OOOeOO^
Le fer forgé 8 000000
., . r de 1" qualité 22000000
L acier ^ qualité moyenne 16633 000
Bbis de chêne ou de sapin 800 000
Cela reviendra à augmenter d'un tiers le diviseur des formules qui donneront les dimensions.
Au contraire, il arrive quelquefois que la nécessité de ne laisser prendre aux solides que des flexions très-petites, par suite de leur destination spéciale, oblige à diminuer les valeurs de H.
Quand, par des motifs quelconques, on n'aura pas employé pour l'établissement des formules pratiques les valeurs de R indiquées au n"^ 396, on aura soin d'en avertir et de donner la valeur mise en usage.
598. Observation relative a la destination des corps. Dans le calcul des dimensions à donner aux solides exposés à des flexions transversales, on doit distinguer les cas où les €orp5 peuvent, sans inconvénients, prendre soos la charge une certaine flexion , de ceux où la flexion doit être excessivement petite.
Les poutres, les supports des constructions ordinaires, sont dans le premier cas.
Les arbres des roues hydrauHqœs ou des rooss d'engrenage, les touriUons, etc., sont dans le second, et les coefâcienis Homériques à employer doivent être choisis en conséquence.
809.' Solides encastrés tâa L*um d« leurs gmttiirfs*^ Dms les formules suivantes, nous appellerons
P l'effort exercé sur le corps perpendiculairement k sa longueur;
BSBISTANM fVES HATÉfttAGX. 8^3
r la limgueurde la partie non encastrée, judqtt'aii point où agit reflbrt P, oa son bras de levier;
f lé poids dtt Yttètre couraiït da solMe, en kilogrammes;
a la largeur du solide danâ le sons perpendiculaire au plan qui passe par Taxe longitudinal du corps et par la direction de l'effort P;
b l'épaisseur du solide dans le sens de l'effort P ;
d le diamètre du solide, s'il s'agit de corp^ ronds ou cylindriques.
Les poids ou les pressions senM etpriinfos en kilogrammes, les dimensions linéaires en mètres, à moins que le contraire ne soit formellement exprimé.
*èO. SOUDB PÏUSMATÏQtTE "^NCASTmi PAR L*UNE LE SES EXTRÉMI- TÉS; CAS OU l'on" TIENT COMPTE DU POmS DtT SOLIDE. LcS dimCU-
sions transversales se détermineront & l'aide des formules suivantes pour
la fo»te* ai*—^ ?^
{ le fer forgèv.
le bois de chêne ou de sapin. . . ob' = •
401. Cas ou l'on peut néglioer le poids du solide. Lorsqu'on pourra négliger le poids dti solide , on emploiera les formules
suivantes pour
P^ la fonte ab^ =
lefér a6' =
IdôOOOO'
1000000* p^ le bois de chêne ou de sapin ^^^^ToQÔOÔ*
* Nous ne donnerons pas la traduction en langage ordimdrd de toutes les formules contenues dans ce chapitre, parce qu'eUes sont assez simples pour
384 RÉSISTANCE 0ES MATËRUUX.
409. Cas OÙ LA charge est uniformément RiPARiiB. Si la charge est uniformément répartie sur la longueur du corps, on l'ajoutera au poids propre du solide; et, en nommant de même que ci-dessus p la charge par mètre courant, on emploiera les formules suivantes pour
•*''>°'« '^*=îEmôô*
^«*^' ^*=ïmôôô'
le bois de chêne ou de sapin a6*=^ >
Nota. On observera que les formules précédentes donneront des dimensions plus fortes pour les pièces en fer forgé que pour celles en fonte; mais, malgré sa flexibilité, le fer devra toujours être préféré à la fonte pour les pièces exposées à des chocs ou à des vibrations considérables.
403. Relation entre la largeur et l'épaisseur. Dans les applications on pourra établir à priori une relation entre la largeur et l'épaisseur du solide.
Pour les pièces de charpente en bois, Texpérience montre qu'il convient d'établir entre la largeur et l'épaisseur le rapport de 5 à 7 ; on a alors a=^b^ ei par suite la formule qui donnera la hauteur d'une pièce de charpente encastrée par Tune de ses extrémités et chargée à l'autre est
Exemple. Quelles doivent être la hauteur et la largeur d'une pièce de bois qui est encastrée à l'une de ses extrémités et qui doit porter à l'autre une charge de 750 kilogrammes, placée à l",75 du point d'encastrement t
La formule ci-dessus donne
y = - „^gg' =0,0184, 6 = 0-,264, et a = 0-,I89. Quoique la proportion la plus convenable soll la précédente,
PécoDomie engage souvent à refendre en deux les pièces de bois destinées à être employées dans les constructions. On fera alors arrz^b dans la formule du n» 401, et Ton aura
404. Remarque générale relative au poids propre des solides. On observera que, quand on voudra tenir compte du poids propre du solide dont les dimensions ne sont pas connues, il faudra d'abord calculer ces dimensions en négligeant ce poids, puis le déterminer approximativement d'après cette première recherche, et ajouter la moitié de ce poids approximatif à la charge donnée pour calculer de nouvelles valeurs des dimensions, qui alors seront suCGsamment exactes.
D*aprës cette remarque, qui s'appliquera dans tous les cas où le poids propre du corps ou une charge uniformément répartie sur sa longueur pourrait avoir une influence notable sur sa résistance, nous nous bornerons à l'avenir à tenir seulement compte de la charge extérieure P.
405. Cas où la section transversale du corps est un carré. Si la section transversale est un carré, on a a =6 et les formules précédentes deviennent : pour
'^^f*'" *' = ÎÔ^O'
le bois de chêne ou de sapin ^~ îôôôôô'
Exemple. Quel doit être l'équarrissage d'une pièce de bois à section carrée encastrée à l'une de ses extrémités et chargée à Tautre d'un poids de 2000 kilogrammes, la distance de la charge au point d'encastrement étant c = l",50?
d'où
386 RÉSISTANCE DES HlklÈKWSlL
406. Cas ou la SEcnoN transversale est un cercxe. Si 1 corps est ua cylindre à base circulaire» on.aura poiH*
^'^f°°'« '^=73élï2»
le bois de chêne ou de sapin (P= z^ir^z»
Exemple. Quel doit être le diamètre d'un' boulon en fer * exposé à un effort de 600 kilogrammes exercé perpendicnlai^ rement à sa direction, & la distance de 0*^06 du point d-encastrementî
La formule donne
589 050 "fV'vvwui ,
d'Où
