LIGNE DE RÉSISTANCE
sultantes successives par rapport à chaque joint ou lit corrcspondaut (i, 3} (3, 4) (5, 6) . . . (1 3^ 14) sont telles que chacune soit comprise en dedans du c&ne de résistance (page 378); en d'autres termes, le glissement sur un lit sera certain ou impossible^ suivant que la direction de la résultante correspondante formera, à son point d'applicatfOD^ arec la normale au lit en ce point un angle plus grand ou plus petit que l'angle du frottement.
6. Les directions des résultantes consécutives au point de vue ibéorique ne sont donc pas moins importantes à considérer que la série de leurs points d'application. Or, imaginez ces directions prolongées jusqu'à ce qu'elles se coupent consécutivement deux à deux, il résultera de ces intersections successives une sorte de développée dea directions A B G D E F 6 qui est précisément ce que M. Jfosdey appelle ligne de pression et que je proposerai d'appeler courbe des directions^
7. La ligne de pression ou la courbe des directions étant déterminable pour tous les cas de la pratique, par Panaljse ou la géométrie^ peut être regardée comme connue; et dés lors, pour s'assurer que aucun glissement ne peut naître sur aucun lit, il suffira pour chaque lit (7, 8 par exemple) de mener une tangente c^ D du point d'application «( à la courbe des directions et de vériGer si cette (angente forme avec la normale au lit un angle plus petit que celui du frottement. S'il en est ainsi pour chacun des lits, le glissement est impossible , il est infaillible^ au contraire, au lit même pour lequel l'angle en question serait plus grand que celui du frottement.
8. La condition générale de la stabilité d'une construction quelconque peut donc désormais se résumer ainsi :
i^ Im courbe des points d^ application doit couper tous les joints à Vintérieur de la masse^ sans en éviter aucun ^
â<> Les tangentes menées des points d'application d la courbe des directions, doivent chacune former avec la normale au lit un angle pUu petit que Vangle du frottement.
9. La considération des courbes qui viennent de nous occuper n'offire pas seulement Tavantage de fixer clairement et simplement les conditions de la stabilité d'une construction quelconque; elle éclaire en outre sur ce degré de stabilité en indiquant tous les points faibles qui sont évidemment les^ parties du périmètre dont la courbe des points d'application s'approchera le plus, et les lits pour lesquels la tangente à la courbe des directions sera la plus voisine des limites du c6ne de résistance. Cette plus courte distance delà courbe des points d'application au périmètre du profil, prendra le nom de module de stabilité; il est désigné par m dans toutes les applications que nous avons faites de cette ingénieuse et impor*
tante tbcoric dont la priorité appartient sans contestation possible à M. Henry Moselcy (*) (Voyez MurSj Uev éléments , Poussée des terres, Voûfes),
LOGARITHMES. 1 . Napier, né en Ecosse en 1 550, lùort en 1 61 6, est Pinventcnr des logarithmes/ ces nombres artificiels, que Ton substitue aux nombres véritables^ simplifient et facilitent souvent les calculs à faire sur ceux-ci.
On peut concevoir une infinité de systèmes de logarithmes « mais deux surtout sont en usage, savoir : l"* Les logarithmes vulgaireSy connus aussi sous le nom de logarithmes de Briggs, parce que ce savant en publia la première table (Londres, 1618); 2"^ Ceux dits napiérimsj hyperboliques ou naturels (année 1614).
2. Dans le système vulgaire (celui des tables de Calletj de Borda^ de Lalande^ de PlauzoUes,, etc.), le logarithme d'un nombre est Pexposant de la puissance à laquelle il faut élever dix pour obtenir ce nombre.
Dix est alors ce qu^on nomme la base des logarithmes vulgaires.
Ainsi : le logarithme de 100 est 2, puisque Ton a
10^= 100 de même
log. de 1 = 0 à cause de 10* =1
log. de 2 = 0.3013 10"*^*' =2
log. de 3 = 0.4771212 10'^*"*^^' = 3
et en général, on a dans le système vulgaire
log. de y = 03 si 10* = y
VE
*) Cest à ton qu'un document officiel, le Rapport $ur l'enseignement de cote polytechnique y 1850, partage la priorilé de celte théorie entre M. Henry Jâoseley et Al. l'ingénieur des ponts et chaussées E. Mery, — Le seol Mémoire de cet ingénieur qui ail pu fournir un prétexte à l'injuste association de noms que l'on remarque h la pag* 334 de ce document, n'a paru qu'en 1840, dans les Annales des ponts et chaussées ; bien que signé h Dieppe, à la date du 27 février 1839, il est postérieur de six années au premier Mémoire de M. Moseley, qui date d'octobre 1833. — Il est encore postérieur au second Mémoire du même savant sur le même sujet, qui date de mai 1837, Mémoires publiés l'un et l'autre dans les volumes 5 et 6 des Transactions philosophique% de Cambridge. — 11 est postérieur enfin à l'ouvrage élémentaire que M. Jfoseley a publié entre ces deux dates, sous le titre de Mechanics appUed to the arts y et dans lequel il avait résumé son premier travail.
La question de priorité étant formeltement résolue par les dates qui précèdent, je me hâte d'ajouter que la lecture du Mémoire de M. Méry prouverait, s'il en était besoin, qu'il n'a rien emprunté à son devancier, et qu'il ne mérite, de la pari des amis des sciences, qnc le reproche d'Ctrc arrivé six ans trop tard.
e( dans an sjsiëme quelconque dont la base serait a au lieu de 10 log. de y =:r rr si a* =: y
. 3. Eo général, le logarithme d^un nombre est Texposant de la puissance à laquelle il faut élever la base du système pour reproduire ce nombre^ et pourvu que la base a ne soit pas un^ il existe toujours un nombre x capable de satisfaire à Péquation fondamentale
quel que soit y.
4. L'emploi des logarithmes, quelle que soit leur base a , permet de ramener la multiplication à l'addition , la division à la soustraction, Télévation aux puissances à une simple multiplication, Textraction des racines à la division. En effet
si a' = y, â? est le logarithme de y , et si a*' = y' , a?' est le logarithme de y' j c€sdcox équations donnent, en les multipliant entre elles,
a»a*' = a»+»' = yy' et par conséquent x-\- x^ •=. log. de y y'
quelle que soit la base a du système ; donc le logarithme (a; -|~ ^') i'ttn produit yy' = ia somme des logarithmes des facteurs. Donc SDSsi la multiplication se ramène à Taddition.
Exemple : Pour multiplier 48 par 166^ j^ajoute les logarithmes vulgaires des deux facteurs ou 1.6812412 -j- 2.2201081 dont la somme = 3.901 3493. C'est le logarithme du produit. On voit qu'il correspond dans les tables à 7968.000.
5. On D*indiqae dans les tables ordinaires que la partie fraclioDDaire des logarithmes^ celle placée ici à la droite du point; la partie entière qu'on nomme la caractéristique a toujours autant d'unités qu'il y a de chiffres moins un dans la partie entière du nombre doDoc — réciproquement la caractéristique d'un logarithme donné étaDl augmentée de un^ sera le nombre de chiffres que devra avoir la partie entière du nombre auquel il correspond.
Ainsi 48 et 166 ont respectivement 1 et 2 pour leurs caractéristiques et la caractéristique 3 du logarithme de leur produit indique que ce produit doit avoir 3 -f- 1 chiffres avant le point.
Ceci est fondé sur ce que, dans le système des tables, tous les nombres compris entre 0 et 9 ou d'un chiffre ont 0 pour caractéristique, tous ceux compris entre 10 et 99 ou ceux de deux chiffres ^^^ 1, tous ceux de trois chiffres ou compris entre 100 et 999 ont pour caractéristique 2, et ainsi de suite.
Réciproquement un logarithme dont la caractéristique est 5^ cor-
respond nécessairement à on nombre qui a six chiffres à sa partie entière, ou qui tombe entre 100000 cl 999999.
6. Diviiionpar logarithmes. On tirerait par la division des équations fondamentales ( 4 ) la relation
^ = a»-»' = - d*où logf. de ^ =: aï — Jî'
donc le logarithme d'un quotient = le logarithme du dividende — le logarithme du diviseur.
De sorte que pour diviser 7336 par 56^ il suffirait de retrancher
du log. de 7336 3.8654593
celui de 56 1,7481880
Le logarithme du quotient serait ainsi 2.117)713
Il correspond dans les tables au nombre 131
donc =131
7. Elévation aux puissances. De la relation a'sy^ on déduit (a*)" = j/"" ou a*°* == y'" d'où mx = log. de y»
Ainsi le logarithme de la m**"*® puissance d*un nombre y z=: m fois le logarithme x de ce nombre.
Pour élever 8 à la 4^°^® puissance, il suffit donc de multiplier son logarithme 0.90309 par 4, ce qui donnera 3.61236 que Ton trouve dans les tables correspondre à 4096^ quatrième puissance de 8. Si Ton eût demandé la 6^^" puissance de 2, on eût trouvé
log. 2« = 64 log. 2 = 64 X 0.30103 = 19.26592
nombre qui correspond dans^tes tables ordinaires à
En faisant le calcul direct, on emploierait un temps considérable et Ton obtiendrait
