Mettons d'abord cette équation soos la forme

T, = T„ - T,- P (A-*)- ï ^C»* - O Qî = Ec — Rr — P(A — A) — S^(«' — t).»)

La machÎDe marchera d'autant mieux ou seraéyidemmentd^aQtaDt plus parfaite que le travail To qui parviendra jusqu^à l'outil, se rapprochera plus du travail moteur T^. Elle atteindrait donc la perfection si, le mode de travail de Toatil étant convenablement réglé d'ailleurs, on avait T^=Ta,, c'est-à-dire, si la somme des termes négatifs de l'équation (2) devenant égale à zéro, le travail moteur se transmettait tout entier à l'opérateur. Cette condition étant irréalisable en pratique d'une manière permanente (19), on y atteindra cependant un degré de perfection compatible avec la nature des matériaux en rendant la somme de ces termes minimum par la composition et la bonne disposition de la machine. Tentons n'indiquer les moyens d'j parvenir tout en précisant plus rigoureusement encore la signiGcation et le vrai sens de tous les termes de l'équation.

9. Influence des pièces qui montent et descendent ou du terme V (h — k). Remarquons d'abord que nous ne comprenons pas parmi ces pièces celles que la machine aurait pour but spécial de mouvoir verticalement, car ce travail entrerait alors nécessairement dans le terme To ou Qq. Tels seraient, par exemple, le manche et la tôtc d'un marteau de forge, les pilons d'un bocard, outils ou opérateurs dont le soulèvement est évidemment Tobjet même du travail moteur. En général, le terme P (h — k) n'embrasse, à quelques exceptions près, que les organes de transmission du mouvement, parmi lesquels nous citerons les balanciers excentriques de certaines machines à vapeur, les châssis dans les scieries verticales, les tiges et les pistons dans les pompes, etc.

Gela posé, il y a plusieurs manières de rendre nul le terma en question. Le plus simple et le meilleur consisterait évidemment à éviter l'emploi de pièces à mouvement alternatif, et c'est précisément ce que Ton a fait dans les scieries où l'on a substitué la scie circulaire à la scie droite; P devenant zéro, le terme disparaît. Lorsque, en vertu de considérations économiques' ou de sujétions, les pièces à mouvement alternatif sont inévitables, on peut encore opposer à la masse de ces pièces d'autres masses douées d'un mou- ▼emcnt oscillatoire précisément contraire, ou des contrepoids qui maintiennent le tentre de gravité commun à une hauteur constante ; hcik devenant zéro à la fois, le terme disparaît encore, mais T, s'accroissant en vertu de l'excédant de frottement que cause la sur-

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charge, le calcul seul peut indiquer quand il y a avantage à adopter ces dispositions.

£nfin« on peut du moins faire en sorte que le centre de gravité des pièces mobiles monte et descende périodiquement de quantités égales A=i, et alors le travail ( — PA)absorbépar Pascension est restitué pendant la descente sous la forme (-^Vk)^ mais c'est évidemment à la condition que le poids P n'aura pas varié pendant TosciU lation, c^est-i-dire que aucune des pièces mobiles n^aura quitté le système P, pendant la durée du mouvement alternatif. Bien que les termes — PA-4~'P^^^<^on'>P^i^^^ot ^i^^i l'un pçir Pautre, dans l'intervalle de chaque période, l'emploi des pièces à mouvement alternatif, même lorsque ee mouvement est horizontal, n'en est pas moins à éviter^ en ce qu'elles mettent en jeu des forces d'inertie qui de- YÎennent un obstacle à Vumfonnùé du mouvement dont il convient, par d'autres motifs encore^ de se rapprocher quand on ne peut pas Fatteindre (17).

Dans tous les cas, sous peine d'augmenter les causes de destruction, en même temps que le terme T, par l'effet des chocs (22), les pièces à mouvement alternatif devront au moins être conduites de telle sorte que leurs vitesses deviennent nulles d'elles-mêmes, coîncidemment avec le changement périodique du sens de leur mouvement.

10. Observons maintenant, quant à la signification du terme P( A — k), qu'il peut parfois comprendre accidentellement non plus seulement quelques pièces du mécanisme, mais la machine ellemême toute entière, et même ses accessoires. Ce serait le cas d'une locomotive remorquant un convoi en pente ^ P serait alors le poids de l'une et de l'autre, h la hauteur verticale dont le centre de gravité de l'ensemble aurait été élevé en montant la rampe et k la quantité dont il se serait abaissé en descendant la pente. On voit bien en ciTet, que l'ascension s'est faite aux dépens du travail moteur, mais que, au contraire, la descente lui est venue en aide^ c'est à ce double caractère que Ton reconnaîtra en général les poids P qui doivent entrer dans le terme P (A — k). Dès lors, si l'on pouvait admettre dans le cas d'un bateau à vapeur marin, que ses mouvements verticaux sont uniquement dus aux oscillations des vagues, la partie du terme P (h — k) qui se rapporte à l'ensemble du navire et de sa machine, ne devrait point entrer dans l'équation du travail moteur, bien que le centre de gravité du système s'élève et s'abaisse alternativement. Ces remarques suffiront sans doute pour éveiller l'attention et mettre en garde contre les fausses applications que l'on pourrait faire de la formule générale.

a. Influence dû ternie S ^ w (c^ — v„*). Nous avons vu que ce terme exprimait le travail de l'inertie de toutes les pièces mobiles de

1086 MiVCHINËS en général.

la machine^ entre le commencement et la Gn de la période t. Résistant aussi longtemps que la vitesse augmente , mouvant à partir de Pinstant même où elle commence à diminuer^ ce terme diffère essentiellement de ceux qui l'accompagnent en ce que, par Teffct môme du mouvement de la machine, il devient nécessairement oa nul on alternatif après un certain temps; de sorte que le travail qu'il exprime ou disparait de Tcquation après une période plus ou moins longue, ou devient successivement et alternativement con* traire et favorable au travail de Poutil. Cest ce que nous allons essayer de montrer.

12. La vitesse des pièces mobiles du système a une limite supérieure. Soit en effet T,=la somme To+Tr+P(fe — A) de tous les travaux moyens résistants indépendants de l'inertie et dz^m la variation positive ou négative de la différence des travaux moyens moteur et résistant^ l'équation pourra être mise sous la forme

qui montre plus évidemment que le terme dû à Tinerlie disparaîtra, (puisque Ton aura alors î?(,=t?,) aussitôt que la différence ±:/m entre le travail moteur et la somme T, des travaux résistants deviendra nulle.

Or il est facile de voir d'abord que -)- t^a ne peut augmenter indéfiniment à moins qu'on ne suppose, ccNqui n'a jamais lieu dans la pratique^ que la source du travail moteur débitera, de période en période, des quantités de travail de plus en plus grandes, et par exemple, que le volume d'eau versé sur la roue hydraulique ou le poids de vapeur injectée sous le piston d'une machine, croîtront indéfiniment d'une sect)nde à la seconde suivante, toutes choses restant égales d'ailleurs. Laissant donc de côté ces hypothèses purement théoriques, remarquons que S ^ m (v* — t?o*) u'augmente qu'à la condition que -}-^m diminue, non-seulement parce que ce travail excédant se transforme en force vive, en s'épuisant sur les pièces mobiles de la machine , mais encore parce que ces pièces mobiles comprenant l'outil ou l'opérateur, elles ne peuvent acquérir une plus grande vitesse sans qu'il y ait plus d'ouvrage fait, sans que T^ augmente dés lors aussi bien que T, qui comprend le travail des frottements, sans que enfin, T> grandissant en môme temps que S ^ m (»'* — vj^) la différence (T^ — T,) =-}- 'm ^e devienne plus petite à la fin qu'au commencement de la période, et sans que finalement, elle ne devienne nulle après un nombre plus ou moins grand de périodes semblables.

13. Si la vitesse, acquise alors, persistait^ et elle persisterait si Tm conservait perpétuellement la valeur prise alors par T,, elle deviendrait la vitesse de régime de la machine qui se mouvrait

MACHINES en général. 1087

aiosi d'un mouvement rigoureusement uniforme, c'est-à-dire dans les meilleures condilions,- et le terme en question disparaîtrait de 1 équation à partir de ce même instant.

i4. Départ des machines. C'est ainsi, c'est-à-dire en vertu d'un excès initial + 1^ du travail moteur moyen sur la somme des travaux moyens résistants que les machines commencent à se mettre en mouvement, et cet excès naît, pour ainsi dire, naturellement au momeat du départ; car, à ces premiers instants, le travail de Toutil, l'ouvrage fait, les frottements et les autres résistances d'abord faibles ou nuls ne croissent que successivement à mesure que la vitesse des pièces mobiles augmente, tandis que le travail moteur reçoit ordinairement dès l'origine tout au moins sa valeur de régime dont l'excès + t^ sur le travail des résistances se transforme alors en force vive et disparaît en s'épuisant contre les parties mobiles qu il anime.

15. La vitesse des pièces mobiles du système a une limite inférieure Après avoir montré que la vitesse des pièces mobiles atteint nécessairement un maximum qu'elle ne peut dépasser, supposons que à partir de ce maximun, la différence (T„ — T.) chan;?e de signe'el devienne — /^, la somme des travaux résistants T, l'emportant alors de l„ sur le travail moteur T^. Voici que, à partir de cet intant, le terme 'L\m{v^ — vJ'), qui contient le travail de l'inertie accumulé dans les pièces mobiles, change lui-même de signe, et que, en même temps qu'il vient ainsi en aide au travail moteur T^, la vitesse des pièces mobiles diminue, ce qui entraîne la diminution' de l'ouvrage fait ou celle du travail T« de l'outil, puis celle des résistances T^. Or T^augmenlanl tandis que T, diminue, la différence (T, — T„) disparaît nécessairement après un temps plus ou moins long, et alors la vitesse des pièces mobiles a atteint son minimum.

16. Donc, la vitesse des pièces mobiles ne peut, en général, ni croître ni décroître indéfiniment; et le mouvement d'une machine lorsqu'il ne devient pas uniforme, oscille nécessairement entre des limites inférieure et supérieure qu'il atteint alternativement sous l'influence régulatrice des forces d'inertie.

17. Avantages du mouvement uniforme. — Comment on s'en rapproche. Nous venons de voir que le terme S iw(t;* — t?^*) devenait nécessairement nul ou alternatif^ il n'influerait donc pas directement sur la quantité de travail livré à l'outil, et si les variations de la vitesse pouvaient toujours s'opérer insensiblement sans chocs, sans changements brusques, la machine une fois mise en mouvement travaillerait, à la régularité près, aussi avantageusement que si ce mouvement était parfaitement uniforme. Mais c'est ce qui n'a pas lieu en général, et il convient toujours de se rapprocher du mouvement uniforme, quand on ne peut l'atteindre. Outre qu'il

1088 MACHINES m général.

permettrait aux diverses pièces du mécanisme do se conduire inuluellement sans secousse, il conserv«'ait à l'outil aussi bien qu'au récepteur pendant toute la durée de leur mouvement l'effort et le chemin qui conviennent à leur maximum d'effet. Mais les inégalités habituellement périodiques ou les intermittences des travaux moteur et résistant Texcluent trop souvent. Alors les organes de la machine, ses engrenages par exemple, n'éprouvant pas tous au même instant le môme degré de variation de leurs vitesses, il arrive que ceux qui conduisaient se trouvent brusquement conduits, qu'ils se heurtent, se compriment; de là des chocs, des déformations, des flexions qui vont augmenter le terme T, quand ils n'amènent pas des ruptures; de là aussi la nécessité de resserrer du moins le plus possible les deux limites de la vitesse. Or la formule mise sous la forme

£il

montre évidemment que, pour une même différence entre le travail moteur et la somme des travaux résistants indépendants de rinertie, la variation (v^ — t?,^) sera d'autant plus faible que la masse Sm des pièces mobiles sera plus grande. On resserrerait donc les écarts de la vitesse en augmentant la masse de ces pièces, mais les conditioDS d'établissement d'une bonne machine sont souvent exclusives l'une de l'autre, et ce qu'on gagne en régularité par l'augmentation des masses est en partie compensé par l'accroissement du travail des frottements que cause l'augmentation des poids mobiles.

18. Si les pièces mobiles tournaient autour d'axes de rotation, l'équation ci-dessus prendrait la forme (6)

elle montre que l'on peut alors régulariser le mouvement de la machine non plus seulement par l'augmentation des masses ou des poids mobiles, mais surtout en rejetant ces masses à une plus grande distance p de leur axe de rotation. Tel est l'objet des volants dont la théorie est développée à l'article qui leur est consacré.