O.SÛ, 4 018,9 0.17, S
0,*8 0,48 0,48 O.fS 0,48
Exemple de calcul.
Soit la hauteur observée d'une étoile = il faut en retrancher savoir :
Pour 304.0' 12' 35".9
Pour 5' d'après
la colonne difïérenoe. .
Une minute ou 60" donnerait encore 3".42 d*oà, pour 18". . . .
Hauteur vraie.
13. Les ingénieurs peuvent le plus souvent négliger la correction due à la différeoce de la température et de la pression. Toutefois, lorsqu'une grande rigueur sera nécessaire^ ils pourront prendre, dans la table suivante, le facteur correspondant à la pression^ celui relatif à la température, et multipliant Pun par l'autre, leur produit deviendra le multiplicateur de la réfraction moyenne qu^on a trouvée comme ci-dessus.
Supposons que Tobservation précédente ait été faite à la teropéralure 0, et sous la pression 0".72, les facteurs correspondants donnent 1.039X0.947 = 0.983933 ou 0.984 pour le multiplicateur de la réfraction moyenne 12' 48". 726 qui s'abaisse ainsi à 12' 36".426, ce qui élève la hauteur vraie à 3' 32' 41". 574. Mais il règne une telle incertitude sur la valeur des réfractions, lorsque surtout les hauteurs sont faibles, que l'exactitude apportée par celte correction est peut-être plus apparente que réelle.
Tablb il — Correction des réfractions moyennes.
nssMsm
Xhermo-
Thermo-
Bar*mèlre.
Facteur.
Baromètre.
Factear.
mètre centigr.
Facteur.
mètre ecotigr.
Facteur.
Suite de la Table II.
Thermo-
Thermo-
Baromètre.
Facteur.
Baromètre.
Facteur.
mètre centigr.
Facteur.
mètre ceoiigr.
Facteur.
14. Réfraction terrestre. Lorsque Tobscrvateur et le point qu'U observe sont situés tous deux dans les Timites de l'atmosphère, et surtout dans le voisinage de la surface terrestre^ les réfractions deviennent très-irréguliëres, et parfois tellement bizarres, que la tra<* jectoire du rayon lumineux^ au lieu d'être cuncave à la surface terrestre^ devient convexe et montre alors les signaux au-dessous du lieu qu'ils occupent en effet. Il arrive même que des réfractions latérales se produisent^ et que le rajon lumineux dévie ^ s«it à droite, soit à gauche, du plan vertical, passant par I'œU et le point d'où il émane. Cependant, Pinfluence de la réfraction sur Texactîtnde des nivellements géodésiques a fait rechercher si, dans les circons(ances atmosphériques favorables, il était possible de lier par une sorte de moyenne constante m Farc terrestre G ^ qui sépare la verticale d'un signal et celle du point dont on Tobserve, avec l'angle de réfraction r qui élève habituellement ce signal au-dessus de son lieu réel. £n d*autres termes, on a cherché les valeurs moyennes de m pouvant satisfaire à la formule empirique,
15. Delambre a trouvé co France^ ponr les valeurs de m par des temps brumeux, et en hiver seulement 0. 15 — plus communément 0.08 à 0.10 en hiver^ — 0.06 à 0.08 en été. — Onatrouvé encore 0.038 à Péquatevr, — 0.052 en Italie, — 0.065 en Laponne^ — 0.072 en Angleterre. — 0.063 en Autriche, — 0.07 à 0.09 en Suisse, — 0.0783 à la mer en été et en automne, — et, faute de mieux, on s^accorde, on France^ lorsque Patmosphèrc est parfaitement calme, lorsque les angles de hauteur sont assez faibles^ lorsque les densités des couches d'air peuvent être regardées comme constantes, à faire
r = 0.08 C ou r" = ( 0.08) C"
en exprimant en secondes Parc terrestre G et l'angle r de réfraction. Nous verrons tout & Pheure comment m a pu être détermine.
Oo tiendra donc suffisamment compte de la réfraction moyenne vers la surface du sol en France^ dans les temps calmes, en prenant ponr la valeur de cet angle le douzième environ (~) de Tare compris entre les verticales de l'observateur et du signal.
Or, comme la seconde terrestre répond à une distance de 30". 864^ on voit que la correction à faire sur la hauteur angulaire d'uD signal placé à environ 1850 met. , atteindrait à peine cinq secondes.
16. Les effets de cette réfraction peuvent être approximativement évalués en mètres, lorsque l'observateur et le signal sont Tun et l'autre trés-rapprochés de la surface terrestre supposée sphérique. Ce cas se présentant souvent dans la pratique du nivellement; nous nous j arrêterons un moment (fig. 8, planche LXXXYI).
L'axe prolongé d*un niveau N , lorsqu'il est réglé, est une tangente No' à la surface terrestre ou à une surface sphérique concentrique à celle-ci. Le point o' où celte tangente rencontre le signal ou la mire, détermine la hauteur ou cote de niveau M o^ Pour obtenir cette cote, but direct du nivellement, on élève successivement le voyant de la mire jusqu'à ce qu'il apparaisse dans la direction de l'axe optique No' de la lunette. Or, en vertu de la réfraction r, cette apparence a lieu lorsque le voyant est en o, par exemple, avant qu'il ait atteint le point o' qui appartient à la tangente. Le porte-mire lit donc et inscrit une cote en mètres 'ilLo'=ia Irop faible de la quantité oo' :=ze dont la réfraction a élevé le voyant. A la cote a, il faut donc ajouter e pour avoir la cote réelle Mo' =: a -^ e que je fais = A. Or, si les points N M sont assez voisins de la surface terrestre pour être censés lui appartenir, h sera l'excès sur le rayon terrestre OM , de la sécante Oo' de l'arc terrestre NM , on ce qu'on appelle dans l'art du nivellement l'excès du niveau apparent No' sur le niveau vrai NM. Cet excès h sous-tendant Tangle o'NM , comme e sous-tend l'angle de réfraction r = oNo', et ces angles
étant trè9-*peti(8^ on penl^ sans errcor notable^ sappodcr la propor* lionalité
h : e : : o'nm : o'No : : ^c : r ; : ^c : o.osc
car Panglc o'NM formé par la (angenic No' et la corde NM, a pour mesure la moitié de Tare terrestre G , et de son côlér = 0.08G en moyenne. De cette proportion, on tire pour la valeur de e en métrés
c^cst l'approximation que Ton emploie dans le nivellement.
17. Pour obtenir e en fonction de la distance en mètres k de Tobservateur au signal^ on peut remarquer que la tangente No' (Géam,, D. 28) donne
en appelant R le rayon terrestre = 6366198*^. Négligeant d'une part la hauteur h derant le diamètre terrestre 2R, de Fautre prenant la longueur k de Tare NM pour celle de sa tangente No', il vient
A = — d ou e zzz — — zrz k yc ' ■
2R """ «^ R ^lOOOOOO
ce qui montre que les haussements en métrés, dus à la réfraction en terrain horizontal, sont entre eux comme les carrés des dislances du signal à Pobservateur, et que le haussement absolu e atteint onviron 0^.01257 pour la première distance de un kilomètre.
18. Déterminer le coefficient m de la réfraction pour une localité et dans des circonstances atmosphériques déterminées : -— On choisit (fig, 9« planche LXXXYI) deux points N, M visibles Fun de Fautre, et dont la distance horizontale Ar=:Nm soit bien connue. De la station M, on relève la distance zénithale apparente z' du point N, puis de celui-ci et sous les mômes influences atmosphériques, on prend la distance zénithale apparente z du point M. La valeur angulaire de la réfraction r pouvant être considérée alors comme n'ayant pas varié dans Fintervalle des relèvements, on peut faire la somme des distances zénithales vraies
ZNM+Z'MN=:«+^'+2r or (G<?om.,B. 9) ZNM=:M + C; Z'MN = N + C donc -s-f2'-{-2r = M+N + C+C = 180*» + C
et divisant les deux membres par G on a pour le rapport moyeu constant m
C + 1800-K^ + iO
LUNE. — MACHINES en général. losi
on obtiendra la valeur angalaîre de G on degrés en divisant la longueur connue Nm = A par la longueur du degré local (pag. 75), et par suite une valeur de m plus localement exacte que la moyenne 0.08, qui ne conviendrait certainement ni ^ux plaines des Landes en été, ni dans la Camargue, ni dans les plaines de la Sologne on de la Corse^ ni dans les mines, ni probablement à la mer (Voyez Tartide Nivellement),
LUNE. (Voyex Astnmomiey pag. 80).
MACHINES. 1 . Agents matériels cl par conséquent inertes, destinés à transmettre le travail d*un moteur à un outil ou opérateur dont la fonction consiste à vaincre utilement certaines résistances suivant certains chemins, c'est-à-dire à faire un certain ouvrage.
2- Les machines ne sauraient ni augmenter ni diminuer le travail qu'elles reçoivent du moteur; elles transportent ce travail, elles le , distribuent ou le transforment, elles changent au besoin la valeur la direction ou le sens de ses deux facteurs constituants : eHbrt et chemin décrit; mais c'est à la condition que le produit de ces facteurs restera constant, ou que l'augmentation de l'un d'eux sur an point déterminé de la machine, y soit exactement compensée par la diminution de l'autre. Mal conçues, elles égarent le travail moteur, et au lieu de le transmettre tout entier à l'outiJ, elles le détournent en le distribuant partiellement sur des points qui devraient rester fixes. Parfois même, elles rendent ce travail destructeur, elles remploient à user leurs propres organes, à les fléchir, à les faire vibrer, à secouer leurs appuis, à disjoindre leurs assemblages, à ébranler le sol et jusqu'aux murailles de Tatelier. Mais de même qu'elles ne peuvent augmenter en rien le travail moteur, il n'est pas en leur puissance de le diminuer et lorsque le calcul sait le poursuivre jusques à ses dernières transformations, le travail dépensé sur une machine se retrouve tout entier dans la mesure des effets qu'il a produits. Car le travail est une quantité qui, une fois née, ne peut plus s'éteindre que dans un ouvrage fait, et dès qu'un kilogrammètre aura été développé quelque part, il np rentrera dans le néant qu'à la condition de produire un travail utile ou nuisible, destructeur ou indifférent d'ailleurs, mais toujours équivalent à lui-même.
Essayons, en les généralisant, de classer tous les effets possibles du travail moteur dépensé sur une machine en mouvement et d'établir ainsi le compte général de son emploi.
3. Equation générale d'une machine en mouvtment. Soit Tm = le travail moteur moyen livré à une machine quelconque pendant un temps connu t, ou le produit Ee de l'effort moteur moyen E par le chemin e décrit pendant la durée t, dans la
1082 MACHINES en généraL
direction propre de cet effort, par son point d'application sur la machine.
Ce produit Tm=Ee est nécessairement égal à la somme de (oos les travaux résistants, savoir :
To=Og= travail dôpensé sur Topcrateur ou l'oulii pendant la durée r; ce travail étant pris comme ci-dessus, c'est-à-dire égal au produit de l'effort moyen Q de l'outil par le chemin g que son point d'application a parcouru, pendant le même temps t, dans la direction de cet effort.
Tr=Rr= travail moyen pris comme ci dessus et absorbé par toutes les résistances R étrangères à l'effet utile que Ton cherche à produire. C'est en bloc la somme des travaux absorbés par les frottements^ par la résistance des milieux, par les chocs, les vibrations, les ébranlements du sol, par la flexion, Tcxlension, la compression inutiles des organes de la machine^ travaux que nous ne savons pas évaluer tous exactement.
4. Travail des pièces à mouvement alternatif. Maïs la composition de la machine peut être telle que certaioes pièces de son mécanisme s'élèvent ou s'abaissent pendant la période t et absorbent dès lors un certain travail pour leur élévation, ou au contraire viennent en aide au travail moteur par leur descente. P étant le poids total de ces pièces à mouvement altcrnalif, h la hauteur verticale absolue comptée de bas en haut dont leur centre de gravité commun s'est élevé, et A la hauteur absolue comptée de haut en bas dont ce centre s'est abaissé pendant la période considérée, la somme des travaux montant et descendant, c'est-à-dire contraire et favorable au travail moteur sera évidemment =P(A — k).
5. Travail de l'inertie. EnOn, pendant cette môme durée t, le travail moteur et la somme des travaux résistants peuvent avoir varié en sens inverse l'un de l'autre, en oscillant entre les^limiles de leurs valeurs moyennes T^,, T^, T^. Suivant que le travail moteur a èlc momentanément plus grand ou pluspelitque le travail des résistances, la vitesse des pièces mobiles de la machine a nécessairement augmenté ou diminué. Cette variation n'a pu avoir lieu sans avoir mis en jeu leurs forces d'inertie (page 785), et dés lors sans qu'un travail ou contraire ou favorable au travail moteur ait été développé, soit donc m la masse ou pie poids de l'une quelconque des particules mobiles
de la machine dont la vitesse u a pu varier : - — sera la forcb
g dt qu'elle aura opposée à la variation du de sa vitesse pendant l'élément du temps dt-, si dx est le chemin élémentaire qu'elle a parcouru pendant cet élément du temps dans la direction de la force
dudx
m — — = mudu sera le travail élémentaire dépensé pendant dt par
MACHINES en général. 1083
son inertie ou contre elle. Si noas appelons t^^ la valeur delà vitesse, dont elle était animée au commencement de la période teiv celle de la vitesse qu'elle possède à la fin de cette période
mudu — { m [v' -v:') z=z^ — ^^
Vo
sera le travail dû è Tincrlie de mrr - pendant la durée t. Prenant le
signe 2 pour indiquer la somme de tous les produits semblables qui entrent dans le système mobile,
exprimera, en général, le travail de Tinertierde la machine, pendant la période r et ce travail sera évidemment positif ou négatif suivant que la vitesse v^ au commencement de la période sera plus petite ou plus grande que la vitesse finale v.
6, Travail de Vinertie des pièces de rotation. Dans le cas très-général où les pièces mobiles tourneraient autour d'axes fixes, on aurait
V = (ji)'p et Vo =s tJo p
en prenant lo et coo pour les vitesses angulaires finale et initiale du svstème tournant et p pour la distance de la particule quelconque m à son axe de rotation -, le terme général ci-dessus deviendrait alors
c'est évidemment sous cette dernière forme, que le travail de Pinertie des pièces de rotation devra figurer dans Tcquation ci-dessous, qui donoe enfin le compte général de l'emploi du travail moteur moyen T„, pendant la période t :
T„ = To + T, + P(A-A) + S^(,)'-Co')
7. Cest la relation tx)nnuesous le nom Adéquation des forces vives et qui a été donnée par M. Ponceletj il y a bien vingt-cinq ans. Nous allons, à l'exemple de notre illustre maître, étudier successivement l'influence de ses différents termes , en faisant tous nos efforts pour ne pas rester trop au-dessous du beau modèle de discussion, que Ton devra consulter d'ailleurs et qui forme la première section de ses célèbres cabicrs de Metz.
i084 MACHINES en général.
