AX \»M

celui de la série qui commence par ce second ternie, et il y aura maximum ou minimum suivant que les valeurs de x tirées de

-r^ = 0 et introduites dans -r^ rendront ce coefficient négatif ou

dx dx^

positif. En reproduisant indéfiniment les raisonnements que nous venons d^indiquer avec la variante qu'exige chaque terme de rang pair, on parvient à motiver les règles posées ci-dessus ; mais c'est dans la théorie des courbes qu'il faudrait aller chercher leur véritable source et l'esprit des méthodes qui a dirigé les inventeurs.

Je renvoie aux traités spéciaux pour la recherche du mafximum et du minimum des fonctions de plusieurs variables, ce genre de questions se présentant rarement dans la pratique des ingénieurs.

Résultats, Le produit d'un nombre quelconque de facteurs variables qui, pris ensemble, font une même somme, est un maximum lorsque tous ces facteurs sont égaux entre eux.

MÉCANIQUE {principes générais). H35

Réciproquement, le prodoit d'an nombre quelconque de facteurs qoi font une même somme^ ne peut être un maximum qu^à la condition que ces facteurs soient égaux entre eux.

Dans le cas de trois facteurs qui font une même somme^ leur prodoit sera maximum s'ils sont égaux > mais s'ils sont inégaux en faisant toujours une même sommc^ leur produit augmentera à mesure que l'inégalité des facteurs diminuera.

De tous les parallélipipédes de même surface^ celui qui a la plus grande capacité est le cube qui a pour côté une ligne égale à la racine carrée de la sixième partie de cette surface.

De tous les triangles construits sur une même base et de même Gontoor, le plus grand est le triangle isocèle.

De tous les polygones de même contour, celui dont Taire est la plus grande a tous les côtés égaux.

Entre tous les cylindres droits de même surface, celui dont la hauteur est égale au diamètre de la base a la plus grande capacité.

Entre tous les cylindres droits d'égale capacité, celui dont la hauteur est égale au diamètre de la base a la moindre surface.

Le nombre x dont la racine x^^ est un maximum, est la base des logarithmes népériens 2.718....

De toutes les fractions, celle z qui surpasse sa m^^ puissance ji^ du plus grand nombre possible^ est z = i X ^ .

MÉCANIQUE (pRiMGiPBS généraux). 1« L'expression principe emporte communément avec elle l'idée primordiale de source, d'origine, de bassj elle est l'opposé des mots but, terme ^ fin. Sortes de prémisses certaines ou du moins incontestées, des prtnatjpe^ généraux sembleraient devoir contenir et engendrer les conséquences, préeéder celles-ci et ne point dériver d'elles^ il n'en est point encore ainsi des théorèmes généraux que nous allons résumer en partie; et en leur conseryant le nom de principes^ on semble reconnaître que la place qu'ils occupent pour ainsi dire au sommet de l'édifice de la science, n'est pas celle qui convient à la régularité, à la simplicité, à l'économie de l'ensemble. « Aperçus d'abord dans le vague, dite sait Camotj et en quelque sorte par instinct, appuyés plutôt sur « leur conformité avec les résultats particuliers auxqueb on arri- H vait par d'autres voies que sur des démonstrations générales et « rigoureuses , on pourrait ajouter que les principes sont encore à la place où le génie des inventeurs les entrevit d'abord, et qu'ils attendent qu'une main puissante et hardie ose reconstruire sur leur vaste base la science mécanique toute entière^ range et contienne dans leur généralité féconde toutes les théories de détail que l'on traverse aujourd'hui pour remonter jusqu'à eux, et qui, il faut l'espérer, ne deviendront un jour que les conséquences naturelles

1 1 36 MÉCANIQUE (principei généraux).

et les développements logiques des principes généraux qui les domîoent tontes^.

2. Quant à Pemploi de ces principes^ ou peut dire quMI consiste surtout dans la mise en équation des problèmes, et si, comme je Tai définie ailleurs, ta mécanique est en réalité la science qui enseigne à calculer les effets des forces ^ et à remonter de ces effets d la valeur des forces qui les ont produits, l'ensemble de ces principes constitue la science elle-même réduite à sa plus simple expression.

3. Malgré leur importance, je ne les ai résumés ici que partiellement, laissant de côté ceux d entre eux qui, moins fréquemment invoqués par les auteurs que Pingénieur consulte habituellement, étaient en même temps moins nécessaires à la mise en équation des questions relatives au calcul des machines. Je renverrai pour tous les autres aux admirables notices que Lagrange leur a consacrées dans plusieurs parties de sa Mécanique analytique , et aux mots Centre, Moments et autres de cet Aide-mémoire.

4. Principe des vitesses virtuelles. Si un système quelconque de tant de corps ou points que Fon veut^ tirés chacun par des puissances quelconques j est en équilibre et qu'ion donne à ce système un petit mouvement quelconque^ en vertu duquel chaque point parcoure un espace infiniment petit qui exprimera sa vitesse virtuelle, la somme des puissances multipliées chacune par l'espace que le point où elle eét appU" quée parcourt suivant la direction de cette même puissance^ sera tou^ jours égale à zéro, en regardant comme positifs les petits espaces parcourus dans le sens des puissances ^ et comme négatifs Uê espaces parcourus dans un sens opposé (Lagrange).

5. Si Pvon observe que ce produit de chaque force par le chemin déi^rit dans sa direction propre, par son point d'application , estee que M. Poneelet a appelé depuis le travail de celte force, travail qui devient négatif^ quand la force agit en sens inverse du chemin dé* crit par son point d application, le principe des vitessea virtuelles peut se traduire ainsi dans le langage de la mécanique appliquée :

Le travail des puissances est égal au travail des résistances dems toute machine en équilibre sotu Vaction des forces qui lui sont appliquées.

Remarquons, en outre, que, dans ce dernier énoncé, le mot Eq€ilibre n'implique plus Fidée exclusive de repos ; qu'il cooiprend, au contraire, et l'état de repos et celui du mouvement uniforme de la machine, car un corps quelconque est pour noua en équiUère sous Faction des forces qui lui sont appliquées, tant que ces puissances ne modifient point les forces vives dont le eorpe pouvait être animé avant leur application.

On tire immédiatement du principe des vitesses Tirluelles les conditions d'équilibre de toutes les machines, que Vota a coutume

MÉCANIQUE (principe des vitenes virtuelles). 1 1 37

d'éiadier dans lei statiques^ on en déduit même le principe de la composition des forces qui leur sert de base^ et que l'on attribue aa géomètre flamand Stevin, quoiqu'il paraisse n^avoir pas été inconnu A'Àristotej d'après le passage suivant de ses Questions mécaniques : Manifestum igitur quàd id quod secundHun diametrum in duabus feriur latiimibuSj necessarià secundùm laterum proportionem feriur.

6. Historique. Suivant Lagrange, les Anciens n'auraient point connu le principe des vitesses virtuelles; bien qu^il soit facile de recoDDattre dans le levier et les autres machines plus ou moins simples qui étaient à leur usage que la résistance et la puissance y sont toujours en raism inverse des chemins respectivement et uniformémcff^t pmreourus par Vune et Foutre dans le même temps , Guido Ubaldi serait le premier qui aurait aperçu cette loi dans le levier et dans les moufles. Galilée l'aurait reconnue plus tard pour le plan incliné et pour les machines qui en dépendent, et il l'avait, dès lors, regardée comme une propriété générale de l'équilibre des machines (Yoy, son Traité de mécanique et son Troisième, Dialogue, édition de Bolo* fne, 1655). Désignant par momm/um, ce que M. Poncelet a appelé depuis travail élémentaire ou instantané^ il y démontre qu'il y a équilibre (dans le sens statique du mot) entre deux puissances, lorsque leurs momenta sont égaux et de signe contraire. Cette notion est adoptée un peu plus tard par WaUis, et le principe de l'égalité des momenta devient la base de sa statique; il en déduit la théorie de Téquilibre des forces dans les machines principales ^ voy. sa Mécanique f publiée en 1669.

Descartes avait, il est vrai, dès 1657, déjà réduit toute la statique à un principe unique qui reviendrait au fond, d'après Lagrange, à celui de Galilée, Ce principe consiste en ce que : Il ne faut ni plus m mains de force (travail), pour élever un poids é une certaine hauteur, qu'il en faudrait pour élever un poids plus pesant à une hauteur ^autant moindre j ou un poids moindre à une hatUeur d'autant plus grande (Voir lettre 73 du tome I«^ publié en 1657). Il n'est pas difficile, en effet, de déduire de ce principe qu'il y aura équilibre e&tredeox poids, lorsqu'ils seront disposés de manière que les chemins verticaux qu'ils parcourraient dans le premier instant du mouvement, soient en raison réciproque de ces poids ; mais alor^, il fiudrait peut-être conclure contre Lagrange, que ce germe du principe des vitesses virtuelles n'avait point échappé aux Anciens.

Près de vingt siècles avant Descartes , en effet, Aristote posait encore le principe suivant qui revient à celui du philosophé français, et qui forait remonter à près de deux mille ans la notion, alors un peu confuse, du travail des forces : Si igitur a est quod movet, ^ quod movetur, y longitudo per qttam motum est, S tendus quo motetur, sané mquali tempore $ csqualis vis a dimidium ipsius ^ movehit per longitudinem duplà major em quàm y.

1138 MÉCANIQUE (principes généraux).

Quoi qu'il en soit, c'est k Jean BemoutUi que Lagrange allribuc le mérilc d'avoir aperçu, le premier, la grande généralité du princîpe des vitesses virtuelles (Yoy. ses Lettres de 1717 à Yarignon, insérées dans \tii Mécanique de celui-ci) 5 D'Alembert en fil plus tard d'heureuses applications, mais c'est Lagrange lui-même qui, le prenant pour le fondement de saiMécaniqtieanaly tique j en a tire les conséquences les plus étendues et les plus fécondes.

7. Principe de D'Alembert. Lorsque des corps p^ PiPsPv • • ■ ^^^^ joints ensemble de manière qu'ils ne puissent obéir librement aux impulsions qu'ils ont reçues ou aux forces accélératrices qui agissent sur chacun d'eux, ils exercent nécessairement les uns sur les autres des efforts continuels qui altèrent les mouvements qu'ils auraient pris s'ils eussent été libres ;

Ainsi A étant, par exemple, la projection d'un axe fixe horizontal 5 Ap^ une tige supposée inflexible et sans masse, PiPaPaP*--- ^®^ poids égaux enfilés sur cette tige rigide à des distancesquelconquesAppPiPajPsP^..; le mouvement de chacun de ces poids sera, en général, différent de celui qu'il prendrait s'il était seul enfilé sur la lige. D'une part, en effet, la gravité tendant à faire descendre également tous ces poids dans le même temps; de l'autre, la roideur de la tige contraignant chacun d'eux à décrire dans ce même temps un arc proportionnel à sa distance du point de suspension A , il se fera entre ces poids une espèce de compensation telle que les poids les plus rapprochés de A bâteront les vibrations les plus éloignées, tandis que ceux-ci relarderont les premiers. On voit même qu'il y aura sur la tige une sorte de point neutre^ où un poids étant placé, son mouvement ne serait ni accéléré ni retardé par la réaction des autres poids, et serait le même que s'il était seul enfilé sur la tige. Ce point serait le centre d'oscillation (pag. 250) ou d^agitation comme l'appelait Deseartes, et c'est précisément la recherche de la position de ce point qui a donné naissance au principe que nous connaissons aujourd'hui sous le nom de principe de D Al€nd>ert. Huygkens détermina d'abord la position de ce centre, mais ce fut à Taide de ce qu'il appela le principe de la conservation des forces vives, principe précaire suivant Lagrange, et qui est cependant devenu la source du principe des forces vives, qui depuis un quart de siècle forme U base fondamentale du calcul des machines. Voyez le Horologium osdllatorium de Huyghens, 1673, livre curieux rempli d'idées nouvelles alors.

MÉCANIQUE (principe de D*Almberi). 1 139

Jacques Bemouilli reprit le problème des centres d'oscillation vers 1691 : considérant ensemble les mouvements que la gravité imprime à chaque instant aux points matériels p^p^p^* . • qui formeat le pendule Ap^; remarquant que leur liaison s'opposait à ce qa'ils les suivissent^ il eut Pidée de considérer les mouvements réels qo'ils prendront comme composés des mouvements que la gravité leur imprimerait, et d'autres mouvements ajoutés ou retranchés qai doivent se contrebalancer^ et en vertu desquels le pendule demearerait en équilibre. Ce qui est le germe évident du principe géDéralisé par D'Alembert, en 1743, sous l'énoncé suivant :

8.' De qttelque manière que plusieurs Cùrpe viennent à changer kurs mouvemenis actuels j si l'on conçoit que le mouvement que chape corps aurait dans l'instant suivant s^il devenait libre, soit décomposé en deux autres ^ dont l'un soit celui quUl aura réellement après It changement^ le second doit être tel que si chacun des corps n'eût eu (autre mouvement que ce second^ tous les corps fussent demeurés en éjuiUbre.

9. De son côté, Herman, dès 1716^ dans sa Phoronomia, ou scieoce des mouvements de transport^ avait résolu le problème du peodole composé^ en partant d^un principe que je résume ainsi :

Les forces motrices dont les poids qui forment le pendule composé, doivent être animés pour pouvoir être mus conjointement, sont équivalentes à celles qui proviennent de l'action de la gravité ^ en sorte que ks premières étant dirigées en sens contraire, doivent faire équilibre i à ces dernières j sur le système. C'est encore le principe de D'Alem- ' Wt, mais présenté sous une forme plus évidente peut-ôlrc; et qui aconduità celui des deux énoncés des auteurs modernes qui épargne les décompositions de forces, et que je développerai à Faide d'une application au problème qui nous a déjà occupés.

10. Concevez un nom- A bre quelconque de poids, d'abord isolés et libres, PvPiffsfPéi etc., ondes

ina5ses?.S^,^\?\...

9 9 9 9 soumises respectivement à des forces quelconques X1X2X3 X^.... réunissez alors toutes ces masses entre elles par un système de liaisons quelconques, Aotn par exemple 3 cette liaison contraindra chacune d'elles à prendre un

1140 MÉCANIQUE (priticipes généraux).

moavemeotpjtii , p^n^ , p^n, , p^n^ différent de celui p^X^ , p^X*^*, PiX, qu'elle aurait pris, si elle eût été libre; or si Ton introduisait dans le système de nouTelles forces F^F^F^F^ qui^ agissant sur chaque corps m sens contraire de son mouvement effectif, seraient capables, abstraction faite de l'inertie, de le réduire au repos, il 7 aurait équilibre. Il s'ensuit que les forces X^X^X,..., que Ton appelle habituellement les forces imprimées^ sont à chaque instant en équilibre sur le système et, en ayant égard à la liaison de ses parties, avec les forces effectives prises en sens contraire F, F, F,, etc.

Or ces forces effectiyes que le principe prescrit de prendre etrsens contraire ne sont en intensité, direction et sens, rien antre chose, en fait, que les farces d'inertie (page 785)

* g dt ^ g dt ' g dt

des petites masses ^^^. . . relatives aux variations effectives

9 9 9 dv^ dv^ dv^ de leurs vitesses respectives dans le même temps infiniment petit dt.

La considération des forces d'inertie (p. 776) ramène ainsi le principe de D'Alembert & une sorte d'aiiôme que Ton pourrait peutêtre énoncer ainsi :

1 1 . Pour chacune des variations infiniment petites du mouvement d'un système de points liés d'une manière quelconque, V ensemble des forces mouvantes fait à chaque instant équilibre sur le système^ et en ayant égard d ses liaisons, à Vensemble des forces d'inertie relatives à la variation effective du mouvement de chacun des paints matériels. Ce qui revient à dire, après tout^ que les actions et les réactions sont â chaque instant en équilibre sur le système (p. 776); et, quant aux forces détruites par les liaisons du système, ce sont elles éyidemment qui produisent les tensions ou efforts snr ces liaisons.

12. Principe ou équation des forces vives. Désignons en général par P la composante d'une force mouvante ou positive dans la direction du chemin élémentaire dp décrit par son point d'application à une machine quelconque ; par R la composante d'une force résis^ tante ou négative dans la direction^ mais en sens inverse du chemin élémentaire dr décrit par son point d'application à la machine dans le même temps infiniment petit dt ; par m la masse ou p le poids d'un point matériel quelconque de cette machine, dv. étant l'accroissement que reçoit la vitesse v^ de ce point pendant dt.

I Vdp, I Rrfr seront pour chacune de ces forces le travail

total ou la somme des travaux élémentaires sirauUanéoient accom-

MÉGANIQUE (principe des forces vives). 1141

plis entre les limites de la durée que Ton considère ou de l'espace parcouru pendant cette durée par leurs points d'application. Prenant, suivant Tusage, le signe 2 pour indiquer Taddition de tous les termes semblables fournis par chacune des forces soit mouvantes soit résistantes qui peuvent agir sur le système, on a, en combinant par exemple le principe des vitesses virtuelles avec celui de D'Âlembert

-^ fvdp — 1 fVidr =ilL Ttav^dv, (1)

le dernier terme exprimant le travail de toutes les forces d'inertie de la machine. Intégrant ce dernier terme entre v^ ou la vitesse de la masse quelconque m au commencement du temps que Ton considère et V sa vitesse à la fin de ce temps^ il vient (page 1083)

2 /^Prfp— S /"Rdr=s|-(»«— O. ... (2)

c'est-à-dire que : dans tout système de corps en mouvement, la différence entre la somme des travaux mouvants et celle des travaux résistants pendant un temps quelconque^ est numériquement égale d la variaticm de la demi-somme des forces vives de toutes tes masses du système pendant le même temps ou au travail des forces d*inertie.

13. Si la vitesse de tous les points du système était nulle au premier instant^ ou si la machine partait du repos, on aurait

SyPrfp~ïy"Rdr = s|^' (3)

c'est-à-dire que la moitié des forces vives acquises par tous les points mobiles de la machine est numériquement égale à Vexcès du travail moteur total sur le travail de toutes les résistances depuis l'origine du mouvement jusqu'à Vinstant où la vitesse est devenue z=z v,

14. Dans les cas on les travaux résistants sont assez faibles pour pouvoir être négligés, le système partant du repos donne lieu à léqnatîon

'» fPdp

SÇ' (4)

c'est-à-dire que le travail de toutes les forces mouvantes depuis Vorigine du mouvement jusqu'à Vinstant où les masses du système pos-

tèdtnt les forces vives 2 — , est numériquement égal à la moitié de

n ces forces vives ou au travail total développé par les forces d^inertie.

15. Si l'on suppose que la machine étant en mouvement, toute force mouvante cesse d'agir à Tinstant où la force vive totale était

1142 MËGANIQUE (principe de Camot).

S — , et que les forces résistantes travaillent seules, il faudra que

les forces résistantes aient développé un travail total numériquement égal à la moitié de la somme des forces vives ci*dessu8 avant d'avoir anéanti le mouvement du système.

16. Enfin^ si Ton considère le mouvement de la machine depuis son origine jusqu'à son extinction complète, ou bien encore entre deux instants où la somme des forces vives est redevenue la même, le second membre de l'équation générale devenant nul, on a

ï rVdp = s rUdr (5)

c'est-à-dire que la somme des travaux mouvants égale dans ce cas la somme des travaux résistants, ou que les forces d'inertie n'étant pas mises en jeu, ou s'étant compensées^ le travail produit par les forces mouvantes se retrouve tout entier dans celui que les forces résistantes absorbent, et c'est en cela que consiste le principe de la transmission du travail.

17. Le principe des forces vives ou de la transmission du travail est devenu la bas, fondamentale do la mécanique appliquée. On pourra étudier les développements successifs et les transformations qu'il a reçus depuis environ soixante ans dans les ouvrages suivants : Lagrange, Mécanique analytique et théorie des fonctions^ Camot, Principe de Véquihbre et du mouvement. Un Mémoire de M. l'ingénieur Burdin au! Annales des mines (/e 1815. — Un autre Mémoire de Petit aux Annales de chimie (2e 1818 , — et dans l'ordre des dates, les ouvrages de Navier^ le Cours de mécanique appliqué aux machines de M. Poncelet, et le Calcul de V effet des machines de CorioUs.

18. Principe de Camot, Ce principe, ou plutôt ce théorème, démontré par Camot, en 1783, dans son Essai sur les maehinesj est présenté ici sous la forme suivante, en vue de ses applications :

Toutes les fois quUl survient un choc entre deux pièces d'une machine tellement constituées que la déformation de ces pièces persiste pendant toute la durée de leur contact, le travail perdu par cette déformation pour l'effet utile de la machine s'obtiendra en retranchant la demi-somme des forces vives des deux pièces après le choc de la demi^ somme des forces vives dont elles étaient animées avant le choc (Voy. pag. 327, 793, 1090 et 1122).

19. Applications. A est un axe fixe horizontal, traversant en A le corps quelconque AG; on éloigne le centre de gravite G de celui-ci d'un angle 0 à partir de la verticale A y, puis on l'abandonne à l'action de son propre poids, et l'on demande la loi de son mouvement.

MÉGANIOUE (principes généraux). 1143

Faisons passer deux

plans rectangulaires ^.A^^^ M,

se coupant suivant Taxe A, F un horizontal Âxy Tautre YerlicalAy et soient:

"^ le poids du mètre cube du solide A6 supposé homogène;

ïtj^jj... les volumes des différents points matériels du solide ; y

P1P2P3... les plus courtes distances respectives de chacun d^eux h

Taxe fixe A; PiPjPj... les poids respectifs ntq^ ^q^ '®'Î3«*' ^^s volumes partiels; ith^by.. les bras de levier respectifs de ces poids par rapport à

Taxe fixe -,

(à la vitesse angulaire du corps à un instant quelconque ;

F|+Fa + F3+- • • =y^ j?iPi+?2P2+?3p3+. . .) (6)

seront les forces effectives ou plus exactement les forces d'inertie du système relatives à Faccélération -- de sa vitesse angulaire ^

Et la somme de leurs moments par rapport à Taxe A est évidemment

~7^|îlPi' + ?2P2'+93p8*+- ..}.... (7)

De leur côté, les forces mouvantes on imprimées sont les poids PiP2P3* • • • des diverses molécules, et leurs moments de rotation autour du même axe sont Piii + P2*2'f"p3*3~f'/ • •» de sorte que, en vertu du principe de D^AlemAerty c'est-à-dire, au fond, en écrivant que la somme des moments des poids mouvants est à chaque instant égale à la somme des moments des forces d'inertie, cette condition d'équilibre sur le système nous fournit l'équation fondamentale de la question

1 144 MÉCANIQUE (principes généraux).

Or la parenthèse du premier membre est le moment d'ineetib de volume r du solide pris par rapport à Taxe A ^ de sorte que, si on désigne par 2 la somme de tous les termes semblables^ ou a

di^ g , 2(pfe) j^ S(p6)

c^est-à-dire que Taccélération angulaire est à chaque instant égale à la somme des moments des poids partiels divisée par le moment dMnertie de volume du solide pris par rapport à Taxe A, le tout

multiplié par -^.

Appelant D la distance à l'axe fixe du centre de gravité G, Q l(^

volume total du solide, P son poids total, M = - sa masse totale,

Ij son moment d'inertie de masse par rapport à l'axe A , et remarquant que

-r = I, ou Fz=ll, (io)

on a pour un instant quelconque où la droite AG^ qui passe par l'axe fixe et le centre de gravité, après avoir balayé l'arc (9— a) doit encore parcourir a pour parvenir au plan vertical A y

'a^QDsin.a = PDsin. a = S(pi) (n)

d'où, pour l'accélération angulaire à ce même instant

dià i/QDfiin.a M^Dsin.a PDsio.a

dJ F— =~T— = — 77- 02)

Mais i»)dtz= — da est le petit chemin parcouru dans le temps dt par un point de AG situé à l'unité de dislance de Taxe A et qui tend à diminuer l'arc a. Multipliant cette équation par celle qui la précède, on obtient

iùdio= j7-sm.arfaz=— — sin.ttda. . - . (13)

intégrant entre a = 6= angle de plus grand écarlemenl et où la vitesse angulaire est supposée nulle, jusqu'à ol= a = valeur de 1 angle que AG doit encore balayer pour arriver au irfan vertical, à l'instant que l'on considère, il vient

|IiW* = PD(cos a— cos.O) /|4)

et pour la valeur de la vitesse angulaire acquise à ce même instant

(pag. 25 i)

co

— ly^^sQ^ico»'^ — COS. êj î/'Àg M L) (cpg. a — c^TO) .^^n

MÉCANIQUE (principes généraux) . 1145

Or le principe des forces vives (iâ) nous aurait immèdiatcmeiit foarni Téquation (14) ou Fégalité numérique entre la demiforce vive \ I| oi^ aecfuise par le corps tournant et le produit de la force et du poids P par le chemin (Dcos.a — Dcos.O) décrit dans sa direction propre par le point d^applicalion G de ce poids ^ de sorte que h principe de D^AIembert, né du problème qui nous occupe^ ne conduit à sa solution que par une Yoie moins directe; et 1 c'est ce que Ton aura Foccasion d'obscryer dans une foule de questions.

Si Ton demandait Pintensité R de la résultante do toutes les ibrees d'inertie à un instant quelconque^ et la plus courte distance L de sa j

' direction à Taxe A, on écrirait l'équivalence des moments

RL=— S(^û*) — = 1, — (16)

g ^^^ ^ dt ^ dt ^ ^ j

«^ diû

Décomposant la force d'inertie tangentielle (91^1)== -«^iPi —

d'une molécule quelconque q^ parallèlement aux deux axes Axky; remarquant que la direction {q^ n J de cette force, par rapport à Taxe des X, est la môme que celle de p^ par rapport à celui des y, puisque les deux premières lignes sont perpendiculaires aux deux dernières, 00 aura en appelant x^ y^ les coordonnées AM| AN^ de la molécule jTi

y, = Pj cos.g^ AN, d'où cos.gjAN| = ~

X| = p, COS. 2 AM, d'où COS. JAM^ = — eLpour la composante

suivant les it. . . — ^iPi -r- — = — ïi T"

\g ^'^' dt) p, 9 ^' dt

, [*t9- d(ù\ X. p, du)

et suivant les 1/ . . . — aiP, -r- — — -^^i t^

* \9^^^' dtj Pi 9 ^ dt

Raisonnant de même pour tontes les molécules, ^ appelant F^ F^ les sommes des composantes des forces d'inertie suivant le plan des xet celui des y, X' Y' les coordonnées du centre de gravité G par rapport aux mémos "plans, il vient

do. do. ■ ^''^

1146 MÉGANIQUE (principeê généraux),

ei remarquant qae D^ =: X'^ 4* ^'* 9 ^^ obtient

R=l/T7TÏ7=-?l^Y'M=X^*=-D^ (20)

* ' ' g di ' g dt ^ ^

Ainsi, PiDiensilé totale R des forces d'inertie est la môme que si la

P masse totale - était réunie à son centre de gravité.

Quant à la distance L de son point d'application à Païc^ on Tobtiendra en mettant celte valeur de R dans Téquation (16), et il viendra

''=è=ïï5 • c^'^

donc le point d'application de la résultante des forces d^inertie tangentielles ne passe nas par le centre de gravité. Il est situé à une distance L de l'axe ae rotation qui est précisément le centre d*08ciU latiùn du corps (page SSl), distance égale au moment d'inertie de masse divisé par le produit fait de la masse totale et de la distance de son centre de gravité à l'axe fixe ; et pour s'assurer que la direction de la résultante R est en effet perpendiculaire à L , appelons t l'angle inconnu de son inclinaison sur l'axe des x -, quel que soit cet angle, on aura toujours

Rcos.t = F. Rsin. t=:Fy

d'où tang. 1 = -- (22)

Mais en vertu des équations (19)

=^ = r^ = tang. a; donctang.t = taDg. ttett = a. . (23)

Ainsi, l'angle 1 formé par la direction de R avec l'axe deux, est à chaque instant égal à l'angle a compris entre l'axe vertical et la droite D qui joint l'axe fixe A au centre do gravité G. Mais la perpendiculaire à cette dernière droite AG a précisément la même inclinaison sur l'axe des x, donc R est elle-même perpendiculaire à la direction A G.

Si l'on développait le problème sur lequel on n'insiste pas plus longuement ici^ où il n'est introduit que pour montrer l'application des principes posés ci-dessus, on arriverait à ce théorème général :

Toutes les forces centrifuges d'une tranche plane perpendiculaire à l'axe de rotation se composent en une seule résultante f

Cette résultante est celle qu'ion obtiendrait si Von supposait toute la masse de la tranche réunie d son centre de gravité;

Toutes ks forces tangentielles de la même tranche se composent iga-