MAXIMUM - MINIMUM

d'où rèialte xz^i; xz=z 3 et as s:3 pottr les valears qui peuvent rendre la fonction maximum ou minimum. Sobstitnant U>ar i tour chacune de ces raciaes dans le coefficient différentiel du second ordre

aucune ne le fait évanouir, et les résultats correspondant à

ont respectÎTement ponr signes

donc , le coefficient étant d'ordre pair,

âP = 2 rend la fonction y maximum et = ^ X = 1 on 3 rend y minimum et = 1

La régie suivante , qui revient au fond k la première , paraîtra peut-être plus facile à saisir : !<> cherchez la valeur de x qni rend

dy ' ^ ^

— = à zéro; 2'' substituez cette valeur a de a; dans l'expression

Si le résultat est négatif | f maximum

Si le résultat est positif j ( mmimum

S'il est zéro , a ne rend y ni maximum ni minimum « à moins qttc j^ ne soit en même temps zéro. Alors tout dépendra du signe

de — , et amsi débite.

Et le même procédé /étant appUqaé k chacune des radnes fournies par — = 0 , on obtiendra tous les maximums et les minimum$.

Si — = 0 ne donne pas de racines réelles, la fonction proposée n'a ni maximum m mimmam. Elleerolt et décroît ad infinitum. Soit y=aî* — 7a?*-f 19ir« — 25aî* + 16^ + iO;

— = 5«^— 28aî* + 57 05* — 50 X + 16 ^= 0 a pour racines i , i ^ 2 , 1 ^

Maintenant, on a

MAXIMim - MINIMUM. 1 133

qui devient zéro pour a; ?= 1 . Donc a? = 1 ne donne ni maximum,

d'y ai minimum^ à moins que ~ ne soit zéro, ce qui n'a pas lieu.

dx*

Mais prenant a?=2» le coefficient du second ordre devient ( — i), donc cette valeur de x répond à un maximum, et soumettant Il racine 1 1 ta même procédé, on obtient encore an résultat semblable.

Soit eseore y = a5' — 18»*+ 96x — 20

^=3x'— 36a5+96=0 dw '

donne poar raeioe x = 4 et â?=s:8, orr-^ = 6a; — 36.

dx*

Ici, U racine 8 rend ce coefficient differeotiel positif^ et la racine 4 le rend négatif» donc la première répond à un miaimufla, et la seconde à un maKioium.

On trouverait encore que la fonction y = ^ 2px n'est susceptible

oi de maximum, ni de minimum, puisque ~ =r: r,L — ne peut être rendu nul.

tf r=: ^ . , devient maximum et = { pour x=^i , et minimum

et s= (— I) pour X = ( — 1).

Les règles dont on vient de faire Papplication sont justiBécs par la théorie suivante, imperturbablement reproduite depuis plus d'un siècle par tous les auteurs, j compris Lagrange (Calcul des fancttonê, p. 442) , et qui paraîtra peut-être plus adroite que lumineuse et convaincante.

Supposons, dit-on, que y soit en général une fonction de rc et de & que nous représenterons par f{x-^h)f et qui soit telle quelle devienne f(x), dans le cas du maximum ou du minimum de y ; c^esl évidemment supposer^ quel que soit le signe de h, que dans le cas do maximum, on a

f(x-\-h)<f[x) ou /(a:-f&)-/(a:)<0, OQ enfin /(^+*)-^/^(«) «égatif,

et pour le cas du minimum, quel que puisse être le signe de A ,

f(x + h)>f{x) ou f{x + h) — f(x)>0, ou enfin f(x -\-k) — f(x) positif.

1134 HAXUIIIH - MINIMUM.

Or la SBEiB de Tajior donne pour le développement de

dx'î^ dx^ 1.2 "^ dx' 1.2.3 "^ ds? ' 1.2.3.* ' * ^" * '

Ce développement devra donc être toujours négatif dans le cas du maximum, et toujours positif dans le cas du minimum , quels que puissent être la valeur et le signe de h , que Pon suppose a'ailleurs une quantité indépendante de x.

Or on prouve, à TarticleSi^ne^ qu'on peut toujours donner à h une valeur assez petite pour que le premier terme de ce développement surpasse la somme h de tous les termes qui le suivent, et pour que dés lors il impose son propre signe au développement total. Mais il est visible que ce premier terme change de signe avec la quantité h qui n*7 entre qu'à la première dimension. Donc il serait impossible que le développement fAt eomiammeni négatif comme l^exige le maximum, ou constamment positif comme l'exige le mîiiimam, quet que puisse être le signe de & » si le premier terme ne disparaissait pas. Donc il disparaît » et la condition commune au cas du maximum

diÊ

et du minimum devient -p =: 0. Cette condition remplie, c'est-à-

dire le premier terme du développement ayant disparu en décelant les seules valeurs de x qui puistent fournir des maximums ou des minimums, on prouve par un raisonnement tout à fait analogue à celui employé plus haut, que le second terme du développemeoi pourra toujours imposer son propre signe à la somme de tous ceux qui le suivent. Mais ce terme étant d'ordre pair, le signe de A,

(T'y h* quel qu'il puisse être, ne changera pas celui de j-; ' rô '^^ ^ '^^