FOIN. — FONCTION

seDtcraient aocun danger, et ils décideraient nettement la question sans appel. Les essais au creuset brasqné n'enseignent rien ni sur ]a nature ni sur la proportion des fondants à employer dans un hautfourneau, et les docimasistes qui préconisent ce mode dVssai confondent deux appareils qui n^ont entre eux qu^une ressemblance fort éloignée.

FOIN. Dans une note intéressante, publiée en 1848, M. le colonel A. Morin a montré comment, à l'aide de presses convenablement manœuvrées, les foins gros et durs pouvaient être condensés au point de peser, hors de presse^ 350 kil. le mètre cube, et les foins tendres, 4iO kil. ; il calcule que la main-d'œuvre, les bandelettes de fer, les

boulons,planchettes, et l'entretien des presses, porteraient, en France, le prix du pressage à 0 fr. 75 par quinlal métrique de foin amené à la densité ci-dessus. Celte extrême densité diminue notablement les frais de tranports des foins, soit par mer, soit par les chemins de fer; elle réduit, à peu près au quart, la capacité des m igasins destinés à leur conservation, et dans une proportion correspondante les dépenses de construction. Enfin, des expériences dirigées par M. Morin, et faites sur une grande échelle, ont montré que, soumis à cette grande compression, les foins ne brûlaient plus qu'à la surface des bottes, presque sans flamme, et que, même a près une heure de feu, une pompe à incendie pouvait, en quinze à seize minutes, éteindre la combustion do 2000 kil. de foin.

La ration d'un cheval étant d'enyiron 5 kil. de foin par jour, on voit que son approvisionnement, pour une année, peut être réduit & un volume de 5 moires cubes. A Tétat de bottes ordinaires, lo foin, empilé dans les greniers, ne pèse que 80 à 90 kil. le mètre cube; en petites meules de 6 à 7000 quintaux métriques, 76 kil.; en meules deux fois plus considérables, 92 kil, (Voyez note sur le pressage du fain^ par A. Morin.)

FONCTION. De quelque manière qu'une quantité x déponde d'autres quantités p q...., on dit que x est /onction de ces quantités, et Ton exprime, en général, cette dépendance par des notations de ce genre :

^=f(Pfi") «=F(p>3-) «=?(p»g..)

/*, F, cp indiquent des fonctions différentes les unes des autres; des modes de dépendance distincts de mêmes quantités.

a:=/(m,n) ttz=f{p,q..)

indiqueraient au contraire que les quantités x ei z dépendent de la même manière de quantités différentes m et n, pci q, x ei z sont la même fonction de quantités différentes.

FONDATIONS ou FONDEMENTS. 771

m* — 2 f»n -f- 1 est dite fonctt'on implicite de m et fi > parce que ces quantités sont mêlées ensemble.

Au contraire, m=r:nrb ^n* — l serait une fonction explicite de n, ' parce que les inconnues sont séparées.

Les fonctions sont algébriques, quand les calculs ne comportent que des opérations d^aigèbre^ jusques et j compris les extractions de racines.

Elles sont transcendantes, quand elles renferment des logarithmes, des exposants inconnus, des sinus des cosinus^ etc., etc. On n'énonce ordinairement^ dans une fonction, que celles des lettres qui y entrent auxquelles on veut avoir égard, d'après le but qu'on se propose.

FONDATIONS ou FONDEMENTS. Bases souterraines et artificielles d'une construction, destinées à assurer la parfaite stabilité de celle-ci. En général, ce l)ut sera atteint : l"" lorsque le sol sur lequel les fondations reposent sera par lui-même résistant et incom- I)ressible, ou aura été rendu tel -, 2** lorsque les résultantes de tous es efforts supérieurs couperont successivement tous les lits de la fondation, sans en éviter aucun, et ce, on dedans de sa propre masse; 3* lorsque, enfin, les directions de ces résultantes successives for me-» ront, avec les normales à ces lits et au sol, des angles plus petits que les angles de frottement ou de glissement des matériaux en contact. On verra, au mot 5^a6}7iV^, comment les matériaux, dans toute construction, peuvent être disposés pour satisfaire à la deuxième et à la troisième condition; nous ne nous occuperons ici que des moyens pratiques usuellement employés pour fonder.

Etude du souS'SoL La reconnaissance du sons-sol s'opère^ soit par des sondages, soit par des puits, soit par des tranchées, poussés en profondeur jusques aux terrains vierges. Il ne faut pas négliger d'y joindre les renseignements que Ton obtiendra toujours facilement des ouvriers et des habitants de la localité, sur le genre de défauts de ces terrains, ainsi que sur les divers moyens qu'on aura pu em-* ployer pour y porter remède; il conviendra d'ailleurs de contrôler ces renseignements par un examen attentif de l'état des plus an^ ciennes constructions locales. La reconnaissance matérielle du sous« sol doit toujours s'étendre en surface un peu au delà des limites du projet; et, si ee projet avait une grande importance, il serait prudent dti s'assurer, par quelques trous de sonde poussés à une bonne pro* fondeur, s'il n'existe point de bancs d'argile ou de marne au-dessous du roc ferme qu'on aurait d'abord rencontré.

Le terrain étant résistant et incompressible, du roc dur par exemple, on creuse la tranchée des fondations de la profondeur et de ia largeur fixées au projet, y compris l'empattement; on enlève les parties supérieures du roc qui auraient pu être décomposées par les eaux pluviales. — Ou pique le roc vif à coups de marteau tètu^

774 FONDATIONS ou FONDEMENTS.

enfiû, si le terraîa est très-mauvais, où pourra encore ficher^ dans les aogles de chaquecellule du grillage^ un ou deux pieux de remplagc diagonalement posés. Alors on remplira les cases de gros quartiers de pierre, puis 'd'une bonne maçonnerie, sur laquelle on s'établira définitivement. Quelques praticiens recommandent encore de couvrir le grillage par une plate-forme de madriers jointifs qui sert alors de base à la fondation ; d'autres considèrent cette dépense comme inutile quand le terrain est assez sec.

Le terrain étant hanté par les eaux vives, on établit un batardeaa autour de Tenceintedes fondations.et si le sous-sol n'est pas perméable, on fait la vidange des eaux et l'on fonde d'après la nature du soussol. Si les sources viennent du fond, on les étouffe en y jetant des boules d'argile sècbe mêlées de pierres ; — des sacs remplis de glaise; — de la chaux maigre vive, mélangée de mortier, et ces moyens ne réussissant pas, on drague le fond, on le nivèle, et l'on étouffe les sources par une couche de béton d'une épaisseur suffisante, étendue sur toute la surface du fond. Si Ton craignait l'irruption des eaux du dehors et rafTouillement du pied de la fondation, on le contre-garderait par des pilots et palplanches de bordage, en avant desquels on établirait encore un parafouille en béton et en enrochements.

Les murs qui peuvent être affouillés par le pied, les murs de quai par exemple, s^élablissent habituellement sur un grillage en bois de chéoe, porté lui-même par de longs pilots^ dont la rangée extérieure est inclinée vers le dehors. Ces pilotis sont eux-mêmes protégés par un enrochement^u'on rechange jusqu'à ce qu'il cesse de s'affaisser.

Le terrain étant couvert par les eauXy la fondation devant être celle d'une pile de pont par exemple, voici, d'après Perronnet, le résumé des opérations à exécuter :

Planter autour de la base de l'ouvrage à fonder, et à 4°* de distance, la file intérieure des pieux de balardeau, au moyen de sonnettes portées sur des radeaux; — planter une file parallèle à la première à une distance telle que, en nommant D cette distance et (3 -j-m) mètres la hauteur d'eau à supporter, on ait D=:3-f-0. 32m. Les pieux de batardeau doivent être enfoncés au refus de 0°>.035 par volée, pénétrer de 1™.50 et être espacés de 1^^.30 -, — réunir ces pieux par des liernes et des entretoises ; — placer des panneaux dans l'intérieur des files et renforcer les panneaux à mesure que le draguage avance; — remplir le coffre du batardeau de terre franche ou de terre végétale^ mélangée de ~ de chaux hydraulique en pâte ; — placer les machines à épuiser, et disposer des auges en bois pour l'écoulement des eaux ; — faire l'épuisement; — déblayer le terrain vaseux et trop mobile; — enfoncer les pieux de fondation; — les recéper à la hauteur convenable ; — poser le grillage; — en remplir les cases de terre grasse, de maçonnerie sèche, de maçonnerie hy«

FONDATIONS ou FONDEMENTS. 775

draulique ; — clouer la plalc-forme -, — élever les fondations jusqu'au niveau des hantes eaux ; — démolir le batardeau (voyez Ardant^ Coun de conitruciion).

Les épuisements étant parfois trop dispendieux^ parfois même impossibles, on fonde, sans épuiser, par diverses méthodes dont robjet général consiste à relever le plan de la fondation proprement dite. On atteint ce bot tantôt par un massif de béton, tantôt par un pilotis avec enrochements intercalaires. M. Deschamps, au pont de Bordeaux, a de plus assuré la stabilité individuelle des pilotis enrochés de chaque pile par un enrochement général courant d^une pile i^Tautre^ tout en travers du fleuve et, avant de procédera la construction des arches, il a chargé chaque pilotis d'un poids d'essai de beaucoup supérieur aux charges permanentes et éventuelles qu^il devait porter. Enfin, on fonde encore à Taide de caissons en charpente, bien calfatés, qu'on échoue sur place, en élevant la maçonnerie des fondations sur leur propre fond comme sur une plate-forme ; mais je renvoie aux mémoires spéciaux des Labélie^ Decessart^ Perronet, ctc.^ pour le détail de ces méthodes.

Fondations sur sable. Elles conviennent aux mauvais terrains, à la condition qu^ils ne soient pas hantés par les eaux vives. On creuse la tranchée, y compris un bon métro de largeur d'empattement; on la remplit de sable qu'on tasse parcouchede niveau de 0°>.20 à 0"^.30, la profondeur totale de la couche de sable devant avoir 1*^,50 k 2\00. On Timmerge pendant trois jours; et, quelquefois, on recouvre le tout d'une plateforme en boii^. A l'hôpitiM de Baronne, on n'a point fait usage d'une plate^forme, et les premières pierres de la foodalion ont été posées sans mortier sur le sable recouvert de 0«'.û3 i 0°i.O4 d'eau. Le radier de sable avait 2 mètres de profondeur, il dépassait Taplomb des murs de 1">.50, et la tranchée a été remplie d'eau avant qu'on j jetât le sable. Quelques fissures se sont déclarées dans les bâtiments, la partie de droite a tassé de 0°s04 à 0°>^06, ce

!|nia donné naissance à une lézarde qui a obligé de reconstruire six enétres de la façade. (Voyez les Mémoires de MM. Moreau et Nid dans le Mémorial du génie).

Les bassins des réservoirs d'eau de Tavenue de Ménilmontant ont ijfaleraent été fondés sur sable par M. Mary. Le massif de sable d'une profondeur de 2'". 50 a été bien humecté et brassé à mesure

]u'onle posait; ilest, en outre, contenu par des murs en maçonnerie e moellons de 1 mètre d'épaisseur, descendus à 1 mètre en contrebas de la couche de sable.

Il doit paraître évident que, dans la pratique, on ne rencontrera pas toujours des terrains rentrant exactement dans les classifications que nous avons admises. Il y aura lieu alors de combiner entre eux les divers procédés^ que nous avons sommairement rappelés, suivant

la nature complexe des sols, de les modifier même au besoio, en tenant compte de la qualité des matériaux dont on peut disposer, de la durée présumée de la construction, de sa destination, du temps alloué pour fcdilication et surtout de la dépense. «Ce n^est que sur « les lieux, disait trcs-sagement Bélidor, qu'on peut s'apercevoir (( des diiïcrcntes pratiques dont on sera obligé de se servir, et alors (( la nécessité, avec un peu de génie, fournissent mille mo^^ens pour (( surmonter les obstacles à mesure quMIs se présentent. Si je voulais ce rapporter toutes les différentes manières de fonder, selon les « occasions qui se peuvent présenter, je ne finirais jamais. »

FORGES. 1. Efforts dont l'intensité est toujours mesurable par un poids, et exprimable dès lors en kilogrammes.

2. L'exercice d'une force implique nécessairement la réaction d'une autre force contraire et précisément égale; ce que Newton exprimait en disant que l'action est toujours égale et de signe contraire à la réaction. Pour qu'un ressort puisse être pressé par une force de dix kilogrammes, il faut bien que son élasticité réagisse en sens contraire avec le même effort; — et, lorsqu'un corps suspendu à un fil a déterminé la rupture de celui-ci, quelque grand que le poids du corps puisse être, il ne saurait avoir exercé sur le fil un effort supérieur à celui qui suffit pour le rompre.

3. Le principe de l'action et de la réaction est tout à fait général ; il s'applique donc encore au cas où une seule force agit sur un corps entièrement libre d'ailleurs, mais la réaction du corps est alors ce quW nomme sa force d*inertie,

4. Loi de Vinerlie. L'inertie est cette passivité de tous les corps en vertu de laquelle ils tendent à conserver éternellement et la grandeur et la direction de la vitesse qu'ils ont une fois acquise, nul corps purement matériel ne pouvant de lui-même modifier son état de mouvement ou de repos. Toute modification dans l'état ou le mouvement actuel d'un corps, toute variation dans l'intensité ou la direction de sa vitesse suppose donc l'action d'une force; l'intensité de la réaction ou résistance que son inertie oppose à cette variation, est précisément la force d'inertie du corps {vu insita), et, comme toutes les autres forces, elle s'exprime en kilogrammes.

5. La force d'inertie ne préexiste pas dans le corps qui va réagir contre l'action d'une force modificatrice; elle ne se développe que sous l'action de celle-ci, et l'intensité de l'une croit alors en mémo temps que celle de l'autre. Prenons pour exemple le cas du choc de deux corps libres, dont l'un serait au repos^ les forces d'inertie, mises enjeu à partir du moment du contact, pourront être justement assimilées aux tensions d'un ressort interposé entre eux; par Tune do ses extrémités, ce ressort opposerait aux pressions différentes ot successives du corps choquant des réactions précisément égales à leurs

mtensités, réactions qai naîtraient, grandiraient, diminueraient et s'éteindraient avec cellea-ci ; par l'autre extrémité, le ressort transmettrait ao corps choqué les mêmes efforts qu'il a détruits dans le €orps mobile, de sorte que le ressort ou l'inertie est comme le canal par lequel les forces du corps choquant s'écoulent dans le corps choqué, et l'animent progressivement aux dépens de Tactivité da premier.

6. 141 durée de la trammùsion des forces n'est jamais nulle ; un temps quelquefois très-court ( 28 ) , mais toujours apprécia1)le , s'écoule entre Tiostant où une force commence à agir sur un corps matériel et celui où le corps obéit; et les forces imtantanéei sont des fictions que des ingénieurs n'ont jamais à considérer que comme des concepts qui peuvent quelquefois faciliter et abréger les démonstrations.

7. Mouvemeni uniforme. Si nous suivons le corps choqué du § 5, i partir da moment où toute action, et dés lors toute réaction, ont cessé entre lui et le corps choquant , et si nous le supposons alors entièrement libre, il paraîtra évident que, ne pouvant modifier de lai-méme ni sa direction^ ni la vitesse qu'il a acquise, il devra se mouvoir éternellement en ligne droite avec cette même vitesse que nous appellerons u , c'est-à-dire qu'il tendra à parcourir toujours des espaces égaux x dans des temps égaux i, de sorte que son mouvement ultérieur, nécessairement uniforme, serait exprimé par les relations

8. Vitesse. Nous appelons proprement viiesse d'un mobile, la longueur, le chemin rectiligne exprimé en mètres^ qu'il (end k parcourir en une seconde.

Dans le mouvement uniforme, la valeur de la vitesse est donc le quotient da nombre quelconque x de métrés que le corps libre décrira en un nombre I de secondes, divisé par ce nombre t; et un mouvement uniforme ne se distingue d'un autre mouvement uniforme qae par la grandeur de ce quotient.

Le rapport — restant constant dans un même mouvement uniforme, quelque grands ou quelque petits que soient les temps et les espaces correspondants, on peut encore prendre pour l'expression

'dx

générale de la vitesse dans ce genre de mouvement le quotient ■j-

de Tespace dx que parcourra le mobile dans l'élément du temps dt, divisé par cet élément, et poser

u = — d'où dxzrzudt. . . dl = -^ . . . (2) dt u ^ '

9. Mouvement varié. On dit que le mouvement d'un mobile est yarié, lorsque la durée de ce mouvement étant partagée en instants égaux et infiniment courts dt, les espaces de, de' y de'\ . . qu'il tend à parcourir pendant chacun de ces instants successifs, sont inégaux. Un mouvement varié n'est donc rien autre chose qu'une succession, parfois très-rapide, de mouvements uniformes différents, et, dès lors, pour chacun de ces instants di, les vitesses du mobile ont la même expression générale que ci-dessus (2)

de , de' ,. de''

dt dt dt ^ ^

10. Loi de la proportionnalité entre les forces et les variations de la vitesse. Lorsqu'on même corps est successivement soumis pendant des temps égaux à l'action de deux forces d'intensités difFérentes, les accroissements de sa vitesse sont proportionnels aux intensités des forces. Cette loi, qui parait avoir été entrevue ou soupçonnée par les anciens^ a été mise en évidence et complètement démontrée par les expériences de Galilée, vers l'année 1638.

Le mode d'expérimentation de Galilée consista à laisser descendre le long de plans inclinés, de 5 à 6 mètres de hauteur, des sphères d'une grande densité. Quoiqu'il n'eût à sa disposition que des moyens assez imparfaits de mesurer le temps, bien que la résistance de l'air, le frottement de roulement et la rotation même des sphères contribuassent à masquer la loi du mouvement, son génie sut opposer Pune à l'autre ces causes d'erreur, les atténuer, en tenir compte, et saisir enfin la loi du phénomène qui est devenue depuis la base fondamentale de toute la mécanique. On savait déjà, au temps de Galilée, que la force qui tond à faire descendre un corps le long d'un plan incliné égale la fraction du poids P de ce corps

exprimée par le rapport -y de la hauteur à la longueur du plan. Indépendamment de toute théorie antérieure, une expérience aussi facile et aussi incontestable qu'une pe^e ordinaire eût d'ailleurs démontré le fait. Il suffisait donc, pour faire varier la force mouvante d'une sphère d'un poids connu, de faire varier l'inclinaison du plan le long duquel elle descendait; de sorte, par exemple, que les forces mouvantes étaient successivement un dixième, un vingtième, un centième du poids de la sphère, lorsque les longueurs du plan incliné étaient égales à dix fois, vingt fois, cent fois sa haulenr, la force mouvante étant nécessairement constante pendant toute la durée d'une même descente, aussi bien que le poids à mouvoir. Ses expériences le conduisirent au résultat suivant, pour toutes les inclinai* sons des plans, pour toutes les intensités des forces mouvantes el résistantes, et pour toutes les durées du mouvement :

\i. Le$ espaces parcourm sous Vacticn continue d'une force conrsUmie sont praporiionneh aux carrés des nombres de secondes écoulées depuis le comtneneement de la descente.

A la fin de la première seconde, F espace parcouru e#/ 1 y -.

La Taleur de la constante g a été déterminée depuis avec pins d'approximation qu'il n'était permise Galilée de le faire, et trouvée égale à Qo^.SOSOe par Borda, à la latitude de Paris.

12. Il est facile de voir qae la proportionnalité entre les forces e( les accroissements de vitesse résulte de cette loi.

Soient en effets h et l, A' et F les hauteurs et longueurs respectiTes de deux plans inclinés différents, sur lesquels un même corps de poids P descend successivement, en partant du repos. Soient encore e, e' les espaces parcourus par ce corps sur chacun de ces plans, après un même nombre de secondes t-, désignons enfin par F et F' les forces constantes qui agissent sur le poids P, pour le faire descendre le long des plans, nous avons

l?p* ITf D*' F A F' h*

*=F-; F '= P — ou — =-: — = —

et les expériences de Galilée donnant directement pour les espaces parcourus

e=\gtt' . . . (3). . . . y — \gj^t' il vient, par substitution

«=fJf <* • • • (*)• • . • ^' = ï9y^^'

Ces relations ayant lien, quelque petits que soient les temps et les espaces, on a (i) après un temps t quelconque, en passant aux limites

dt V ' ' ' ^ ^' ' ' dt P

dv = ?-^dt . . . (6). . . . rft?'=^d/ d'à dv gV , . dV dv' , y F'

13. La relation (6) démontre donc que la loi de la proportionnalité entre les forces constantes F, F' et les accroissements de vitesse dv , iv qu'elles font naître dans le même corps, pendant un même élé-

ment de temps dt , n'est point une hypothèse scientiBquè, mais

Ïu^elle se dédait par le raisonnement de Pexpérience elle-môme, ont les praticiens ne récusent pas du moins les enseignements.

14. En soumettant à des forces mouyantes égales F' = F des sphères de poids différents P P' pendant un même temps S, ce qui revient à laisser descendre les sphères P P' pendant ce même temps, le long de deux plans inclinés, tels qu^on ait

F = -P=: — P'=:F' on - = - et — r= —

on obtiendrait, en raisonnant comme ci-dessus,

^ — p • • • W- • — «^ 77~Y — pT

15. C'est-à-dire que, lorsqu'une même force constante F agit successivement sur deux corps de poids différents j elle leur imprime^ dans Vilement du temps Ai j des accroissements de vitesse du, du^ qui sont en raison inverse de ces poids P' P.