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d'où
V=i^(xf W
20. Allongement d'un prisme vertical tiré dans le sens de sa longueur par un effort P^ en tenant compte du poids propre du prisme. Moient :
X ano longueur quelconque du prisme comptée du point de suspension ; x\ ce que devient cette longueur par l'effet de l'allongement ; L la longueur primitive du prisme; L| ce que devient cette longueur après l'allongement; p le poids par mètre courant du prisme ^ A sa section -,
p (L — x) sera évidemment le poids de la partie du prisme qui, outre l'effort P, agit sur l'élément de longueur dx^ l'allongement absolu que subira cet élément sous l'influence de l'effort et du poids sera donc (3):
ÂÊ ^^^
d'où Ton conclut que
dx,^dx+ j^ -dx^i-^ — ^J (10)
1410 BÉSISTANGE DES MATÉRIAUX.
Intégrant depais a; = ojasqa'à a; = L, on obtient poar la va* leur de L^ :
21. Si PefTort P tendait à refouler la barre de bas en haut, il faudrait lui donner le signe négatif; et si cet effort était alors équivalent à la moitié —- du poids do la barre^ on aurait L|=L,
c'est-à-dire que la tige ne subirait aucun allongement.
22. OêdUations verticàUs d'wM tige élastique ou d'une corde de longueur primitive h, et d'une section A portant un poids P suS' pendu d son extrémité inférieure.
On néglige la masse de la tige.
Soient S le point fixe de suspension^ B G = -
l'allongement permanent que le poids P produirait sur cette tige^ ce qui suppose (3) :
SL
et soit G la position fixe que conserverait le centre j^ du poids P ou Tcxtrémité de la tige sous l'in- j fluence d'une force sans inertie d'une intensité | égale à P. |
Imaginons que^ le centre du poids occupant le point G; une nouvelle force extérieure soit introduite dans le système et fasse parcourir à Pextré^ mité G un nouveau chemin GD=(?; puis, que cette extrémité D soit alors abandonnée à ellemême ainsi qu'à Taction du poids P qui lui reste attaché.
Soit enfin O une position quelconque de l'extrémité de la tige ou du poids P qu'elle porte pendant l'une quelconque de ses oscillations (§ 16), ctCO=a:,
On aura à cet instant^ savoir :
--fa? pour rallongement absolu de la tige;
AE
f 5 + »] pour Tcfforl qui rendrait cet
allongement stable ou permanent (3), ou pour la réaction de la tige à cet instant;
JD© -'
BËSISTÀNGE DES MATÉRIAUX. 1411
~ [^ + »] ~ P pour Texcès de la réaction élastique de la
tige sur le poids P ou pour l'efTort dirigé de bas en haut qui reste disponible dans le système à cette période de rallongement. Or, en vertu de la valeur (12) de P, cet excès ou effort disponible se réduit à
Son action sur la niasse - variant comme la distance x du point
Oau point G, la durée des oscillations de l'extrémité O de la tige est indépendante de leur amplitude, et cette extrémité s^éloigne dès lors de part et d'autre du point G à des distances égales
dans le temps t qu'un pendule simple d'une longueur - = Yv ^^^' Irait à accomplir une oscillation complète (page 1253); donc
Si l'on désigne par L^ la distance de la suspension S au centre G des oscillations, on aura donc, en mettant pour ^ sa valeur
23. Supposons maintenant que le poids P vienne d'atteindre précisément la plus haute position d^ de sa première oscillation, où il est dès lors en repos au moins pour un instant, et imaginons qu'à cet instant même un second poids Pj soit ajouté au premier poids P : une seconde série d'oscillations va évidemment commencer autour d'un nouveau centre C^, centre dont la distance SC|= L, à la suspension sera exprimée par
r=:L = ^ï±Ml (15)
