AE

de sorte que la distance ce, des deux centres devient (page suivante)

et le plus grand abaissement C^ Di = d^ C^ au dessous du nouveau -«ntrc C, correspondant à la seconde oscillation devient lui-môme

çal à la distance de C| au point d^ où celte oscillation a com-

lencé. Or

1413 BÉSISTANGB DES MATÉRIAUX.

L'amplitude totale H^zi^d^B^ de cette seconde oscillalion est donc

24. Supposons encore que le poids P^ soit anéanti au moment môme où il atteint le point le plus bas D^ de la seconde oscillation ; une troisième série d'oscillations va commencer, mais de même que la première^ elle s'accomplira autour du premier centre C, dont la distance L. à la suspension S est ]l { déterminée (14), et le poids P seul, à la fin de ;'[ la troisième oscillation, aura remonté au-dessus de G d'une quantité Cd^=:CD^ , de sorte que l'amplitude totale de l'oscillation sera (1 7) et (1 6)

= 2CD,= 2[C.D. + CC.]=2[c-|-?|^](19)

il ..l

25. Enfin, imaginons toujours que, au moment précis où le poids P seul est parvenu au point J^ le pins élevé de la troisième oscillation , il reçoive

de nouveau la charge additionnelle P^ ; une qua- ^ ^

trième oscillation va commencer autour du centre G^ " t situé à la distance L, de la suspension (15), point qui était le centre de la deuxième oscillation. Cj Djir^Gi (/, sera donc la nouvelle demi-amplitude, et dés lors l'amplitude totale deviendra

26. Continuant ainsi à décharger le système du poids additionnel P^ toutes' les fuis que la charge atteint Sa position inférieure, et à rétablir ce poids additionnel P^ lorsque P atteint sa limite supérieure, il parait évident que les amplitudes des oscillations croîtront suivant une progression par différence, de sorte que l'amplitude, totale Un de la n*^"* oscillation aura pour valeur

Les oscillations ascendantes se faisant aulour de C et les oscil' lations desccadantes aatour de G, , si n est pair, le centre de la n oscillation est G, , le plus grand allongement e^ de la tige est alors = B Cl + i H.. Mettant pour B G, sa valeur (L^ — L) tirée de (IS)

RÉSISTANCE DES MATËBIAUX. iiia

et pour H„ la valeur ci-dessus^ il yient pour le plus grand allongement absolu

et cet allongement peut éventuellement déterminer la rupture de la tige.

Cette théorie explique les dangereux cflets d^nne troupe marchant au pas sur un pont suspendu. Yoyez Flntroduction à la MécaniqtAe industrielle de M. Poncelet. Yojez aussi le Mémoire de M. Eaton Hodgkinson sur la chute du pont suspendu de Broughton prés Manchester (4« volume des Manchester philosophical transactioM), et enfin le Mémoire daNavier sur les ponts suspendus(1823), et où il a montré que la durée des oscillations éprouvées par les chaînes de ces ponts^ et dés lors par la totalité des tiges et du tablier^ pouvait s^élever dans certains cas à prés de six secondes, d*où pouvait résulter Tisochronismc entre ces oscillations et la marche d'une troupe, et enfin un accroissement redoutable de Tamplitude des oscillations.

27. ¥lexï07(s. Surface neutre des pièces fléchies. La théorie de la résistance des matériaux suppose encore que, lorsqu'une pièce est fléchie, les fibres du solide situées vers la partie convexe s'étendent, tandis que les fibres situées vers la partie concave se rac-* conrcissent. S'il en est ainsi, il existe nécessiairement, entre les couches étendues et les couches comprimées ou refoulées, une couche unique dont les fibres ont conservé leur longueur primitive^ et que, par ce motif, on nomme la surface neutre du solide.

28. Réalité de la surface neutre. Ainsi qu'on le verra plus loin, les observations récentes do M. Eaton Hodgkinson et de la commission anglaise n'ont point confirmé toutes les hypothèses de la théorie. Frappé de ces discordances que les anciennes expériences semblaient déjà indiquer (voyez Fer et Fonte^ page 740), j'avais eonçu un moment l'espoir de voir s^cvanouir la surface neutre avec quelques autres hypothèses fondamentales, ou plutôt se confirmer ridée première des Galilée et des Leibnitz, qui plaçaient cette surface à la concavité même du solide fléchi, dont toutes les parties se trouvaient dès lors simplement soumises à l'extension. Peu convaincu d'ailleurs par les raisonnements et les méthodes d'expérimentation, contestables à mon sens, qu'on emploie depuis longtemps pour démontrer le double phénomène d'extension et de compression dans les solides fléchis, j'ai essayé, si elle était réelle^ de constater l'existence de la surface neutre d'une manière irrécusa* ble^ «n la rendant sensible à Taidc de l'appareil suivant {fig. i , 2 et 3, planche dX).

29* Le 17 décembre 1851, j'ai pris une pièce de sapin du Nord

1414 bésistâmge des matériaux.

qoi, après éqoarrissage à vive arête pour toutes ses faces, s'eat trouvée avoir : section (0».0974)^, longueur 2<°.0083 ; poids total 8^.9. Je Tai placée horizontalement sur deux appuis reposant eux-mêmes sur un bâti solide à une) distance de l^'.SOd (ces détails ne sont pas reproduits dans les figures).

Au milieu de cette piècc^ j'ai placé un rouleau en bois B de 0«^.30 de diamètre et de même largeur que la pièce, et j^ai suspendu à son axe en fer a deux étriers en bois ee qui recevaient à leur partie inférieure une traverse en fer t parallèle à Taxe du rouleau, traverse qui, à l'aide de quatre chaînes ce et de crochets, portait un plateau que je ne figure pas et qui recevait les poids snoces' sifs destinés à fléchir la poutrelle.

Tout le système de la suspension, du rouleau^ des étriers^ etc., et de la^poutrelle elle-même, fut, à l'aide d'un poids additionnel, amené à former une charge totale exacte = 50 kilog. ; puis successivement, avec précaution^ j'ai fait poser sur le plateau des poids successifs de demi-heure en demi-heure, de manière à obtenir les charges totales successives = 200^ 300^ 400^, 500^ et 600^

Afin de rendre visible le double phénomène d'extension à la convexité et de refoulement à la concayité, j'avais pratiqué dans la face supérieure de la pièce une rainure longitudinale m et une rainnre symétrique m' le long de la face inférieure, et j'avais engagé dans chacune de ces rainures à section trapézoïdale deux languettes de même forme très-minces II, Vl\ du même bois que la pièce, bien frottées de savon sec et débordant les abouts de la pièce de 0°^.10 environ de chaque côté.

Cette pièce étant d'abord posée librement et sans charge sur ses appuis, j'ai fait marquer sur les languettes, par des traits d'un crajron très-fin, les affleurements nn, n'n' des abouts de la pièce sans charge, c'est-à-dire les quatre traces n, n, n\ n' des plans alors verticaux de ses faces extrêmes; puis l'on a commencé à charger.

A mesure que le^ solide a fléchi, on a tu alors distinctement les traits nn marques sur la languette supérieure déborder de plus en plus vers k dehors les arêtes oo de la pièce qui étaient d'abord en cqincidence avec ces traits ; — et, au contraire, on voyait les traits ni nJ marqués sur la languette inférieure rentrer de plus en plus vers le dedans^ et s^éloigner des arêtes o' o' avec lesquelles Us coïncidaient d'abord.

En fait, les languettes étant fort minces et très-libres dans leur rainure respective, les chemins parcourus par les traces n,n,n',ii', qu'elles portaient, n'étaient qu'une apparence^ et c'était évidemment les arêtes oo et o'o^ qui avaient parcouru ces chemins. Les arêtes supérieures oo, oo^ s'étaient donc rapprochées^ ce qui dé* montrait une compression à la face concave ^ et les arêtes inféricn-

res cfo\ 0*0*, s'étaient éloignéeSj ce qui dèmonlrait Vextenston de la partie coDyexe et dès lors Inexistence d'une surface neutre située quelque pari entre les lames supérieure et inférieure du solide.

Quant aux valeurs de l'extension et de la compression^ j^ai trouvé sous la charge totale de 600 kil. agissant au milieu do la pièce, savoir :

Flèche = o-.oisaa

Extension absolue e de la face inférieure =:0a>.00195

Compression absolue c de la face supérieure. . . = 0°'.0012

Ainsi, sous la charge de 600 kil., la compression n'a pas atteint les deux tiers de Pextension.

Od pourrait très-facilement adapter des vemiers (p. 953) h tout appareil de ce genre^ et mesurer avec beaucoup de précision l'am* plitude des extensions et des compressions des pièces fléchies (*).

30. Situation de la surface neutre d'un solide fléchi, dans le cas où l'on admet la septième hypothèse (Bg. 1, pi. GVIII).

ABGDestune lame que nous supposerons verticale, très-mince, comprise entre deux plans parallèles au plan de la flexion qu'elle conserve sous l'influence des forces extérieures P, Q et R.

acb est Vaxe neutre de cette lame, TP et VQ sont les traces de deux plans très-rapprochés coupant la lame ABCD, et chacun d'eux est perpendiculaire à Taxe neutre aux points S et R où ils coupent cet axe. 0 est la rencontre de ces plans QY et PT, et OR=p le rayon de courbure de Faxe neutre au point R.

La lame ABGD étant supposée en équilibre sous l'action des forces tant intérieures qu'extérieures qui agissent sur elle, il y a équilibre sur chacune de ses parties et sur APTD en particulier.

Or la force P peut être considérée comme appliquée au point K où sa direction rencontre le prolongement du rayon de courbure p, K étant supposé invariablement lié au système.

Nommant Q l'angle OKP du plan OE avec la direction de P, et, décomposant cette force au point E, elle fournit suivant KPTnor* nullement à Taxe neutre une composante