EI L
Substituant ces valeurs (56) (57) et (58) deP et de B^ dans les équations (48) (50) et (52), on obtient pour Fexpression des travaux respectifs Tp et T en fonction des chemins parcourus par les points d'application de P et de B :
X 3EiV«£./ et x = ^^*^''* — ~F raq^
et enfin, lorsque reflbrt B est appliqué au milieu de la pièce
T=!i|ill = |F (60)
38. Si Teffort B, capable de maintenir la flèche F, était, dès le commencement do la flexion, remplacé par un poids égal à B et libre de descendre avec le milieu de la pièce, le travail
1424 BËSISTANGE DES MATÉRIAUX.
dû à la descente do ce poids de la hauteur F serait le double de celui (52) qui serait rigoureusement nécessaire pour produire la flexion F. Donc^ après avoir produit cette flèche^ il conserverait une force vive capable de déterminer un nouvel accroissement de flèche égal à F 3 mais cet accroissement ne pouvant persister, puisque B est seulement capable de maintenir la pièce fléchie do F, il naîtrait autour de la position de Taxe neutre correspondante à F une série d'oscillations analogue à celle que nous avons étudiée, §§ 22 et suivants. Les ébranlements du sol produisent sur les poutres des planchers chargés des effets de ce genre.
39. Equation de Vaxe neutre d^une pièce fléchie j de section constante. L équation (39) nous a donné pour la valeur p du rayon de courbure en un point dont Tabscisse estx (fig. i, pi. CVIII)
Au point n pour lequel le bras de la force P qui maintient la pièce fléchie est (a — x) : on aura donc
i=ii^^ («)
P El ^ ^
le point c de l'axe neutre par lequel passe la direction de TefTort R étant pris pour origine des coordonnées et Taxe des abscisses xx' parallèle à la longueur de la pièce avant la flexion.
Or Tcxpression générale du rayon de courbure au point n d'une courbe qui axeijf pour coordonnées est (pag. 43?)
BÉSISTANGE DES HÂTËBIAUX. US5
— exprime d^aillears (pag. 429) la tangente de l'angle formé
dx
avec l'axe des abscisses par le prolongement de l'élément de la coarbe sitné en n ou qui a x et y pour coordonnées. La théorie supposant toujours les flexions extrêmement petites^ cet angle sera extrêmement petit; il en sera a peu prés de même de sa
tangente, et dès lors le carré [—1 de cette tangente sera à for*
iiari tellement petit qu'il pourra devenir négligeable devant 1 ; ce qui permettra de réduire l'expression générale du rayon de courbure à
p = -— d'où - = T^,- . . . (62)
et de transformer (61) en
d'y P(a--aî)
dx* El
Intégrant une première fois réquation ci-dessus^ appelant 0 l'angle formé par la tangente à l'axe neutre, à l'origine c, avec l'axe des
dy abscisses et tàng. B étant dès lors la valeur de — au point c , il
vient:
Intégrant une seconde fois^ on a pour V équation approchée de la partie de Vaxe neutre comprise entre c et A
P [ax* xn , ^ ^ ^
Procédant absolument de la même manière à l'égard de la partie cb de la pièce, x' et y' étant les coordonnées courantes de celte partie pour laquelle tang. ^ devient négative, on obtient d^abord :
pais^ pour Yéquation de ceite partie de Vaxe neutre :
Q Vbx** aï"!
de sorte que^ tant que a et i pourront être considérés comme sen*
siblemeQt égaux aux abscisses X et X' des points extrêmes a et & de Taxe neutre^ ou aura pour les ordonnées de ces points
Y = ^+«tang.O et Y' = ^! ~ * tang. 0. (68)
tang.B deviendrait nulle, si Pune des parties A M ou B M de la pièce était solidement encastrée.
40. Si les extrémités de la fiées portent sur deux appuis fixes ^ les forces P et Q sont les réactions de ces appuis, et Pon a évidemment alors
d'où Y — Y'=0 = ^-2 — ^+(a4.6)iang.e
Oui J
or, l'égalité des moments donne
PL=R& et QL = Ra d'où Pa» — Q4» = Ra6(a — 6). . (70)
il en résulte^ pour la valeur de lang.O à came de (a -|- &)=:L
