P COS

qai est détruite par la résistance que la cohésion du solide oppose au glissement de la partie APTD le long du plan TP, et dont nous ne nous occuperons pas.

(M Une faute importante 8*e8t glissée dans le résumé de celte expérience ^M. Morin a eu la bienYeiUance de m'einprunter (pag. 137 k 139 de sa Ré* tistance de» matériaux), 11 y élève à 0^.0017 la compression de la face supérieure qui n^a pas, cependant, dépassé 0"*.00l2 : fait qui détruit la conclusion qu'il a émise.

Quant à la composante P sin.6 parallèle à la tangente en R à Taxe neutre^ elle fait équilibre à la résultante R^ des forces de com* pression développées de R en T^ et à la résultante R^ des forces d'extension que la flexion développe de R en P.

Or ces trois forces en équilibre sont parallèles, et les forces d'ex« tension agissent en sens inverse des forces de compression : donc (page 703) leur résultante étant nulle^ on a

Psin.6+Rc— Re = o et Psin.O=R.— R^. . . (2»)

De plus,* l'équilibre exige que la somme des moments des forces^ par rapport à un point quelconque de leur plan, soit nulle aussi ; mais nous reviendrons tout à Pheure sur celte seconde condition. Soit d'abord Aas la longueur primitive de la partie très-polite SR de Taxe neutre interceptée entre les deux normales OS et OR = p à cet axe. Cette longueur Aj; était aussi celle que possédait la fibre quelconque gm avant la flexion ; mais, en vertu de cette flexion, cette fibre qm s'est allongée de la quantité absolue mp=hxj c'està-dire que sa longueur est devenue qpzzz^x-^-Zx et qu'elle a subi

ainsi un allongement par mètre égal à — .

Appelant da la section transversale de cette fibre qp et t; =Rp la distance de celle fibre à l'axe neutre, Teffort nécessaire pour rendre stable ou permanent rallongement par mètre qu'elle subit sera (3)

Eda.Bx E ,

—7 ou ^vda (25)

àx p ^ '

car les triangles semblables mp R , SR 0 , donnent

m» : SR :: Rp : OR ou |f = !^. . . . (26)

Or la résultante R^ des forces d'extension n'est rien autre chose que la somme / de tous les efforts semblables et parallèles exercés

depuis le point R, pour lequel v=zo, jusqu'au point P, pour lequel on fait V = t^i : donc

R^=- / t?da (27)

Quant à la résultante R^ des forces de compression, on l'obtiendra de mémo en faisant la somme des forces de compression exercées depuis le point R où v = o jusqu'à T, point dont la distance à l'axe neutre est représentée par v\ Mais, d'après cette théorie, le module d'élasticité relatif à la compression est supposé précisément égal au

coefGcient ou module d'élasticité E relatif à rextension (§ 11): donc ou a ^

Bc=- / vda (28)

d'où R, — Rc= -

/vda — j vda

de sorte que les résultantes Re, Rc> sont^ chacune j le produit de

— par la somme des moments^ pris par rapport à l'axe neutre, des

éléments de la section sur laquelle elle agit.

Mais le moment de la section totale de la lame^ par rapport au même axe^ est le produit de cette petite section totale az=: f da

par la distance v. de son centre de grairité à Taxe neutre } et ce moment at?« est lui-même égal aux sommes comprises dans la pa* rentbèse ci-dessus : donc

I V da — f V da^rzaVo (30)

et (24) Psin.0=r-ovo (81)

expression qui donnera la distance

t^o = |^8in.e (32)

de Taxe neutre au centre de gravité de la section a, lorsqu'on connaîtra le rayon de courbure. Cette distance devra ôtre mesurée vers les fibres étendues lorsque 6 sera positif, et vers les fibres comprimées, si 0 est négatif. L'axe neutre passe donc d'un côté à l'autre de la ligne qui enfile les centres de gravité des sections transversales de la lame au point pour lequel 0 = o , c'est-à-dire au point où la normale à Taxe neutre est parallèle à la direction de la force P.

32. Si la force P qui maintient la flexion est sensiblement perpendiculaire d la longueur de la lame^ ce qui est le cas habituel dans les constructions, l'aogle B et dès lors sin. 0 sont très- voisins de zéro^ aussi longtemps du moins que la flexion en un point quelconque R de Taxe neutre est très-petite. Alors la distance t^o du centre de gravité de la section a de la lame à son axe neutre est elle mènae très -petite. ^

Si on la suppose rigoureusement nulle^ on a PsiD.B=:o^ et l'équilibre exige alors (24) que la résultante Re des forces d'extension soit égale et opposée à la résultante Rc des forces de compression, et que l'on ait ^

Ro=Rc ou - / vda^z- j vda. . . (33)

ou bien encore / vdvdu:=z j vdvdu (34)

en faisant Pépaisseur de la lame = du ou l'élément da de sa section r= dv du (figure suivante^ § 34).

Cette équation suppose que le centre de gravité de la section de la lame coïncide avec son axe neutre.

33. Valeur du rayon de courbure p en un point quelconque R de l'axe neutre (fig. 1, pi. CVIII).

Nous avons vu (§ 30) que l'état d^équilibre de la partie APTD de la lame exigeait encore que la somme algébrique des moments des forces d'extension de compression et de flexion fût nulle.

Prenant le point R de Taxe neutre pour origine ,

P sin. 0 X îtR = P x"mR = P p. . . . (35)

sera le moment de la résultante des forces qui maintienneot la flexion^ en égalant à p la perpendiculaire mR menée de R à sa direction.

Quant aux moments des forces d^extension et de compression, lesquels tendent tous deux à faire tourner la section PT en sens inverse du moment Vp , on les obtiendra facilement en remarquant que chacun des éléments ci a de la section de la lame étant soumis

à l'eflort — t) ia passant à la distance v de Taxe neutre, on a^ en

p désignant respectivement par r et r' les bras de lever de R^ et Rc;

r,R, = ^ A*Ja et r' Vi, = ^ fv^ da. . . (36)

d'où résulte pour la deuxième condition d'équilibre

A'rfo -\- fv^da

Or la parenthèse ci>dessus n'est rien autre chose que la somme de tous les éléments de la section de la lame multipliés chacun par

la carré v^ de sa dislance v à l'axe beutre : c'est donc le moment d*merlie de la section totale par rapport à ce môme axe.

Lorsqu'on suppose à la fois des flexions extrêmement petites, la force infléchissante P sensiblement perpendiculaire à l'axe primitif de la lame. Taxe neutre passe par le centre de gravite de sa section, la droite Rtn=p vient se confondre sensiblement avec la courbe Ra

ou avec sa corde x, de sorte qu'en désignant par i le moment d'inertie de la section de la lame pris par rapport à son centre de gra« vite, par S (P x) le moment de la résultante des forces extérieures qui maintiennent la flexion delà partie APTD, l'équation (37) devient simplement

S(Px)=:-i (38)

et l'on a pour l'expression du rajon p de courbure au point R de l'axe neutre

1 2(Pa;)

P El

d'où

34. Solide dont la section transversale est constante. Imaginons maintenant un corps solide dont toutes les sections transversales RZR^Zj sont constantes et qui soit décomposable en lames verticales de largeur égale du juxtaposées, de telle sorte que les centres de gravité respectifs des sections de toutes ces lames soient sitoés sur une môme droite BR^ perpendiculaire au plan de flexion.

Cette droite RR^ sera la trace de la surface neutre

du solide, dans le cas de flexions trés-pctites et d'une résultante P des forces extérieures sensiblement pcrpendicolaire à la longueur , du solide et agissant sur toute sa largeur. Nous pourrons donc appliquer à l'ensemble de ces lames tous les raisonnements précédents.

Dès lors U étant la largeur du solide à une distance quelcon-

que l' de la surface neutre, et cette largeur U embrassant ^ lames,

chacune de l'épaisseur ^ti , il suffira de multiplier les expressions ci'dessns par ce quotient qui exprime le nombre des lames pour qu'elles deviennent applicables à un solide ainsi décomposable.

Conservant d'aillears les mêmes notations 9 on aara (33) et (34) pour la valeur des forces d'extension et de compression

Vi =^ fVvdv et Re = - /'Utjrft?. . . (40)

et ces quantités seront égales entre elles ainsi que nous Tavons vu (33).

Enfin l'on aura de même (37) et (38)

(Px) = ~ riv^dv^ fvv^dv

Ces équations sont générales dans les limites et hypothèses indiquées. On en fera facilement Papplication lorsque p sera connu,

i étant toujours donné par la forme de la section transversale et E par la nature ou la substance du solide^ comme on le verra plus loin.

Si l'on fait El = M, la dernière équation prend la forme

M est alors ce que Navier a appelé moment â^èlasiicité du solide.

35. Travail dépensé sur la partie APTD de la piice pour pro" duire une petite flexion. Considérons maintenant la figure 1 de la planche CYIII comme le profil d'une pièce dont la section transversale est donnée par la figure cijointe.

JJdv étant la section de la couche du solide parallèle à la surface neutre, et qui est située à une distance quelconque v de cette surface RR|, et 8^ rallongement qu'elle subit, l'effort t qui rendrait cet allongement stable est (3) et (26)

E.VdvBx E ., .

B£SISTâNGE des matériaux. 14.21

Mais^ pour allonger ou raccourcir cette couche de S a? ^ iHaut (6) dépenser un travail

<*.A« E.Aaj.D , . , ^

ou — v^dv (44)

doDC^ pour allonger et raccourcir toutes les couches de la section TP^ le travail à dépenser sera la somme de toutes les quantités semblables ou

^ yû«M»+yu««dt,

z=^Aa?. . . (45)

car la parenthèse est le moment d'inertie i de la section constante du solide. Or, Téquation (39) donne la relation

Faisant cette substitution dans (45), il vient pour le travail dépensé sur la section TP située à la distance x

et pour le travail total T^ dépensé sur Tcxtension et la compression do toutes les sections entre x==:0 et x=zx, en passant à la limite^

T, = -^ f x^dx=:^ (47)

ÎEiy 6EI ^ ^

p étant l'effort capable de maintenir le degré de flexion supposé.

36. Expression^ en fonction des forces extérieures, du travail total dépensé pour produire la flexion d*une pièce de section constante,

I étant supposé constant^ la flexion très-petite et les forces extérieures ou les résultantes P^ Q^ R des forces capables de maintenir la flexion supposées elles-mêmes sensiblement perpendiculaires à la longueur primitive de la pièce^ on a, d'après réqualion (47) pour le travail Tp dépensé sur la flexion de la partie AN de la pièce, en faisant ca=a, :

On aurait de même, cd faisant & c = ( pour le travail T^dépcosé pour produire la flexion de la partie BN :

''• ÔEÎ 2 3Ei[

On aurait donc, pour le travail total T ou pour la somme des travaux partiels dépensés sur la flexion de la pièce entière, L étant la longueur (a -f- *) de cette pièce :

6Ei

en remarquant que Tégalité des moments donne

PL = R6 et QL = Ra. . ,

R«(a6)« R R(o6)« 6EÎL 2 ^ 3EiL

ou P» a' + Q» 6"= ^ aH^ (« + *)

R*(aft)* } C^*^

P, Q^ R désignent les intensités finales de forces qui ont dû croître en même temps que la flexion de la pièce.

Si R est appliquée au milieu de la pièce a = 6 = --• et Texprcs-

sion du travail total T devient simplement

96 El

87. Expression, en fonction des chemins parcourus, des travaux dépensés sur la flexion d'aune pièce de section constante. Conservons les mêmes notations et hypothèses que ci-dessus^ et supposons d^abord la section M N absolument fixe.

Soit f le chemin total parcouru pendant la flexion par le point d^application de la force extérieure dont rintcnsitô finale est V, nous aurons en général

=ft,f.

d'où, en dilTérentiant :

dTp dTp dV

df ~~f '7p

or réqoalion (48) donne, en la dilférentiant , :

dTp Pa>

Pa«

df a»

dou

dP ZEÏ

dP 3KI

intégrant cette dernière^ il vient pour le chemin f, en fonction de la force P capable de maintenir la flexion f :

^=!^ «' P = ?li/ . . . . (56)

ainsi la flexion f est proportionnelle à Peffort P et au cube a^ de son bras de levier.

Si le travail total de la flexion était dû h la force dont nous avons représenté Pintensité finale par B, les points d'application des antres forces finales P et Q ne parcourant alors aucun chemin^ on obtiendrait de môme» en désignant par F le chemin perpendiculaire à la longueur de la pièce, parcouru par le point d'application de la force variable B :

F=:?^^ et B=l!dE«.F (57)

3EH- (a6i« ^ ^

de sorte que, si B agissait au milieu de la pièce^ on aurait, à cause de a = i = -

F = -^ et B = ^*F. . . . (58)