KL

a = i ^ (aog. a = taog. ^ =

4ftEt

42. Pour déterminer le point moiê la tangente â Vaxe neutre est foralléle à Vaxe des aheeiieee^ c^est-à-dire à la direction primilivo

de l'axe oeatre avant la flexion, il suffira de faire ~r = 0 dans l'é*

qoation (66)^ d'y substituer pour tang. 0 sa valeur tirée de (71), d'jr exprimer Q en fonction de R (70) et enfin de la résoudre par rapport à x\ ce qui donnera pour l'abscisse du point cherché

«'=6±J/i(6 + îa)

abscisse x' qui devient nulle pour b-=za

Nous allons indiquer maintenant quelques applications générales des méthodes qui précédent et qui contiennent implicitement la solution des questions pratiques relatives à Textension, à la compression et à la flexion des solides.

43. Pièce ARC dite encastrée ei chargée sur toute sa longueur dep kilogrammes far mètre courant.

Comptons les coordonnées de Taxe

••**»*a>paiA^'«ik**i

les coordon- j

nées de Taxe I J-

oeutreàpar- ■ I ^'L

tir de la sec* ^ — r—^

. i of- y

lion d'encastrement passant par B, et soit a la longaear de la partie qui n'est pas encastrée.

PreiKMM un j^int qoelconqae N de l'axe neat^«, la portion N A de cet tné porte an poids p (a •— «}. Ge poids peut être considéré comme réuni au miliéa de N A , son moment par rapport à la section verticaio passant par N est donc

Ce moment est égal à la somme des moments des réactions élastiques de cette môme section N^ et cette somme (39) est — , p étant le rayon do courbure de l'axe neutre au point N. Hais (62) on a par approximation - = — j donc

as» R£SISf AKCB DB£» HATËftlAOX.

Intégrant une première fois en remarquant qu'à Porigine te = 0 , y = 0 et tangente = 7^:=: 0^ puisque l'on suppose la partie BC encaitrée, c'est-à-dire jouissant d'une rigidité parfaite, il vient :

Tx— Tïi ^^^>

44. Eqtêation de l'axe neutre. Intégrant Téquation ci-dessus entre a; = 0 et x-zirix, il Tient pour l'équation de Taie neutre, à partir de la section d'encastrement B

45. Flexion du point extrême A. On obtiendra évidemment la quantité Y dont le point A s'abaisse en mettant la valeur a de son abscisse à la place de x dans l'équation (79), d'où

relation simple qui permet de régler les dimensions de la pièce, de manière que son point extrême ne s'abaisse que d'une quantité déterminée.

46. Si l'on compare cet abaissement à la déflexion qui a été déterminée (68), on voit que, lorsqu'une charge est uniformément répartie sur la longueur d'un solide encastré par une extrémité, la flexion de l'extrémité libre est précisément celle que causerait un

effort P égal aux - de la charge na, et qui serait appliqué à cette

extrémité : remarque qui permettra d'introduire facilement l'influence du poids propre du solide dans les problèmes précédents.

47. InclinoUon de Vilement extrême A de Vaxe neutre sur Vhori"

xontale, a étant l'angle formé par cet élément avec l'horizontale,

dy tang.a est l'inclinaison cherchée. Or lang.a est la valeur de j-

au point A dont l'abscisse a? est a : il suffit donc de faire ces substitutions dans l'équation (78) pour obtenir

C'est l'inclinaison que prendrait l'élément extrême s'il était soumis à un effort unique égal au tiers de pa (72).

BËSISTANGE DBS MATÉRIAUX. 1439

48. Piiee de longueur 2a= L iupportie d set deux extrémUs^ et duirgée uniformément de p kilogrammei par mitre courant.

Prenons l'extrénii(é A pour origine des coordonnées d'an point foelconqoe N de l'axe neutre. La partie AN de la pièce porte an poids px qui peut être considéré comme appliqué au milieu de

NA^ ce qui donne — - pour le moment arec lequel la charge

ferait tourner NA autour de la section N et de haut en bas; maïs la réaction de bas en haut du point fixe A est la charge pa qu'il porte et son bras de levier par rapport à N est as : son moment est donc = ( — pax). Egalant cette somme algébrique de moments au moment des forces élastiques développées dans la section N, il vient (62)

Ei i7i d^y px*

p dx*

= — pax

Intégrant depuis 07=2; jusqu^à x=za^ en observant qu'à cette dernière limite la tangente -^ = 0, puisque y atteint évidemment sa Taleur maximum Y pour le milieu G de la pièce^ on a

49. Equation de Vaxe neutre. On l'obtiendra encore en intégrant (83) entre les limites x=x et â? = a, ce qui donnera pour l'équation de la moitié de l'axe neutre

Eiy=|(^-«.x)-Ç(|-..,).,.. (,»)

50. Plus grande dêflexion ou flèche Y de la pièce. On obtiendra évidemment cette flèche en faisant ^=1 a dans l'équation ci-dessus^ donc

Y £ pa* 5(2pa)L' 5 R L»

2i'El~8 48Ef ~8'48EÎ

1430 RËSISTANGE DES MÂTËRIADX.

en faisant R = la cbarge totale 2pa; ce qni montre que la flèche

d'ane pièce uniforinéinent chargée est la même qae si les - de la

charge totale étaient réonis en son milieu (58)^ et permet d'introduire facilement rinfluence du poids propre des solides dans les problèmes.

51. Incliruiisan sur V horizon des éléments extrêmes A «t B deVaxt neutre. Prenant toujours a pour représenter l'angle de Pélément A avec l'horizon^ tang.a sera l'inclinaison cherchée ou la valeur

de ~ dans Téquation (83) lorsque Ton y fera x =zo^ donc

**°8^-*=3EÏ ^^^^

C'est Tinclinaison que prendrait l'un et Tautre élément extrême

si un effort unique égal au - de la charge (^pa) uniformément

répartie agissait seul au milieu de la pièce (74).

J'en ai dit assez^ je l'espère^ pour que les ingénieurs à qni cette théorie inspire confiance puissent facilement en faire Tappli^ cation aux cas particuliers de leur pratique. Il leur suffira alors

d'introduire dans ces formules générales, à la place de I , le moment d'inertie de la section constante du solide^ et le nombre E oa le module d'élasticité qui convient à sa substance, après Tavoir toutefois déterminé eux-mêmes à l'aide d'observations directes sur les matières mêmes qu'ils emploient. On verra plus loin à quelles erreurs on s'exposerait parfois en prenant les valeurs de £ parmi les moyennes que donnent les tables des formulaires.

53. Moments d'inertie I. Les moments d'inertie I dont il est ici

Juestion ne doivent pas être confondus avec les mooients dMnertie e masse qui ont été déterminés page 1162. Bien qu'il soit facile de passer des uns aux autres^ j'épargnerai ce calcul pour les cas que l'on rencontre habituellement, on a

Section rectangulaire dont h est l'épaisseur et

Ih* l la largeur I =z —

Section carrée dont le côté est c, et quel que soit l'angle que les côtés font avec l'horizon

Section circulaire de rayon r : I z= — î^

Section triangulaire pouvant se décomposer en deux triangles rectangles dont la base commune est b el la hauteur respective A ; savoir :

Quand la base est horizontale^

Quand la base h commune est verticale^

h h* IF

Ti4yau cylindrique dont le ra;on extérieur est R et le rajon du vide intérieur est r

Tube rectangulaire

Enfin on emploie beaucoup aujourd'hui une poutre dont M. Uodgkmson a> le premier> montré tons les avantages et dont la forme générale est indiquée ci-dessou^, L'expression théorique du moment dHnertie par rapport à Taxe qui passe par son centre de gravité est

i[Aa«-{-Bi^4- cA

expression dans laquelle A est Taire du rectangle supérieur^ B celle da rectangle inférieur, G celle du rectangle qui réunit les deux premiers^ a, b^ c les hauteurs verticales respectives de ces rectangles^ et S la section totale A-f-B**]-C de la poutre.

Lorsque les épaisseurs ou hauteurs a et 6 seront très-petites par

rapport à c, on pourra négliger a et i dans les deux derniers termes et il viendra

i i[Aa^+Bft> + Cc^] ~ I , c*r4AB + AC + BC]

Et enfin, si les rectangles supérieur et inférieur ont des bases égales et des hauteurs égales^ on a

Ce*

54. Essayons maintenant de soumettre la théorie de la résistance des matériaux au contrôle de Texpérience. Les anciennes observations que nous ayons résumées à rarticle Fer et Fonte indiquaient déjà^ quant à ces deux substances, quelques discordances assez importantes entre les faits et les hypothèses fondamentales (§§ 1 à il). Nous allons voir, à regret, ces discordances non-seulement confirmées en principe, mais encore étendues, amplifiées par les observations et les études si célèbres aujourd'hui des commissaires anglais.

55. On sait que en 1847, sous Tadministration de Lord Grey, le Gouvernement anglais créa une commission spécialement chargée d'étudier les questions auxquelles pouvait donner lieu l'emploi da fer et de la mnte dans la construction- des chemins de fer. Cette commission fut composée de Lord Wrottesley, du professeur JSobert Willis^ du capitaine au corps des ingénieurs Henry Jame$, des ingénieurs civils George Rennte et William Cuhitt^ et enfin de M. Eaton Hodgkinson^ depuis longtemps connu par les expériences grandioses et sévères dont il avait antérieurement publié les résultats, et dont la Commission elle-même se comptait à reconnaître les éminents services par une mention spéciale. C'est au rapport de cette Commission illustre^ publié en 1849, sous le titre de Report of the commisêionersj par les soins de son secrétaire M. le lîente^ nant aux ingénieurs Douglas Galion, c'est aussi aux Recherchée expérimentales qui appartiennent en propre à M. Eaton Hodghn' son (expérimental ResearcheSj iSlS) que j'emprunte les résultats d'expériences que je vais présenter, et que j'ai tous calculés avec les plus grands soins.

J'indique d'ailleurs les pages de renvoi des deux ouvrages originaux, afin que les ingénieurs qui désirent, avec raison^ remonter aux sources, puissent le faire plus facilement.

RÉSISTANCE DBS MATÉfUATIX.