REVÊTEMENT. — RHUMB DE VENT. — RICOCHET

tcra évidemment que Taxe neutre d'un solide fléchi ne passera plus par le centre de gravité de sa section transversale, et que les formnles relatives à la flexion deviendront ainsi un peu plus compliquées 5 elles n'en seront que plus exactes^ et la pratique^ avec raison, tient plus à la vérité qu'à Félégance des résultats. Enfin la théorie importante de la rupture^ qui comprend la recherche des solides de plus grande résistance^ est à refondre tout entière. C'est aux hommes dont le nom fait autorité dans la science qu'il appartient d'imposer ces réformes, sans lesquelles la théorie de la résistance des solides ne saurait prétendre, désormais^ à la confiance des praticiens.

REVÉTEHENT. Voyez rarlicle Mun, à la page 1194:

RHUIIB DE VENT, ou encore rumb de vent ries marins prononcent rofi de vent) . C'est un angle de 1 1^ 1 5' embrassant dès lors la 32« partie de la circonférence de l'horizon. Huit rhumbs forment donc un angle droit. M. Parisot pense que rhumb est une corruption de rhombe, lozange, cette figure géométrique étant celle qu'on traçait autrefois sur les cartes pour 7 figurer l'aiguille d'une boussole.

RICOCHET. Voyez Pénétrations, pag. 1249.

ROMAINE, \ojez Balances^ pag. 109.

ROTATION. Un' corps d'une forme quelconque tourne autour d'un axe fixe A, en vertu de forces /i/'s/'a-..* appliquées à des distances respectives de l'axe fixe désignées par r, r^r,.... Chaque force agit tangenticUement au cercle décrit par son point d'application, et le plan de ce cercle est perpendiculaire à l'axe fixe. Nous supposerons y en outre , que cet axe A est vertical.

En vertu <ie l'équivalence des moments , la somme algébrique des moments de toutes les forces f peut être remplacée par le moment FR d'une force unique F agissant à une distance R de l'axe fixc^ moment qu'on déterminera par la relation

FR = A'-.+Ar,-j-/,r,4-...=S(/r) (1)

en ayant égard aux signes des moments partiels.

Soit supposée nulle la vitesse angulaire oio dont le corps C'tail animé au moment où les forces ont commencé à agir^ appe*

loQS d<ù raccroissetnent de vitesse angulaire que lui communique à chaque instant dtla force F, chacune des petites masses m^ m, 9113... m prenant un accroissement de vitesse pjdo), p^^c^)» p^dio..., ^ p dio proportionnel à sa distance p ù l'axe opposera à l'accélération

-j- une force d'mertie — — dont le moment par rapport à Taxe A

sera — ^- — . La somme S de tous les moments semblables étendue dt

à toutes les parties matérielles du corps ou— -S (mp*) sera donc

égale au moment des forces f^ en vertu du principe de Tégalité entre l'action et la réaction, donc

^S(mp») = Sar)=:FR (2)

dw 2(/-r) FR

dl ~S(mp«)~~ i ^ ^

Ainsi^ Vaecêlération angulaire -j- s'obtiendra en divisant le moment

rèsuUanl FR des forces mouvantes et résistantes par le moment d'inertie 1 = 2 (wp*) de la masse tournante (pag. 1160), tous les moments étant pris par rapport à Taxe fixe.

Cette accélération serait nulle, et le corps tournant conserverait sa vitesse angulaire primitive, quelle qu'elle fût, si Ton avait

c'est-à-dire si la somme des moments des forces mouvantes était égale à celle des moments des forces résistantes.

Si au contraire la première somme excède la seconde d'une quantité constante, le corps tournant acquerra en un nombre t de secondes une vitesse angulaire a> que Ton obtiendra en multipliant la valeur (3) de l'accélération angulaire par ce nombre t

et il est clair qu'en vertu de son inertie, le corps tournant conservant la vitesse angulaire quelconque (Op qu'il pouvait avoir au moment où les forces/ lui ont été appliquées, il jouit en général, au bout du temps r, d'une vitesse angulaire totale = u> + ^o-

Eauaûmdu travail. Soit ds le petit arc décrit à la distance R de

s (ft) l'axe de rotation par le point d'application N de F = — ^ pendant

le petit tempa dt, la vitesse angulaire du système ayant à cet in-

stantla valear quelconque ta} — vitesse du poiat N aura encore

pour soQ expression (o R , d'où

dsznïiîùdt (6)

rouliipliant par ces petits chemins Texpression de F tirée de l'équation (3)^ il vient pour le travail élémentaire des forces constantes f

F(i^=iodù)S(mp*) (7)

de sorte que, si û est la vitesse angulaire acquise par le système; pendant que le point d^application de F a décrit l'arc quelconque S, on a

FS = ^S(mp«) (8)

Ainsi le travail résultant F S est numériquement égal à la moitié du produit du moment ^inertie du corps tournant par le carré de la vitesse angulaire ù qu'il a acquise.

Force vive de rotation. Si l'on remarque que la vitesse v d*une petite masse quelconque m du corps tournant est le produit Ci)p de la vitesse angulaire co par sa distance p à Taxe ; que dés lors sa lorcc vive mv^ égale mio'p', et que la somme de (oulcs les forces vives du système S (m i>*) = o>^ S {m p*), on voit d'une part que la force vive d*un corps qui tourne est le produit du carré de sa vitesse angulaire par son moment d'inertie pris par rapport à son axe de rotation^ de l'autre que, dans les mouvements de rotation comme dans les mouvements de transport parallèle, le travail résultani de toutes Us forces appliquées au corps mobile est numériquement égal d la moitié des forces vives qu'il a acquises*

Si le mobile était animé à la fois d'un mouvement de transport parallèle et d'ua mouvement de rotation, le travail des forces qui l'animent devrait évidemment être égalé à la moitié de sa force vive do translation plus la moitié de sa force vive de rotation. C'est le cas des corps qui roulent sur les plans inclinés, voyez pag. 1279.

Si l'on suppose maintenant que l'axe A du corps tournant est horizontal^ et que le corps n'est soumis qu'à son propre poids P, le moment résultant FR (3) deviendra le produit du poids P dn corps par la projection horizontale, à Tinstant que l'on considère, de la distance D de son centre de gravité à l'axe fixe. Ainsi, a étant l'angle de D avec la verticale à cet instant^ on aura pour l'accélération angulaire (3)

BOTATION.

dtù ^ PDstD. a MD<jf siD.a

et Ton retombera sur le cas étudié à la pag. 1143.

Enfio, si le corps se réduit à une seule molécule matérielle dont

p la masse m = - agit à la distance L d^uu axe horizontal^ on a pour

l'accélération angulaire, variable avec Tangle a

il(i> m(/Lsin.a ^siD.a dT mL* L

(iO)

et Ton reyient au cas du pendule simple qui a été traité page 1251.

Applications, La formule (8) donnerait immédiatement les conditions du travail de la machine cijointe , en y remplaçant F S par le trodnil du poids P multiplié par la auteur H dont il est descendu : ainsi Ton aurait

PH = |s(mp»).

(li)

|/ S(mp« „Q'S(mp')

en observant bien que le moment d'inertie S (mp') doit comprendre celui du poids P par rapport à Taxe fixe, comme » ce poids était appliqué en B. F

Si Ton voulait obtenir la tension T du cordon peqdant le mou- Temenf^ on remarquerait que le centre do gravité du poids se meut ibrs comme un corps libre soumis à la force (P — T). L'accélération pendant son mouvement de transport parallèle est donc

dv g (9 — T) Force rdio

dt p "^ masse "^ dt '

foà. pour la tension T du cordon, en faisant M = -

rdtù

c'esl^à-dire que la tension est égale au poids P diminué de sa force

d'inertie oa de la force avec laquelle il résisle à l^accélération : or noQS ayons, en Terto de la relation (3)

dîû

I (mp*)

Substituant dans Tëquation (14) celte yalear de raceëlération aD golaire de la machine, on a encore

Mr« 1

l(mp»)J

forme sotis laquelle on reconnaît plus facilement l^que la tensioD T du cordon est constante, puisqu'elle ne dépend que de quantités qui ne changent pas ; 2o que pendant le mouvement, la pression sur Yaxe , résultante W -f- T du poids W du volant et de la tension du cordon^ est toujours moindre que le poids total du système W -f- P*

Si l'on supposait maintenant qu'un poidsp = m j; agit i la circonférence du volant pendant qu'un autre poids p':=zm'g agirait à la circonférence de l'arbre pour faire tourner le système en sens contraire^ la formule (3) nous donnerait encore pour l'accélération angulaire

<2a) g{mc — m^ c') dt J:{mp*)

p c — jp' c

S (mp»)

à cause de

FR = pc — p'c^:=z g (me — m'c'),

et remarquant que

comprend ici le moment d'inertie du volant dont le poids est P=:M9, plus celui du poids p plus celui du poids p\

On aurait donc pour la vitesse angulaire co acquise par le sjstènM au bout de i secondes

2;(mp«> ^

L'équation (8) du travail deviendrait, en y faisant F S =pA — p'fc'

/)A-p'/i' = i«o^S(mp*) = lco«[MA* + mc» + m'c'«]. (19)

pfc'

ft()l}£3 aYDRADUQUlE». 1449

.e'jdslnMi'^ 4^ io travail ie$ poids est ^al à la motiié de la somme dei» forces Yives de toutes parties mobiles du système.

Qoaot aux (eusions T, T^ ^es cordousp oo les obtieadra facilement eu raisonoant comuiedaus la pr^ipier jcfis ; PQ tr^mverait

T=p — m-^ et r=p'+m'— . . (20) ou eu remplaçant l'accéléra lioq aoguljiîre pf|r ^ violeur (il)

]fi^ t0QsioDS T et T' sont doue coQ$taD(e$.

Appelant II la pression de Taxe sur son cous^'net 'pendant le mouvement^ on a, P étant le poids du volant^

et pc étant plus grand que p' c% le dernier terme sera toujours soustractif et la pression sur le coussinet toujours moindre que la somme des poids P-j'P'f'P' ^" système. Le coussinet est ainsi déchargé, pendant le mouyement, de la différence des forces d'inertie des poids mobiles.

En faisant c'zrzc dans la figure et dans les formules (17 à 22), on obtiendrait la théorie entière de Tingénieuse machine d^A(wood, déjà esquissée à la page 803..

Voyez encore rarlicie Cen/re ^ponten^ A rotation, pag. 261 •

RODES HYDRAULIQUES. Quelles que soient les dispositioas et les formes des roues hydrauliques, Taçtion de l'eap qui les anime présente en général les circonstances suivantes ou quelques unes d'entre elles :

1. Un certain poids P de liquide^ dont nous (désignerons toujours

la masse par 11=:— et le volume par Q, sort dans chaque seconde

du bief supérieure la roue^ eldescend^ après avoir agi sur celle-ci^ jasqucs au bief qui lui est inférieur.

H désignant la distance verticale des positions inférieure et s]qpérieure du centre dé gravité du poids P, le produit PH est le tra^ vail absolu de la chute en une seconde, et dés lors^ la limite supé* ricare du travail qui puisse être transmis à la roue dans le même temps.

2. Avant que la masse M atteigne le système de la* roue (pL CX), on la laisse souvent descendre d'une certaine hauteur h et acquérir aiosi une vitesse Y plus grande que la vitesse v du point de la roue

qu'elle va choquer. Cette vitesse d'afflaenceV ne pourrait être égale

& la vitesse [/2gh, due àlahautcarA^ qu'autant que Ton anrail su éviter les frottements et les contractions; mais, en général^

la vitesse réelle d'affluence V sera plus petite que ]/ 2gky et pourra être approximativement calculée parles formules de rarticle Ecou-

lement (pag. 667); et la demi-force vive r - V* , avec laquelle le

liquide s'introduit dans le système de la roue^ sera moindre que le travail PA de la gravité sur le poids P.

3. Parvenue au contact de la palette de Yauhe ou de Vaugel^ la masse liquide perdra à leur rencontre^ en bouillonnements et tourbillonnements, une vitesse xo que nous déterminerons pour chaque cas particulier^ et qui dépendra de l'intensité de la vitesse d'afflucnce Y^ de celle de la vitesse v de la roue, et de l'angle a que ces vitesses forment entre clles^ ou des angles A et B qu'elles forment avec le plan de l'aube.

~ ^tD* représentera donc généralement la demi-force vive perdue par l'elTet du choc^ ou le travail dissipé en ébranlements et en tourbillonnements (pag. 327) ; et comme on admet ici que la vitesse t? de la roue ne change pas au moment du choc^ u> se réduira^ en vertu du théorème de Carnotj à la seule vitesse que le liquide a perdue.

4. Après le choc, il pourra arriver que la masse M quitte la roue et si u est la vitesse absolue qu'elle prend alors dans l'espace, elle

emportera avec elle une demi-force vive - - u' qui sera désor-

mais entièrement perdue pour le système.»

5. Enfin, la forme, la grandeur et la position de la roue (pf.CX), sont le plus souvent telles que, entre son point d'introduction et son point de sortie, le centre de gravité du poids P du liquide introduit parcoure, en pressant les aubes, augetsou palettes, un certain chemin dont nous désignerons la projection verticale par h', et développe ainsi un travail moteur Vh'.

6. Supposant toutes ces diverses circonstances réunies et le monvement de la machine parfaitement uniforme, appelant F la résistance constante tangentielle qui s'oppose au mouvement de la roue et que l'on suppose appliquée au point qui parcourt circulairement V mètres par seconde, on aura pour le travail résistant ¥v dont la roue est capable, ou pour son effet utile théorique exprimé en kilogrammètres par seconde.

Cet effet n^égalerait donc le travail absolu PH de la cboCe d'eau (1) que sous les conditions: 1*" (tt'=:o)qQe Teau sortU do la roue sans vitesse ^ %^ (tD' = o) qu'il n'y eût aucune yileçsedis^ sipée en ébranlements et tourbillonnements» c'est-à-dire qu'il n'y eût pas de choc j 3« {\^z=z2gh) qu'il n'y eût ni frottement du Uquide, ni contractions.

7. Nous n'avons plus^ pour former l'ëquation particulière applicable à chaque systôme^ qu'à introduire dans l'équation générale (1) les valeurs de h', Y, u ciu), qui lui sont propres; et la recherche de la vitesse perdue w et de la vitesse absolue de sortie u pouvant être facilitée par la détermination delà vitesie relative W-, nous allons d'abord nous occuper de celle-ci.

8. De la vitesse relative W. Soient {fig. St, pL CX) i a un petit élément plan d'une palette on d'une face d'auget^ MU la grandeur et la direction de la vitesse uiiiforme v dont il est animé au moment où il est atteint par la masse liquide; soit MD la grandeur et la direction de la vitesse absolue Y de cette masse^ a l'angle aigu compris entre les directions de V et de v. Il est bien évident que les effets du choc ne dépendent que de la vitesse de l'un des corps par rapport à l'autre corps^ et que les actions et réactions mutuelles do la palette et du liquide ne seraient en rien altérées^ si ces deux corps étaient entraînés dans l'espace d'un mouvement commun uniforme en quelque sens qu'il ait lieu. Or, nous n'avons qu'à réaliser cette hypothèse pour obtenir très-facilement leur vitesse re/adVe. Imaginons que^ à l'instant du choc^ le milieu dans lequel il s'opère soit emporté avec le liquide et la palette en sens inverse du mouvement de celle-ci avec sa propre vitesse M H' =: — v ; et considérons alors l'élément fta delà palette. Nous voyons qu'ainsi animé de deux vitesses égales et contraires MH et M H'; il est en repos dans l'espace. Quant à la masse liquide, elle s'y trouve maintenant animée et de sa vitesse primitive M D=: Y et de la vitesse M H' du milieu; elle a donc dans l'espace une vitesse absolue W = AE^ résultante en intensité et direction des composantes M D et M H/. Or, cette vitesse absolue dans l'espace est la vitesse du liquide relativement h la palette, puis. que celle-ci y est maintenant en repos. On a donc (yéom., B. 32^

. W2 = Y*-[-tj' — 2Yt)C0S.a (2)

9. On aurait encore pour la vitesse relative W en fonction de ses composantes parallèle et perpendiculaire à la vitesse du point choqué (fig, 2, pi. CX).

W«=fiC*+Tn5'==(MC--MH)«+Cl?=:(Vc09.a-.t;)*-hV'sin.»a (3)

Enfin, il est souvent plus commode d'exprimer cette vitesse relative en fonction de ses composantes perpendiculaire et parallèle au.

pian ha de fa palette > A et B étant alom les anfletaign» mpceti- Tement foritiéâ |iar les directions de V et dd 0 iteè le plan de IK palette^ on é (keilement^ en dêcompt^ant èes vitesses perpeedicn* lairemettt et parailêlemeot à eè plaà et eherohaiit leui^ rëstthanie W^

W*=(Vsm.A — csîn.É)^ + (Vcos.A-f f;cos.B)». . (*)

rr: V -|- *^ ~ 4 Tr èos. a en remarquant ifve A -f- B es 18(^ ^ 01 d'où COS. (A -f- B) = cos* (*80* — <x) = ~ cos. a ;

Si A on B ëlàil obtus son eosinns detrait prendre le signe ^ dans la formule (4).

Il défient ass«E fecile maintenant d'obteiftilr la plupiirt des équà* tions partictilièTes; ùbmmençons par eelte des fmte$ à nngèUfj et supposons d*abord que la roile ail un grand diamètre et se ttkeùve lentement.

10* Roues â iugei^y iMei (fi§ t, pi* Cl). On appelle àhisi les roues d'an grand diamètre dont la vitesse à la circoiiTéreÉlce ekté-^ rieure est comprise entre i^ et 2°^ au plus. On adnaet que les augets ne sont jatnais qu'à moitié remplis. La force centrifuge aysot alors peu d^influence sûr le ttrstmçnt des aug^ts inférieurs, on sup-

5 ose que le liquide descend tout entier jusqu^au poiut le plus bas e la roue^ et V représetitc alors la dislance verticale de ce point K au centre de gravité du liquide contenu dans \e premier augetMno. Il régne^ il est vrai^ une légère incertitude sur ta vraie position de ce centre de gravité^ origine de la bauteur &'. On pourrait révaluêf approximativenMent^ mais, en vue de simplifier, les auteurs s^accordent à prendre pour la limite supérieure de ft' le point Itf où la laine d'eau atteint la circonférence extérieure.

il. Us supposent en outre que le liquide en quittant la roue au point K^ y est animé d'une vitesse absolue u égale à celle « de la roue. Cette supposition

manque un peu d'exactitude^ en ce que le liquide à la sortie prend généralement ici en coulant sûr là face de Paugel, une yi^esse dirigée en sens inverse de la vitesse t lîe la toue, et aequîerl dès lort une vitesse absolue u qui diffère de v. Mais eéUe hjpoliièse corn^ pensant un peu la précédente^ on la laissera d'abord subsister.

12. L'eau une fois introduite dans le premier anget et n'en pouvaM ^pta) sortir^ n'a bientôt pl«s que là vitesse v ée celuin» { donc^ la ^4(«ssfô tt ^^'eJ^r^ea perdue eonttola faee de t'augét ou contre aott

BOUES fiïBBAlHLIQinBSk 1459

terni, eu contre ie tamb«iur de la tw», mt m tïImm raAiAW tout entière, et dès lors (â),

te» == W» = V» + «» — 8 Y t) COS. a

13. Mettant ces diverses valcnrs dans Téquation (1)^ il vient poor l'expression théorique géoéralemenl admise de l'effet utile approximatif àè ces tt!>\i^,

F» = P*'-f.î-[V»V*t^+2VrcoS.a — 1)«]

■ If

Hais il importe de n« pus perdre de vue les iPfpdthèses lar les-quelles elle est fondée.