SÉRIE. U
ce sont les mêmes développements qae ci^dessas, en y remplaçant
Texposant m par — . Mais ce développement ne s'arrête pas , parce
que m et n étant supposés premiers entre eux, aucun des coefficients ne peut devenir nul.
Enfin y l'exposant — étant supposé à la fois fractionnaire et négatif^ on a pour le développement de
savoir : i«— o; k v--— »;
1 r m a ^^m{tn-{-n) a* m(m + n) (m-j-2n) a»
Nous appliquons ces séries générales à quelques cas particuliers qu'on rencontre souvent :
I ^' J LJLf! — ^ 3.5.fr* , 1. 3.5.7.55*
Vl±:a?« "^2 '2.4 ^2.4.6 » 2.4.6.8 "^ ' • '^ L 2a* 2.4.a* 2.4.6.a« 2.4.6.8;.a» J
|/a*±aî«~â[ '^27'^2.4.a*^2.4.6.a«"'"2.4.6.8.a»"* J
ly-; — i — , , J5 Lx* , l.,3.jj' 1.3.5.x* ,
y i-+-a?z=iH u
1 1 r , «• Oî* , aï® , a;' 1
1480 SjËRIE.
Enfin on rédait encore une quantité en série. en Tégalant à la suite
adoptée comme forme générale et commune de développement. A, B, G, D^ sont des coefficients qui ne doivent en aucune manière renfermer X et dont on détermine les valeurs^ d'abord inconnues, par autant d'équations, ainsi qu'on va le voir sur un exemple simple.
Soit proposé de développer en série la fraction •— — , on pose par convention.
= A + B a? + Caî^ + Da;* +,
Multipliant les deux membres de cette équation conventionnelle parle dénominateur de la fraction et transposant tout dans un seul membre, il vient :
0 = (4A — o) + (A-f-4B)a?+(B4-6C)«^+(C + iD):c*+. ..
et cette équation devant être satisfaite pour toutes les valeurs de x, et même pour â; = o, exige que l'on ait
iA— a=:0; A+4B=0; B+6C=0; 0+40=0; D-f-iE=0... équations d'où l'on tire successivement
On a ainsi pour le développement cherché
i = 6'~IÏ^+6l^'-M^*+
ainsi qu'on l'a trouvé plus haut. On obtiendrait de même la série récurrente :
z r = 1+3a? + 4fl5* + 7a5* +11ji:*4-1S
Suivent quelques séries d'un emploi fréquent :
X étant la longueur d'un arc pris dans le cercle dont le rayon est I on a j y
MSii
SÉRIE. 14.St
a?* X* ai*
COS. a:=l— — + — 4.
séries attribuées à Newton et à LeibniU.
On troQTeraît encore poar le carré a^ de l'arc x eo foBCtion des puissances du sinus de cet arc^
et pour la raleor dn quart de la circonférence (WaUiê^ Arilhmetica infinitorum).
€ étant la base des logarithmes hyperboliques^ on a 0 = 2.718281828459
et si l'on désigne par log. le logarithme hyperbolique de a^ on a encore
a = 1 +fl?log. a+ -r log.^a-h r— log.'a
1489 SÊBIE.— SERLIO. — SEXTANT.— SILICE-SILICIDM. L'abréyialion log désignant encore un logarithme hyperboKquej
on a
log. (!+«) = «— g- +3 J-+ • • •
flj« a;* rc^ log.(1--a!) = — «— -— j — j— . .
Voici une démonstration assez simple d'an iemme souvent înyoqué dans l'emploi des séries.
Immc— Si dans IasérieAu4-Bu^ + Cu* + Du*+ . . . .
j^BG sont des quantités qui ne contiennent pas u^ on peut
toujours prendre u assez petit pour que le premier terme Ati surpasse la somme S de tous ceux qui le suivent. Soit en effet M le plus grand des coeHicients ABC on aura nécessairement,
S<N(tt» + t**+t**+w»+. . 0 ou S<NM«(l+t*+u»+u»+tt*+. ..)
qui revient à b <^„
en prenant t«< 1 . Mais N étant un nombre fini qui ne contient pas u, il est clair que Ton peut toujours donner à u une valeur assez petite pour avoir
k^- d'où ku>- ou enfin Aii>S
Att>Btt2-f.CM« + Du*+. . . .
SERLIO, architecte, né en 1475^ mort en 1552. Il a travaillé avec le Primatice au château de Fontainebleau.
SEXTANT. — Voj. Tarticle Instruments de l'ingénieur j pag. 973.
SILIGE-SILIGIUM. La silice constitue, et presque à Pétat de pureté parfaite, le caillou vulgairement connu sous le nom de pierre à fusil, ou silex j le cristal de roche.
Elle est formée de
1 at. silicium 92.6 48.04
1 al. oxygène 100 51.96
1 at. silice 192.6 100
