Les angles opposés par le sommet sont égaux

7. Par un point pris sur une droite ou hors du prolongement d'une droite, on ne peut conduire qu'une seule perpendiculaire à cette droite.

8. La somme DG^'CB d^s obliques menées de deux points quelcon-

Sues D,E à une droite ÂB, est la plus petite possible, lorsque les angles iGB, EG Â , dirigés en sens contraire, sont égaux.

9. Lorsque par un point pris hors d'une droite, on mène plusieurs lignes à différents points de cette droite, i^* la perpendiculaire est plus courte que toute oblique ; 2» les obliques conduites d'un point quelconque de la perpendiculaire et qui s'écartent également de son pied, sont égales; 3^ de deux obliques inégales, la plus longue est celle qui s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire ; 4<» deux obhques, fui sont égales, tombent nécessairement de différents côtés de la perpendiculaire, mais à égale distance de son pied.

10. D'un point à une droite, on ne saurait tirer trois droites égales.

11. La perpendiculaire étant la plus courte des lignes qu'on peut mener d'un point ^ une droite, mesure la vraie distance de ce point k la droite.

12. Lorsqu'elle tombe sur le milieu de cette droite, elle a tous ses points à é^ale distance des deux extrémités, et tous les points pris hors de la perpendiculaire sont inégalement éloignés de ces extrémités.

13. Deux droites perpendiculaires à une troisième ne se rencontrent point, quelque prolongées qu'on les suppose, et par conséquent sont parallèles, à moins qu'elles ne soient pas dans le même plan.

14. Une droite étant perpendiculaire à une autre droite, toute oblique à celle-ci, sufGsamment prolongée, rencontrera nécessairement la première.

15. Lorsque deux droites sont parallèles, toutes celles qui, dans le plan de ces droites, sont perpendiculaires à Tune, sont en même temps perpendiculaires à l'autre.

16. Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

17. Lorsque deux parallèles sont coupées par une droite, tous les angles aigus de la figure sont égaux eotre eux, ainsi que tous les afigles obtus ; en outre, la somme d'un angle aigu et d'un angle obtus quelconques = 2 angles droits

a-|-6 = a'+6's=c'+d'=c+d=:(J-[-a «2 droits.

18. Réciproquement, lorsque Tune quelconque de ces propriétés a lieu, les droites sont nécessairement parallèles.

19. Deux droites respeclivement perpendiculaires k deux autres droites qui se coupent, doivent nécessairement se rencontrer sous le même angle que celles-ci.

20. Les angles qui ont les cAtés parallèles etl'ou- Terture tournée dans le même sens, sont égaux.

21. Les parties de parallèles interceptées entre parallèles, sont égales, et réciproquement si l'on a à la fois BD = ÂC et ÂB»€D. BD est parallèle à ÀC, et CD est parallèle à ÂB. Enfin, si A G et BD sont égales et parallèles, AB et CD seront de même égales et parallèles.

Si. Si deux droites quelconques sont coopées par un nombre n quelconque de parallèles menées par des points pris à égales distances sur l'une d'elles A D , les parties de la seconde droite EH comprises entre ces parallèles sont aussi égales entre elles, et l'on a

nXAB:nXEF::AD:EF.

23. Trois parallèles DH, BF, ÂE coupent toujours deux droites quelcon ques en parties proportionnelles, et l'on a

AB: BD :: ef: fh

24. Si, par un point quelconque D pris dans le plan de deux droites AB, BG en dedans ou en dehors de l'angle ABC, on conduit plusieurs sécantes DG DE D6, et, si l'on joint les iotersections de celles-ci par de oourelles droites GF AE EH FG, les intersections de ces dernières seront toutes situées sur une même droite OB, laquelle passera par le pùnt de concours B des premières droites AB BG.

(B.) Triangles. — Leurs propriétés.

1. Un côté quelconque d'un triangle est plus petit que la somme des deux autres; et, pour qu*un triangle puisse être construit avec trois lignes données, il faut que l'une quelconque de ces lignes soit plus petite que la somme des deux autres.

2. Si Ton prend dans l'intérieur d'un triangle un point quelconque d'où l'on conduise deux droites aux extrémités d'un des côtés, la somme de ces droites enveloppées sera toujours plus petite que celle des droites enveloppantes qui s'appuient sur la même base.

3. Si deux côtés a b d'un triangle ÂBC sont respectivement égaux k deux côtés a' b' d'un autre triangle A' B' C, et si l'angle G compris entre les deux premiers est < celui G' compris entre les deux derniers, oa a ^nécessairement côté e < coté cK

4. Lorsque deux côtés d'an même triangle sont ésaux, les angles oui sont opposés à ces côtés sont égaux, et si les deux côtés sont inégaux, le pins grand des deux est opposé au plus grand angle.

5. Réciproquement, si deux angleis d'un triangle sont égaux» les côtés opposés à ces angles sont égaux, et si les deux angles sont inégaux, un plus grand côté est opposé au plos grand angle.

6. Un triangle éauilatéral est nécessaîrement équiaugle, et réciproquement un triangle équiangle est nécessairement équilatéral.

7. La somme des trois angles de tout triangle ««> 2 angles droits.

8. Un triangle ne peut doue avoir qu'nn seul angle droit et à forliori qu'on seul an^le obtus.

9. Si l'on prolonge un côté quelconque d'un triangle, on forme un angle extérieur qui vaut toujours à lui seul la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas contigus.

10. Lorsque deux angles Â, B d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles A' B' d'un autre triangle, le troisième angle G du premier » le troisième angle G' du second.

11. Les droites parallèles qui divisent l'un des côtés A M d'un triangle en parties égales, divisent pareillement en parties égales l'autre côté A H de ce triangle, et si ces droites sont parallèles au troisième côté MH, on a

AB: AE::AD: AG::nXAB:nXAE

n étant un nombre quelconque.

12. Réciproquement, si deux côtés d'un triangle sont coupés par une droite GF en parties proportionnelles, cette droite G F sera parallèle au troisième côté M H.

13. La droite qui divise en deux parties égales l'un des angles B d'un triangle, partage le côté opposé en deux segments proportionnels aux côtés adjacents, de sorte que Ton a

AD : AB :: GD ; gb.... ad x cb = ab x cd

14. Réciproquement, si les côtés G B, AB sont entre eux comme les segments G D, AD, la droite B D coupe l'ange B en deux parties égales.

15. Les droites qui divisent en deux parties égales chacun des angles d'un triangle, se coupent toutes trois en un même point.