PA PB
que Ton nomme le rayon r et la distance DP » â?
Le produit des lignes alternatives ou P A X PC X P E X- •••=*''' — ^" a P est dans le cercle ,
Ao contraire PAX^CXPEX-. .««■ — r* si P est en dehors , ei le produit des autres lignes donne PEXP^X^^X- ••• = •'" + «"
37. Si par un point quelconque R d'un &mètre, on élève une perpendiculaire RS , et si d'une longueur RT égale au rayon, on recoQpe la circonférence, RS est moyenne géométriqne, et RT moyenne arithmétique entre les parties PR, RQ du diamètre.
38. Si, dans le pian d*nn cercle, on prend na point fixe , la somme des carrés des di- "p fiances de ce point aux extrémités d'un "^ damècre quelconque sera toujours la même*
39. Si. par le milieu m de Tare A d'un cercle, on mène une corde quelconque, le rectangle de cette corde i>ar sa partie comprise entre m et la corde de A, sera constante de quelque manière que la corde dont il s'agit soit menée.
40. Si, des extrémités d'un diamètre, on abaisse deux perpendiculaires sur BDe sécante qui ne le coupe pas, les deux parties extérieures de la sécante iODt égaies entre elles.
41. La partie d'une tancente comprise entre les mendiculaires aux extrémités d'un diamètre, est é|ale h la somme des deux segments qu'elle déter- ■ine sur ces perpendiculaires : DG « AD 4- CB.
42. Les deux parties d'une sécante comprise aire deux circonférences concentriques, sont épies entre elles.
43. Toutes les cordes comprises entre deux cirttttférences concentriques et tangentes à la circon- Krence intérieure, sont égales entre elles, et se cnraent deux à deux en parties réciproquement Jy.
840 GËOMËTBIE ET TRIGONOMÉTRIE (E).
(E) Polygones inscrits et circonscrits au cercU^ propriétés.
1. Les polygones réguliers ou dout tous les côtés el les angles saillants sont égaux, peuvent être inscrits ou circonscrits au cercle.
2. Les angles au centre d'un polygone régulier, sont tous égaux entre eux.
360« n étant le nombre des côtés du polygone, chacun d'eux » et leur somme
=> 3%ù^ s» 4 angles droits.
3. Un polygone régulier étant inscrit au cercle , si, par les sommets de ses angles, on mène des tangentes au cercle, elles formeront un polygone régulier de même nom que l'inscrit.
4. Un polygone régulier étant circonscrit au cercle, si, d'un point de contact au suivant, on mène des cordes, elles formeront un polygone régulier inscrit de même nom que le circonscrit.
5. Les polygones réguliers d'un même nombre de côtés, sont semblables ; — leurs contours sont entre eux comme les rayons des cercles auxquels ils sont inscrits ou circonscrits ; — leurs aires sont entre elles comme les carrés de ces rayons.
6. Les cercles étant des polygones réguliers d'un très-grand nombre de côtés, leurs aires sont entre elles comme les carrés de leurs rayons , ou de leurs diamètres, ou de leurs circonférences.
7. Un polygone régulier quelconque est équivalent à un triancle qui aurait pour hauteur ['apothème, et pour base la somme des côtés du polygone.
8. On ne peut couvrir une surface plane indéfinie que par trois systèmes de polygones reguUers, savoir : des triangles» des carrés, des hexaffones, — et autour des mêmes points sur ce plan on ne peut assembler par leurs angles saillants, que six triangles, quatre carrés ou trois hexagones.
9. Le carré du côté du triangle équUatérai inscrit, est égal à trois fois le carré du rayon, et le carré inscrit est égal à deux fols le carré du rayon.
10. Les distances du centre du cercle à un sommet du triangle équilatéral circonscrit et au milieu d'un côté du triangle équilatéral inscrit, sont respectivement le double et la moitié du rayon.
11. BDF étant un triangle inscrit quelconque, d'un sommet D, menez une perpendiculaire DP a la base, puis, du même point D, un diamètre et le rectanole de ces deux lignes sera égal à celui des deux côtes de l'angle qui les comprennent
DPXDA«DBXDF
12. BAC étant un triangle inscrit quelconque, et ÂD une droite qui coupe l'angle A en deux parties égales, on a
ABXAC=AEXAD = BEXEC-f Àë"
13. Si l'on fait tourner dans son plan un triangle antour de la circonférence inscrite , de manière que ses côtés soient continuellement tangents à cette circonférence, les trois sommets décriront trois circonférences concentriques à la première.
14. Un cercle étant inscrit dans un triangle équilatéral, si l'on joint les sommets du triangle au centre du cercle, les cercles qu'on inscrirait dans les trois triangles résultants seraient tangents entre eux et au premier cercle.
15. Dans tout quadrilatère circonscrit au cercle, deux des côtés opposés pris ensemble sont égaux aux doux autres.
16. Rëciproqoemenl, tous les qoadrilalères à angles saillants sont circonscriplibies au cercle, quand les sommes de leurs c6tés opposés sont égales.
17. De tous les quadrilatères de même périmètre dont les longueurs des càiés sont inyariables le plus grand est celui qui est inscriptible au cercle.
18. Dans tout quadrilatère inscrit au cercle, le produit des diagonales égale la somme des produits des côtés opposés du quadrilatère
ACXBD = ABXI>C + ADXBC
19. Et les deux diagonales sont entre elles comme la somme des rectangles des côtés qui abouiiissent k leurs etirémités
ac abxad + cbxcp bd""baxbc + daxi>c
20. Tout quadrilatère où la somme des angles opposés égale deux angles droits, est Inscriptible au cercle.
21. L'aire d'un cercle est à celle d'un polygone queleonquê, qui lui est cireoDscrit, comme la circonférence est au périmètre du polygone.
22. Le contour d'un cercle est toujours plus petit que celui d'un polygone de même surface.
'23. De tous les polygones de même surface et d'un même nombre de côtés, celai dont les côtés sont égaux entre eux a le moindre périmètre.
2i. De deux polygones réguliers de même surface; celui dont le périmètre est le moindre est celui qui a le plus de côtés.
25. De tous les polygones formes avec les mêmes côtés, tous donnés excepté QB seul, le nlus grand est le polygone inscriptible au cercle.
26. Si, dans un polygone régulier, on mène toutes les diagonales qui en itinncbeot vn triangle, ces diagonales formeront par leurs intersections un polygone régulier d'un même nombre de côtés et de même centre que le preoier.
27. Si, d'an point quelconque de la surface d'un polygone régulier de n côtés, 00 abaisse des perpendiculaires sur ces n côtés, la somme de ces n perpendictthires vaudra n fois le rayon du cercle inscrit*
28. Soient deux polygones réguliers semblables, l'un P circonscrit, l'autre p iBicritmals ayant les sommets de ses angles aux points de tangence des côtés fc premier : si, sur un des côtés de P comme diamètre, on décrit une circonmice, elle interceptera sur la droite menée d'une extrémité de ce diamètre ueeDtre des polygones le côté d'un troisième polygone p' régulier, semblable indeox premiers, et de plus équivalent à leur différence P — p.
29. Dans tout pentagone régulier, V chaque diagonale est parallèle k on c^; 2» les diagonales se coupent mutuellement en moyenne et extrême raiin), ao sommet d'un second pentagone régulier ; 3** si l'on prolonge chaque ^poihème de ce second pentagone d'une quantité égale à cet apothème, on ^tera aux centres de cinq nouveaux pentagones réguliers égaux au second, ttdoat an angle de chacun sera un angle du premier.
30. Si Ton divise les côtés d'un triangle équilatéral chacun en trois parties ^les, les points de division seront les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le triangle ; la surface et le périmètre de cet hexagone seront respecii^aoent les deux tiers de la surface et du périmètre du triangle.
M. Si l'on prolonge tous les côtés d'un hexagone régulier jusqu'à ce qu'ils j^reoeontrent deux a deux, on forme un polygone étoile de douze côtés dont w et le périmètre sont respectivement doubles de l'aire et du périmètre de l^gone. De plus, les six sommets saillants du dodécagone étoile sont les '"nunets d'un hexagone régulier dont l'aire est triple de celle du premier.
^- Si l'on prolonge les côtés d'un carré de part et d'autre de quantités
égales à la demi-diagonale, on obtient les sommets d'un octogone régulier de même centre que le carré et d'un périmètre double*
33. Si Ton prolonge les côtés d'un carré de part et d'autre de quantités égales au côté de ce carré, on obtient les sommets d'un octogone inscriptible dont Taire est égale à sept fois l'aire du carré primitif.
31. Tout dodécagone régulier est équivalent au carré fait sur le côté du triangle équilatéral inscrit dans le même cercle.
35. Soient deux polygones réguliers de même périmètre p ; -^ le côté de l'un
et — le côté de l'autre , ou m et 2 m les nombres de côtés respectifs ; soient
enfin R et r , R' et r' les rayons respectifs des cercles circonscrits et inscrits à ces polygones, on a toujours
r'c=î(r + R) et R'«j/lRr^
36. Si K est le côté d'un polygone régulier inscrit de n côtés, le côté Z d'un polygone inscrit de 2 n côtés est (le rayon étant 1)
Z=.j/2— i/inrKïj z» = 2|l— v/l-(iK)«J
37. Si K est le côté d'un polygone régulier inscrit de n côtés, le côté X d'un polygone régulier circonscrit du même nombre de côtés est (le rayon étant 1)
d'où K
38. Si l'on prend pour unité le rayon du cercle circonscrit aux polygooes réguliers d'un nombre n de côtés, D étant l'angle droit, on a
Polygones de
Angle au centre.
n côtés. . •
Angle
à la
drconrérence.
Côté.
Apothème,
