De plus, les quatre droites mD', m}\y
MD', M'D partageront le parallélogramme en •-j ;=*^/
neuf parties qui, rapprochées convenable- ^^ D
ment, donneront cinq parallélogrammes égaux entre eux. Dans le cas du carré les cmq parallélogrammes sont cinq carrés.
20. La droite qui joint les milieux des deux côtés non parallèles d'un trapeze est parallèle aux autres côtés, et vaut leur demi- somme } — et la droite
qui ioioi les milieux des diagonales d'un trapèze, est parallèle aux c6tés parallèles, et yaut leur demi-différence. A
21. Si, par un point 0 d'une diagonale d'un parallélogramme ÂBGD> on mène des parallèles, les parallélogrammes GO, OB ainsi formés sont équivalents, et les parallélogrammes ÂO, /i OD sont semblables. ^
22. La perpendiculaire abaissée de l'un quelconque R des sommets d*nn parallélograuiime sur une droite XT conduite arbiurairement par le sommet opposé A <»
la somme des perpendiculaires abaissées des deux autres sommets sur la même droite
Rrc=Qç4-Pp.
23. Si tant de parallélogrammes qu'on fondra sont situa dans un même plan , et quMls aient une diagonale commune , la sonmie des perpendiculaires abaissées ée$ deux extrémités de Tautre diagonale sur une droite conduite arbitrairement dans le plan par l'une des extrémités de la première, sera une quantité constante pour tous ces parallélogrammes.
21. Si, par l'un des sommets d'un polygone, on conduit des diagonales aux antres soomiets, le polygone sera partagé en autant de triangles qu'il y a de côiés moins deux.
n étant le nombre de c6lés d*un polygone, s la somme de ses angles, on a loqours
s = (n— 2) X 2 droits ; *<> =- (n— 2) X 180<».
25. La somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est donc toujours égale à quatre angles droits, et tous les polygones d'un même nombre de côtés ont la somme de leurs angles intérieurs égale.
26. Si Ton prolonge ^ans le même sens tous les c6tés d'un polygone convexe, la somme des angles extérieurs formés par cbaque côté et par le prolongement de celui qui le précède, est égale à quatre angles droits, quel que ioit le nombre des côtés du polygone.
27. Deux polygones sont égaux, lorsqu'ils sont composés d'un même nombre de triangles égaux et semblablement disposés.
28. Lorsqu'on conaatt tous les côtés d'un polygone à l'eiception d'un seul, et les angles compris entre les côtéB donnés, le polygone est déterminé*
29. Si, dans les conditions d'égalité de deux figures, on substitue la proportioDnalité des lignes à leur égalité, ces conditions solBront pour affirmer que les figures sont semblables.
90. I>eux polygones composés d'un même nombre de triangles semblables, cbacun à chacon, et semblablement disposés, sont semblables.
31. Réciproquement, lorsque deux polygones sont semblables, ils peuvent iMîoiirs être décomposés en triangles semblables, chacun à chacun, et sembbbleaient disposés.
32. Si» dans deux polygones semblables, on tire des droites quelconques ■lis seodDlablement disposées dans chacun d'eux, ces droites seront proporlioimelles aux côtés homologues des polygones.
33. Les contours de deux polygones semblables sont entre eux comme les e6^ homologues de ces polygones.
SI. Les aires des polygones semblables sont entre elles comme les carrés
des côtés homologues, ou comme les carrés de lignes semblablement placées dans chacun d'eux.
35. Tout polygone construit sur l'hypotLé- f] nase d'un triangle rectangle , est éauivalent ^^-^
à la somme des polygones semblables con- «wx ^^^ — \\/r struils sur les deux autres côtés. ^4f^- h^V
36, Dans tout polygone, chaque côté est y^\ • \ égal à la somme de tous les autres, multipliés >^ ! ; \
chacun par le cosinus de l'angle intérieur Jf^ * S 2^
qu'il forme avec le premier
AB=>ÂDcos.DAB + DGcos.GDa + BCcos.CBA.
(D.) CereUi et droites } propriéiés.
1. Une droite ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points.
2. Si d'un point quelconque, on peut conduire à une circonférence et dans son plan, trois droites égales, ce point est le centre de la circonférence.
3. D'un point pris en dehors d'une circonférence et dans son plan, on ne peut mener h cette circonférence que deux droites égales.
4. Dans un même cercle ou dans des cercles égaux, 1° les arcs de même espèce sont sous-tendus par des cordes égales ; â<> les cordes sont égales lorsqae les arcs de même espèce sont égaux j Z^ le plus grand de deux arcs inégaux est sous-tendu par une plus grande corde; 4<* une plus grande corde sous-teud unpius grand arc, pourvu que les arcs que l'on compare soient moindres que la demi-circonférencé.
5. La perpendiculaire k l'extrémité d'un rayon, est tangente au cercle, et réciproouement la tangente au cercle en un point quelconque, est perpendiculaire a Textrémité du rayon mené à ce point.
6. Si, du même point, on conduit deux tangentes à un cercle, ces tangentes sont égales.
7. La perpendiculaire sur le milieu d'une corde passe nar le milieu de l'arc qu'elle sous-tend et par le centre du cercle ; donc, lorsqu'une droite passe par deux de ces points, elle passe nécessairement par le troisième.
8. Toute perpendiculaire abaissée du centre du cercle ou du milieu de Tare sur la corde, passe nécessairement par le milieu de la corde.
9. On a, entre la corde c, la flèche /'et le rayon r d'un arc de cercle, la relation
10. Deux cordes parallèles ou une tangente et une corde parallèles Interceptent, sur une même circonférence, des arcs égaux ; et réciproquement, si les arcs interceptés sont égaux, les cordes sont parallèles
1 1 . La tangente, au milieu d'un arc, est parallèle \k la corde de cet arc.
12. L'angle FAG , qui a son sommet à la circonférence d'un cercle, a pour mesure la moitié de l'arc F G de la même circonférenee intercepté entre ses côtés.
13. L'angle au centre FG G est double de l'angle FAG à la circonférence qui s^appuie sur Te même arc.
14. L'angle F AH , compris entre une tan' génie A H et une corde A F, a pour mesure la moitié de Tare A F qu'il comprend.
15. L'angle formé par une tangente AH et une corde quelconque AF=i Tangle inscrit daos l'autre segment
HAF«AGF; NAG » AFG
16. L'angle FA i, formé par une corde FA et le prolongement extérieur Al d'une autre corde A G, a pour mesure la moitié de la somme des arcs AF + AG sous-tendus par ces cordes en dehors de l'angle F AG.
17. Tous les angles qui ont leurs sommets à la circonférence et s'appuient sur le même arc sont égaux ; et tous ceux qui ont leurs sommets à la circonférence et s'appoient sur les extrémités d'un diamètre» sont droits.
18. Tout angle BAC qui a son sommet A dans le cercle entre le centre et la circonférence, a pour mesure la moitié de la somme des arcs B G -f- D E compris entre les côtés et les prolongements de ceux-ci.
19. L*angle GAB. dont le sommet A est placé en dehors du cercle , a pour mesure la moitié de l'excès BC — DE de l'arc concave sur Parc convexe au sommet.
SO. Par trois points, non en ligne droite, on peut toujours (aire passer une circonférence , et Ton n'en peut faire passer qu'une seule.
21. Deux circonférences ne peuvent avoir trois points communs sans se confondre, et ne sauraienfse rencontrer en plus de deux points.
22. Deux circonférences qui passent par un même point de la droite qui joint leurs centrés, n^nt que ce poini commun, et réciproquement si deux circonférences ont un seul point commun, leurs centres et ce point de contact sont en ligne droite.
21. R et r étant les rayons respectifs de deux circonférences, et d la distance de leurs centres, ces circoniérences se touchent, savoir :
Extérieurement, si R -|- r »= d Intérieurement, si R — r = d
Elles se coupent, et la corde d'intersection est entre les centres, si
R + r>di r>R— d et R>d
Elles se coupent, et la corde dMntersection est du même côtés des centres ,
si R-fr>d; r>d — R et d>R
Elles sont hors l'une de l'autre, si R + r < d Elles s'entourent l'une l'autre, si R — r > d
2^. Si deux circonférences se touchent en P, et si l'on mène PDE par la ligue des centres, toute droite P A B menée du point de contact P> donnera
PA:PB :: pd: pe
25. Si, par le point de contact de plusieurs àrconférences, on mène une sécante queleonqoe, les cordes résultantes sont entre elles comme les circonférences aux- (pwHes elles appartiennent.
26. Si, par le point de contact de deux circonférences, on mène deux se-
cantes, les cùtées qui joiodront les poinU d'intersection des sécantes arec les circonférences, seront parallèles.
37. Deux sécantes^ qui partant d'un même point extérieur E, sont prolongées jusqu'à l'arc concave i ce point, sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures
CEXAEc=EDXEB
28. La tangente EF est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure
1f'= CE X AE « EDX EB
29. Deux cordes qui se rencontrent dans un cercle d'une manière qudconaue, se coupent en parties réciproquement proportionnelles ^
ABXBC = EBXBD
30. Réciproquement, quand deux droites se coupent de manière que les deux parties de Pune sont les extrêmes d'une proportion, les deux parties de l'autre en étant les moyens, les extrémités de ces droites sont sur une même circonférence.
31. Si l'une des cordes est un diamètre G H, et si l'autre corde ED lui est perpendiculaire, la moitié de celle-ci est moyenne proportionnelle entre les deux parties du diamètre
EF*=-GFXFH
32. Si les cordes  G , ED se coupent à angles droits, la somme des carrés des segments des cordes égale le carré du diamètre D
■AB*+"BC'-t- EB* + BD'= d»
33. La corde AC. . . menée de Textrémité d'un diamètre , est moyenne proportionnelle entre le diamètre A B et le segment AE déterminé par le pied fi de la perpendiculaire abaissée de l'autre extrémité de la corde
ÂC = ABXAE
et les carrés des cordes A G , A F , . • . . sont entre eux comme les segments respectifs AE AG
AG
AG
af'::
AE
31. Elevez une perpendiculaire quelconque à une diamètre A M, et, de l'une de ses extrémités A, menez à la circonférence les droites quelconques AB AE aK qui rencontrent la perpendiculaire, le produit des distances à A des points d'intersection , égale le produit ou diamètre par la distance à A du pied P de la perpendiculaire :
ABXAC = AEXBA = AKXAK
