Conditions d^égalité. Deux tétraèdres sont égaux
l*' S'ils ont chacun un angle trièdre composé de triangles égaux et semblablement disposés i
So Si deux feces de Tod^ sont égales k deux faces de Paotre et assemblées de la même manière ; ils sont éqoiyalents lorsqu'ils ont les quatre faces égales chacune à chacune.
4. Condiiiont de similiiude. Deux tétraèdres sont semblables : Lorsque les triangles qui forment deux angles trièdres homologues sont
semblables chacun à chacun et semblablement disposés ;
Si deux laces de l'un font entre elles le même angle que deux faces de rautre, sont , en outre, semblables k celles-ci et assemblées par des côtés homologues ;
Lorsqu'ils ont toutes leurs arêtes homologues proportionnelles.
5. Les pyramides de même hauteur et dont les bases sont équivalentes , sont égales en volume. '
6. Deux pyramides quelconques sont semblables lorsque leurs faces sont semblables et semblablement disposées.
7. Eq coupant une pyramide par un plan parallèle è sa base , on en retranche une pyramide semblable.
8. Los arêtes homologues des pyramides semblables sont proportionnelles entre elles et aux perpendiculaires abaissées des sommets sur les bases.
9. Les bases des pyramides semblables sont entre elles comme les carrés de deux arêtes homologues quelconques , ou comme les carrés des perpendiculaires abaissées du sommet sur leurs plans.
iO. Les sections 8i\ S S', faites aux mêmes distances dd' des sommets dans deux pyramides quelconques , sont dans un rapport constant , quelles que soient, d'ailleurs, ces distances et les figures des bases.
11. Un polyèdre quelconque peut être partagé en pyramides triangulaires en joignant par des droites le sommet de l'un des angles à tous les autres et âvisaot toutes les faces en triangles.
12. Deux polyèdres composés d'un même nombre de pyramides triangulaires égales et semblablement disposées sont éf:aux.
13. I>eux polyèdres sont semblables s'ils sont composés d'un même nombre de pyramides semblables et semblablement disposées.
14. Si Ton divise en parties proportionuelles les droites menées d'un IMHDt quelconque aux sommets d'un polyèdre donné, on aura les sommets d*nn nouveau polyèdre semblable au premier.
15. Les arêtes homologues des polyèdres semblables sont proportionnelles, sinsi que les diagonales des faces homologues et les diagonales intérieures aux polyèdres.
16. Les aires des polyèdres semblables sont entre elles comme les carrés des arêtes homologues.
17. Deux polyèdres semblables sont entre eux comme les cubes de deux droites homologues quelconques de ces deux polyèdres.
18. Deux prismes triangulaires de mêmes bases et de mêmes hauteurs sont équivalents.
19. Deux tétraèdres de même base et de même hauteur sont équivalents.
30. Un tétraèdre quelconque est équivalent au tiers du prisme triangulaire de même base et de même hauteur.
21. Deux prismes quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs. — S'ils ont mêmes bases, ils sont entre eux comme leors hauteurs. — S'ils ont mêmes hauteurs^ ils sont entre eux comme leurs kttes.
22. Deux pyramides quelconques sont entre elles dans les mêmes rap« ports que ci-dessus.
23. Deux prismes sont semblables s'ils ont un angle trièdre formé de polt|oses semblables et semblablement disposés.
21. Deux prismes sont ^gnux s'ils ont chacun un angle trièdre composé de
polygones éftwi et semblablemeDt disposés, — ou s'ils ont une base égale et une face j^ale également inclinée sur cette base.
25. Deux corps sont semblables dans tous les cas analogues à ceux où il» sont égaux.
26. Les parallélipipèdes de même base et de même hauteur sont équivalents.
27. Tout parallélipi()ède peut se décomposer, par un plan diagonal, en deux prismes triangulaires équivalents et qui sont chacun moitié du parallélipipède.
28. Les parallélipipèdes rectangles sont entre eux comme les prodoits des arêtes qui forment un même angle trièdre. — S'ils ont mêmes bases , ils sont entre eux comme leurs hauteurs.
29. Si l'on coupe un parallélipipède quelconque par un plan incliné à sa base, le volume du tronc vaudra le produit de cette base par sa distance au centre du parallélogramme que donne la section.
30. Dans tout parallélipipède , la somme des carrés des quatre diagonales est égale à la somme des carrés des douze arêtes.
(H.) Corps ronds et polyèdres réguliers^ propriétés,
1. Toutes les sections faites dans un cône droit parallèlement à sa base sont des cercles qui sont entre eux comme les carrés de leurs distances au sommet, et dont les circonférences sont entre elles comme ces distances.
2. Eu général, 6 étant Tangle au sommet d'un côoe droit, c la partie d'une de ses génératrices comprise entre ce sommet et un plan qui coupe le cône, a l'angle de ce plan coupant, avec c, l'équaiion de la courbb de section du cône par le plan ou de la section conique, est
c étant un point, ci-dessus celle d'une hypbebolb s'il est positif, et' celle d'une pahàbolb s'il est mil.
3. Soit ABOCM un cône quelconque à base circu- 0 laire BMGO.ÂBG la section triangulaire de ce cône g, par un plan perpendiculaire à sa base, et passant par son axe; soit GEFI une autre section de ce cône par un plan perpendiculaire à ABG, et telle qu'on ait angle  F G=: ancle A B G et angle  G F = angle A G B, la sec* tlon G E F 1 sera nécessairement un cercle.
4. Dans un cylindre droit, toutes les sections parallèles aux bases sont des cercles égaux.
5. Toutes les sections de la sphère par un plan sont des cercles.
6. Tous les cercles dont le plan passe par le centre de la sphère sont égaux et ils se coupent toujours en detix pariies égales.
7. Le plus court chemin d'un point à un autre de la surface spbérique est l'arc de grand cercle déterminé par le plan qui contient les deux points et le centre de la sphère.
8. Si, par le centre d'un cercle quelconque tracé h la surface de la sphère, on fait passer une perpendiculaire à son plan, elle passera par k centre de la sphère et la percera en deux points dont chacun sera également éloigit^ de tous ceux de la circonférence proposée.
9. Par quatre points qui ne soient ni en ligne droite ni dans un naérne plan, on peut toujours faire passer une surface sphérique , et l'on n'en peut faire passer qu'une.
10. La sphère est, de tous les eorps de même surface, celui dont le Tolome est le plus grand.
If. L'aire d'une calotte sphérique est à l'aire de sa sphère comme la hauteur de la calotte est au diamètre de la sphère.
12. Le cercle décrit sur une sphère atec une ouverture de compas quelconque détermine sur cette sphère une calotte sphérique ou zone à une base équivalente au cercle décrit sur un plan avec la même ouverture de compas.
13. Les cercles décrits sur des sphères différentes et avec la même ouverture de compas, déterminent sur ces sphères des calottes sphériques équivalentes.
14. On peut environner une sphère centrale de doute autres sphères de même rayon, dont chacune touchera la sphère centrale et toutes ses voisines.
15. Dans la projection stéréographique (page 219) , les projections des cercles de la sphère sont elles-mêmes des cercles, et la perspective de l'angle de deux courbes quelconques de la surface ne diffère point de cet angle loi-même.
16. Les aires des corps ronds semblables sont entre elles comme les carrés de leurs lignes homologues, et leurs volumes sont entre eux comme les cubes des mêmes lignes.
17. Tout cône est le tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur, et la sphère est les deux tiers du cylindre qui lui est circonscrit.
18. Le volume d'un polyèdre quelconque circonscrit à une sphère, ou dont tous les plans sont tangents à la sphère, est au volume de la sphère comme h surfoce du polyèdre est à la surface sphérique.
19. Tous les polyèdres circonscrits à une même sphère sont entre eux comme leurs surlaces.
20. 11 n'y a que cinq polyèdres réguliers , savoir : celui k 4 faces , dit iéiraêârey dont les angles sont irièdres et dont les faces sont des triangles éqoilatéraux;
Gelai à 6 faces, dit hexaèdre ou cube, dont les angles sont trièdres et dont les faces sont des carrés égaux;
Celui à 8 faces, dit octaèdre , dont les angles sont iélraèdrei et dont les &ces soDt des triangles éqoilatéraux ;
Celuiàl2Êices, dit dodécaèdre , dont les angles sont trièdret et ûoni les foees sont des peiUagones-,
Celui à 20 faces, dit icoiaèdre, dont les angles sont pentaèdret et dont les fiMes sont des triangles éqnilatéraux.
On trouvera plus loin les rapports de ces polyèdres avec la sphère.
(I.) Aires des surfaces planes.
1. Triangle. L'aire T d'un triangle ABC a pour menrc la moitié du produit de sa base a par sa hauteur h — M la moitié du produit de deux côtés par le sinus de Taigle qu'ils comprennent , — ou , 2|> étant son péri- Qiètre, on a encore
Ts= J ah^=l bc sin.A ss |/p (p — a) (p — 6) (p — cj
c* sin.Asin. B
""2 •»iQ. (A + B)
8i8 GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE (l).
2. Et si R est le rayon du cercle qui lui est circouscrit, et r celui du cercle qui lui est inscrit, on a aussi
T=-^ = ir(a+* + c) = rp
3. Polygone quelconque. Il peut être décomposé par des diagonales en triangles qu'on sait mesurer.
