log. sin. 60O

mm

log. sin. G 10.0198470 yaleur qni montre que la question est absorde; car le plus grand de tous les sinus a pour logarithme 10.000000 , et un logarithme de sinus = 10.0198 ne peut appartenir qu'à un arc imaginaire.

29. On a supposé dans toutes les formules précédentes le rayon de la sphère égal à l'unité.

Si ce rayon était quelconque, et = r par exemple, et qu'on voulût la lon-

fueur absolue d'un côté, on convertirait ce côté en secondes ( )> et ' tant le nombre de secondes qui y est contenu, on aurait pour sa longueur absolue I

ou log. l zz log. r + log. s — 5.3144251

30. Réciproquement, la longueur absolue ( du côté d'un triangle sphérique étant donnée, amsi que le rayon r de la sphère sur lequel il est tracé, on aura sa graduation $ en seeondes au moyen de

1296000 . . I ' 2^Xf

ou log. I = 5.3144251 + log. l — log. r

Ainsi, sur une sphère d6 iùù^ de rayoDy ,

rare = 79^.4125 aurait pour graduatiou 45^30' l'arc de 25«.3'.3v.266 aurait pour longueur 43^.7i21

31. La surface T d'un triangle sphérîque est à la surface S de la sphère sur laquelle il est décrit comme l'excès de ces trois angles Â4-B-)-C sur deux angles droits est k 8 angles droits.

T : S:: (a+b+c — iso)» : 720»

R étant le rayon de la sphère en mètres, on a en mètres carrés

T'=-lTt R«

Pour R= 100» A = 90» B = 36o.25 C=62«.39'.28^383

le second &cteur deviendrait oof^w) ^^ l'on aurait T = 1583».99

(P). Tracés et problèmes u$ueU doni la solution fCexige que l'emploi

de la règle et du eompas,

1. Diviser une droite donnée kB en deux parlies égales (figure 1, planche LXXYIl). l>t$ extrémités de la droite donnée AB, et d'un rayon plus grand que la moitié de cette droite > décrivez deux arcs qui se coupent en G et en D; la droite CD sera perpendiculaire à AB, et les droites CD AB se couperont réciproquement en deux parties égales.

2. Diviser une ligne donnée en tant de parties égales qu'on wmdra (fig. 2, pi. LlXVll). Soit proposé de diviser la ligne A Ben cinq parties é^es. Par l'extrémité A, menez la droite indéfinie AC, et portez sur cette droite dnq fois la longueur quelconque Al; joignez le dernier point de division G et Textrémité B de la droite AB; menez Dl parallèle à BG» AD sera la cinquième partie de AB.

Ge procédé peut se varier de différentes manières: en voici un autre (fig.3) qui est fort exact dans la pratique.

Soit toujours AB la ligne à diviser. Menez X volonté la droite indéfinie BD, et par le point A, la droite A£, parallèle à BD. Portez sur chacune de ces parallèles cinq parties égales, et joignez tous les points de division correspondants par les aroites A D, (1, 4), (2, 3) , lesquelles, étant parallèles et équl-

distantes, diviseront A B en cinq parties égales.

3. Diviser une droite AB dans le même rapport qu'une autre droite A G. Le procédé est tout à fait analogue. Soit par exemple 2, 3, G, les points de division (ûg. 2) de la droite A G. On dirigera AG à partir de A sous une inclinaison quelconque. On joindra G B, et l'on conduira parallèlement à GB les droites 33', 22' qui couperont AB en parties A 2', 2' 3', 3'B proportionneUesà A2, 23 et 3 G.

4. DMser une ligne AB «n moffewne et extrême raison (fig. 4). Menez G A

AB

perpendiculaire li AB, et faites GA=-^; du point G comme centre, et du

rayon G A décrivez une circonférence; joignez GB; prenez BE=DB, et le

Îkomt E divisera AB, comme l'exige l'énoncé de la question, c'est-à-dire que 'on aura

AE:BE::BE:AB ou aëxab = bë'

Oo remarquera que, par celle constroctioD, la sécante BH est divisée elle<^ même en moyenne et extrême raison au point D^ c^est-à-diie que sa plus f^nde partie HD est moyenne proportionnelle entre la ligne entière HB,

et l'autre partie D B. H D = H B X B D

5. Construire une échelle de parties égales (6g* 5, pi. LXXTII). On entend par échelle une droite qui sert a mesurer toutes les lignes d'un plan ou d'une carte. Lorsque l'on a des détails minutieux à représenter, on emploie le plus souvent des échelles de dixmes. Voici comment on les construit :

Supposons que l'on veuille le dixième du petit intervalle am^ qui peut représenter un mètre, par exemple. On élèvera, à la droite a6, la perpendiculaire ae, sur laquelle on portera dix intervalles égaux $ puis, par tous les points de division, l'on mènera des i>arallèles à la ligne ab-, ensuite, on tirera les

transversales em^ xn^yp , qui seront équidistantes, puisque les espaces

am, mn»,., cœ^ œy.,.., sont égaux par construction. De cette manière, la partie de la première parallèle (1) (1'}, interceptée dans le triangle Vbd^ sera le dixième de am, ou d'un mètre. La partie de la seconde parallèle, interceptée de même, en sera les ^> et ainsi de suite.

Maintenant, si l'on veut une longueur de 16 mètres ^ , par exemple» on prendra avec le compas la partie de la parallèle (4) (4'), comprise entre ef et la transversale qz. De même, pour avoir la longueur de IS'yôS, on prendra la partie de la parallèle qui est comprise entre ef et xn, et qui tient le milieu entre les deux autres (5) (5') et (6) (6').

6. Faire un angle égal à un anlge donné BÂG (fig. 6, pi. LXXVil). Tirez une droite indéfinie DF: du point D, avec une ouverture de compas assez grande, décrivez l'arc indéfini F£, avec la même ouverture de compas, et du point  comme centre, décrivez l'arc BG , portez BG de F en £, tirez DE.

7. Par un point G donné hors d'une droite AB, mener une ligne qui fasse avec la première un angle donné M (fig. 7). Par un point D pris à volonté sur AB, on tirera une droite DE, de telle sorte que l'angle EDB=M j ensuite on mènera par le point G une droite G H parallèle à DE.

8. Mesurer un angle avec le rapporteur. Le rapporteur est un demi-cercle de cuivre ou de corne, divisé en 180 degrés, et quelquefois en demi-degrés s'il est d'un grand diamètre. On en fait un fréquent usage pour rapporter sur le papier les angles mesurés sur le terrain ; on s'en sert aussi pour mesurer un angle sur le papier, et voici comment on procède. On place le centre de l'instrument au sommet de l'angle à mesurer^ et Ton fait coïncider son diamètre avec un des côtés de cet angle ; le nombre de degrés contenus dans l'arc compris entre les deux côtés est la graduation de ce même angle.

9. Construire sur le vapier un angle d^une graduation donnée (fig. 8). Lorsqu'on visera à quelque exactitude, on devra rejeter absolument l'usage du rapporteur , et employer la table des sinus en se rappelant que sin. Ar=icorde 2 A ou que le sinus d^un angle est moitié de la corde de V angle double.

Ainsi, pour tracer une ligne BG, qui fasse par exemple en B un angle de 31<>.26' avec AB, on prendra sur B A 1.00, 1.000 ou 1.0000 parties quel-

rayon est 1. Reculant la virgule pour multiplier cette valeur par 1.00, 1.000 ou 1.0000 suivant le rayon qu'on a choisi, on aura ac qu'on portera de a en c sur l'arc, il ne restera plus qu'à tirer Bc. Pour un angle de 25^.30' par exemple, on trouverait

sinus de 12o.45' 0.22069

corde 25«.30' 0.44138

Quand l'angle est obtas, on Toblient plus eiactement en construisant son supplément, c'est-à-dire Tangle formé sur le prolongement du côté donné.

10. Par un point E donné sur une ligne kB (fig. 1, pU Lyji\l\), élever une perpendiculaire à cette ligne» Portez à droite et à gauche du point E sur la droite donnée les distances égales E B = E A ; des points B, A comme centres et avec un rayon plus grand que Ë B , décrivez des arcs de cercle : ils se couperont en G et D. La perpendiculaire en E passe donc par les points G, E, D.

11. Mener une perpendiculaire à l'extrémité A d'une droite BA sans la prolonger (6g. 9). Prenez, à volonté, un point G dans rintérieur de l'angle droit EAB. De ce point comme centre, et d'un rayon s» AG, décrivez une circonférence A DHE. Par le point D,^où cette circonférence coupe la droite AB, menez le diamètre DE, et joignez les points A, E ; la droite AE sera perpendiculaire à AB.

S'il s'agissait de résoudre le même problème sur le terrain, on s'y prendrait de la manière suivante.

Placez-vous quelque part en G -, puis tendez un cordeau d'une longueur AG, de G en D, de telle sorte que rextrémité D soit dans la direction AB. Tendez ensuite le même cordeau de G en E, dans la direction G D, marquée par des piquets ; la droite A E sera la perpendiculaire demandée. Gette construction revient à la précédente.

19. Par un point A d'une droite XY donnée sur le terrain, élever une perpendiculaire à celle droite (fig. 10, pi. LXXYII). Faites en A un angle obtus quelconque Y A B ; prenez A B «= A Y, joignez B et Y. Portez de Y vers Q

une distance YO=»-^rv-< Menez AO qui sera perpendiculaire à XY en A.

13. D*un point G donné hors d'une droite A B^ mener une perpendiculaire à cette droite (fig. 11, pi. LXXVll). Du point G comme centre, donné hors de la droite AB, et d*un rayon suffisamment grand, décrivez un arc qui coupe AB en deux points Ë, F; de ces points comme centres, et du même rayon^ ou de tout autre, décrivez deux arcs qui se coupent en D: la droite GD sera perpendiculaire sur le milieu de EF, et par conséquent sur la droite AB. Les points G, D sont chacun également distants de E et de F.

14. D'un point B hors d'une droite accessible X Y et sur le terrain, abaisser une perpendiculaire sur cette droite (fig. 10, pi. LXXVll). Prenez sur XY un point A tel que l'angle YAB soit obtus, et faites AY« AB. Mesurez

BY* BY; portez de Y en Q une distance ^0 =»h-ty9 le point Q sera le pied de

la perpendiculaire cherchée.

15. Diviser un angle G A B oti un arc mn en deux parties égales (fig. 12, pi. LXXVll). Du sommet A de l'angle comme centre et d*un rayon pris h volonté, décrivez l'arc mn. Des points m, n comme centres, et d'un rayon plus grand que ^mn, décrivez deux arcs qui se coupent en D, la droite AD divisera l'angle BAG en deux parties égalas, ainsi que l'arc mn.

On peut, par la même construction, diviser un arc en 4, 8, 16... 2", parties égales.

16. Diviser en deux parties égales un angle (fig. 12, pi. LXXVll) dont on n'a pas le sommet, et qui n^esl donné que par la direction de ses côtés F H, G K. Par des points quelconques 0, I pris sur chacun des c6tés, élevez à ces côtés les perpendiculaires égales 0 o, 1 1.

Par 0 et t, menez les droites, G A, BA respectivement parallèles li F H,

88â GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE (P).

GK. Ces droites se renconlreront en A, et il restera, comme dans le numéro précédent, k diviser GAB en deux parties égales.

17. Sur h itrrain^ dMiêr un angle A en dtux parties égales (fig. 13, pi. LXXVll). Prenez sur diaque côté de Pangle les distances quelconques re* spectivement égales AM=^ALetAM'»AL'. Placez des jalons en L et L'. Deux obserrateurs placés en M et M', et visant l'un de M' vers L, l'autre de M vers L^ feront placer un jalon en un point I tel que ce jalon I leur cache respectivement les jalons L et L'. L'alignement Al coupe l'angle en deux parties égales.

18. 5tff le terrain et par un point donné 0 dans un angle A ouau-dehors^

mener une droite dont le prolongement passe par l4 point A supposé

inaccessible (fig. 14, pi. LXXVll). Par le point 0 tirez une droite quelconque

BG qui coupe les deux cAtés de l'angle, puis une parallèle à cette droite qui

coupe aussi en D et Ë les deux côtés de l'angle.

DE DP

Prenez sur cette seconde droite, soit D I == B 0 X g^. soit E I == 0 C X^

Par le point I ainsi déterminé et par le point 0, menez la droite indéfinie 01 A.

19. Par un point D pris dans Pinlérieur d'un angle donné, mener une droite de manière que les parties comprises entre ce point et les éleux côtés de Vangle soient égales (Gs. 15, pi. LXXVll). Par le point D, menez DE parallèle à AB( prenez EF«>AE, et menez la droite FDG, qui sera nécessairement divisée en deux parties égales au point D.

•' 20. Par un noint G donné, mener une paraUêle à une droite donnée A B (6g. 1, pi. LXXVIII). Du point donné G pris pour centre, et d'un rayon GB aussi grand que possible, aécrivez un arc indéfini BO. Du point B comme centre, et du même rayon, décrivez Tare G A ; prenez BD » AG, et tirez la droite GD qui sera la parallèle demandée.

Ytrici un autre moyen de résoudre ce problème, et qui est assez exact dans ta pratique (Tig. 1).

DU point G comme centre, on décrit l'arc œy tangent h AB, et d'un antre point 9 pris sur AB, on décrit du mémeravon l'arc xi, Eusaite on dispose une règle dont le bord passe par le point G, et soit tangent K Tare je(. La droite G D, déterminée èe cette manière, est la parallèle demandée.

21. Par un point 0 sur le ierrain, mener une parailêle à la éroUe X Y, q^ West accessibU qu'aux poinu \etX (fig. % pi. LXXVIIi). Menez YO, puis, en pariant deX, une droite quelconque qui coupe Y 0 en un point

quelconque I, prolongez X I ti'nne qoaniiié IN= — ^ — , menez une droite

par 0 et N.

22. Trouner une m&yenne proportionnelle tntre deux Hgmes données (fig. 3, pK LXXVIII).

t'« Solution. Sur une droke indéfinie xy, portez à la suite l'une de l'autre les lignes A et B «tonnées. Sur la somme «y de oes deux lignes, comme diamètre, décrives une demi-drconféreBce, et, par l'eurémité x du segment ax^^Xj élevez à a; y la perpendiculaire j;4i, qui sera la moyenne proportionnelle cherchée xu » A X B.

2* Solution. Sur la pAus grande ligne B on a^y*, décrivez «me demi-ciroonférenoe ; portez la ligne A sur la ligne B, c'est-à-dire faites âp 2 » A, et, par l'extrémité jr de la droite A, élevez 7u' perpoodioiilaire li xy'^ enfin, menei la corde xu\ qui sera la moyenne proportionnelle demandée.

t3. Trout^er me quatrième proportionnelle d trais lignes downéee (fig. 4,

ph LlXVIll). Les troii Hnies données sont m, n, p. Sur le obié AX d'an angle arbitraire À, portez, a partir du point Â, et à la suite l'une de l'autre, les deux premières lignes m et n; sur l'autre côté AT, portez, k partir du méoie point A, la troisième ligne p; joignez par BG les extrémités de m et de p, et par l'extrémité de n, menez DE parallèlement à BG. La partie GE

sera la quatrième proportionnelle cherchée op»— .

On trou? e de la même manière une troisième proportionnelle à dOQx lignes données A, B : car elle est la même que la quatrième proportionnelle aox trois lignes A, fi, B.

SI. Les trois côtés d'un triangle étant donnés séparément^ décrire ce irian§U (fis. 5, pi. LXXVIII). Les trois lignes données sont m, n, p. Prenez A B »• m ; du point A, comme centre ei d'un rayon égal à n, déerivez un arc œy; puis, du point B comme centre et d'un rayon égal p, décrives un autre arc sf, qui coupe le premier en G; enfln, tirez les droites G A, G B, et le triangle ABG sera celui au'il fallait décrire.

La construction seule tait voir que les arcs xy, jbI, ne peuvent se eonper, et par conséquent que le triangle ne peut avoir lieu qu'autant que la plus grande ligne donnée est plus petite que la somme des deux autres.

25. Etant donnés lepérimètre pasc-f-s-j-hd'un triangle et Us trois angUs

côtés AB, A G de ces angles respectifs détermineront par leurs intersections B, G avec ^y ^^^ deux autres soumets du triangle cherché ABG.

26. Etant donnés dans un triangle rectangle un côté AB » c de Vangle

par sonômet G du triangle; tirez GB.

27. tifant donnés dans un triangle rectangle ^hypoténuse BG » h et la différence d des deux côtés de Vangle droit , construire ce triangle (ûg. 8, pi. LIXVIII). Tirez une droite indéfinie X Y; par un point v quelconque de cette droite, menez-lui une perpendiculaire p%; coupez l'angle \pz en deux parties égales par p y. Portez surXY et de p en G la différence connue d; an point G comme centre avec l'hvpoténuse connue h pour rayon, recoupez py en B. Par le point B, menez B A parallèle à px, et B AG rectangle en A sera le triangle demandé.

28. Etan$ données les longueurs ^ et h de deux côtés a^'aeenls d'un triangle, et celle d de la droite qui partage en deux parties égales Vangle compris ênire a ei h, contiruUre le triangle (fig. 0, pi. LXXVIII). Gherchez

une quatrième proportionnelle AO Si a, a + * et d; AO = ^ . Sur AO

comme base, formez un triangle isoscèle AGO à l'aide des côtés ACe»G0»6; prolongez le côté OGdeGB-^a. Tirez BA et G A, ABG est le triangle cherché, d est parallèle kOA.

29. Sur une droite donnée a b (fig. 10), construire un triangle semblable à un tnanf le donné ABG (6g. 9« pi. LXXYHl). Au point a, faites l'angle a«A, et au point 6 l'angle ^ » B. Les droites oc, 6c se rencontreront en on point Cj qui sera l'homologue de G, et le problème sera résolu.

j884 GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE (P).

30. Etant données les trois hauteurs H, H', H" d'un trianglây construire ce triangle. On cherchera une quairième proportionnelle x

HXH^

)[)ui8 avec les c6tés x, H et H', on construira on triangle qui sera équiangle, et par conséquent semblable au triangle cherché, d'où... etc.

31. Mener dans le plan ifttti triangle ABC une droite telle que la somme des distances de chacun de ses points aux trois côtés du triangle soit eaneîante (fig. 11, pi. LXXVIII). Portez AB de  en D, puis de B en E, tirei l'indéuni DE, c'est la droiie cherchée.

39. Construire un carré sur la ligne donnée AB (fig. 12, pi. LXXVIII). De chacune des extrémités A, B de AB, et avec des ravons » AB, décrWez deux arcs indéfinis qui se couperont en 0. Du point 0 comme centre avec OB pour rayon, recoupez l'arc BI en I, tirez IB. Du point 0 comme centre avec OK pour rayon, recoupez les premiers arcs en G et D. Les points A, B, G, D sont les sommets du carré.

33. Etant donnés les deux côtés adjacents a, b <f «m paraUélogramme et l'angle M qu'Ut comprennent , construire le parallélogramme (fig. 13, pf. - LXXVIH). Sur une droiie indéfinie; portez AB»a; faites en A on anele égal à M (n^ 6), portez AG « 6 sur l'autre c6té de b de cet angle. Du point G avec le ravou a, tracez un petit arc que vous recouperez en D avec un arc décrit de B a*un rayon 6.

34. Trouver le côté d^un carré équivalent à un rectangle donné. Soient 6 et ii la base et la hauteur du rectangle donné, x le côté du carré cherché. Il est clair qu'en vertu de l'énoncé de la question, on doit avoir

6 X A ==» «S ou 6 : « : : « : A,

c'est-à-dire que le côté du carré est moyen proportionnel entre la base et hi hauteur du rectangle.

On pourra donc opérer comme ci-dessous (fig. 14, pi. LXXVIII). A B étant la base du rectangle donné, et A G sa hauteur, prolongez BA; du point A comme centre avec la hauteur pour rayon, décrivez l'arc qui recoupe le prolongement de BA en D. Sur BD comme diamètre, décrivez la demi-circonférence DFB, prolongez A G jusau'à sa rencontre en F avec la circonférence. A F est le côté du r^arré cherché

ÂF«AGXAB

35. Transformer un polygone rectiligne quelconq%u en un autre polygone équivalent, et qui ait un côté de moins (fig. 15, pi. LXXVIII). Supposons que le polygone proposé soit le quadrilatère ABGD, menez la diagonale A G, et par le point D la droite DE parallèle h cette diagonale et terminée au côté AB prolonsé suffisamment; puis joignez les points E, G; le triangle BGE sera équivalent au quadrilatère ABGD.

On voit par là la possibilité de transformer un polygone quelconque en un triangle équivalent : car s'il s'agit, par exemple, d'opérer sur un pentagone, on le transformera, par la méthode précédente, en un quadrilatère équivalent, puis Ton trouvera un triangle équivalent à ce quadrilatère.

36. Trouver un carré équivalent à un polygone donné. Pour résoudre ee problème graphiquement, on transformera le polysone donné en un triangle équivalent ; ensuite, on prendra, par le procédé du n^ 22, une moyenne proportionnelle entre la base et la moitié de la hauteur de ce triangle : cette moyenne proportionnelle sera le côté du carré cherché.

n suit de la que toutes les figures rectilignes sont carrables.

Nota. Pour construire un carré équivalent à un cercle, il faudrait que le

côté de ce carré fût une moyenne proportioDDelle entre la circonrérence et

tant moins de celle du cerde, que le rapport dont il s'agit sera plus approché ( Voyez 14, pag. 849, et 60, pag. 889).

37. Faire paner une eirconférenee par trois poinls donnée Â, B, G non en ligne droite (fig. 16, pi. LXXYIII). Joignez les points par les deux droites A B, BG , et sur le milieu de chacune, élevez les perpendiculaires dtf, gf. Le point O d'intersection de ces perpendiculaires sera alors également distant des trois poinls Â^ B, G, et sera par conséquent le centre du cercle cherché.

On ne peut faire passer qu'une seule circonférence par les trois poinls A, B, G, et Ton voit bien que si ces points étaient en ligne droite, le problème serait impossible.

Cette solution résout de même le problème où il s'agit de faire paster une eirconférenee par les sommets des trois angles d'un triangle, ou bien de trouver le centre d^un cercle ou d^un arc,

. 38. Si les trois points A, B, G sont donnés sur le terrain, et qu'il faille tracer une circonférence par ces trois points supposés très-eloîgoés les uns des autres, on mesurera avec un graphomètre l'angle ABC, et ron choisira d'autres points, tels que B', d*où les objets A, G soient vus sons le même angle qu'en B, c'est-à-dire de manière qu'on ait ABG»AB'C. L'ensemble de tous ces points déterminera l'arc de cercle cherché que l'on tracera ensuite librement. Pour achever la circonférence, on choisira de même d'autres points 6, 6'...., en sorte que chacun des angles A 6C, A6'C...., soit égal à l'excès des deux angles droits sur l'angle B'.

39. Inscrire un cercle dans un triangle (fig. 17, pi. LXXYIII). Divisez en deux parties égales deux des angles A B de ce triangle; le point d'intersection 0 des deux lignes de division sera le centre du cercle cherché. Quant au rayon OK de ce cercle, il est égal à la perpendiculaire abaissée du centre 0, sur un des côtés A G du triangle ABC.

40. Etant donnés trois points V, P', m (Gg. 18, pi. LXXYIII) d'un arc de cercle dont le centre est inaccessible , tracer cet arc. Des points extrêmes P, P' comme centres et avec leur distance PP' pour rayon, décrivez les arcs indéfinis Pj?, P'i'.

Parles points P m et P'm, menez des droites qui rencontreront respectivement Pjs et P'2' en 0 et 0'. Divisez les arcs PO, P'O' en un même nombre n de parties égales (ici n =» 4) , puis au-dessus de 0 et de 0', portez (n » 1) de ces divisions, tirez — 3 P' et 4* 3T , qui donnera le point a de l'arc cherché ; les autres points bc c^b\... seront donnés respectivement parles intersections de — 2 P' et4-2'P,de — lP'et-[-l'P, de-f2Pel — l'P,etc.

On eût opéré d'une manière analogue, si, au lieu de m, on eût donné tout autre point c 6 ou a ; alors prenant le milieu m de l'arc déterminé et abaissant de ce point une perpendiculaire sur la corde P P', on eût obtenu la fièche m y..

41. Sur une droite donnée AB, décrire un segment capable d'un angle donné G (6g. 1, pi. LXXIX). Il s'agit de décrire sur AB un arc AKB, qui soit tel que tous les angles inscrits K, K^.., soient égaux k l'angle G.

Faites l'angle MAB»G. Elevez AO perpendiculaire a AU, ainsi que OD perpendiculaire sur le milieu de AB , et le point 0, commun à ces deux perpendiculaires, sera le centre de l'arc AKB demandé.

42. Par un point donné A Tfig. û, pi. LXXIX), mener une tangente à un cercle. Si le point A est donné sur la circonférence, menez le rayon A C, et élevez sur ce rayon la perpendiculaire AB, qui sera tangente au point A.

Si le point A' est donné hors de la circonférence, joignez ce point et le centre C dn cercle donné , et sur la ligne Â'G comme diamètre, décrivez la circonférence A'BCB': les droites A'B, A'B', menées du point donné aux intersections des denx cercles, seront tangentes au premier cercle CB«

On Yoit aussi que, pour qu'un cercle G touche les côtés d'un angle A', il faut que son centre soit sur la droite qui divise cet angle en deux parties égales.

43. Inscrire un carré dam un cercle^ et circonscrire un carré au cercle (6g. 3, p). LXXIX). Menez deux diamètres A G, BD perpendiculaires entre eux, et les quatre droites qui joindront leurs extrémités seront les cAtés du carré inscrit ABGD.

On voit bien ce qu'il faudrait faire pour circonscrire un carré au même cercle , et il n'est pas difBcile.de prouver que le carré circonscrit est double du carré inscrit.

En divisant en deux parties égales chaque quart de circonférence, et joignant tous les points de division, on aurait l'octogone régulier inscrit ; de là, on pourrait passer à un autre polygone régulier d'un nombre de côtés double. Ainsi, tons les polygones réguliers inscriptibles ou circonscriptibies à l'aide du carré, sont ceux de

4> 8, 16. 32, etc., côtés.

41. Inscrire un hexagone régulier élans un cercle. Portes le rayon de cercle donné, six fois de suite sur la circonférence.

En joignant de deux en deux les six points de division, l'on aurait le triangle équilatéral inscrit. Il est remarquable que ce triangle est le quart du triangle équilatéral circonscrit.

Tous les polyffones inscriptibles ou circonscriptibies au cercle, à Paîde de l'hexagone régulier, sont ceux de

3, 6, 12, Si, etc., côtés.

45. Inscrire un décagone régulier dans un cercle. On divisera le rayon da cercle donné en moyenne et extrême raison, et la plus grande partie de ce rayon sera le côté du décagone régulier inscrit.

Si l'on joint de deux en deux les dix points de division, l'on obtiendra te pentagone régulier. Il suit de là que tous (es polygones réguliers inscriptibleB ou circonscriptibies au moyen du décagone, sont, sont ceux de

5, 10, 20, 40, etc., côtés.

46. Inscrire un penlédécagone étans un cercle. L^arc sons-tendu par le côté du pentédécagone est égal k l'arc de l'hexagone, moins celui du décagone. En effet, l'arc de l'hexagone = ^ ou | d'un angle droit ; l'arc du décagone «t ^ ou I ; donc la différence de ces deux arcs » | ~ | « ^ d'un angle droit, et c est précisément l'arc du pentédécagone. Au moyen de ce polygone, on pourra Inscrire ou circonscrire tous ceux de

15, 30, 60, etc., côtés.

47. Inâcrire dans un cercle^ avec le rapporteur, un polygone régulier d'un nombre de calés donné, La méthode graphique, qui s'applique indistinctement à tout polygone régulier, consiste k placer le centre d'un grand rapporteur au centre du cercle donné, et k prendre sur La circonférence de ce rap* porteur, des arcs consécutifs dont la graduation soit lu valeur de l'angle au centre du polygone k inscrire.

48. ÊlatU donné le eôié a d'un polygone régulier, trouver le rayon R du cercle qui lui e$l dreoneeriL

La table saivante et la formule R » a /" résolvenl ce problème.