VALEURS
de
dont le côté do
def
de c
cAtés.
polygone est la corde.
CORRESPONDAKTRS.
CORaESPONDANTRS.
Veul-on connatire, par exemple, le rayon du cercle circoDscrit à l'octogooe doDt le côté est 12, on a
Celte table, et la formule e R «» a, peuvent eacore servir è résoudre le problème inverse.
49. Elani donné le rayon R d'un cercle, trouver le côté a d^un polygone régulier (de moins de 12 côtés) qui lui est inscrit.
Soit, par exemple, 5 le rayon d'un cercle, ou aurait pour le côté du trian* file équilaléral inscrit
5Xi-732051«8.66
50. Mener des tangentee à deux circonférences G G' (fig. 4, pK LXXIX). Tirez une droite indéûnie à travers les centres G, G' ; nenez dans chacun de§ cercles, «t d'une manière ^aelcooime, les rayons G R, G' R' parallèles e«tre eux et dirigés dans le fuéme sens. Tirez la droite R, R' jusqu'à sa neucontre en A avec le pireJk)iigemeBt de G, G'.
Du point A, nenez des tangentes par le problème 42 à fine des deux cîr* conférences, elle seront en même temps tangentes à l'autre.
51. Si la place manquait p^ur trouver le point de rencontre A de G G' et de R R' (ftg. 5), on porterait dans le plus grand cercle le rayon le plus petit R' G' de R en G' ; on décrirait ensuite la circoniérenee G G', à laquelle on aènerait deux tangentes partant du centre G' du petit œrcle. Menant ensuite ks perpendiculaires T P, G' p, T' P', G' p' à Porigine G' et aux points de eon-* Uct T, T' de «es tangentes, il ne restera plus qu'à joindre respectivement les points P p et P' p' par des droîtei qui seront les tangentes chercbées.
52. Un point G est donné dans l'angle A, on éLemande de faire passer par ce point une circonférence qui soit tangente auSB deux cMés ds l'angle (fig. 6, pi. LXXIX).
Goupez l'angle A en deux parties égales par la bisectrice AX; le centre du oeMle est sur cette droite. Du point G abaissez une perpemMenlairo Indéfinie
GiDER sur la bisectrice. PortezGt de ten D.PrenezBT=- V^BG X^ D par T ainsi déterminé, et menez T 0 perpendiculaire à A B. 0 est le centre du cercle et TO •» OG son rayon.
888 6Ë0MËTBIE ET TRIGONOMÉTRIE (P).
53. Etant donnéei deux droites M N^ P Q, tracer entre ellet dê$ cireonfé^ rences tangentes entre elles et à ces droites (fig. 7, pi. LXXIX).
Coupez en deux parties égales i'angle formé par les directions de ces droites : la bisectrice X Y contiendra les centres de toutes les circonférences cherchées.
D'un point G pris sur Xy, menez e T perpendiculaire à l'une des droites M N, par exemple. Du rayon c T, décrivez la circonférence dont le rayon est cT = cl.
Par le point t menez t O perpendiculaire à la bisectrice. Du point 0 comme centre avec 0 l<=OT pour rayon, décrivez h demi-circonférence T IT' ; T' est le point de contact du second cercle avec M N; par T', élevez la perpendicalaire T' e' ; c' est le centre du second cercle, et son rayon c' T' » c i' ; par V élevez la perpendiculaire V 0' à la bisectrice, avec 0' (' = 0' T' pour rayon..., et ainsi de suite.
54. On remarque que d d'... étant les distances c X, c 'X... au sommet de l'angle 2 a des droites j r, r'... les rayons cT, c' T' de deux cercles succès* sifs, on a
r' 1 — sin. a . ,1 . 1 N
= -—- : « tang.» (r « + î a)
r 1 -f sm. a o u t- « /
Les rayons de tous les cercles, et, par suite, leurs circonférences et leurs surfaces forment une progression par quotients.
55. Etant donné un point T sur la bisectrice de Vangle formé par les directions de éieux droites, mener une circonférence qui soit à la fois tangente aux deux droites et gui passe par le point T (6g. 8, pi. LXXIX).
Par le point T menez A B perpendiculaire à la bisectrice. Divisez les angles B A N, ABQ, chacun en deux parties égales, par des droites dont Tintersection donnera le centre O du cercle cherché, dont le rayon est O T. Les perpendiculaires O (, O t' donnent les points de contact 1 1* avec les droites.
56. Tracer un cercle lanaent à la fois à une droite donnée de position XY et à une circonférence G T, en un point déterminé T de cette drconfé^ rence (fig. 9, pi. LXXIX).
Menez le rayon G T, au point en question ; puis, par ce point, une tangente T T que vous prolongerez jusqu'à sa rencontre Y avec la droite. Gonpez en deux parties ésales l'angle T Y X. La rencontre O de la bisectrice Y O et du rayon prolongé G TO donne le centre O du cercle cherché dont le rayon estOT = 0/.
57. Tracer un cercle tangent à la fois à un autre cercle Or etd une droite X y^ le point de contact T avec la droite étant fixé (fig. 10, pi. LXXIX).
Par le point T, menez une perpendiculaire indéfinie à la droite Xy, portez le rayon 0 1^ de T en n; joignez On; sur le milieu m de On, élevez la perpendiculaire mG; son intersection G avec n Z est le centre du cercle cherché. Joignez O G qui déterminera le point de contact r du cercle Or avec le cercle cherché, dont le rayon est G T « G r.
Si Ton porte Or de T en n' et qu'on opère d'une manière analogue, on trouve une autre circonférence MN de rayon G'r'»G'T qui satisfait h la question. Le rayon r' G' a son centre G' en dehors de la planche, dans les directions 0 r' et n Z.
58. Mener une circonférence qui soit à la fois tangente à une droite KL, à un cercle Dn, et guipasse par un point donné A (fig. 11, pi. LXXIX). Par le centre du cercle donné, menez le diamètre Dn perpendiculaire à KL, et prolongez ce diamèlre jusqu'à la droite KL en C. Du point D, menez h travers
le poîot dooDé A une droite qui rencontre K L en K. Portez sur cette dernière» à partir de D, une longueur DH= — ^ — , câ qui déterminera le
point H; portez sur KL, à partir de K, une distance KTzrv/KAXKH, ce qui déterminera le point T.
11 ne reste plus qu'à faire passer une circonférence par les points A, H et T,
59. Conduire un arc tangent à la fois aux circonférences G et G', le point de contact T sur cette dernière étant fixé (flg. 12, pi. LXXIX). Par le point T donné sur la circonférence G', tirez la droite indéfinie G'TO. De T vers G', portez sur cette droite la longueur T'a» G A «rayon du cercle G. Joignez G et a. Sur le milieu M de cette droite, menez la perpendiculaire MO, qui déterminera le centre 0 de Tare cherché par sa rencontre avec G'TO. Joignez GO qui donnera le point A. OT»OA sont deux rayons de Tare dont le centre est 0 et les points de contact avec les deux cercles sont A et T.
60. Développer en ligne droite la circonférence d'un cercle donné (fig.13, 1. LXXIX). Soit AB le diamètre du cercle. A chacune de ses extrémités A, \ élevez des perpendiculaires indéfinies, puis menez le rayon 0 M parallèle
Il ces tangentes. Du point M avec MO pour rayon, recoupez la circonférence en S, menez par 0 et S la droite indéfioie OS. qui déterminera le point T sur la tangente AT. Portez 4ur la tangente BX de fi vers X trois rayons 0 M; Menez TX; TX=a longueur approchée de la demi-circonférence. OM étant 1, on a, comme on sait
Tt» 3.14159; le calcul donne ici TX =3.14153
la différence 0.00006 est inappréciable dans un tracé «
si parfait qu'il puisse être.
61. Raccorder un arc de cercle AR (fig. 1, pi. LXXX) et une droite XY par un autre arc de cercle R T^ dont le rayon est donné =» 0 R. Au rayon GR de l'arc AR ajoutez le rayon 0 R et décrives^ Tare OZ dont le rayon est GRO. Par un point quelconque N de XT, élevez la perpendiculaire NP»- OR «a rayon de raccordement; par le point P, menez PO parallèle à XY jusqu'à sa rencontre 0 avec l'arc OZ. 0 est le centre de l'arc de raccordement. Tirez GO, abaissez de 0 la perpendiculaire OT à XY, les points R et T sont les points de raccordement. Avec OR=OT pour rayon, décrivez l'arc RT.
62. Deux points A, A' sont donnés de position sur deux parallèles PA' QÂ, on demande de raccorder ces points par deux ares de cercle tangents entre eux, ainsi qu'aux droites dans les points A, A' (fig. 2, pL LXXX). Tirez ÀA', conduisez par le milieu M de eelte droite une perpendiculaire ,
λar les milieux m, m' de A M, MA', élevez en sens inverses des perpendicuairesmO, m'0\ puis respectivement de A et A' des perpendiculaires aux droites P A', QA. Les points 0, 0' déterminés par le» intersections de m'O' et Â'O, mO et AO, sont les centres des arcs cherchés. La courbe A M A' est la cimaise,
63. Deux points A, A' sont donnés de position sur deux parallèles^ on éUmande de les raccorder par un talon, c^est^à-dire par deux arcs tangents entre eux^ mais non tangents aux droites (fig. 3^ pi. LXXX). Joignez A A' que ▼ous partagerez en deux parties égales au point M, puis divisez chaque moitié en deux parties égales aux points mm^ par des pei^endiculaires qui coupe* ront P A', QÂ aux points 0, 0^ Ges points sont les centres des arcs que l'on décrira avec les rayons 0 A » OM, C'A' -» O'M.
61. Etant données (fig, 4, pi. LXXX) deux circonférences dont le centre commun est A, insérer entre elles un arc de cercle qui, à sa rencontre avec chacune, fasss avec elle un angle donné,
890 GËOMÊTBIE ET TftlGONOMËTIlIE (P).
Soit AB »» R le rayoa de la grande circoDférence, AD ==> r celui de la plus petite, BC «=> p le rayon de l'arc qui satisfait au problème,
ABU » B i'anele donné que l'arc cherché doit former avec la cîrcoa-
" ference extérieure, (ÎDf* n D Tanffle donné que l'arc cherché doit former avec la circonférence intérieure,
Soir enfin G le centre de l'arc de rayon p, les triangles ABC, ADC donnent
Ac'=R»+p« — 2Rpcos.B
=- f s -j- p« -[- 2 f p COS. D
attendu que ABC » i80« — D, on en tire
R« -.r* = îp ( Rcos. B+r cos. D)
Rcos.B+rcos. D.p
tow eoMtruirfi cette esopretsion^ menez BG tangeptç au cercle r, vous
aurez BG » R* — r* ; projetez le centre A en H sur la ligne donnée de position B H, vous aurez BH » R cos. B. Par le point H, menez H I faisant avecBH l'angle K H I =* D, prenez H I =» r. Projetez I en K, vous aurez H K = r cos. î>, d'où BK= R cos. B + *• cos. D.
Du point B comme centre et do rayon BK, décrivez l'arc RL. Par sa rencontre en L avec la circonférence intérieure, menez la sécante B L à ceue circonférence, vous aurez
^„Bg1. R« - 1 ' ^
*^" — BL**~Rcos.B + rcos. D'^'^P
Le rayon p étant déterminé, tracez l'arc cherché du centre G situé sur BH, à la distance p dé B. (if. Poneeleî.)
65. Développer une $ur face conique {fig.5, pi. LXXX). Si la surface est celle d'un cône droit, il est évident que le développement est une portion de cercle S'A'Â" (fig. 6) dont le rayon S'A" est é^al k la génératrice droite S A et dont l'arc a pour longueur celle de la circonférence dont le diamètre est ÂB. Il suffit oonc, pour obtenir le développement, de décrire d'un point S' (fig- 6) et d'un rayon S'A'=SA=:SB un arc de cercle indéfini A' A*, puis de p/endre sur cet arc, k partir d'un de ses points A", une longueur de courbe A"V = 3.1416 VA B; A' étant ainsi déterrQiné, il ne reste plus qu'à tirer les rayons de développement A'S', A"S'.
.. position est connue, l'arc do cercle a'a" ; on a ainsile trapèze mixtiligne a'a"A"A' pour le développement de la surlace tronc conjque droiie a6 ÂB.
67. Si l'on ne connaît directement que la hauteur h du tronc et les rayoBs Retr de ses bases, on trace (fig. 6) une droite indéfinie G S'; par un point quelconque G de cette droite, on élève iine perpendioulaire G A' qu'ea fait := R> puîs ^^ ^ ^^ ^9 ^^ porUi la longueur A, ^nlin, on mèçe p^r e une parallèle a'c=:r à A'cj la droite tirée par A'a' rencontre GS' en un p^int S' qui est le centre de développement de la surface tronc conique. De ce point S« et avec les rayons S'a', S'A', on décrit deux arcs indéfinis sur lesquels
on prend à partir de A' et a' des longueurs de eonrbes A^A^'izâit R, a*a^zz2tt r. Menant une droite A^a", qui doit passer par S' si Ton a bien opéré, on a A'a'A"a" pour le développement demandé.
un ani de A'
parallèle h Da' menée par un point C tel qu'on ait C'A' = R. Le développement s'achève alors comme dans le^cas précédent.
69. Enfin^ si l'on connaît Taxe A, la ffénératrîce et Tun des rayons, R par exemple, on fait un angle droit en C ; sur I un des c6iés de cet angle, on prend Ce =: À et sur Tautre côté A'G:=R ; par c, on mène une parallèle a'e à A'G, et du point A' avec un rayon égal à la génératrice donnée A a, on recoupe a'e en a'. On est ainsi ramené au cas précédent.
70. Si la surface canine droite (tig. 7, pi. LXXX) est tronquée par un plan ab non parallèle à sa base^ od développe d'abord la surface entière SAB en S'B'A'B' (fig. 8) comme on l'a fait plus haut. Puis décrivant sur le diamètre AB du cône le demi-cercle AGEDB, on partage sa circonférence en un nombre n de parties égales qu'on a réduit ici a quatre pour rendre la figure plus distincte. Do chacun des points de division G, E, D, on conduit des perpendiculaires au diamètre AB, et des points de rencontre, on mène des droites an sommet S, qui coupent la pn^ection a 6 du plan d'intersection du cône, et enfin par ces derniers points de rencontre, on mène des parallèles à AB terminées aux génératrices SA, SB. Gela fait, on partage le développement total (fig. 8) en un nombre 2n de secteurs égaux 8ymétri(|uement
S'd' = Si, S'&'=: S 6, et faisant passer une courbe continue et symétrique par les points b'd'e'e'a'c'e'd'b' ^ on a 6'B'A'B'6' pour le développement cherché.
Je termine ce résumé de géométrie par une tahlis des lignes KATORELLBS donnaot directement de minute en minute les sinus ^ coêimts^ tangentes et cotangentesdn cercle dont le rayon est 1 .0000000.
On obtiendrait les valeurs de ces lignes de seconde en seconde, avec assez d'approximation^ en ajoutant algébriquement le soixantième de la différence de deux termes consécutifs;
Ainsi sinus de 1 9% 3',22"
= sinus 19%3'4--- (sin. 190,4' — sin. 19o,30
LIGNES NATI7IIBLLES.
Sinus.
mB
Cotinus. |Tai^B|B5nsci!!tS
