Od trouverait de môme

a?«V^o+6aî»~ \3a*» 3axv'^^^"*

34. Si les deux termes do binôme contenaient «, on difiserait le binôme par Tune des deux puissancea de Xj et Ton multiplierait aa dehors par la môme puissance élevée à la puissance marquée par Texposant du binôme

a^dx

i. ^■= o'a;"'*da?(ga? -f-ag*) 2 = a* a; â da: (a -|- a?) •

J xy ax-{-x* |/ « *

35. Il est encore un procédé fondamental assez fécond dû à Bernouilli, et qui a principalement pour but de faire dépendre l'intégrale qu'on cherche d'une autre intégrale plus simple 5 il est connu sous le nom tinUgratùm par parties.

IrUigration par parties. La méthode dérive de l'équation (page 598), savoir :

d.uv=zvdu'\' udv d'où Ton déduit / d.uv =t<t; zm / vdu -\- f udv et enfin

/ udv = I d(uv) — f vduzizuv — f vdu

relation qui montre que si dans une différentielle lAdx, la fonction M peut se décomposer en deux facteurs P et Q, et que Ton sache^

par exemple, intégrer Q(/â?, on aura en appelant / Qdx =0

fMdx=: TvQdxzzzVv— fvdP

d'où l'on déduit la régie suivante dont la pratique du calcul éclaircira le sens. Règle : i^ décomposez la di/féreniieUe proposée t/Ldxei[i deux facteurs VetQdx dont Vutij QdXj est directement intégrahle^

2o Intégrez en regardant Vautre facteur P comme constant : ce qui

donnera Vv (en supposant / Qdx==^v)', 3<^ différeniiez ce dernier

résultat P v par rapport d la seule fonctionlfqu^on avait prise d*abord pour constante f co qui donnera la différentielle vdP ; 4"* intégrez cette différentielle vdP, et, enfin, retranchez de Vv rintégrale

/ vdP que tous obtiendrez.

86. Ainsi, pour intégrer log. hjp. x.dx, on regarde d'abord dw comme seule variable, ce qui donne, en l'intégrant, a; log. byp. x ; différentiant ce résultat par rapport à log. byp. x seul, il vient

(page 532} -f d'où, enfin,

I (fa?iog.b7p.â?=â9log.byp.â; — / -daîr=:a?log.hyp.« — x \G 37. On obtiendrait par la même méthode

fdxy a^J^a^ — x]/x^ + a^ — fxdfyx^^)

et comme d. 1/ ^* + «' = jy . . , ît vient

de sorte que, passant le seeond terme dans te premier membre, il vient

2 /^da?(/a?»4.a*c=a^K«^' + «* + aMog.byp.[«+l/a:i+«*]

et enfin

fdx l/l^Tfv = î |/a^-j-a' + ^ log. byp. [x 4- \/x^ + a*]

On obtiendrait encore de même (ou plus simplement ea efaangéant 4 «* en — a*)

/'do? 1/^31^2 = î l/i^^ir^2 — i* log. byp, [x + ^x^ — à"]