EAU BE6ALE
puiiée éire boodhé. Oq obtiendrait aîoû Voxyde ferreux^ Voxyde ma»ganmx, Voocyde zincique, Voxyde cuivri^^ et Fou traiterait ce dépôt séparément, en observant que de Talumine et du phosphate de' chaux pourraient être précipités en même temps.
Matières orgamqueê. On évapore à siccité et l'on chauffe le résidu dansjon tube bouché par un bout. Ce résidu so cbarbonne ou du moins répand une çdeur empyreumatique. — Si elles sont azotées, elles exhalent en outre, après addition de potasse ou de chau^, de Tammoniaque reconnaissable par son odeur ou parce qu'elle ramène au bleu le* papier de tournesol rougi.
EAU RÉGALE. Mélange d* acides nitrique et cblorhydrique dont les proportions varient suivant l'emploi qu'on doit en mire. On admet comme une sorte de moyenne,
1 acide azotique --1- 4 acide chlorhydrique,
M. Dumas croituue Ton pourrait employer six parties du dernier acide, lorsqu^l s'agit de traiter les métaux qui peuvent décomposer Feau par eux-mêmes.
On fait un grand usage de l'eau régale dans l'analyse des minéraux. Elle dissout Por, le rot des métaux, ce qui lui a valu son nom.
On obtient encore une espèce d'eau régale en mêlant de l'acide nitrique avec de l'hydrochlorate d'ammoniaque ou du chlorure de sodium.
ÉCARTS. Les charpentiers appellent écart la longueur dont les bois se croisent dans les entures et les Assebiblages.
ÉCLIPSES , ECUPTIQUE , voyez Astronomie , pages 70 et 82.
ÉCLUSES, voyez Canaux, page 213.
ÉCONOMIE des constructions j des ffrojets dP entreprises industrieUeêf etc. Nous nous proposons de résumer dans cet article les solutions générales des problèmes de .finances qiie les ingénieurs ont journellement à résoudre.
Question générale. Déterminer, entre plusieursprojets, qui ne diffèrent entre eux que par la durée et par les dépenses : !<> celui qui mérite la préférence sous le rapport de l'économie ; 2» la dépense moyenne annuelle pour chacun d'eux.
On suppose que Feffet utile de chacun des projets est exactement le même 5 que, s'il s'agit d'une usine, par exemple, les produits an*
naels sont égaux en quantité et en qualité, quels qu'aient été les frais de premier établissement. Soient donc :
a les frais de première construction, ou bien encore le prix d'acquisition d'une usine construite, a est exprimé en francs;
e la somme exprimée en francs qu'exige annuellement son entretien, ses réparations, ses frais d'administration; *
t le nombre d'années que doit durer Fouvrage ou l'entreprise ; admettant qu^à l'expiration du temps t et malgré les frais d'entretien, la construction devra être refaite entièrement à neuf;.
m étant alors la valeur des matériaux de démolition sur place, à l'époque où la reconstruction est devenue nécessaire, ou la valeur vénale de la construction à cette époque;
f la valeur de 1 franc augmentée de l'intérêt au bout d'un an, en sorte que /*= 1 .05 si le taux de l'intérêt est à 5 O/o l'an, f=z 1 .06 s'il est à 6 O/q.
• On sait que la somme a augmentée de ses intérêts et des intérêts de ceux-ci acquiert au bout du temps i une valeur
D'un autre côté, l'entretien au bout de la premièreannée acoûté e/ au bout de la seconde année cette somme e aurait acquis par L'inté* rét une valeur ef, et l'on aurait en outre dépensé dans cette même année encore une fois là somme e.
Les dépenses réelles d'entretien au bout de deux années s'élèveraient donc déjà à
e-{-ef = e(i+f)
Un an s'écoule et cette somme e (!-{-/), si elle avait été placée, aurait acquis une valeur e ( 1 '\'f)fy mais comme dans cette même année on a encore consacré une somme e aux réparations, les dépenses d'entretien au bout de trois années révolues s'élèvent à
En suivant ce raisonnement, on voit bientôt que : au bout de t années à partir de l'origine de l'entreprise, les sommes qu'on a successivement consacrées à l'entretien et aux réparations auraient acquis une valeur totale
si, aux époques où elles ont été dépensées, on les avait placées^ sur l'Etat par exemple, en laissant les intérêts s'accumuler.
SœNOMIE. 559
Par ooDséqneDt, la somme totale $ des dépenses dites et des perles d'intérêt éprouvées, oq, en d'autres termes^ la somme totale $ qu'on posséderait si on avait placé successivement les sommes qn*on a consacrées à l'entreprise» s'élèverait au bout de l innées à
Il importe de rechercher quelle somme moyenne annuelle d l'entreprise doit rapporter pour équilibrer strictement cette dépense. Or il est évident que si Ton prélève d au bout de chaque année sur les produits de l'entreprise et qu'on place ces sommes^
le 1«, 2e«»e, 3enic, • • (^ — 1 )"*°**, ^^ prélèvement produira intérêt pendant
(I — !),![' — 2),(r— 3) . . . i, Oannées
de sorte que chaque d successif acquerra par Taccuraulation des intérêts des valeurs
df , df , df df df
leur somme totale sera donc ( progressions).
d\f -\-f +f • • • +/' + /+lj = rf(^)..(*) Egalant cette valeur à la somme a» on a
C'est le prélèvement moyen annuel à opérer^ ou encore^ la somme moyenne à répartir sur le prix des produits de chaque année d^ la durée t pour que les dépenses consacrées à Tentreprise aient acquis la valeur qu'elles auraient acquiscy sans aucun travail et sans aucun risque, par un simple placement à intérêts composés.
Que si, au moyen de b dépense annuelle e , la construction ou l'entreprise conservait à la fin de chaque année la valeur qu'elle avait 'au commencement; en d'autres termes , si , à l'aide de cette dépense annuelle, la durée pouvait être supposée indéfinie, m serait toujours égale à a , et dès lors le prélèvement moyen annuel que j'appellerai S pour ce cas, se réduirait à
c'est-à-dire à l'entretien augmentérde l'intérêt du capital de première mise.
Comparaiswi de deux projets. La valeur générale de if est la roc sure naturelle des dépenses respectives de deux pr<^ets. Il suifira donc pour les comparer entre eux de calculer pour chacun d'eux les taxes moyennes annuelles d d^ dont ils grèvent le prix des produite de l'entreprise. Le plus économique correspondra évidemment à celui qui donnera à d une plus petite valeur.
Ils seraient également bons sous le rapport économique si l'on trouvait d = tf ou
* "i /TZTï — ^ i p' ^i ^^
En tirant de cette équation les valeurs de a^ de e ou de /, elles feraient connaître soit les frais de première mise, soit ceux d'entretien et de réparations, soit la durée de l'une des entreprises, sous la condition que les dépenses moyennes annuelles fussent les mêmes dans les deux projets.
Il faut remarquer, toutefois, que dans le cas particulier où nous avons représenté la dépense moyenne annuelle par S, cette dépense ne sera pas toujours comparable à d. Celle-ci suppose, en effet, que Tentrepreneur est rentré dans son capital, tandis que dans le cas de 8, cet entrepreneur^ a son capital transformé en une constmction qui, bien qu'en parfait état, pourrait dans un avenir plus on moins prochain perdre une partie de sa valeur industrielle par suite du progrès des arts, de modifications dans les procédés de fabrication , etc.
Css formules très simples proposées, je crois, pour la première fois, par M. l'ingénieur en chef Mondot de la Gorce^ peuvent se prêter à des applications si nombreuses et si variées que l'on peut affirmer qu'elles contiennent la solution de la plupart des questions financières qu'un ingénieur puisse avoir à résoudre.
^Ca.f général. Avant d'en fairp l'application i quelques ex^nples, il peut être utile de les étendre au cas où, après une première période de tannées, et après avoir subi une dépense totale exprimée par la valeur (3) de«, on reconstruirait à neuf; Or, il est évident que pendant une seconde période de t années, les dépenses et les pertes uintérèt , toutes choses égales d'ailleurs, s'élèveront encore à la mèine somme s d'une part, et que de l'autre part la premiène somme s dépensée pendant la première période acquerrait pendant la seconde période, par l'accumulation des inténête une valeur «/*'; donc* à la fa de la seconde période, la somme totale tf 4»nfiacrée à l'entreprise , tous les intérêts compris, s'élèverait à
Si à cette seconde période succédait une troisième, on voit bientôt
ea poursuivant le même raisonnemeûty qa'à la fin de la troisième période, la dépense totale 9/^ deviendrait
et enfin que , aprèsi périodes oxkkt années comptées depuis l'origine de l'entreprise, toutes les sommes qu'elle aurait absorbées et tous les intérêts s'élèveraient à
mettant pour $ sa valeur (3) il vient
Si Ton faisait k=:i dans cette formule, on retomberait sur la valeur de s relative à une seule période.
Pour trouver la somme moyenne annuelle D , dont l'entreprise doit être grevée pendant k i années, pour équilibrer simplement la somme S, on raisonnerait comme on l'a déjà mit, et Ton parviendrait de même à l'équation ^
d'où l'on tire enfin
Cette valeur, indépendante de k, est exactement celle d qu'on a trouvée (5) pour une seule période. Ainsi la somme annuelle à prélever reste la même, toutes choses égales d'ailleurs, quel que soit le nombre k des périodes.
De V application de ces formules aux travaux publics. Nous l'avons déjà du, ces formules dirigeront sûrement l'industrie particulière dans ses spéculations, mais il est très important de faire remarquer qu'elles ne sont iiullement applicables aux travaux d'utilité publi-
3ue, entrepris par TEtat. En effet, et aiusi que le démontre très juicieusement M. Mondot de la CroreCy si à la manière des particuliers doDt Texistence-est limitée, les gouvernements dont la vie est éternelle, devaient faire entrer les intérêts des capitaux de première mise dans Tévaluation des dépenses relatives aux travaux d'utilité générale, ils se trouveraient conduits à n'entreprendre ni routes, ni
562 ^ EœNOMIE.
ponts, ni canaax> ni ports., ni ancane de ces .constructions qui font la gloire, la richesse et la force des peuples; mieux vaudrait^ et de beaucoup^ en placer le prix à intérêts composés pour enrichir les générations futures. Il remarque à ce sujet que si, il y a mille ans, Cbarlemagne avait économisé seulement un Uard sur ses dépenses et qu'il eût placé ce liard à intérêts composés au profit de la génération acCuelle^ chacun des trente millions de Français que comprend le royaume aurait en partage plus de six cent quaratUe^cinq miUiar^s, On trouverait de même que tin centime d'épargne, placé aujourd'hui à 5 Olo, et abandonné à Faccumulation de ses intérêts jusqu'i l'année 2846, acquerrait une valeur telle que, au prix fort élevé de cent mille francs Thectare, le légataire de cette époque pourrait acquérir la surface de plus de trois mille planètes de la grosseur du globe que nous habitons. M. Mondot de la Gorce propose , en conséquence, de faire Tintérêt nul ou /"= 1 dans Févalualion de la dépense moyenne annuelle A des travaux publics ; on a donc simplemenl alors
en faisant f^^^i dans la valeur de d (voyez nrnBTBRMiNATiON).
Applications à f industrie privée. Quelles seraient, au boul de trente ans, les positions financières de deux industriels M, N qui auraient débuté dans les conditions suivantes :
M, pour élever les bâtiments nécessaires à sa fabrication^ a dépensé cent mille francs. Sa construction en pierres de taille, ses fortes charpentes présagent une durée que nous regarderons comme devant être étemelle.
N, moins fastueux, a construit une usine semblable en bois ci en plâtre^ une habitation et des ateliers de même étendue, capables d'abriter le même nombre de travailleurs. L'ensemble de ses baraques lui a coûté soixante mille francs et il sera obligé de les recoostroire de fond en comble au bout de trente ans. Les matérianx de sa première usine sont supposés de nulle valeur à cette époque. Il a placé à 5 O/o les quarante mille francs que son rival M a. dépensés de plus que lui.
On suppose Pentretien nul de part et d'autre, et les chances commerciales égales pour tous deux.
L'application des formules montre que :
M a dâ grever la masse annuelle de ses produits de 500O fr. par an; mais, les trente ans révolus, il possède une usine qui, par hv potiiése , vaut encore cent mille francs.
N n'a dû grever la masse annuetlo de ses produits que de 4239 fr.
66 cent. Pendant la durée des trente ans il est ainsi rentré dans toutes ses dépenses. Les .quarante mille francs qu'il a placés i Porigino valent au bout de trente ans environ 172877 francs. S'il a vendu ses produits an même prix que M, ou^ en d'autres termes^ s'il lésa grevés comme lui de 5000 fr.^ il a encore pu placer annuellement 760 fr. 34 cent, qui, au bout de trente ans, lui donnent un autre capital d'environ 36800 fr. S'il veut perpétuer son industrie, il peut modifier les dispositions générales de son usine, les mettre en harmonie avec les progrès opérés dans la durée des trente années; il dépense pour cela encore soixante mille francs, perd une année, s'il le faut, pour cette reconstruction, ce qui lui cause un préjudice difficile à évaluer et que nous désignerons par y.
Au moment où le travail reprend dans les deux usines, les positions respectives de M et N sont donc comme suit :
H a une usine qui vaut 100000 francs.
N a une usine mieux disposée qui ne coûte que 60000 fr. Il a, de plus acquis, sans travail 149677
Il possède.. . . * 209977
Quelque valeur raisonnable que Ton puisse donner à y, la position de N est incomparablement la meilleure.
Deuxième question. On propose de former une société au capital de un million pour l'exploitation d'un brevet dont la durée est restreinte à six années. L'inventeur gérant s'alloue 20000 fr. de traitement; il promet 150000 fr. par an à la masse des actionnaires, pendant les six années pour lesquelles la société est constituée. De
1>lus9 on vendra le matériel à l'expiration de ces six années, et sa vaeur estimée à 200000 fr, sera, à cette époque, distribuée en totalité aux actionnaires. Le taux de l'argent est à 5 O/o. Un ingénieur doitil conseiller à ses clients d'entrer dans cette affaire? Non.
En effet, la masse des actionnaires reçoit 150000 fr. chaaue année pendant six ans. En plaçant ces sommes le jour où elle les perçoit, et laissant s'accumuler les intérêts, elle retirerait au bout des
six années 150000 X ^ — 7-= ... 1020000 fr.
la vente du matériel lui donnera en outre. . . 2000<^0
Elle percevra en tout 1220000 fr.
Or, le placement pur et simple de 1 million et de ses intérêts, à mesure qu'on les perçoit, donnerait 1340100 fr. environ, sans courir les risques auxquels toute entreprire industrielle est exposée.
Faisant dans (5) e = 20000, a=z 1000000, m = 200000, on trouve, à l'aide de la table, que si d ou la somme annuelle que devraient tOQcher les actionnaires s'élevait même jusqu'à 187600 on-
Tiron, il serait sage de préférer un placement aax chances de Pentreprise, bien qu'ils touchassent en outre 200000 pour la yaleor de m.
Troisîéme question. On offire pour 1 40000 fr. la propriété d^one usine métallurgique. Les bénéfices annuels constatés s'élèvent à 10000 fr. tous frais payés^ entretien compris. On s'est assuré que la mine qui Talimente ne contient de lùinerai traitable que pour 10 années; mais^ à la fin de ces dix années, on trouvera à céder Remplacement et les débris du matériel pour 70000 fr. Doit-on accepter ce marché?
Faisant dans(5)e=:o; 0=140000, i=z 10; fii=r 70000, on troave d=12565 fr. 45 c, c^est-à-dire que pour que Ton tirât un intéréide 5 O/o de ses capitaux, il faudrait que les bénéfices annuels derosine fussent parfaitement assurés et qu'ik dépassassent de 2565 fr. ceux qu'elle donne. Tout restant comme ci-dessus, l'usine en question ne devrait en aucun cas être achetée plus de 1 20000 fr., en supposant que Ton se contentât d'un placement industriel à 5 O/q.
Table calculée dans rhypothêse éPun intérêt de 5 0/0 (/*= 1 .05).
EœULEMENT.
ÉCOULEHIENT. Lorsque, par Pemploi de vases transparents, et soit en mêlant aax liquides des poudres tenues et colorées, d^ane densité égale à celle dont ils jouissent eux-mêmes, soit en déterminant dans toute leur masse, par des réactifs conyenables, un très léger précipité , on peut étudier la manière dont les écoulements s^opèrent, on remarque que de tous les points du vase (fig, 1 , pi. XLYIII) des filets fluides se dirigent vers Porifice en parcourant des courbes fort compliquées, dont la nature dépend de la forme du vase, do celle de Porifice, et suivant lesquelles les molécules liquides se meuvent avec des vitesses qui augmentent à mesure qu'elles se rapprochent de cet orifice; parvenues dans son plan elles le franchissent avec une grande rapidité, et si la paroi dans laquelle il est percé, est plane et mince (pi. XLYII), les filets fluides tendant à conserver leur direction propre forment au dehors un faisceau qui se contracte à une petite distance MB de Torifice MN. Si cet orifice est circulaire, la veine fluide, à partir de la section contractée, prend la forme d'un cylindre qui a cette section pour base; les filets fluides semblent se mouvoir parallèlement à Taxe, tant que la résistance de Fair n'a pas épanoui la veine, et la dépense se réduit au produit de la vitesse par la section contractée de la veine.
Si la paroi est épaisse (^jf. 2,pI.XLIX)oucequi revient au même si Torificeest muni d'un ajutage de même diamètre (fig. 1), la veine se contracte encore, mais le plus souvent elle s'épanouit un peu au delà de la section contractée, rejoint les parois de l'ajutage cylindrique, les suit en le remplissant en entier et l'écoulement se faisant ainsi & gueule -bée par une section égale à celle de l'orifice, la dépense est plus grande que si elle avait lieu en mince paroi , bien que la résistance de Tajutage diminue la vitesse de sortie du liquide.
568 ECOULEMENT.
Qae si^ au lieu d'être circulaire, Torifice en mince paroi était po- Ijgonal^ rectangulaire comme MN par exemple^ planche XLYII , la yeiue se contracterait encore, et présenterait de plus le phénomène curieux faussement désigné sous le nom de rmoenemeni dâ la veine et en vertu duquel la masse liquide dont la section aTait d'abord la forme et la grandeur de l'orifice MN prend successiyement les formes et les grandeurs ABC .. . HI, eenUflant ainsi se tordre en creusant ses faces parallèles et faire décrire à ses arêtes longitudinales un angle de 45 degrés.
Sans entrer plus avant dans Pétude des mouvements complexes des filets fluides pendant l'écoulement, mouvements que nous ayons au reste essayé de reproduire dans les croquis, on pressent facilement combien il eût été difficile d'y appliquer le calcul, et aiirtout de les exprimer par des formules assez simples pour devenir pratiques. On a simplifié le problème en faisant les hypothèses suivantes.
Hypothèses. On suppose (pi. XLYIII) :
lo Que le mouvement des molécules liquides est permanent, c'està-dire que la vitesse en un même lieu de Tespace y est toujours la même tant en grandeur qu'en direction pour tous les instants où Ton considère le liquide^
20 Que dans chacune des sections planes MN, M'N^ M'' N" (fig. 2), faites en travers de la masse liquide perpendicolairement à la direction du mouvement général, toutes les molécules d'une même tranche sont animées dans cette direction de vitesses égales et parallèles. C'est l'hypothèse du parallélisme des trandies;
30 Que la pression génératrice du mouvement est la même pour tous les éléments superficiels et égaux d'une même tranche;
40 Que les différentes molécules liquides ne cessent jamais d'être contiguës les unes aux autres, sans lacune, sans espace vide, de telle sorte que la masse liquide conserve le même volume extérieur quel
3 ne soit le changement de forme qu'elle subit, et que dans un temps onné un même volume de liquide passe par chacune des sections MN, M'N', M"N" du vase. C'est la loi de continuité;
50 Enfin on fait d'abord abstraction de la résistance des parois.
Observation. Ces hypothèses, et notamment la seconde el la troisième, ne sont point entièrement d'accord avec les faits observés, et l'on n'y a recours que parce qu'elles permettent ou facilitent l'application des principes généraux de la mécanique au mouvement permanent dà liquides. Les résultats auxquels elles conduiront devront donc en général subir des réductions que nous ferons connaître successivement et dont la recherche est l'objet de l'hydraulique expérimentale. Remarquons toutefois que si les sections des réservoirs va-
ECOULEMENT. 569
riaient par degrés insensibles, si lenrs orifices étaient convenablement évasés, si en un mot les appareils d'éconlemeot pouvaient être établis avec une perfection aue la pratique ne comporte, pas, mais dont elle doit sans cesse tenore à se rapprocher, les résultats théori* ques seraient presque entièrement d^accord avec Tobservation. Tel serait à peu près le cas des vases des figures 1 et 2, planche XLYIIL
Réservoir évasé entretenu au même niveau (fig. i, pL XLYIII). Soient :
dM. la masse de la tranche infiniment mince de fluide qui s^écoule constamment du vase MN pendant le temps infiniment petit dtf
U le poids du mètre cube de ce fluide;
A la section supérieure du bassin au niveau supérieur HN supposé constant;
a la section de Forifice inférieur supposée très petite par rapport à A;
y la vitesse avec laquelle les filets fluides firanchissent la section a;
H la différence de niveau entre M N et le centre de la section a;
P la pression extérieure par mètre carré qui pourrait être exercée sur la surface supérieure du fluide ;
p la pression extérieure par mètre carré qui pourrait être exercée sur Tonfice a et qui s'oppose à l'écoulement ;
\adt =: ^—- sera donc le volume de liquide écoulé pendant la durée dt;
-r- la vitesse de la tranche supérieure dont A est la section, en
vertu des conventions ci-dessus ; -7-;- dil sera la force vive de cette tranche en A ;
\^dii celle de la même tranche lorsqu'elle parviendra en ay di\. y^ Il — -- I sera la force vive acquise par cette tranche.
Le travail qui a engendré cette force vive se compose de : H jfdM travail de la gravité (vay. MHCAmQUB); de
•^ — - — dt = Va\dt = travail de la pression P;
enfin de *
— paWdt =z — ^^^W~ travail de la pression p. On a donc
(mbcaniqcis) pour Péquation des forces vives
S70 EGOCLESIENT.
dM.V» (*-T^,) =[21^» + ^ (P-p)]rfM....(l)
d'où 9 divisant par dM, on obtient poor la vitesse Y desortie à la section a
Dépense. En multipliant cette vitesse Y par la section a de rorie, on obtiendrait la dépense Q ou le volume de liquide qui s'écou-
fice
lerait en une seconde
La formule (2) se simplifie toutes les fois que A est très grand par rapport à a; le dénominateur de la fraction sous le radical dififérant alors très peu de l'unité^ on a avec une approximation suffisante
- et - étant les hauteurs des colonnes de liquide qui prodoiraioit
les pressions P et p,
Si récoulemeni se faisait à Pair libre, on aurait P = p = pression atmosphérique et la vitesse deviendrait
Y = L/2 jH = 4.4292 H. . , . (5)
C'est la relation démontrée pour la première fois par Torrtcdli (1644). Elle exprime que dans l'hypothèse du parallélisme des tranches la vitesse moyenne d'écoulemeot est celle que prendrait un corps libre en tombant dans le vide d'une hauteur H égale à la charge. On en déduit
On appelle Y vitesse due à la charge H, et H hauteur génératrice de la vitesse Y, et les relations entre Y et H étant d'un fréquent em-
tiloi, il en a été dressé une table fort étendue que j'ai reproduite à a fin de cet article, d'après M. Navîer {Archiucture hydraulique). Pression en un point quelconque du réservoir (fig. i , pi. XL VIII). Soit p' la pression inconnue par mètre carré à laquelle est soumise une tranche quelconque M^ N' dont la section est U» pression qui se
ECOULEMENT. S71
Iransmettrait aux parois du vase et les pousserait du dedans vers le dehors sur tout le contour de la section O. Gonseryant Uoutes les
Va
notations ci-dessus et remarquant que la vitesse U' en 0 = —,
l'équation des forces vives appliquée à la masse constante comprise entre M N et M' N' donne facilement
on en déduit pour la valeur de la pression p'
,' = P + nA'-n(— -).... (8)
ainsi^ pendant le mouvement^ la pression par métré carré dans une section quelconque M' N' égale la pression extérieure P au niveau supérieur M N du liquide , augmentée de celle II h^ qui est due à la hauteur de ce niveau au-dessus de la section M' N' et diminuée de celle que produirait une colonne d^eau d*une hauteur correspondante à la vitesse effectivement acquise entre M N et M' N'.
Si V orifice de sortie était noyé {fig. ^^pL XLYIII) d^nne hauteur constante n sous l'eau d'un réservoir inférieur^ il suffirait évidem- ,ment d'ajouter le double du travail négatif — gn. dM. au second membre de l'équation (1); il en résulterait que les valeurs de la Titesse à l'orifice qu'on en a déduites , s'appliqueraient encore en y mettant simplement H — n au lieu de H.
Résumé théorique. On peut conclure de tout ce qui précède : Que la vitesse théorique Y est celle qu'acquerrait un corps libre tombant d'une hauteur égale à la charge eiïective H ou (H — n) sur le centre de l'orifice a, s'il est infiniment petit (fig. 1 et 2);
Que la dépense théorique est le produit de cette «vitesse par la section de Torifice.
Coefficients de réduction. En comparant les vitesses et les dépenses données par les formules ci-dessus avec celles que l'on déduit de jaugeages exacts, on obtient, pour les diverses formes et grandeurs d'orifice et sous diverses charges les nombres m ou coefficients par lesquels il faut multiplier les vitesses ou les dépenses théoriques pour avoir les vitesses ou les dépenses réelles.
Ces coefficients sont compris entre les limites extrêmes 1 et 0.5 qu'ils n'atteignent pas en général; on les nomme coefficients de contraction lorsqu'ils expriment le rapport de la section contractée à celle de l'orifice réel, toujours plus grande, qui entre seule dans les formules, et coefficients de réduction lorsqu'ils portent sur la dé-^ pense.
579 ECOULEMENT.
Infhutnee iun réiréeùêemeni brusque (fig. 3 , pL XL VIII). L^bjpothôse de la continuité da flaide donne entl*e les vitesses U, o% IF aux sections A» a\ AJ et celle Y qui a lien à Torifice de sortie a les relations suivantes en tenant compte des contractions là où elles ont lieu,
ma V = AU = m'a'v' = A' U' d'où
- tnaV rnaV »., maY
U z^ V = AJ' =,
(v' — U') = ma\ i-^— — ^] ^ ^ W'a' A'y
Or, an passage d'un étranglement a\ la tranche dTâ de fluide qui le franchit dans le temps in6niment petit dt y prend nécessairement une vitesse t?' plus grande que celle U' que possède en A' la masse M' comprise entre les sections a' et a. Un peu an delà de l'étranglementy elle perd brusquement contre la grande masse M' son excédant de vitesse (v* — U') ce qui donne lieu à des tourbillonnements qui (page 328) absorbent un travail exprimé par
la grandeur de M' par rapport à dIA permet de négliger — ~ en nré-
sence de Funité, on a donc en général soit à retrancher du second membre de Féquation (1) qui renferme le double du travail des pressions 9 le terme :
dM(t,'-Dr = «••«» V»(;i^-i)^M (9)
soit à l'ajouter au premier membre -, ainsi, dans le système de h figure 3 l'équation du mouvement et l'expression de la vitesse Y en « où Ton sappose qu'une contraction a lieu deviennent
lorsque Ton ne tient pas compte de la résistance des parois.
ECOULEMENT. 973
S'il s'^BgU de l'éfloalement de Peau à l'air libre {fig. S) et que la surface A du réservoir soit très grande par rapport à a, l'expression de la vitesse Y se réduit à
I / ^JH . . . . (I
-yi+m.«.(-*^,i)*
Dans le cas où A. étant toujours très grand par rapport à a^ on aurait en outre a^ = k\ ce qui a lieu lorsqu'un tuyau {fig, 4) de sec« tion constante et oniforme A' établit la communication entre un grand réservoir et i'oriiice de sortie^ il viendrait
, / îiS
Enfin si l'orifice a égale la section A' du tuyau et que Técoulement se fasse à gueule-bée, m =: 1 et • = A' donne
WS
Influence d'un élargissement brusque, {Fig. 5. PI. XLYIII.) L'effet produit par un élargissement brusque est analogue à celui produit par un étranglement. Les Titesses Uy Y' étant supposées en raison mverse des sections, on a, en remarquant qu'il n'y a pas de contraction
et la masse éléihentaire d M en perdant subitement son excédant de Titesse ( ti -r- Y') donne lien à une perte de force vive qui fournit un terme positif •
dM (il — Y')^ = rfMtiWl — ^j' = rfM.Y'W" — l)*..(15)
à ajouter au premier membre de Féquation (1), ou plus généralement aux autres forces vives du système.
Influence de la résistance des parais. On ne tient pas compte de la résistance Ses parois des orifices, mais lorsqu'ils sont précédés on suivis de canaux ou tuyaux d'une longueur sensible L , d'une petite section s, on peut d'autant moins se permettre de négliger cette résistance que la vitesse moyenne u est plus grande. L ob-
574 ECOULEMENT.
seryation semble avoir démontré (p. 448) que ta résistance R des parois était assez exactement représentée par l'expression
R= - cL (au + pw*) kilogrammes, . . . (16)
c étant la partie monillée ou le périmètre mouillé de la section constante «, et a et p des coefficients donnés par Pexpérience qui dépendent de la nature du fluide et paraissent indépendanits de celle des parois. On a pour l'eau (p. 443) dans les canaux décou?erts
et dans les tuyaux remplis
az=:0.00017 ^=0.003416
le chemin parcouru par la tranche d M dans le tuyau ou le canal pendant dt est udt; R. udt est donc le travail absorbé, par la résistance des parois pendant le même temps, et comme on a évidemment
dM = - sudt
il vient pour le travail détruit
dM. — (au + Pu») .... (17)
le double de ce terme entrerait avec le signe — dans le second membre de l'équation (1) des forces vives.
Influence des coudes (ftg, 6, pi. XLYIII) u étant la vitesse moyenne de la massent M dans le canal ou tuyau de section constante s, rie rayon de courbure du coude, X son développement, oo a d'après les expériences AeBubuaty et pour Peau seulement Texpres^ sion empirique
dM. (0.0039 + 0.0186 r) - u* (18)
de la perte de force vive due à chacun des coudes. Ce terme entrerait avec le signe -f- parmi ses analogues dans le premier membre de l'équation (1) des forces vives.
Application théoriqm. Le système indiqué ( fig. 7, pi, XLVÏÎI ) offre l'ensemble de la plupart des cas particnlicrs que nous avons étudiés isolément. Le fluide passe d'un grand réservoir A où il est entretenu à un niveau constant dans un autre grand réservoir A' on il eM supposé se maintenir aussi à un niveau n constant. La communication entre les deux réservoirs est établie au moyen d'un tuyau d'une grande longueur L et de section constante s. En admettant
ECOULEMENT. . 575
d'abord que le flaide éprouve des cmiraetians à l'entrée a' et à la sortie a du tayau, tenant compte de Tinfluencedu rétrécissement en a' et de Pélargissetnent après a, ainsi que de la résistance du tajau, on a pour obtenir la vitesse Y avec laquelle le liquide débouche dans le réservoir inférieur la relation
^i-«-L:.-i+(„-^.-îr]+('-"ï?)"i •
les vitesses u et Y conservant d'ailleurs entre elles le rapport
ma\ zrz su
Lorsque les sections A A' des réservoirs sont très grandes par rapport aux orifices a, a\ les petites fractions -, jr peuvent être négll-
gées et le second membre de Péquation (19) restant le méme^ le premier se réduit à
Si, en outre, l'orifice d'entrée a' du tuyau est égal à sa section s^ ce premier membre devient
si de plus l'orifice de sortie a:=zs=za' , il n'y a plus de contraction à la sortie, m=l et la vitesse u dans le tuyau devient^: Y, on a donc
Enfin si {fig. S, pi. XLYIII) Ton se bornait simplement à supprimer le réservoir inférieur de la fig. 7, le tuyau débouchant à l'air libre par un orifice a < «, il faudrait faire n^=:o dans la formule (1 9) et comme A' n'est alors autre chose que ma on aurait
— ?-*i: (au + ptt»). . . (23) équation qui ne difTëre de celle (10) (fig 3) qu'en ce qu'elle ren-'
576 EGOCLEMENT.
ferme le terme relatif à la résistance des parois da toyao.
AppUcationspratiques^ observation, Ayantde recberchercomment,eQ combinant la théorie avec les données expérimentales, on obtient les solutions approximatives des problèmes d'écoulement que la pratique réclame, rappelons qu'aucune des formules ci-dessus ne saurait s'âppliqucrpendant les premiers instantsderécottlement,etparexempleaa moment où l'on ouvre les orifices des réservoirs qui contiennent les fluides. Elles supposent essentiellement que les phénomènes qui ont lieu à un instant quelconque ont encore lien sans variation aucune pour tous les instants compris dans la durée que le calcul considëfe, en un mot que le régime est établi, circonstance que Ton reconnaîtra dans la pratique à ce que les niveaux des liquides ou les tensions des gaz sont devenus invariables. Nous insisterons également sur la nécessité d'étudier avec la plus grande attention les dispositions intérieures et extérieures des réservoirs, les accidents de forme des orifices et toutes les circonstances d'un écoulement avant d'y appliquer le calcul; remarquant qu'une paroi épaisse n'est autre cnose qu'ooe paroi mince dés que la veine liquide s'en détache en amont' et ne la rencontre plus, que pour un orificedemème forme et de même paroi; tantôt la veine se détache, tantôt elle ne se détache plus, suivaot que la charge est plus forte ou plus faible, enfin que des contractions ont lieu qui ne sont pas toujours apparentes et qu'on ne les reconnaît souvent à la partie inférieure des orifices avec coursier recouvert par le liquide que par la présence des bulles d'air qui se cantonnent dans cette région.
Ajutages (pi. XLIX). On appelle ainsi les tubes adaptés extérieurement aux orifices. Ilssont ou cylindriques ou coniques cooTergents vers le dehors, rarement coniques divergents.
Ajutages cylindriques (fig. 1. 2. 3). Lorsque leur longueur est moindre que la moitié de leur diamètre, la veine se détache et Técoulement s'opère comme en mince paroi. Lorsqu'au contraire la longueur atteint deux ou trois diamètres, l'écoulement se fait à gueule-bée, le coeïGcieuX m à employer =0.8-2, il porte p^incipal^ ment sur la vitesse.
m s'abaisse à environ 0.3 (fig, 3) lorsque le tuyau cylindrique s'enfonce d'Une quantité notable à rintcrieur.
Ajutages coniques convergents {fig, 4 et 5, pU XLIX). Ils influent «ur la section de la veine et sur la vitesse suivant l'angle de convergence, lorsque leur longueur atteint 2 à 8 fois leur plus petit diamètre. En désignant parn le coefficient de la section, par n' celui qui porte sur la vitesse, le coefficient de la dépense sera m == nn^ et l'os aurait, d'après M. Castely à très peu près les relations suivantes :
ECOULEMENT.
Angle ffi
ainsi la contraction extérieure et la vitesse de sortie augmentent a?ec l'angle de convergence, la plus grande dépense correspond à Pangle de 120 (fig, 4.)
Ajutages eomqties divergente (fig^^^ pL XLIX). La pratique n'emploie pas ces espèces d'aîutages. Je crois cependant utile de rappeler ici que, sous certaines conditions de longueur et d'évasemcnt, ils peuvent augmenter la dépense réelle à ce point qu'elle dépasse la dépense théorique. Avec des ajutages de la forme indiquée {fig. S), Veniuri a obtenu des dépenses qui ont dépassé la dépense théorique de I de j et même de près de {, le coeiBcientmquipôrtepresqu'en-" tiérement sur la vitesse ayant pris les valeurs 1.21, 1.3i, 1.46. Il attribue ces effets à des causes qui sont encore aujourd'hui assez obscures et parmi lesquelles figure celle qu'il a nommée principe de la eommttnication latérale du mouvement dans les fluides. ' La figure 6 est l'ajutage de plus grande dépense; sous une t;harge constante de 0".88 il a produit une aspiration mesurée à l'origine, au premier tiers^ et au second tiers par des colonnes d'eau respectivement égales à l^'.Bd, 0^^.63 et 0°'.215 .
Ajutagei divers^ buses pyramidales, étranguillons, etc. On emploie dans les anciens moulins, dans les forges, et dans les scieries des . buses pyramidales (^fig. 8) pour conduire Teau sur les roues. Ces buses en bois ont la forme de pyramides quadrângulaires, l'angle dièdre de deux des faces opposées est ordinairement compris entre 12 et 15 degrés. M. Lespinasse donne pour le coefficient de la dépense relative à ces buses m= 0.98 en moyenne; d'après M. Morinm = 0.964 lorsque ces buses n'ont pas do cadre à Tintérieur et d'après MM. Piobert et Tardy m=0.864 lorsque leur extrémité est garnie d'un cadre. — Les étranguillons des trompes (fig, 7) qui sont aussi des espèces de buses d'environ 0(°.32de longueur, df>nt deux faces sont parallèles et les deux autres fort inclinées m'ont fourni 0°>.98=: m comme le coefficient le plus probable de la dépense, bien que ces ajutages donnent lieu à des contractions sur les deux faces parallèles.
Orifices rectangulaires verticaux {fig. 9, pi. XLIX). Soient 2 la largeur de l'orifice
X la charge sur lé centre de figure d'une de ses tranches horizontales d'une épaisseur dx infiniment petite Idx sera la section de cette tranche yTfi la vitesse de sortie du filet central de la tranche
678 ECOULEMENT.
dQ étant le volume d'eau qu'elle d^ite^ on a
dQ = Idx \/Tfx
U étant la charge sur le seuil de ToriGce, et * h la charge sur son sommet Q ou la dépense par Forifice, dont
H — h devient la hauteur, sera évidemment riNTÉGRALB de Fapression ci-dessus; prise entre les limites â?==H et x:=ihy d'où
QzzzLjdx \/2ji = - / JH /5^— A|/27J^j. . . W
il restera à multiplier le second membre par le coefficient m cooT^ nable à chaque cas particulier.
Les praticiens se sont accordés pour substituer à cette expressioi assez compliquée de la dépense, celle
qui n'est autre chose que le produit de la section de Porifice parli vitesse du filet placé à la même profondeur que son centre de gravité, le tout multiplié par le coefficient de réduction convenable. Si Forifice est isolé des faces latérales et du fond du réservoir et potè dans une paroi mince et plane, ou si étant isolé il est percé dans une paroi plane épaisse et que la veine se détache de cette paroi contre les arêtes d'amont, on prendra la valeur du coefficient m dans Ici tables suivantes. Il porte principalement sur la section -{pL XLTII) et la vitesse de sortie reste à très peu prés égale à la vitesse théorique.
ECOULEMENT. 5T9
Table du coeffeiaOi de correction de la déperue four lei orifice* rectangidairet verticaux en mince paroi, avec contraeHan complilè, et venant l^ement dans l'air, d'aprit le* expérience* de MM. PancBLBT et Lbsbkos. (Les charges U, h étaot relevées dans le plaD de l'orifice.)
sso
ECOULEMENT.
Table des coefficientt de correction de la dépense pomr la orifieei ratangulairei verlteatas en mince paroi, avec contraction eomfléU,t certmt librement dam l'air d'apriiUs expérience» de MM. Poncuti et Lbsbios. (Les charges H, h étant mesartes en uo point dn rt servoir où ie liquide est parfaitement stagnant.)
O.KOO
Uoo
ISOO
o.oin
0,SÏT
oleiB
ECOULEMENT. 5Si
Le coefBdeot m parait augmenter avec la largeur de Torifice^ et lorsqu'elle atteint i^»bO, ou a^ d'après M. Marin :
m = 0.675 . . . 0.679 . . 0.727 suivant que H — i = 0.20. . . . 0.10. . . . 0».05
Lorsque Tun des côtés de Forifice sera compris dans le plan de Psoe des parois intérieures du réservoir, la contraction y étant supprimée, on cherchera dans les tables précédentes le coefficient m , et Ton aura pour le coefficient m, à introduire dans la formule (25) à h place de m «
mj = (l + 0.035)m
Enfin si la contraction n^avait jieu que sur deux ou un des côtés de Torifice, on prendrait respectivemeni
mj=(l+0.125)fii
le dernier cas est celui où trois des faces du réservoir seraient dans les plans des côlés des orifices.
Vannes cPécluêe. Pour les vannes d^écluse en particulier où Técoulement s^opëre sous des charges de 2"* à 4'°>.50, on aurait mojenneiicnt d'après les expériences concordantes de Pin et de Lespi-natiey etc. .^
5i k réservoir est disposé pour diminuer la contraction {fig. 1 1 , p/- XLIX), ce qu'on obtient par des raccordements tels qu'on ait ( l étant la largeur de la vanne),
ab z=z\l e^> î / et < 2 I
irrondissant les angles et raccordant le fond^ on a pour une vanne verticale m = 0.70. ^
Yannes inclinées des roues Poncelet [fig, 10). Lorsque les côtés et la base de l'orifice rectangulaire sont respectivement dans les plans des joues et du fond du réservoir, ou lorsque ces plans se raccordent aT^cTorifice par les arrondissements de la fig. 11, la contraction n'ayant lieu qu'au sommet , le coefficient m de la dépense s'élève à 0.70 si la retenue est inclinée à 1 de base sur 2 de hauteur et» 91= 0.73 si [fig. 10) elle est inclinée à 1 de basé sur 1 de hauteur.
• H -I- A H — h est la hauteur verticale de l'orifice et — — la charge sur le
centre à introduire dans Pcxpression de la dépense
582 ECOULEMENT.
Sous de faibles charges et de petites ouvertures de vanoe^ on devra augmenter de ^ environ les coefficients ci>dessus.
Ces coefficients supposent qu'il n'y a point de choc de la part des aubes de la roue contre la veine fluide , efîet qui a lieu trop souvent dans les prétendues roues Poncelet exécutées par dMgnorants ouvriers j lorsqu'il y a choc et remou ces coefficients peuvent diminn» de I à y de leur valeur.
Si les orifices étaient noyés d'une hauteur n au-dessus de leur centre, les coefficients ci-dessus s^appliqueraient encore, mais il faudrait évidemment remplacer le radical de la formule (25) ou la vitesse par
en désignant par H' et h' les charges à Pavai sur le seuil et sur le sommet de l'orifice^ et remarquant que
S'ils n^ étaient noyés qu'en partie y on les partagerait en deux antres l'un débouchant librementdans Pair, l'autre sous Teau du bief inferieur et Ton appliquerait séparément à chacun la formule qui s'y rapporte en adoptant un même coefficient pour la dépense.
Cabinets dPeau {fig. 1, pi. L). La dépense des cabinets d'eau A' se: calcule comme toute autre en fonction de la section ai de PorifiGe, de la charge A' sur son centre et du coefficient m qui convient à cet orifice ordinairement rectangulaire \ on a donc en général pour h vitesse v et la dépense Q, *
V = ^¥gU', Q = fntùv
celte disposition que Ton rencontre dans quelques forges donne liei à une perte de chute qu'il importe d'évaluer.
Perte de chute dans les cabinets d'eau. ( H ' — &'] = (H — A) est évidemment cette perte^ elle se déduit immédiatement de la formule^ générale (19), en observant !<> que le réservoir A étant ici toujours
très grand par rapport à la section s du tuyau ~ est négligeable;
2* queP — p = Oy 3® que s étant égale à a = a'^ il n'y a pas de contraction à la sortie, et la vitesse moyenne du liquide dans le tuyau est celle Y avec laquelle il débouche dans le cabinet d'eau. Od a donc
ECOULEMENT. 581
Le coeiBdeot m paraît augmenter avec la largeur de Torifice^ et lorsqu'elle alteintl°>.50> oua, d'après M. Marin:
m =0.675 . . . 0.679 . . 0.727 suivant que H— A =0.20. . . . 0.10, . . . 0».05
Lorsque l'un des côtés de l'orifice sera compris dans le plan de l'une des parois intérieures du réservoir, la contraction y étant supprimée, on cherchera dans les tables précédentes le coefficient m , et l'on aura pour le coefficient m, à introduire dans la formule (25) à la place de m «
mj = (l +0.035)m
Enfin si la contraction n^avait Jteu que sur deux ou un des c6tés de l'orifice, on prendrait respectivement
mj = (l4-0.125)m
le dernier cas est celui où trois des faces du réservoir seraient dans les plans des côtés des orifices.
Vannes (Técluse. Pour les vannes d'écluse en particulier où l'écoulement s'opère sous des charges de 2"* à ^"^.SO, on aurait moyennement d'après les expériences concordantes de Pin et de Lespx-nasse y etc. ^ ^
Si le réservoir est disposé pour diminuer la contraction (fig. ii^pL XLIX), ce qu'on obtient par des raccordements tels qu'on ait ( / étant la largeur delà vanne),
ab = ^l ef>-^lci<2l
arrondissant les angles et raccordant le fond, on a pour une vanne verticale m=:0.70. *
Vannes inclinées des roues Poncekt {fig. 10). Lorsque les côtés et la base de l'orifice rectangulaire sont respectivement dans les plans des joues et du fond du réservoir, ou lorsque ces plans se raccordent av^c l'orifice par les arrondissements de la fig. 11, la contraction n'ayant lieu qu'au sommet, le coefficient m de la dépense s'élève à 0.70 si la retenue est inclinée à 1 de base sur 2 de hauteur et* m = 0.73 si (fig. 10) elle est inclinée à 1 de basé sur 1 de hauteur.
H — h est la hauteur verticale de l'orifice et — ^r— la charge sur b
centre à introduire dans l'expression de la dépense
584 ECOyjLEMKNT.
la variatioD de vitesse (V — 13) = U donne lieu à une
^ Vmti) /
perte de force vive . r ^^ : >*
\nnù I
on a donc pour 1» vitesse en û
et pour la vitesse V et la dépense Q'
,, ûUÉ xzznjESii . . (29)
Q' = ÛU = mwV . . ; (30)
Déversoirs. On appelle déversoirs (fig. 3, pL L) les orifices redangulaires pratiqués dans la paroi verticale plane et mince d'un réservoir entièrement découvert et où la charge h sur le sommet est nulle. Quoique Tinclinaison de la nappe liquide vers Porifice change les circonstances de récoulement> on se contente, dans la pratique^ de faire A = 0 dans la formule (24); Ton a alors pour la dépense Q
0= ? ifij/H KWH = |*/H v/5p[ . . . (31)
H est la différence de niveau comprise entre le milieu du seuil d« déversoir et la partie supérieure de la nappe liquide en amont do plan vertical où l'inflexion commence à se faire sentir.
Mesure de H. M. D^Aubuisson avait remarqué et M. Ctisiel a d^ puis constaté que l'eau se tient contre les portions MN de la cloisoD comprise entre les berges et les bords du déversoir au m^e niveao qu'en amont du déversoir avant que le fluide commence à s'infléchir vers lui. On pourra donc mesurer H dans le plan du déversoir en prenant de chaque côté un point de la ligne d'eau vers les son* mets M N des angles, tendant un cordeau de Tun à l'autre point el mesurant la distance verticale H de ce cordeau au milieu du seuil.
Lorsque cette opération ne pourra être exécutée, et qne Vos n'aura pas d'instrument de nivellement à sa disposition, on prendra répaisseur E de la nappe dans le plan et au milieu du seuil aifiii d'atténuer l'erreur qui pourrait résulter du défaut d'horizontalité. / el l étant alors les largeurs respectives du déversoir et du cours d'eau ea amont, on tirera H des relations suivantes données par MBf. Po»-
EœULEMEMT. 585
ctkiei Le$iro$. Oki calculera d'abord une valeuv aaxiliairo K
et l'on aura en général
Lorsque la largeur l du déversoir := la largeur L du canal d^ame* née, et lorsque l = 0.86 L^ on a, respectivement, diaprés MM. Bi* done et Eytehoein
Valeurs du coefficient [x« La valeur moyenne du coefficient |a de la formule (31) = 0.450 pour les larges déversoirs, et 0.405 pour ceux qui sont étroits.
Il ne semble pas que Tépaisseur des parois exerce une influence sensible sur sa valeur, tant qu'elle ne dépasse pas 0».04y et que la charge n'est pas très faible. Il n'en est pas de même des charges^ et Ton aurait, d'après MM. Ponceki et Le$bro$, la correspondance sui^* vante entre H et [a
{JL = 0.424
pi = 0.397
Ces coefficients supposent que la largeur L du cours d*eau est fort grande par rapport à l, qui, dans le tableau ci-dessus, n'avait que 0™.20; lorsque la largeur du déversoir approche de celle du canal d'amenée, ou lui devient égal, le coefficient \t. parait augmen^ ter, d'après M. Castel, jusqu'à la limite supérieure 0.450 qu'il ne dépasse pas, tant que la largeur / est < 0">.74. La largeur du déversoir parait exercer elle-même une très grande influence ; quand cette largeur atteint 2 mètres, et que I = L, on aurait, d'après les expériences de M. le colonel À^ Morin, la correspondance sui* vante :
ji. = 0.264 ...
{JL = 0.437 ...
jjL = 0.477 .».
5(l« EG0QL8MENT.
Il faut observer ici que le seuil étant fort èfMis el = #*.08, b résistance qu'il a opposée à récoulement a été d'autant plus sensible, que la charge a été plus faible. Sous les fortes charges, la Teine se détache du seuil malgré son épaisseur.
Influence des counien sur les déversoirs. Lorsque les dèversoin seront suivis d'un coursier, on obtiendra à peu prés la vitesse aa déversoir en multiplant par 0.96, le coefficient \k relatif au cas où la veine verserait librement dans Tair, pourvu que la lame ne soit pas recouverte par le remou dans le canal.
Si elle rélait» on mesurerait sa section Û dans le canal, en un poiol où la vitesse U est devenue uniforme, et n' étant la hauteur da niveau de cette section au-dessus du seuil du déversoir, H' celle da niveau d'amont au-dessus du même seuil avant Pinflexion de la tame, on aurait diaprés Dubuat
si le fond du réservoir et du canal soûl dans le prolongemeil l'un de Pautre. On n'a pas même d^approximalion pour les at* très cas
Vitesse à Vextrémité des coursiers. On a vu dans les paragrapha consacrés à Tinfluence des coursiers, les moyens d'estimer en général la vitesse U dans ces coursiers à une distance égale à deux ou trois fois la largeur de l'orifice.
Si le coursier se prolonge au delà, et si la pente est rapide, la vitesse u à Textrémité du coursier aura pour valeur sufCsammest approchée
u = ^/îp~f7gl = [/ig j u: + «j . . . (S6)
e étant la hauteur de chute comprise entre l'extrémité du courrier et le point où la vitesse moyenne a été trouvée = U.
Sila faible penteet la forme du coursier (/Ejf. 4, pi. L) sonttellesqu'oo ne puisse pas négligerPinfluence des parois, on mesurera la section^ de la lame liquide à Fextrémité du coursier, en un point où Pin* flexion qui caractérise le déversoir est prés de se manifester; el, comme on connaît la dépense Q' à Forifice qui a lieu dans ces con* ditions, on obtiendra la vitesse u vers rextrémitc du coursier par b relation
Enfin, si le coursier était très long, et que l'on ne pût pas mesurer la section Û' à son extrémité ; on prendrait une moyenne W entre la vitesse U, calculée comme on l'a vu pour une dislance égale à
ECOULBUBNT. «87
deux ou (roU fois ialaif^eiir de l'orifice, el celte même vitesee aagraeotée de celle qui serait due à la pente e, ou aurait ainsi
w=H + l£Çαïif . . . (38)
Dègli^eant « daos le terme relatif è la résistance des parois, faisant ^=z 0.0035, L la longueur développée du coursier, déduisant
la section S = - et le périmètre mouillé c de la dépense Q' de Vo-
rifice et de la largeur du coursier^ il vient pour la vitesse u à Textrémité
u =2 l/(J> + 2g6 — £l^pW* .... (39)
Conduites d^eau. L'équation du mouvement dans une conduite de section constante s débouchant à Pair libre, est évidemment celle (22) dans laquelle on ferait P :=r p. Toutefois, lorsque les conduites ont une longueur L plus grande que cent diamètres, le terme relatif à la résistance des parois devient si grand, par rapport au premier membre, qu^on peut, sans erreur sensible, égaler ce dernier. à zéro* Il vient alors
j,(H-A) = i^(aV + pV«) . . . (*0) d'où, à cause de a = 0.00017 el ^=: 0.003416, d'après Prony, .
V = 53.38 l/îiâ^) 0«".025 .. (41)
Si la conduite est circulaire j D étant son diamètre, on a c =ic D S = f i: D^, de sorte que si Q est le volume d'eau qu'elle débile par seconde,
cette formule a été vérifiée avec un très grand soin par M. de Pronyj elle donne des résultats exacts pourvu que L soit au moins=100 D, et que D ne soit pas lui-même < 0°>.01; elle est d'accord avec l'expérience pour des conduites qui auraient jusqu'à 2280"". de longueur.
ECOULEMENT.
La table snivanlc fournit les Taleurs da premier terme do second membre correspondantes à diverses valenra de -; il suffit d'en re-
Lé
trancbcr 0.025 pour avoir les vitesses qui répondent aux valears de H— A,
Soit H — A = 4~j D= 0.1; L=90«, on a - = 0.005^ le
Ju
chiffre S^'.TSO placé à ^intersection de la colonne verticale 0.005 et de la ligne honzontale au niveau de 4«». indique que
d'oà Q = 0.78539 X 0.01 X 3.764 = 0»«».0295 ou 29 litres \ par seconde.
On aurait diaprés M. Eytelu>einj dans les cas ci-dessus
;bment.
