P' V AB P

p + P' :'P' :: FB + AF : aF = -AJ? = ^l-L = p

relations qui donnent les segments AF =p et FB=p'^ en fonction des forces et de la longueur do la droite AB = /.

(49). Quand deux forces P, S (/fj. 8) parallèles et de sens contraires, agissent perpendiculairement à la même droite, leur résultante R' égale leur dîflerence S — P et son point d'application est donné en général par la même relation que ci-dessus.

(50). Couples, Toutefois, si les deux forces P^ S appliquées à des points différents de la droite AB étaient égales et de sens contraires, elles formeraient ce que M. Poinsot a nommé un couple^ sjstème dont la distance a, des points d'application de P et de S, serait le bras et dont Ténergie aurait le produit Va pour mesure. Ce produit s'appelle moment du couple. Aucune force unique ne produirait sur la droite Teffet du couple Va. Cet effet ne pourrait être produit que par un couple équivalent Fg, c'est-à-dire tel qu'on eût entre les moments de ces deux couples l'égalité

fq = Va.

Un couple équivalent à Va et de sens contraire ferait seul équilibre à Pa (Yoy. la Statique de M. Poinsot).

(5 1). Lorsqu'un nombre quelconque de forces parallèles P, , Pj , P , P^. . . agissent perpendiculairement à la même droite en différents points, leur résultante R est égale à la somme algébrique des forces; et si l'on prend un point quelconque de leur plan pour origine des mo-» nfientSy le moment de la résultante sera égal à la somme algébrique des moments des composantes.

On a donc, en général, en ayant soin de donner des signes contraires tant aux forces qui agissent sur la droite en sens contraire, qu'aux distances Pi^p^^p^y à Torigine des moments situés de diffi^renls côtés par rapport à cette origine.

Rr = P,p. + P,p. + PjP, + P*p« +...

La première équation déterminera la grandeur de la résultante Rj la seconde donnera

poar la plus courte distance r de la direction de cette résaltaote ï l'axe ou origine des moments. Cette résultante est d'ailleurs parallèle aux composantes.

(52). Si Ton trouvait zéro pour la somme algébrique des moments f sans que la somme abgébrique des forces ou fi fût elle> même = zéro, ce caractère indiquerait que r=zOj c'est-à-dire que la résultante passe par l'origine des moments.

(53). Au contraire, si la somme algébrique des forces ou R éuit zéro sans que la somme algébrique des moments tùi = zéro, c'est qu'il y aurait un couple (50) dans le système des forces doenées.

(54) Conditions de Féquilibre, Pour que Féquilibre ait lieu dans un système de forces P^ P,, P, ,■ P^ . .. parallèles entre elles et toutei situées dans un môme pian, il faut et il suflit que la résultante R te forces soit nulle ainsi que le moment Rr de celte résultante; ceqii exige qu'on ait à la fois les deux équations suivantes satisfaites :

R = P, +P, + P3 + 1\... = 0 Rr — P.p, + P,p, + P,p3 + ... = 0

La première assure l'équilibre du corps quant à la translalion dh seconde quant à la rotation,

(55) Si les forces P, F, P", P'" ...sont dirigées d'une maùtn quelconque (fig. 9) sans cesser d'être dans le même plan, on prendra dans ce plan un point M quelconque pour origine des momeots; 01 conduira par ce point deux axes MX, M¥ que, pour plus dcsiv* plicité, on fera perpendiculaires entre eux; puis :

io On décomposera chacune des forces parallèlement aux dem axes;

^o On fera la somme des moments par rapport au point M c^ prenant a, a\ a", a"' ... a pour les angles respectifs formes parte forces et leur résultante R avec Taxe des X, et X, Y pour les sonuoei algébriques des composantes suivant chaque axe , on aura

P COB a + P' CO8 a' + P" CO8 o" + P'" cos a"' -f ... «= R ces a » X P sin a + P' siii a' + P" sin a»' + P'" sin a'" +...-= R sin « = Y

Rr =- Pj» + P>' + P'>" + P"'/>"' 4- ...

Pi> 4- py + P"p»' + P'"p'" 4- ...

La grandeur et le sens de la résultante (fig. 9) sont les mêmes que si toutes les forces avaient été transportées parallèlement à ellesmêmes en un point quelconque de leur plan et appliquées à ce point; sa situation est donnée par la valeur de r que l'on tire de la dernière équation et qui mesure la distance de sa direction à Porigine M des moments. On eût pu prendre pour cette origine tout autre point du plan. *

Dans ces formules les forces ont toujours le signe -f-» mais on fait les cosinus et les sinus positifs quand les forces tendent à augmenter les coordonnées positives; ils sont négatifs dans le cas contraire. Quant aux distances p, PfP'y p"' ^^ leur donne des signes contraires pour les forces qui tendent ji faire tourner le corps en sens contraire autour de Taxe des moments.

Si R n'étant pas nulle on trouvait r = 0, c'est que la résultante passerait par l'origine des moments.

Si alors cette origine était un point matériel immuable, un axe fixe par exemple, l'équilibre aurait évidemment lieu dans le système en vertu de la réaction de ce point fixe; quelles que soient d'ailleurs les valeurs qu'on trouverait pour X et Y.

(56). Condition de l'équilibre. En général on produirait l'équilibre dans le système en y introduisant une force S égale» directement contraire à la résultante R et appliquée au même point.

L'équilibre aurait lieu de lui-même entre les forces P, F, F", P'"... si Ton avait à la fois

X = 0 Y = 0 etRr = 0,

les deux premières équations ayant lieu simultanément, l'équilibre du système est assuré quant à la translation du corps dans le plan ; la troisième assure Péquilibre quant à la rotation dans le même pian.

(57). Applications diverses. Soit {fig. 10) A. R un axe fixe auquel «est assujetti un corps solide de telle sorte qu'il ne pourrait se mouvoir qu'en tournant autour de cet axe. Supposons d'abord que des forces parallèles à l'axe soient appliquées au corps solide.

Si ces forces se font équilibre l'axe ne supportera aucun eflbrl.

Si elles ne se font pas équilibre, cet équilibre ne pourra naître qu'en vertu des efforts qui auront lieu contre l'axe. Dans ce cas les forces auront une résultante R égale à leur somme algébrique.

Si celle résuUanle se confond avec Taxe ÀB^ son unique effelesl de lirer le corps dans le sens de Taxe, et si un obstacle fixe D s oppose à ce monyemenly Tobstacie souffre une pression =R.

(58). Si la résultante B des forces parallèles à Taxe passe à une distance quelconque Gr de cet axe, et que au pointB, par exemple, uo obslacle s'oppose à ce que le corps glisse le long de Taxe sous FadioD de la force R, celte force non-seulement tirera le corps dans le sa» de Taxe, mais encore elle tendra à le faire lourncr autour du poiat B d'où naîtront, aux limites du corps que nous supposons être es A et B, des réactions {jl, y, perpendiculaires à Taxe outre Peffort qui a lieu en B dans le sens de Taxe.

Appelons X la réaction du poinl B dans le sens de Paxe^ [jl, v Ifs réaction^ perpendiculaires à Taxe aux points A et B.

On pourra faire abstraction de Taxe cl considérer le corps comnK libre et soumis à Faction des quatre forces )v, [x, v, R, toutes situées dans un même plan. Prenant un poinl quelconque, le point B par exemple pour origine des moments, on a, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus, pour les équations d'équilibre :

X — R = 0 |x — v = 0 (JLXAB = RxCr ou X = R |jL = v = Rx^

c^est-à-dire que reiïort exercé dans le sens AB est encore = B, q« les pressions perpendiculaires à Taxe souffertes par A et B soit toujours égales, quelle que soit la position de ces points, et que TaDe ou fautre est à la force R, comme la distance de cette dernière force à Taxe est à Pinlervalle AB.

(59). Voici une question du même genre où l'on tient comple des frottements (pL XXIX, fig. 1) :

Soit AB la tige verticale d'un pilon de poids Q sollicitée verticalement de bas en haut par la pression P d'une came tangente en ï à la surface inférieure d'un mentonnet. Cette pression donne lieui un frottement f'V',en désignant par /' le coefficient de ce frottemeot pour la came et le mentonnet. Cette force fP peut à son tourétrp décomposée en deux autres forces parallèles appliquées en a et «

et donnant lieu^ savoir : en a à l'effort - — ^ et en a à TefTort

pr (l y) ^

— en désignant par / Pintervalle des prisons, cl par

y la distance variable du dessous du mentonnet à la prison ioi^ rieure.

Quant à la force P, si Ton appelle x la distance de son point d'application à Taxe du pilon^ elle donne lieu à des efforts égaux etd« sens contraires en a et en a perpendiculairement à Taxe de la ligr

et dont la valeur absolue est — ^ on a donc défiDiiiTemeDt pour

Px /-Py

l'effort total en a

pour l'efTort en a'

et si /'désigne le coefBcient du froUemcnt pour la tige et les prisons, on a

p o=fj!^q^j+rjîf +

d'où Ton lire '

expression qui montre qu'il y a de Payantage pour la puissance P à diminuer a; et à augmenter la distance / des prisons. (Yoj. le Cours de Mécanique appliquée aux machines de M. Poncelbt.)

(60). D forces appliquées d différents points d'un corps solide et situées dans des plans quelconques. Ce cas général ne so présente presque jamais dans la pratique^ on le ramènerait au reste aux deux cas précédents en prolongeant toutes les forces jusqu'à ce qu'elles rencontrent un môme plan qu'on suppose invariablement lié an corps sur lequel les forces agissent, et prenant pour leurs points d'application ceux où elles coupent ce plan. On les décompose alors chacune, à ces points, suivant deux droites, Tune perpendiculaire ;iu plan, l'autre qui est la projection de la force sur ce plan. Les forces données se trouvent alors remplacées par un groupe de forces parallèles entre elles et un autre grpnpe de forces ioutes situées dans un même plan , on déterminera la résultante et les conditions d'équilibre du premier groupe, puis (G) la résultante et les conditions d'équilibre du second. Si les résultantes des deux groupes se rencontrent, on les composera en une résultante générale. Si elles ne se rencontrent pas , c'est que les forces données ne peuvent être remplacées par une résultante unique et se trouvent réduites à deux forces ayant des directions perpendiculaires entre elles.

(61). L'équilibre ne pourra donc exister entre les forces données qu'autant qu'il existera séparément dans chacun des groupes aui les auront remplacées.

(62). On peut encore projeter toutes les forces sur trois axes reci» angulaires, et si X, Y, Z sont les composantes d'une force F suivant chaque axe, x, y, z les coordonnées de son point d'application par

708 EQDIVALENCE. — EQUIVALENTS.

rapport aux mêmes axes, S le signe qui indique la somme de toutes les quantités semblables^ la condition de Téquilibre sera exprimée par les six équations suivantes :

SX = 0; S(Zy — Yz) = 0 SY = 0; S(Xz — Zx) = 0 SZ =z= Oj Jl(Yx — Xy) =z 0

C'est-à-dire que : !<> la somme algébrique des projections de toutes les forces sur chacun des axes doit être nulle d'elle-même;

2o La somme des. moments de toutes les forces par rapport à chaque axe doit être également nulle.

On remarque que Yx — Xy est le moment par rapport à Paxe des Z, Xjt — Zx le moment par rapport à celui des Y, etc. (Voj. Equivalence.)

ÉQUIVALENCE. H y a équivalence entre deux systèmes 'de forces, lorsqu'ils sont tels qu^en retournant le sens de toutes les forces de l'un des systèmes, il fait équilibre à Fautre à Taide de la machine.

Le caractère de l'équiyalence se reconnaît à ce que : !<> les sommes algébriques des composantes suivant les axes coordonnés soDt égales dans les deux systèmes ^ ^^ les sommes des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires sont égales dans les deux systèmes.

Les quantités de travail dues à des systèmes de forces équivalents sont égales.

On peut donc, dans le calcul du travail, remplacer une force par ses composantes ou celles-ci par leurs résultantes ^ on peut transporter le point d'application de la force sur sa direction et dans un corps qui tourne autour d'un axe, on peut remplacer une force par une autre force qui ait le même moment par rapport à cet axe.

Si X, Y, Z désignent les composantes suivant trois axes fixes de la force R, qui appliquée à l'un des points d'une machine, fait parcourir à ce point dans sa propre direction un chemin infiniment petit d$, et si a?, y, z sont les coordonnées de ce point, on a donc :

fVids =f\dx +y*Y(/y + fZdz

c'est-à-dire que le travail de la résultante est équivalent à la somme des travaux de ces composantes.

ÉQUIVALENTS CHIMIQUES. Voyez nombres PROPORTiomrBLs.

ESCALIER. On distingue dans un escalier savoir : la cage ou l'espace dans lequel il est établi, le jour ou l'espace vide qui répond au milieu de la cage et qui était autrefois extérieurement limité par les plans verticaux des lmon$ ou pièces de bois inclinées qui soute-