DES PLANS QUELCONQUES

Lorsque trois forces d'intensités P, P', P" agissant sur un mène pointA(/îjf. 7) dans des directions relatives PAP', PAP", P'AP', sont représentées en grandeur et en direction par les droites AP, AP'^ AP", leur résultante R est en grantjieur et en direction la diagonale AR du parallélipipéde dont ces trois forces sont les oôlés adjacents AP, A F, AP'; Ton a donc :

R« = P2 + P'» -f P"»+ 2 PP' cos PAP' + 2 PP" cos PAP"

+ 2P'P"cosP'AP".

Il en serait de même des chemins simultanément décrits on des vitesses simultanées du point A (18).

(38 . Les cosinus devenant zéro lorsque les angles des forces sobI droits^ on a alors

et la résultante en grandeur et en direction est la diagonale da pirallélipipéde rectangle construit sur les trois forces.

C'est à ce dernier cas que Ton a coutume de ramener le problèine général :

(39). Etant donné un nombre quelconque de forces P, P', P", F"*,.. appliquées à un même point A et situées dans des plans quekonpti} déterminer leur résultante R en intensité et en direction.

Par un point quelconque O de l'espace^ imaginez trois axesift-

EQUICTBRE (B). 70i

défiais X'OX, Y' OY, Z'OZ perpendiculaires entre eux^ et chacun au plan des deux autres.

Par le point À d'application de toutes les forces , imaginez un autre système d^axes parallèles aux premiers. Projetez chacune des forces P, P'^ P"^ P"' sur le second système d'axes, vous aurez en général trois projections pour chaque force. Portez toutes ces projections bout à bout et à la suite les unes des autres, en ayant égard au sens des composantes (31), sur les axes correspondant dans l'e^ pace. La somme des projections sur chacun des trois axes sera le côté du parallélipipëde rectangle dont la diagonale représentera en intensité et en direction la résultante R de toutes les forces P, P^ P",P'"...,etc.

(40) Solution par le calcul. Soient :

R, P, F, P'\ P'"... la résultante et les forces; a, a, a' y a", o"^..^ . ^ ^ .^ ..|. - , (Paxe OX

S b b' b" b"' ( '^ ^°*'^ respectifs formés \^,^^^ Qy Y, c\ c\ c\ c<:\ P*' <^»»«<^°°« d'elles avec... |,,^^^ p^

et soient X, Y> Z la somme de leurs composantes suivant chaque axe, on a :

X = Rcosa = Pcosa + P'cosa +F'cosa' + F"cosa'"+... Y = Rcosp = Pcos64-P'oos6' + P"cosi" + P'"cos4"' + ... Z = RcosY = Pcos<î + P'cosc'+P"cosc" + P"'cosc" + ...

R' qp X^-|~ ^' H"^' P^^^ déterminer l'intensité de la résultante;

cos a=— cosB = - cosY = ^ pour déterminer sa dî-

rection.

Il faut qu*on ait toujours

cos* a -j- cos* p -|- cos* y = * •

(41). Si le calcul donnait disjonctivemcnt zéro pour Tune ou l'autre des valeurs X^ ou Y, ou Z, c'est que le cosinus de Panglo formé par la résultante avec l'axe correspondant sérail nul. Cet angle serait donc droit.

Par exemple, si l'on trouvait pour Y et Z des valeurs qui ne fîissent pas nulles, et qu'on eût en méme'tempsX = 0, il en résulterait cos a = 0 , a = 90.

La résultante R serait située dans un plan perpendiculaire à l'axe des X.

De môme si l'on trouvait à la fois X=0,Y = OetZ = une valeur qui ne fût pas nulle , on en conclurait que la résultante est perpendiculaire au plan XOY ou parallèle à Taxe OZ.

(42). Candiiian d'équilibre. Que si au contraire on trouvait siaultanément :

on en conclarait que les forces données P^ V\V", P'"... se font équilibre d'elles-mêmes.

Réciproquement on déduira les conditions d'équilibre du système des forces P, P\ P ^ P'". .. en résohant les trois équations suivantes qui doivent avoir lieu à la fois:

(43). Observations. Dans les formules ci-dessus on prend toujours les forces positivement^ quant aux cosinus ils seront positifs lorsque la force correspondante tend à augmenter les coordonnées positives comptées sur l'axe avec lequel Pangle est formée ils sont négatifc dans le cas contraire.

(44). G forces y situées dans un même plan^ appliquées d diffirtntt points d'un corps solide. Gonsidérons d'abord le cas où les forces km/ parallèles, on pourra toujours couper leur direction commune pir une droite perpendiculaire à cette direction et le problème rentrera alors dans le cas de forces parallèles appliquées perpendiculairemeet à une môme droite invariablement liée au corps.

(45). Deux forces parallèles. S'il n'y a que deux forces parallèles P^ P' de même sens (/S^* 8)» On imaginera dans le corps une droite AB perpendiculaire à leur direction » leur résultante R sera parallèle aux forces, dirigée dans le même sens, égale à leur somme et sa direction coupera la droite A^B en deux segments rèciproquemest proportionnels aux intensités P, P'. On aura donc:

P X AF = P' X FB ou Pp = P>'

en faisant AF = p etFBz=p .

(46). Moment. On a donné le nom de moment par rapport à m point F à ces produits Pp, V p de forces PP' par les plus courtes distancesppae leurs directions respectives à ce point, pris d'aillears arbitrairement.

On appelle aussi moment d^une force par rapport à une droite, moment par rapport à un plan, le produit de cette force par la plus courte distance de sa direction à cette droite ou ù ce plan.

(47). Lorsque trois forces P, S, P' (/îy. 8) agissant perpendiculairement à une droite la maintiennent en équilibre, l'une d'elles S est de sens contraire aux deux autres, égale à leur somme ^ etfose quelconque des trois forces est à l'une quelconque des deux autres

EQUILIBRE (C). 70a

CD raison réciproque des distances de leurs points d^application respectifs au point d'application de la troisième. D^où :

s:p: p'::ab:fb:af

Sp'=Pii Spz=zV'i; Pf =py.

(48). On tire de la dernière équation P ; P' ; *. FB ; Â F les sui- Tantes :