PQ — AP<AB— BQ
Les positions qui correspondent à ces deux droites sont les pmrUê morti} mais^en pratique, le point Q, à mouyement alternatif, se ment le long d'une droite dirigée vers A, axe de la pièce tournante, ou bien il est suspendu à un bras B Q à angle droit avec cette lignedans la position moyenne et aussi longtemps que le chemin de Q peut être considéré comme une droite. Ceci simplifie l'examen de ce genre de mouyement.
Ainsi, soit A {fig. 11, p/. XXII), le centre de révolution de la pièce tournante (manivelle), P l'articulation du disque ou du bras fixé sur l'axe à laquelle s'attache la bieUe PQ, dont l'autre extrémité est articulée au point Q, qui est maintenu lui-même de manière à se mouvoir le long de A cl. Sur la direction Kd de la route du point Q, prenez md = nD =; P Q , et l'axe A, à chacune de ces révola-
13i BIELLE.
lions , fera évidemment décrire au point Q une double oscillation de denD et de Den d, et Ton aura aussi Bd =i 2 AP. Menez Pp perpendiculaire à AD, faites m AP = 0, AP =R, PQ = f , AQ=*, le triangle APQ donne AQ= Qp ± kp suivant que p tombe d'un côté ou do l'autre de A. D'où
s=^ /^— R» sin,2 0 ± R cos. 0
on prend le signe -|~ quand m AP est aigu, et le signe— quand cet angle est obtus ; mn sont les patrUê morts.
Presque toujours la longueur delà bielle est assez grande par rapport à A P pour qu'on puisse négliger son inclinaison et supposer dés lors que pQ= P Q, on a dans ce cas
«zzz/dbRcos. e
et si l'espace se mesure à partir de d dans une direction opposée
8z=zdQ=: mpzzz R sin. versO
En général on a
vitesse de P cos. AQP
vitesse de Q sio. APQ
et si la bielle est très longue
vitesse de P 1
vitesse de 0 sin. 0
On peut rendre le rapport des vitesses angulaires sensiblement constant dans un système de deux bras et d'une bielle parla disposition indiquée fig, 12, pi. XXII.
Aest l'axe d'unelmanivelle,àrextrémitéde laquelle est articulée la bielle aC dontle point Gest maintenu sur la droite A&par desguides et sur laquelle il se meut alternativement de & en R et de R en b, comme dans le système précédent. En ce point G de la bielle, articulez une autre bielle Gct, qui agit par son extrémité cfsnr le bras d D tournant autour du centre D d'un mouvement alterdatif, dont les points d'extrême amplitude sont r et q. Soit amené le système à une position quelconque, abaissez alors des centres de mouvement sur les bielles respectives les perpendiculaires Am Dn et soient Ai la vitesse anga-* laire de Aa, Aq celle, de Dd, Y la vitesse absolue du point G, on aura sensiblement, d'après ce qu'on a vu plus haut,
A, .Am = V=A2.»n d'où ^' ^'^
A. Dn
BEILLE. 135
Si AaetDdaUcigneot toas deux, en môme temps, des positions perpendiculaires à leur bielle, Am et Dn atteindront aussi en même temps leurs valeurs maximum, ils croîtront et décroîtront ensemble,
 tH
de telle sorte que le rapport —g — sera à peu près constant. Et si Aa
tourne d'un mouvement uniforme ,Dd se mouvra d'un mouvement alternatif dans chaque direction avec une vitesse beaucoup plus voisine de l'uniformité que celle du point G.
Si, par l'emploi de bielles, on voulait obtenir un mouvement dont la vitesse dût décroître rapidement, on pourrait recourir à un système analogue à celui de la 6gure 1, planche XXIII.
A D B sont les centres de révolution respectifs des bras Aa Dd et iBC. Ces bras sont liés par des bielles ai et Cdqui complètent la transmission du mouvement de A a à Dd.
Soit Famplitude du mouvement de A a, limitée à l'arc de cercle ai, 2, 3, partagez Tare en parties égales et placez bk, qui est tangente au petit arc décrit par b, de telle sorte qu'elle coupe en deux parties égales l'angle 2 A 3, décrit par a en passant de 2 à 3. On sait que le mouvement du bras Bi variera comme le sinus verse de la distance angulaire de Aa à i A, donc le mouvement que b reçoit pendant que a passe de 1 à 2 sera beaucoup plus grand que celui qu'il reçoit pendant le passage du même point de 2 à 3. Les positions correspondantes de a et b sont, du reste, marquées sur la Ggure. En pratique, le second mouvement est si faible que cette combinaison peut être employée quand le bras Bb doit rester en repos pendant la seconde partie 2 3 de la révolution de A a, aussi bien que lorsque le brasBi doit ralentir rapidement sa vitesse par suite du mouvement uniforme de A a. Cette combinaison a été d'abord employée parWatt pour ouvrir les soupapes de la machine à vapeur.
Si maintenant on dispose le bras D d par rapport à B C de telle sorte que la tangente à Tare décrit par d coupe en parties égales le petit angle 2 B3 décrit par C pendant son passage de la seconde position 2 i la troisième 3, le mouvement que Dd recevra do Aa pendant cette seconde période sera encore considérablement plus petit que le petit mouvement de B 6. C'est le mécanisme employé dans la harpe d^Erard.
Il peut être utile de considérer l'effet produit sur un point donné d'une bielle par suite de petits mouvements auxquels seraient soumises ses deux extrémités.
Soit donc A BC une longue bielle {fig: 2, pi. XXIII), B un de ses points, son point milieu par exemple, je suppose qu^un petit mouvement A a, perpendiculaire à sa longueur, soit communiqué à son extrémité A, l'autre extrémité C restant en repos, le point B décrira
Ad sensiblement l'espace Bn = —. Si^ au contraire, Arestant en repos^
on eût imprimé à G nn petit mouvement G c transversal i la barre.
Ce le point B aurait décrit sensiblement le chemin Bm=:—. Donc> si
les deux mouvements en question sont communiqués, soit simultanément, soit successivement aux deux extrémités , le centre B parcourra le petit chemin B i = — r — , ou si ces deux mouvements
imprimés étaient de sens contraire, de manière à amener la barre dans la position a G, le centre de la barre décrirait le chemin
mn'=, TT^^' ^ ^^ ^^*''^ qu'on suppose ici la barre assez longue
pour que Gc ka Bi puissent être considérées toutes trois comme perpendiculaires à la bielle. Donc, 9x Von communiqtie deux mouve* merUs virtuels, indépendants, aux exirémités d*une tige ou d'une bielle , son centre décrit la moitié de leur somme ou de leur différence suivant que ces mouvements sont de même sens ou de sens contraire.
Si ce sont les points A et B auxquels on fait décrire de petits chemins, le point G décrit alors le chemin de A, mais en sens contraire et deux fois le chemin de B dans le même sens que ce dernier point.
Soit, enfin (/îgr. 3 pL XXIII) une barre^ dont le centre est en E^ et aux deux extrémités de laquelle sont fixées des chevilles F et G, qui portent les centres autour desquels tournent deux autres barres AB GD. Si Ton imprime aux quatre points A B GD quatre mouvements indépendants les uns des autres, les mouvements de A et B se composeront en F comme il est dit ci-dessus; ceux de G et de D se composeront de même sur G, et enfin ceux de F et de G se composeront de même en E.
Si les deux extrémités de la tige ou bielle étaient fixées à deux bras ou rayons, décrivant des arcs de cercle comme dans la figure 4 , planche XXIII, on retomberait sur le système employé dans la plupart des machines à vapeur, et machines à piston en général ., piston dont on cherche toujours à diriger la tige en ligne sensiblement droite, en en fixant rextrémilé médiatement ou immédiatement à un point convenablement choisi de la barre ou tige ai.
ka B6 sont les deux bras, ou rayons, qui tournent autour des centres fixés A et B. ab est la bielle articulée à leurs exlrénu tés mobiles; la figure 4 indique diverses positions du systèmes, telles que 11, 22, 33, 44, ab 66, il, etc. Le point c^ pris vers le centre de la tige, décrit la courbeen 8, m en, et^ en déterminant convenablement la position du point 0, le chemin qu'il décrit sur la courbe à longue mflexion se confond très sensiblement avec une droite. M. dePronj a donné réqu.'Uion complète de cette courbe, mais elle est beaucoup trop complexe pour être d'aucune utilité pratique, et il est bien plus
simple et rafiSsamment Giact, aa lieu d'en faire usage^ de recourir aux approximatioDS suivantes.
Soient A,G {fig. 5, pi. XXIII), les centres de rotation des bras ou rayons ÀB GD^BD la tige articulée à leurs extrémités ^ admettons d'abord que cette tige ou bielle soit perpendiculaire aux deux rayons dans la position médiane du système A B D G. Faisons mou- Toir AB^ jusqu'à la position Ai, Ce et bc seront les positions correspondantes de Tau Ire rayon et de la tige ou petite bielle. Menons hf parallèle à B D. Dans la première position la bielle BD est perpendicnlaire aux rayons^ dans la seconde^ elle prend une position oolique he telle que son extrémité supérieure est jetée à gauche, et son extrémité inférieure est jetée à droite de la verticale B m (f de quantités respectives ie de qui ne sont autre chose que les sinus verse des arcs décrits par les rayons. Il y a donc quelque part sur la bielle un point M qui demeure sur la verticale B md ; or» le lieu de ce point se déterminera comme plus haut parla proportion
iM : Hc :: be : de faisant AB=R GD = r BD=I BAft = e DGc = 7Ct&M = 2r
on a
R sin. verse 0 ■~ rsin. ver. <p
R sîn.»-5rsin.» \
R«8in.*4-
r*sin.»-|-
L'angle B A& = 0 ne dépassant jamais 20» dans la pratiqua, l'inclinaison cbfde la tige est. toujours assez petite , et Bi (=R0) à très peu près égal àDc(=rf). Gomme ces angles sont petits, on peut poser sans erreur sensible
H sin. -j- = r sin. -|- d'où
m r ^ Ir
= -iT et X
soit R=7 r = 4 / = 2 on a ap=-j|- = 0.727.
La déviation du point M^ à partir de la ligne BD, peut s'évaluer tellement comme suit^ et cette recherche est utile pour déterminer la pins grande valeur qu'il convienne d'attribuer à B. Pour plus de simpliGitè^ nous ferons R-= r A B=:G D, ainsi que cela a toujours lieu en pratique , et nous prendrons R pour unité. Faisons encore
BD = /, menons hf, re parallèles à BD et soit y ^inclinaison fbc de la bielle sur la yerlicale.
fhe étant un très petit angle^ on a sensiblement
fc sjn. vers. 0 + sio. vers, ç 2 sin. vers. 6 , ^ , Y = -Y-= \ ^= j à très peu près
or,
tnfzizirc ou sin. O-f-Icos. Y = '-f-8in. 9
donc
sîn.<j>=sin.6 — fsîn. ver8.Y=sin.9 ^-»=sîn.O — y{sin.vcrs.O)'
expression qui fera connaître, la valeur de f correspondante à une valeur quelconque de 6
Lorsque les rayons se relèvent au-dessus de rborizootale {fig. 6 ), il vient
bm^=:mfz=z rc -|- en ou sin. Q -j-/=/cos. y-}- sin. ç d'où
sin. ç= sin. 9 -f- -y- (sin. vers 6)^
Et si la bielle = la moitié de la longueur du rayon^ on a pour les deux cas
sin. cp = sin. 8ii: 4 (sin. vers. 6)^
Le signe supérieur correspondant au cas où les rayons sont audessus de Phorizontale.
Quant à la déviation du centre M de la bielle à partir de la verticale^ elle est
sin. vers. 6
sin. vers, o ces. cp '— cos. 6
L'on peut ainsi former le tableau suivant
Valeurs de 0.
