X = 4AM

Y=:ÎPM.

Segment eUiptique. Il est à partir du centre de Telllpse à une dis-

. ^ A (corde)»

tan€eX= r^

segment.

Les centres de gravité des segments de toutes les ellipses qui ont même demi-grand axe a, lorsque les limites sont les mêmes perpendiculaires auxrc^ coïncident avec -celui du segment circulaire de rayon a.

Secteur eUiptique. Son centre de gravité est le même que celui de Tare de cercle qui a } a pour rayon ^ a étant le demi-grand axe.

Aire de la cyeloïde entière c' a c c' {voy. fig. p. 238). Son centre de gravité se trouve aux sept douzièmes du diamètre AR = d du cercle générateur, en partant du sommet A, sur Taxe de symétrie Ax.

Aire de la demi-cycloïde R AGR. x^ et y^ étant les distances aux axes coordonnées dont Torigine est A, on a

aP. =-r::

Surfaces du cône, du c/^ tronqué , du cylindre droit. Les centres de gravité de ces surfaces sont à la même distance de Torigine des x (Faxe des x étant celui de révolution), que les centres de gravité du triangle, du trapèze et du parallélogramme rectanffle générateurs de ces anrfaces. Ainsi, le centre de gravité de la surface convexe du cône est sur l^axe à } de cet axe, en partant de la base, etc.

â44 CENTRE DE GRAVITÉ.

Surface sphérique. Le centre de gravité d'une portion de la surface d'une sphère^ renfermée entre deux plans parallèles^ est sur le milieu de la droite qui joint les centres des deux cercles entre lesquels celte portion de surface est comprise.

Calotte sphériqtie. Le centre de gravité est au milieu de la flèche de la calotte.

YoLUUKS. — Volume (Tun corps solide quelconque. On peut le diviser par la pensée en diverses parties dont les poids et les centres de gravité respectifs seront connus.

Soient jp*p" p'^'... les poids respectifs des diverses parties du corps dont la somme forme son poids total P,*

f fj fff"' I Les distances des centres des parties i , y'

?f ^n ^^nt" ide même indice aux plans cooraonnés ( ®® J^* z z z , m» j /l scy

Enfin^ X^ Y, Z, les distances respectives à ces mômes plans du centre de gravité du corps P^ on a

p ~ Tl^'

— P S (P) ' pfz'+p^x" + p'"z^'f + ,.. 2 (p «)

^- p - TU'

£ désignant une somme de termes de même forme , et par eseniplc S (px)^ la somme des moments des poids p' p" p'", par rapport au plan des yx, et £ (p) = P, la somme des poids partiels ou le poids total.

On voit donc^ en général ^ que pour avoir la distance du centre de gravité d^un corps d un plan, il faut tnuUiplier le poids de chacune de ses parties par leurs distances respectives à ce planj faire la s<nnme de ces produits ^ etj, enfin, la diviser par le poids total du corps.

Si le corps est homogène^ on peut substituer les volumes aux poids^ puisqu'ils sont alors proportionnels ; si le corps est formé de molécules réunies dans un même plan , il sufGt de prendre les moments par rapport à des axes tracés dans ce plan.

On rappelle que la somme des 'moments^ par rapport à tel plan ou tel axe, ou tel point que ce soit qui passe par le centre de gravite, est toujours^zéro.

Le corps étant homogène, on peut employer la formule de Thomas

Simpson, donnée pins hant, maïs en désignant alors par y^ y^yz-'^Vn non pins des lignes^ mais bien les aires des sections faites dans le solide par nne suite de plans parallèles passant par les points de divi* sion d'un axe quelconque mené dans ce solide^ et partagé en un nombre pair de parties égales à h. Cette méthode est celle à laquelle il faut le plus souvent recourir dans la pratique ^ l'approximation qu'elle fournit suffit à la détermination des centres de gravité des marteaux de forges^ etc.

Le corps étant homogène, et de révolution, la même méthode s'applique encore, en désignant alors par y^ y^... y^ les ordonnées de la courbe génératrice^ h étant toujours la distance commune de ces ordonnées 3 mais l'expression du volume du solide devenant alors

7c étant le rapport 3.14159 du diamètre à la circonférence^ on a, pour la distance du centre de gravité, à partir de la première ordonnée,

Toutes les valeurs données ci-dessus supposent les corps homogènes ou les volumes proportionnels aux poids.

. Vohime d'un prisme quekonque à bases parallèles. On cherche les centres de gravité des aires des deux bases, on les réunit par une droite; le centre de gravité du prisme est au milieu do cette droite.

Volume de pyramide qtielconque. Son centre de gravité est situé aux trois quarts de la droite menée du sommet de la pyramide au centre de gravité de sa base, à partir du sommet de la pyramide.

Le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est le même que celui de quatre poids égaux, situés aux quatre sommets de la pyramide.

Si Ton applique au centre de gravité de la pyramide triangulaire des forces représentées en grandeur et en direction par les droites qui vont de ce point aux quatre sommets^ ces quatre forces sont en équilibre.

Volume du cane. Le centre de gravité du volume d'un cône est coDime celui de la pyramide sur la droite qui joint le sommet du cône au centre de gravité de la base, au quart de cette droite, à partir de la base ou aux trois quarts, à partir du sommet.

Volume du c&ne tronqué parallèlement. R étant le rayon de la grande base, r celui de la petite base, h la distance de ces bases, et X

la distance da centre de gravité à partir du centre de la petite base, on a

3R«+2Rr + r«

Volume de pyraflude régulière tronquée parallèlement. On a la même valear que ci-dessus^ en désignant par R et r les côtés des deux bases.

Solide de révolution. Ils ont leur centre de gravité placé sur Paie de révolution^ à une distance de l'origine de cet axe, donnée par

f jj y* d a? -}- C fy*dx 4-D

G et D étant les constantes qui doivent compléter Tintégraie.

Appelant a le demi-axe ou le rayon» et comptant les distances à partir du sommet des solides, on trouve, en appliquant la fommle ci-dessus, savoir :

Pour le iegment sphérique > X x.

Pour la sphère entière a,

c'est-à-dire que le centre de gravité se confond avec le centre de figure.

Pour la demi-sphère J a.

Le secteur sphérique |(2a-|-3a?),

Le segment paraboUque j x.

Tronc de parabolotde, dont h est la hauteur, R et r les rayons des bases; la

distance du centre de gravité au centre i a v ^^* + ^*

de la base de rayon r est ï ^ R«-[-r« '

le solide engendré par la révolution d'une hyperbole

Sa+Zx 12a — 4x*^'

le segment ellipsoïdal , dont la base est perpendiculaire à Taxe

Sa^3x 12a— 4«*:

On remarqae que le centre de grayité de toos les segments d'ellipsoïde formés par les mêmes plans perpendiculaires anx x, coïncident^ pourra que le demi-axe a, dirigé selon les x, soit le même. Ce centre est donc aussi le même que pour la sphère de rayon a.

Pour le demi-eUipsoîdej on a donc | a.

Propriétés géométriques du centre de gravité, La mesure d'une surface ou d'un solide de révolution peut être obtenue en multipliant la courbe ou la surface génératrice par l'arc de cercle que son centre de gravité a décrit autour de Taxe de révolution.

La somme des surfaces ou des solides do révolution engendrés par plusieurs courbes ou surfaces génératrices, situées dans un même plan et tournant autour d'un axe commun^ est égale à la somme des courbes ou surfaces génératrices, multipliée par Parc de cercle qu'a décrit leur centre de gravité commun.

Une surface plane, qui se meut perpendiculairement à une courbe à simple ou double courbure, de manière que son centre de gravité soit toujours sur cette courbe, engendre un solide égal à la surface génératrice multipliée par la longueur de la ligne que le centre de gravité a parcourue.

Les centres de gravité de deux systèmes semblables quelconques sont des points homologues.

Si pour un système quelconque de molécules on forme la somme des produits de chaque masse élémentaire par le carré de sa distance à un point fixe, cette somme sera mmimum si le point fixe est le centre de gravité du système.

Propriétés mécaniques du centre de gravité. Le centre de gravité d'un corps solide se ment comme le ferait un point matériel isoié, ayant un poids égal au poids total du système et c|ui serait soumis à toutes les forces extérieures transportées en ce pomt parallèlement à elles-mêmes.

Dans tout système de corps libres dans l'espace, le centre de gravité se ment comme un point matériel libre, qui,* ayant la masse totale du système, serait soumis à toutes les forces extérieures qui agissent sur le système.

Lorsqu'il y a des chocs dus à des corps extérieurs au système, le centre de gravité prend un changement brusque de vitesse, comme le ferait un point matériel qui, ayant la masse totale du système, recevrait directement les quantités de mouvement dues à ces chocs.

Dans le cas particulier où il n'y a aucune force extérieure au svstéme mobile et où il n'y a que des actions mutuelles des molécules entre elles, le centre de gravité se meut d'un mouvement uniforme et rectiligne, comme un point matériel qui n'est soumis à aucune force et conserve ainsi sa quantité de mouvement. Lorsqu'il y a des

chocs entre les corps mêmes qai fonl partie du système, ils n^altèrent en rien le mouvement du centre de grayité, qui se fera comme si les chocs n^avaient pas lieu. C'est ce dernier énoncé qui est connu sous le nom de Principe de la conservation du mouvement du rentre de gravité. {Voyez, pour les démonstrations , lai Mécanique deCoriolis^ page 111.)

Donc, si un corps solide est en mouvement et qu^il soit brisé par une explosion intérieure, la direction et la vitesse du centre de gra* vite de toutes ses parties seront^ après cette explosion^ les mêmes que la direction et la vitesse du centre de gravité qui auraient eu lieu sans lexplosion.

Lorsqu'un corps, entièrement libre, est soumis à des forces dont la résultante R ne passe pas par le centre de gravité, le corps prend un double mouvement^ i^ son centre de gravité prend le même mouvement de translation que si toutes les forces du système étaient transportées en ce point parallèlement à elles-mêmes ; 2» le corps tourne autour du centre de gravité, et le mouvement de rotation est celai

S[ui aurait lieu, si le centre de gravité, étant absolument fixe, les brces restaient les mêmes.

On peut remarquer en efTet que L l'on ne change rien à Fétat du corps en appliquant au centre de gravité G, deux forces R'R" contraires, égales et parallèles à R; mais on pourra considérer actuellement une force R'^ qui produit la translation, un cocplb (R — R') qui produit la rotation.

On courrait le risque de faire des applications très erronées de ce principes, si l'op négligeait de compter les forces d'iNBRTiE parmi celles qui agissent sur le système.

Si Ton suppose que toutes les molécules égales d'un corps de figure quelconque soient attirées vers un même point par des forces proportionnelles à leurs distances à ce point , et qu'il y ait équilibre, ce point sera nécessairement le centre ac gravité.

Réciproquement, si le point vers lequel toutes les molécules sont attirées proportionnellement à leurs distances, est le centre de gravité du corps, il y aura équilibre, et le corps ne pourra prendre aucun mouvement en vertu de ces attractions.

C'est le cas de la terre, dont les molécules intérieures pèsent vers le centre, en raison des simples distances. {Voyez attraction.)

Si la verticale qui passe par le centre de gravité d'un corps qael • conque tombe dans le polygone formé par les lignes qui réanisscnt

CENTRB DE 6IRATI0N. M9

les points extrêmes par lesquels ce corps s'appuie sur ane surface, le corp ne sera point renversé. Si cette verticale tombe en dehors du polygone, le corps sera renversé, à moins qu'il ne roule^ ou que le glissement de la base sur la surface ne puisse s'opérer.

Un solide homogène formé d'un hémisphère surmonté d'un cône dont la section formerait un triangle équilatéral ayant pour côté le diamètre de Thémisphère demeurerait sur un plan horizontal dans toutes les positions qu'on voudrait lui donner ^ car la verticale, pas* sant par le point d^appui sur le plan, passerait toujours par le centre de gravité du système. On trouverait facilement que le lieu de ce centre de gravité est le centre même de Thémisphère. *

CENTRE DE GIRATION. Point d'un corps tournant autour d^nn axe fixe , auquel il faudrait condenser la masse totale M du corps tournant, pour que le moment d'iNBHT» 2 (p'm)=Ij par rapport à cet axe restât le même, k^ étant la distance du emUre de giratien à Taxe fixe, on a, par définition^

et comme en général, I étant le moment d'inertie par rapport à l'axe parallèle au premier et qui passe par le centre de gravité du corps, et A la distance de ces deux axes, on a

Il en résulte

k est le rayon principal de giration ou celui qui se rapporte k Taxe qui passe par le centre de gravité.

On voit donc que le carré du rayon de giration, par rapport à un axe quelconque, égale le carré du rayon principal, pris par rapport à un axe parallèle au premier, plus le carré de la distance des axes.

La FORCB vivB d^un corps qui tourne autour d'un axe a donc aussi pour expression le produit du carré de la vitesse angulaire to par la niasse du corps et par le carré du rayon de giration pris par rapport à Taxe fixe. Elle est

Je donne ici les valeurs de quelques rayons de giration : les distances sont toujours comptées à partir de Taxe fixe.

Ligne droite ou cylindre d'un très petit diamètre et de longueur / tournant autour de son extrémité, k^:=zl\/\z=. 0.57735 l

iSù CENTRE DE GIRATION.

Leoier émt dont les bras sont B et & , ifc, s l/^àb+âV Grecnférmee de eerde tournant «otoar de son diamètre 9 r.

Plan du cercle autour de son diamètre^ il= | r. Cylindre plein toornant aalour de son axe de figare^ r étant I rajon de la base, * = J r ^2 = r \/\=^ 0.707 1 07. r.

Cylinâre évidé iniérieuremmt, toaroant autour de son axe. R éUi{ le rayon extérieur et r le rayon intérieur^ k = // J^^^lL.

Cône plein dont la hauteur = A et le rayon de la base = r. '

S'il tourne autour de son axe * = r |/^Â = 0.5477«. l|

S'il tourne autour de son sommet, k^=z ly^il^^llll

Si, tournant autour de son sommet, la hauteur &=r=rayoii^ la base, l'angle au sommet est droit et A^ = f r 1^3 = 0.86602 r. ! Sphère. La surface sphérique tournant autour de son diamètre

Le Tolume, tournant autour de son diamètre, k:=zr îy^» * approximativement, * = ^ r. 1/^5

Si Ton voulait concentrer matériellement la masse d'un cm tournant aux points qu'on a nommés centres de giration, il faudra ou répartir cette masse uniformément sur une circonférence dontl tentre serait Taxe de rotation et le rayon = Ap ou la disposer tj mètriquement en des points isolés de cette circonference.

GeNTRB d'oscillation. — Un corps pesant, dont toutes les parlil sont iovariablement liées entre elles, est suspendu à un axe fixe k rizontal, et dés lors, le plan qui passerait par Taxe fixe et le eeam de gravité du corps est vertical. Si Ton écarte le centre de gravitéd sa position primitive d'une quantité angulaire = 0, et qu'on abu donne ensuite le corps à la seule action de la gravité, il oscillera I part et d'autre de cette position, et l'équation des forces vives km nit immédiatement la relation 1

o)* l^:=z2lAgy(^D(coB. a — cos. 6)

CENTRE D'OSCILLATION. S&i

0) = [it \/ •

2My.D (cos. «— cog. 6)

M élant la masse do corpa, D la distance de son centre de gratité à raie de rotation, Ii le MOMKirr d'irsetis de masse du corps par apport au même axe, to la vitesse angalaire du système au moment OQ le pian qui passe par l'axe fixe et le centre de gravité fait un anfâb 9. avec sa première position verticale» après avoir décrit un arc (^) depuis son point de départ.

; Rompons maintenant les liaisons entre les molécules du corps os* l^nt; mais supposons chacune d'elles attachée à l'axe fixe, dans la ntnation qu'elle occupait d'abord, par des fils sans pesanteur , la ittèorie du pbrdule enseigne que ces molécules prendront alors des ititases angulaires dififerentes de celle dont elles jouissaient dans le premier système; ces vitesses angulaires seront plus grandes pour les molécules comprises entre le centre de gravité et l'axe, moins grandes^ au contraire, pour celles qui sont situées au delà du centre de graTiiè par rapport à cet axe. Ces vitesses seront aussi moins grandes pour les molécules qui seront moins écartées de la verticale que le centre de gravité, et plus grandes pour celles qui seront plus écartées, n ja donc nécessairement entre toutes ces molécules animées de vijteses angulaires plus grandes et plus petites que celle co du premier f^stème, un -élément au moins oui a conservé cette vitesse u>. C'est I précisément celui qu'on appelle le cbntrh n'osaLLATiow. : Ce centre d'oscillation est nécessairement compris dans le plan fui contient l'axe de rotation et le centre de gravité du système; car a, à un instant quelconque, il était ^lus ou moins écarté de la ver- ^licale que ce plan, on voit que sa vitesse angulaire ne saurait être celle du système, ce qui est contraire à la définition.

Soit maintenant L la distance à l'axe de rotation de ce point ma* ; lériei dm, Tèquation des forces vives donnera encore

0)^ L' dm = 9 jf dm X ^ (S^* a—ws. 0)

i <gdaBt eette valeur de cd à celle qu'on a trouvée ci-dessus, il vient :

Tous les points du système qui satisfont à cette équation seront des «Dires d'oscillation. Ainsi, le centre d'oscillation, ou plutôt la ligne d'oscillation, est située dans le plan qui passe par le centre de gravité da système et par l'axe de rotation à une distance L de cet axe, que

l'on obtient en divisant le moment d'inertie de masse par rapport à l'axe de suspension par le produit de la masse da corps et de la distance da centre de gravité à Taxe fixe. On appelle proprement centre d'oseiUatiim le point de la ligoe d'oscillation situé sur le prolongement de la perpendiculaire menée du centre de gravité à l'axe de rotation^ et le point où cette même perpendiculaire rencontra l'axe de rotation est nommé point ou centre de stupeneian. S Lorsqu^on fait passer l'axe fixe par le centre d'oscillation, le centre de suspension devient le lieu du nouveau centre d'oscillation^ et rien n'est changé dans le système^ ce qu'on exprime souvent en disant que les centres de suspension et d'oscillation sont réciproques.

Soit en effet S le point de suspension , G le centre de gravité, O le centre d'oscillation ^ faisons S G = D, OG = S, S O ' 'G étant L, et k le rayon principal de giration, on a :

donc

L = D + 1.=:D + Sj

Suspendons maintenant le corps par le point O, et soit / son rayon d'oscillation, on a encore^

/=8 + y,ou/=^ + D,

qui n'est autre chose que la valeur L du premier rayon d'oscillation.

Le rayon d'oscillation d'un corps quelconque oscille^ abstraction faite du plus grand frottement sur l'axe, comme un pendule simple de même longueur.

La valeur du rayon d'oscillation L ne dépendant que de D, les durées des oscillations d'un corps déterminé seront les mêmes pour des centres de suspension pris à égales distances du centre de gravité.

Ratons d'oscillation.

Ligne droite ou cylindre d'un très petit diamètre dont I est la longueur, l'axe de rotation étant placé à l'extrémité même de la droite, on a

Si le cylindre conservant partout son petit diamètre était formé d'une substance dont la densité croîtrait avec la distance à l'axe de suspension, on aurait

L = fL

CENTRE D'OSaLLATION.

Le même eyUndre supposé homogèoe^ de longueur l mais ayant raxe de rotation placé à une distance m de son extrémité^ de sorte que cet axe le divise en vo; deux parties m et / — m, on a, pour la valeur générale L' de la distance du nouvel axe de rotation au centre d'oscillation

Si l'on prend m = } I^ il vient

le centre de percussion coïncide avec Textrémité B du cylindre, et Ton voit ainsi que les oscillations d'un cylindre de très petit diamètre s'accomplissent dans le même temps^ soit que ce cylindre soit suspendu par son extrémité, soit que le point de suspension soit situé à f de sa longueur.

Le nombre des vibrations serait le plus grand possible, si la valeur générale de L' était minimum. Cette condition suppose

Deux tiges AG, GB égales, d'un très petit diamètre, chacune de longueur / sont réunies au point G qui est le centre de suspension -, elles forment entre elles un angle 2 Q = AGB et oscillent dans le plan de la figure. Le centre d'oscillation est sur la bisectrice GO de Tangle 2 0 à une distance GO = } / sec. B.

Triangle isocèle, suspendu par son sommet et oscillant perpendiculairement à son plan

h étant la hauteur du triangle.

L'aire triangulaire ci-dessus se mouvant dans son plan, m étant la moitié de la base, on a

Et si m=:Ay le triangle isocèle devient rectangle à la saspensioD, et Ton a, comme pour le cône^

Rectangle se mouvant dans son plan. Sa longaeur est l, sa largeur ^ m, la distance d'une de ses extrémités au point de suspension, me> surée le long du milieu du rectangle, est a, on a

^ IT3I -i^- ^+ -TïZT"

Si le rectangle est suspendu par un de ses angles^

L = I diagonale.

Cercle de rayon r suspendta par un point de la circonférence et se mouvant perpendiculairement à son plan

Si l'aire circulaire se meut dans son plan^

L =1 diamètre = | r .

Secteur eireulaire se mouvant dans son plan ,

3 arc X rayoD

"^ 4 corde

Aire elliptique. Si les axes de Tellipse sont entre eux comme 1 et

)/3y le point de suspension étant situé à Textrémité du petit axe^ on a^ Taire se mouvant dans son plan^