Engrenagbs coniqoes
L’angle formé par les deux axes de rotation étant donné, élevez en un point quelconque de ses deux côtés CM et CN des perpendiculaires qui soient entre elles dans le rapport inverse des vitesses angulaires ou des nombres de tours. Par les extrémités P et Q de ces perpendiculaires
Fig. 48.
ENGRENAGES
menea deux parallèles PA et QA aux lignes CM et CN. La ligne CA partagera l’angle MCN en deux parties telles, que les cônes qui auraient pour génératrice cette ligne, tournant respectivement autour de CM et CN, rouleraient l’un sur l’autre en se transmettant des vitesses angulaires dans le rapport donné. Ces cônes se nomment les cônes primitifs.
Si l’on appelle
R le rayon de la roue conductrice,
R' le rayon du pignon,
n le rapport des vitesses angulaires ou des nombres de tours, on aura
R = nR',
et si l’on se donne l’un des rayons, l’autre sera déterminé.
On calculera, par les formulés de la Résistance des Matériaux, l’épaisseur et la largeur des dents, et l’on en conclura le pas a, Divisant ensuite la circonférence 2wR par le pas a, on aura le nombre m de dents de la roue ; et, comme il sera généralement fractionnaire, on prendra pour m le nombre entier inférieur le plus voisin divisible à la fois par le nombre des bras de la roue et par le rapport n des vitesses, ce qui conduira à une nouvelle
valeur du pas égale à ou au quotient de la circonférence
primitive par le nombre de dents adopté, et un peu supérieure à la précédente.
On aura ensuite le nombre de dents du pignon m' = — en
divisant celui des dents de la roue par le nombre de tours que le pignon doit faire par tour de roue.
La largeur des dents se porte de A en a sur la ligne CA, et l’on abaisse de a des perpendiculaires ab et ad, qui sont les rayons de deux nouveaux cercles.
C’est entre les cercles AB et ab, AD et ad, qu’est comprise la denture.
Au point A on élève, sur la ligne CA, une perpendiculaire, dont les rencontres E et F avec les axes CB et CD donnent le sommet de deux nouvelles surfaces coniques perpendiculaires aux précédentes, et qui forment les surfaces de tête de l’engrenage.
Aide-Mémoire. 19
290 COMMUNICATION DU MOUVEMENT
Cela fait, on développe les cônes dont les sommets sont en E et F, et qui ont pour arêtes AE et AF. Les cercles AB et AD,.
qui leur servent de bases, se touchent en A dans le développement, et on les regarde eoinrqe les cercles primitifs d’un engrenage plan, que l’on trace comme il est dit au n° 324.
On fait le tracé d’un certain nombre de dents sur une feuille flexible de tôle mince, que l’on découpe suivant le profil déterminé , et on la présente ensuite comme un gabarit sur la surface de tête de la roue correspondante, sur laquelle on trace l’engrenage à la pointe.
On répète les mêmes opérations pour les surfaces coniques perpendiculaires en a aux cônes primitifs, et qui forment les surfaces de tête intérieures.
Les deux tracés ainsi feportés sur ces surfaces de tête étant repérés convenablement, les profils des dents sur l’un et sur l’autre se correspondront exactement; et, en traçant des lignes droites de l’un à 1 autre des Jpoints homologues, on exécutera toute la surface des dents.
358. Engrenages a développantes de cercle. Lorsqu’une roue doit conduire plusieurs pignons de diamètres différents , l’engrenage à épicycloïdes et le tracé pratique qu’on lui substitue (tr 324) ne satisfont plus pour tous ces pignons à la condition de transmettre la vitesse dans un rapport constant. Il convient, dans ce cas, d’employer l’engrenage dont les dents ont la forme de développantes, et l’on procédera ainsi qu’il suit :
On déterminera les rayons des cercles primitifs , l’épaisseur et la largeur des dents, ainsi j que le pas, comme il a été dit aux n«* 524 à 531.
Cela fait, si l’on veut -que les dents^se conduisent, avant et
Fig. 50.
ENGRENAGES
après la ligne des centres, d’une quantité égale au pas, on portera, à partir du point a, sur le cercle primitif du pignon, un arc ab égal au pas; on mènera le rayon c'b. Du point a on abaissera une perpendiculaire sur c’b, et du point c une parallèle ce à c'b. On décrira des centres c et les circonférences qui auront pour tangente commune la ligne ac prolongée , et l’on enroulera sur ces circonférences un fil dont l’extrémité soit fixée à un style; puis, en déroulant le fil, le style tracera successivement la développante de ces deux circonférences. Les courbes ainsi obtenues seront celles des profils des dents.
Du centre c, avec un rayon égal à la distance de ce centre au pied de la perpendicülairc abaissée de a sur c'b, on décrira une circonférence de cercle qui limitera la longueur des dents de la roue.
La courbe de la dent du pignon, étant arrivée à une distance égale au pas, rencontrera la ligne ac en un point dont on prendra la distance au centre c' pour rayon d’une circonférence de cercle qui limitera les dents du pignon .
Pour la facilité du passage des dents dans les creux, il est nécessaire de donner aux dents des flancs formés par des rayons tangents à leur naissance, et dont la longueur mesurée en dedans des cercles développés ne doit pas excéder 0n,.004 à 0m,005 pour les petits engrenages, et 0m.008 à 0.010 pour les grands, ce qui détermine la profondeur des creux.
539. Modification relative au cas des pignons très-petits et des grands efforts. Si, par suite de la grande différence des rayons primitifs R et R' et de l’épaisseur à donner aux dents, la condition de faire agir les dents à une distance égale au pas avant et après la ligne des centres conduisait a avoir des dents trop minces au bout, on recommencerait le tracé, en ne faisant agir les dents qu’à une distance égale aux trois quarts ou à la moitié du pas.
340. Le tracé précédent s’applique aux roues d’angle. Ce tracé des engrenages à développantes de cercle peut être, appliqué aux roues d’angle comme aux engrenages plans.
34t. Engrenage d’une vis sans fin conduisant un pignon. Pour tracer l’engrenage d’une vis sans fin conduisant un pi-
COMMUNICATION DU MOUVEMENT
guon, on déterminera d’abord l’épaisseur des dents et le pas d’après l’intensité des efforts h transmettre.
Le pas des filets de la vis à la circonférence primitive sera égal au pas de l’engrenage, et, comme alors il passera une dent du pignon à chaque tour de la vis, on pourra calculer le rayon du pignon de façon qu’il fasse un tour pour un nombre de tours donné de la vis.
Soit n ce nombre , on aura , pour déterminer le rayon du pignon la formule suivante
qui revient à la règle suivante :
Pour déterminer le rayon du cercle primitif d’un pignon qui doit être conduit par une vis sans fin,
Multipliez le pas par le nombre de tours que doit faire la vis par tour de pignon , et divisez le produit par 6.28 :
Le quotient sera le rayon cherché.
Le pas de la vis étant connu , on aura le diamètre du noyau, d’après les règles pratiques qui seront données au chapitre de la Résistance des matériaux, par la formule
Quant à la ligne droite qui représenterait le cercle primitif de la vis, elle sera parallèle à l’axe de la vis et à une distance égale à r.‘ Cela fait , on tracera le profil des dents du pignon et celui des lilets de la vis , comme pour un pignon conduisant une crémaillère (n° 334).
La vis sera ainsi entièrement déterminée.
Quant au pignon , il faut que ses dents^ soient inclinées sur son axe comme les filets sur celui de la vis. A cet effet, ayant fait le tracé du profil des dents sur les deux faces de tête de l'engrenage, on ploiera sur le cylindre qui contiennes sommets des dents une ligne droite allant de l’extrémité d’une dent au point homologue de la dent précédente, dans le sens du mouvement; et, en opérant ainsi de proche en proche, à mesure que l’on creusera les dents du modèle on formera la surface gauche des dents du pignon.
FROTTEMENT
DU FROTTEMENT
542. On distingue deux genres de frottement, provenant, le premier, de la résistance qui se manifeste quand un corps glisse sur un autre, et le deuxième, de la résistance qu’un corps éprouve quand il roule sur un autre.
Dans le premier cas , la résistance prend le nom de frottement de glissement ; dans le deuxième, celui de frottement de roulement.
De nombreuses expériences* faites sur tous les corps employés dans les machines et dans les constructions, sous des pressions comparables à celles qui ont lieu dans la pratique et avec tous les enduits en usage , ont prouvé que le frottement de glissement est
1° indépendant de la vitesse du mouvement ,
2° indépendant de l’étendue de la surface de contact ,
3° proportionnel à la pression, dans un rapport constant pour les mêmes corps dans le même état , et variable d’un corps à l’autre.
L’expérience a aussi appris que, quand les corps ont été quelque temps en contact, comme une vanne avec ses coulisses, le frottement au moment où l’on veut les faire glisser l’un sur l’autre est plus grand que quand ils sont déjà en mouvement. Il faut donc distinguer ici deux cas : 1 ° celui où les corps ont été quelque temps en contact; 2° celui où les corps sont en mouvement les uns sur les autres.
Les valeurs du rapport du frottement à la pression, pour l’un
* Nouvelles expériences sur le frottement, faites à Metz en 1831, 1832, 1833, Imprimées par ordre de l’Académie des sciences. —1834, chez Mathias, libraire-, à Paris.
FROTTEMENT
et pour l’autre cas et pour tous les corps en usage dans les machines, sont consignés dans les tableaux suivants :
FROTTEMENT DES SURFACES PLANES LORSQU’ELLES ONT ÉTÉ QUELQUE TEMPS EN CONTACT.
Indication
des surfaces en contact.
Chêne sur chêne.
Chêne sur orme .
Orme sur chêne .
Frêne, sapin, hêtre, sorbier sur chêne
Cuir tanné sur chêne.
Cuir noir corroyé ou couroie.
Natte de chêne. .
Corde de chêne. ,
sur surface plane en chêne, sur tambour en chêne chanvre sur
chanvre sur
Fer sur chêne
Fonte sur chêne
Cuivre jaune sur chêne.
Cuir de bœuf pour garniture de piston, sur
fonte
Cuir noircorroyéou courroie sur poulie en fonte.
Disposition des fibres.
État
des surfaces.
Rapport
du
frottemen à la
pression.
parallèles
sans enduit.
id.
frottées de savon
1 sec.
.perpendiculaires
sans enduit.
| id.
mouillées d’eau.
bois debout sur | bois à plat.
sans enduit.
parallèles
id.
[ id.
id.
frottées de savon
sec.
perpendiculaires
sans enduit.
parallèles
id.
le cuir à plat.
id.
le cuir de champ
id.
id.
mouillées d'eau.
parallèles
sans enduit.
perpendiculaires
sans enduit.
parallèles
mouillées d’eau.
id.
sans enduit.
parallèles
id.
parallèles
mouillées d’eau.
id.
id.
parallèles
sans enduit.
parallèles
mouillées d’eau.
à plat ou de
avec huile, suif ou
champ à plat
saindoux.
sans enduit.
mouillées d’eau.
FROTTEMENT
Rapport
Indication
Disposition
Etat
du
frottement
des surfaces en contact.
des libres.
des surfaces.
à la
pression.
Fonte sur fonte
id.
sans enduit.
Fer sur fonte
id.
id.
Chêne, orme, charme,
enduites de suif.
fer, fonte et bronze, glissant deux à deux
id.
enduites d’huile
l’un sur l’autre
Tierre calcaire oolithi-
ou de saindoux.
que sur calcaire ooli- Inique
Pierre calcaire dure dite
muschelkalk sur calcaire oolithique
id.
id.
Brique sur calcaire ooli-
thique
Chêne sur calcaire ooli-
id.
id.
thique
Fer sur calcaire ooli-
bois debout
id.
thique
Pierre calcaire dure ou
id.
muschelkalk sur muschetkalk
id.
id.
Pierre calcaire oolithi-
que sur muschelkalk.
id.
id.
Brique sur muschelkalk.
id.
id.
Fer sur id.
id.
id.
Chêne sur id.
id.
id.
avec enduit de
Pierre calcaire oolithique sur calcaire ooli-
id.
mortier de trois parties de sable
bu et d’une par-
tie de chaux hydraulique.
543. On remarque que , l’expérience ayant démontré qu’un ébranlement assez faible pouvait déterminer le mouvement ou la séparation des surfaces sous un effort de traction peu supérieur
