Des rouleaux de tension. Pour que la tension naturelle

Kig. 43.

ces rouleaux par la relation approximative

des courroies reste constante , quelle atteigne et ne dépasse pas la valeur qu’on vient de calculer , il faut employer des rouleaux de tension.

On calculera le poids q de

2 Ti cos a

? cosô ’

dans laquelle

a est la moitié de l’angle obtus formé par les deux brins de la courroie sur laquelle il pèse, angle que l’on pourra se donner à priori,

b l’angle que fait la ligne AB avec l’horizontale (fig. 43).

Cette formule revient à la règle suivante :

Pour calculer dans le cas de la figure 43, le poids d’un rouleau de tension capable de produire par sa pression sur les deux brins d'une courroie une tension naturelle donnée ,

Multiplies la tension naturelle donnée par 2 fois le cosinus de la moitié de l'angle obtus formé par les deux brins de la courroie, et divisez le produit par le cosinus de l’angle formé par la tangente commune aux deux tambours avec l'horizontale.

Dans la pose, on devra donner à la courroie une longueur telle qu’au repos elle ne prenne que la flexion réglée, et la teusion T aura alors à très-peu près la valeur qui lui aura été assignée.

On se réservera d’ailleurs, par les moyens connus , la faculté d’augmenter ou de diminuer à volonté l’action du poids du rouleau.

Nota. Si, pour certaines dispositions de tambours, le rouleau de tension ne devait pas agir verticalement, on pourra, par une combinaison convenable de leviers, diriger son action dans tel sens qu'il sera nécessaire, et alors on calculera l’effort qu’il

COMMUNICATIONS DU MOUVEMENT

devra exercer sur la courroie, perpendiculairement à la ligne ÀB, par la règle ci-dessus, en y supposant l’angle b nul et son cosinus égal à l’unité.

Exemple. Dans l’exemple du numéro précédent, l’angle a étant de 85°, et l’inclinaison de la ligne AB de 10°, quel devra être le poids du rouleau?

La formule donne

Nous terminerons ce qui est relatif aux courroies en ajoutant qu’on peut, sans aucun risque et avec l’assurance qu’elles marcheront longtemps , leur faire supporter des tensions de 0ki,.25 par millimètre carré de section , ce qui permettra de calculer leur largeur quand on connaîtra l’épaisseur du cuir que l’on doit employer.

Enfin les poulies sur lesquelles passent les courroies en cuir doivent avoir une convexité égale à environ ^ de leur largeur.

DES ENGRENAGES

320. Règles pour déterminer les ratons des boues. Les engrenages étant destinés .4 transmettre le mouvement de rotation d’un axe à un autre dans un rapport constant, qu’on se donne à priori, on déterminera d’abord deux cercles dont les rayons seraient entre eux dans le rapport inverse des nombres de tours que doit faire chaque roue.

Appelant

R le rayon de l’un des cercles,

R' le rayon de l’autre cercle ,

n le nombre de tours que le cercle de rayon R' doit faire pour un tour du cercle du rayon R, on aura

R = jiR'.

Cette formule revient à la règle suivante :

Le rayon du pignon est au rayon de la roue comme l'unité est au nombre de tours que le pignon doit faire par tour de roue.

Si l’on se donne l’un des rayons, l’autre sera ainsi déterminé.

ENGRENAGES

Si la distance des centres des deux roues est donnée, en la nommant d on aura

et l’on calculera les rayons par les formules

nd

qui revient ù la règle suivante :

Le rayon de la roue est égal au produit de la distance des centres par le rapport du nombre des tours que le pignon doit faire par tour de roue au même nombre augmenté de l'unité.

Le rayon du pignon est égal à la distance des centres divisée par le nombre de tours du pignon par tour de roue augmenté de l'unité.

321. Définitions. Ces cercles ainsi déterminés se nomment cercles primitifs ou proportionnels. Ils servent de base au tracé.

L 'épaisseur des dents se mesure sur la circonférence de ces cercles.

L’intervalle d’une dent à l’autre s’appelle le creux.

La largeur des dents est leur dimension dans le sens de l’axe de rotation.

La partie des dents qui est en dehors des cercles primitifs se nomme la face, celle qui est en dedans se nomme le flanc.

La somme de l’épaisseur et du creux , ou la distance de deux dents consécutives, mesurée de milieu en milieu, forme ce qu’on nomme le pas de l’engrenage.

522. Manière de calculer l’effort qu’ünk dent doit supporter. En divisant la quantité de travail qu’une roue doit transmettre par la vitesse de la circonférence de son cercle primitif, on aura l’effort que les dents doivent supporter.

Ce calcul devra être fait pour le cas où la quantité de travail transmise par la roue sera un maximum , ou quand l’usine marchera sous sa plus grande charge.

Connaissant l’effort P que doit supporter une dent d’engrenage, on déterminera l’épaisseur b à donner aux dents, mesurée sur la circonférence primitive, par les formules données au chapitre de la Résistance des Matériaux.

COMMUNICATIONS Dü MOUVEMENT.

Leur largeur parallèle à l’axe sera aussi déterminée par les mêmes règles.

Le creux devra être égal à l’epaisseur, augmentée de ^ rs* selon le degré de perfection apporté à l’exécution.

Le pas de l’engrenage sera, en l’appelant a, si les dents sont de même matière ,

a — 2.1b ou a=2.067è,

selon la perfection d’exécution; ou, si elles sont de matières différentes

a=.b-\-\.\b' ou a= b 4- 1.0676', b étant alors l’épaisseur de la dent de la roue , et b' celle de la dent du pignon.

Nota. Dans les ateliers de construction, pour la facilité et l’économie d’exécution, on est quelquefois dans l’usage de calculer seulement les dimensions des dents en bois, et de faire les dents en fonte de même épaisseur.

523. Règles pour déterminer le nombre de dents des roues. Si l’on nomme

m le nombre de dents de la roue dont le cercle primitif a le rayon R,

m' le nombre de dents de la roue dont le crcle primitif a le rayon R',

on déterminera ce nombre de dents par les formules

m— — , et m = — .

Mais il arrivera presque toujours que ces nombres seront composés d’un nombre enlier et d’une fraction; et comme d’ailleurs il convient, pour la symétrie et la facilité des assemblages , que le nombre des dents de la roue soit exactement divisible par le nombre de ses bras quand elle doit être de plusieurs pièces , on devra prendre pour le nombre m le nombre entier inférieur à celui qu’on a trouvé, et qui sera à la fois divisible par le nombre de bras de la roue et par le rapport n du rayon de la roue à celui du pignon. Le nombre m' s’en déduira par la relation

m = nm'.

Cette modification conduit à prendre le pas un peu plus grand,

ENGRENAGES

ou les dents un peu plus fortes que le premier calcul ne l’aurait donné ; ce qui n’a aucun inconvénient.

Nous ajouterons que, pour les bonnes exécution et proportion des engrenages , il convient que le pignon ait au moins vingt dents, sauf les cas exceptionnels où l’on serait forcé d’adopter un plus petit nombre.

Exemple. Une roue d’engrenage doit conduire un pignon, auquel elle fera faire quatre tours pendant qu’elle en fera un ; la distance des centres est de 3m ; la quantité de travail que la roue doit transmettre est de 1025lm en 1", et elle fait huit tours en V : on a

nd

la vitesse de la circonférence de la roue est

l’effort qui doit être exercé par les dents est

Si les dents de la roue sont en bois dur, on a, d’après les formules de la Résistance des Matériaux , pour leur épaisseur

6 = 0.143 y/ôïÔ = 3c,ot.23.

Les dents du pignon seront en fonte , et leur épaisseur, calculée par les mêmes formules, sera

6' = 0. 105 v/5ÏÔ = 2““‘.37 .

Enfin le pas sera alors

a = 6 + 1 .067 b' = 5ctD,.76,

l’engrenage étant supposé exécuté avec soin.

La première valeur du nombre de dents de la roue sera

2irR 15.10 " — 0.0576

La roue devant avoir huit bras, on prendra m = 256, qui est à la fois divisible par 8 et par n = 4, et entre chaque bras il y aura trente-deux dents.

COMMUNICATIONS DU MOUVEMENT

Le pignon étant coulé d’une seule pièce, on prendra m! — 64. On en déduira ensuite

2ttR 15.1

TO

= = 5cen,.9.

324. Thacè pratique des engrenages. Le pas de l’engrenage et les rayons des cercles primitifs étant déterminés , on divisera leur circonférence en autant de parties qu’ils doivent contenir de dents en partant du point a où ces cercles coupent la ligne des centres cc', et on marquera sur ces circonférences l’épaisseur de chaque dent.

Par le premier point b de division du cercle C'a du pignon , placé à une distance de la ligne des centres égale au pas, on mènera un rayon C'b, qui rencontrera le cercle dont le diamètre

" est C'a en un point d. On joindra le

point d avec le premier point b1 de division du cercle primitif Ca de la roue; sur le milieu de la ligne b'd on élèvera une perpendiculaire, qui rencontrera la circonférence de rayon Ca en un point qui sera pris pour le centre d’un arc de cercle dont le rayon sera la distance de ce même point à b et b', et qui formera la courbe de la dent.

Le rayon du cercle que l’on substitue à l’épicycloïde étant ainsi déterminé, on tracera toutes les dents avec la même courbure sur les deux faces.

323. Limite de la longueur des dents. Du point C comme centre, avec le rayon C d, on décrira une circonférence de cercle, qui limitera la longueur des dents de la roue de manière que l’une cesse de pousser quand la précédente arrive à la ligne des centres.

326. Tracé du flanc. Par le centre C et par le point b' on mènera un rayon , qui donnera la direction du flanc. On en fera autant pour l’autre face de la dent.

ENGRENAGES

527. Dents du pignon. Pour les dents du pignon, on portera de même de part et d’autre du point a, sur les cercles primitifs, des longueurs égales au pas. On mènera le rayon Ce du cercle primitif de la roue ; il rencontrera la circonférence dont le diamètre est Ca en un point g, qu’on joindra au premier point de division du cercle C', à partir de a; sur le milieu de la ligne ainsi tracée on élèvera une perpendiculaire; cette ligne rencontrera le cercle de rayon C'a en un point, qui serai le centre d’un arc de cercle dont le rayon sera la distance du centre au point e, et qui formera la face de la dent du pignon. Ce rayon servira à tracer de môme les deux faces de chacune des dents du pignon.

Du centre C', avec le rayon C 'g, on décrira une circonférence qui limitera la longueur de toutes les dents du pignon, de manière qu’une de ses dents commence à être poussée par le flanc de celle de la roue quand la précédente arrive à la ligne des centres.

Les circonférences des rayons C d et C 'g rencontrent la ligne des centres en des points en deçà desquels on portera jusqu’en n vers C et jusq’en m vers C' sur CC' une longueur égale à 0m.004 à 0m.005 pour les petits engrenages, ou à 0D’.008 et 0m.0l0 environ pour les grands; puis des points m et n ainsi déterminés, avec les rayons Cm et C«, on décrira des circonférences qui, en rencontrant les flancs des dents du pignon et des dents de la roue, limiteront leur longueur et formeront le fond du creux.

On adoucira par un petit raccordement curviligne le flanc et le fond du creux, pour ne pas avoir d’angle rentrant à vive arête.

528. Observations sur le tracé généralement suivi par les praticiens. Les praticiens sont dans l’usage de substituer aussi à l’épicycloïde un cercle, dont ils prennent le rayon égal, les uns à la corde du pas, les autres aux f de cette corde.

Cette méthode se rapproche beaucoup de celle que l’on vient d’indiquer, et peut, sans inconvénient, lui être substituée toutes les fois que les roues n’ont pas des rayons très-différents et que les dents ne doivent pas être très-épaisses. Mais, pour de

282 COMMUNICATIONS DD MOUVEMENT

petits pignons à grosses dents qui doivent être conduits par de grandes roues, elle ne conviendrait plus, et il faudra suivre celle qui précède.

329. Modification a apporter ad tracé précédent podr le cas de pignons très-petits sodmis a de grands efforts. Les dents déterminées par le tracé du n° 324 pourraient être trop minces vers le bout dans le cas où le pignon serait très-petit et les efforts qu'il transmet très-grands.

Le tracé l’indiquera : l’on sera forcé alors de renoncer à avoir deux dents en prise îi la fois, et l’on devra recommencer l’opération en prenant les arcs ae et ab décrits pendant la durée du contact d’abord égaux aux f du pas, et on opérera comme il a été dit aux nc* 324 et suivants. Si les dents étaient encore trop minces vers le bout et réduites à moins de la moitié de leur épaisseur à la naissance, on recommencerait de nouveau le tracé en prenant ces arcs ab et ae égaux à la moitié du pas.

Nota. Dans ce qui précède nous avons toujours supposé qu’il s’agissait d’un pignon conduit par une roue, et nous n’avons pas parlé de lanternes, parce que cet engrenage vicieux doit être abandonné.

530. Modification relative ad cas où les pignons sont grands et les efforts a transmettre très-faibles. Au contraire, si les rayons des roues sont grands et les efforts à transmettre assez faibles, il pourrait arriver que les dents tracées par la méthode du nc 524 fussent un peu courtes. Dans ce cas, au lieu de se borner à faire agir une dent pendant un intervalle égal à une fois le pas avant la ligne des centres et autant après cette ligne, on pourra prendre les arcs ab et ae égaux à une fois et demie ou deux fois le pas, et faire le reste du tracé comme il est indiqué aux n°‘ 324 et suivants.

331. Limite de la saillie des dents. Dans tous les cas, il ne convient pas que la saillie des dents sur l’anneau qui les porte excède 1.5 fois leur épaisseur mesurée sur le cercle primitif.

332. Engrenage intérieur d’une rode et d’on pignon. Lorsqu la roue conductrice mène un pignon placé dans son intérieur,

ENGRENAGES

la courbe des dents de la roue et le flanc de celle du pignon doivent encore être tracés par la mélhode du n° 324; mais ce tracé ne pourrait plus s’appliquer au flanc des dents de la roue et à la courbe de celle du pignon.

Cette courbe devrait alors être formée par une épicycloïde engendrée par un point du cercle primitif de la roue roulant extérieurement sur le cercle primitif du pignon ; on la remplacera par un arc de cercle décrit de la naissance d’une dent avec un rayon égal à la corde de l’arc qui mesure le pas sur le cercle primitif du pignon .

Quant au flanc de la dent de la roue, il se réduirait dans le tracé actuel au point de la circonférence primitive qui aurait décrit l’épicycloïde de la dent du pignon. Cela montre qu’alors la dent de la roue agirait avant la ligne des centres toujours par le même point, et se creuserait d'autant plus promptement que ce genre d’engrenage est ordinairement employé pour transmettre le mouvement des roues hydrauliques, et qu’alors la roue et le pignon sont sans cesse mouillés et exposés à un frottement considérable.

Dans les cas ordinaires, où l’on aura eu l'attention de ne pas faire le pignon trop petit et où il n’aura pas à supporter des efforts trop grands, il sera possible et préférable de supprimer tout à fait l’engrenage avant la ligne des centres, et alors on opérera ainsi qu’il suit :

ac' étant la ligne des centres (fig. 45), a le point de contact des cercles primitifs, prenez, pour les cas ordinaires, sur ces Fis-45- cercles un arc égal à deux fois le

y''" /I pas ; à l’extrémité de cet arc menez

f i i \ un rayon , qui rencontre le cercle / j | \ dont le diamètre est égal à c'a — R’.

\\\ ']/ Joignez ce point de rencontre et i-— — <"'0; * 'extrémité de l’arc pris sur le cercle de la roue ; sur le milieu de la ligne de jonction élevez une perpendiculaire, dont la rencontre avec le cercle primitif ca sera le centre des arcs de cercle qui formeront la courbe de la dent.

Le flanc du pignon aura la direction des rayons du cercle c’. Du centre de la roue décrivez, comme au n° 524, une circon-

COMMUNICATIONS DU MOUVEMENT

férence qui limitera la longueur des dents de la roue, de manière qu'une dent ne cesse de pousser que quand la seconde qui la suit arrive il la ligne des centres.

La longueur utile du flanc du pignon est ainsi déterminée ; mais il est nécessaire de le prolonger en dehors du cercle primitif c'a de 0m.003 à 0m.005, en arrondissant les angles à partir de la circonférence primitive avec un rayon égal à la corde du pas sur le cercle primitif du pignon.

De même il faut mener du centre de la roue des rayons tangents aux faces de la dent pour former des flancs qui ne servent à peu près alors qu’à donner une profondeur convenable au creux.

Les dents de la roue et du pignon étant ainsi limitées vers l’extrémité, donnez au creux une profondeur telle, qu’il y ait entre ces dents et le fond de ce creux 0m.008 à 0m.l0 de jeu au plus pour les grands engrenages, et seulement O^.OOà à0ra.005 pour les petits.

553. Modification pour le cas des petits pignons soumis a de grands efforts. Si le pignon était trop petit, il pourrait arriver que les dents ainsi construites, pour qu’il y en ait toujours deux en contact à la fois, fussent trop minces à l’extrémité. Dans ce cas, recommencez le tracé en prenant des arcs égaux à 1.5, ou, s’il le faut, à une fois le pas. Ce cas se présentera rarement.

Les engrenages intérieurs ainsi tracés ne conviennent qu’au cas où la roue conduit le pignon.

534. Engrenage d’un pignon et d’une crémaillère. Pour tracer les dents d’un pignon qui doit conduire une crémaillère, il faut d’abord déterminer la hauteur dont la crémaillère doit s’élever pour un tour de pignon.

Alors appelant

h cette hauteur,

r le rayon du cercle primitif du pignon,

Connaissant la résistance que la crémaillère oppose au pignon, on calculera l’épaisseur b de la dent du pignon, d’où l’on

ENGRENAGES

conclura le pas; puis le nombre m des dents du pignon sera réglé par la formule

Ittr

On prendra pour m [le nombre entier inférieur le plus voisin, et on déduira de la relation ci-dessus une valeur du pas a un peu plus grande que la première que l’on avait trouvée, ce qui n’a pas d’inconvénients.

Cela fait, on enroulera un fil sur la circonférence du cercle primitif, et, avec une pointe ou un style placé à son extrémité, en déroulant ce fil on tracera la développante du cercle, qui sera la courbe des deux faces de dent du pignon.

Deux rayons tangents aux naissances de ces courbes h la circonférence primitive formeront le flanc des dents; et, pour lifte «• miter la longueur utile de la courbe de façon que le contact cesse à une distance donnée, que l’on essayera d’abord de rendre égale au pas , on portera sur la ligne des contacts une longueur ab égale à ce pas, et du centre c, avec cb pour rayon , on tracera une circonférence qui déterminera la longueur des dents du pignon.

Quant aux dents de la crémaillère, on les tracera avec une exactitude suffisante pour la pratique en décrivant, de la naissance d’une des dents comme centre , avec le pas comme rayon, un arc de cercle, qu’on limitera en d, a sa rencontre avec le cercle dont le diamètre est égal au layon du pignon. Ces dents auront leurs flancs perpendiculaires h la direction du mouvement , et seront symétriques ainsi que celles du pignon.

La profondeur du creux et la saillie totale se régleront comme il a été dit aux n°* 524 et suivants.

Il arrive souvent pour cet engrenage que, d'après la dimension trouvée pour le pas, il ne serait pas possible de faire conduire avant et après le point de contact du cercle primitif et de la ligne da, à une distance égale an pas, sans que les dents ne

COMMUNICATIONS DU MOUVEMENT

devinssent trop minces au bout. On restreindra alors l’amplitude du contact et l’on déterminera le rayon des courbes des dents de la crémaillère comme il a été dit au n° 550 , pour les engrenages ordinaires.

555. Cames des pilons. Les cames des pilons se traceront de la même manière que les dents du pignon qui conduit une crémaillère ; mais comme il n’y en a qu’un petit nombre dans la circonférence, on peut se donner la condition que chacune d’elles agisse pendant une parlie donnée de cette circonférence, et faire en sorte que le pilon ait le temps de retomber avant qu’une autre came soit arrivée pour le relever.

Appelant

h la levée du pilon, ordinairement donnée d’avance,

m le nombre de cames qui agissent sur un même pilon dans

Une révolution de l’arbre,

n le nombre de révolutions de l’arbre en 1',

t — — la durée d’une révolution , n

r, le rayon du cercle primitif à développer, l’intervalle d’une levée à une autre serait

t__ 6tf' m mri

Mais, attendu que les résistances passives peuvent un peu retarder la descente, on augmentera ce temps d’un sixième, pour ne pas être exposé à voir les mentonnets choquer les cames en descendant.

Faisant alors

on calculera le rayon r par la formule

Cette formule revient à la règle suivante :

Divises la durée d’une révolution de l'arbre à cames par le nombre de cames gui agissent sur un même pilon ; prends les f de ce

engrenages.

temps, et retranchez-en la racine carrée du double de la levée , divisée par 9.81 ; multipliez le reste par 6.28 fols le nombre

de révolutions de l'arbre à cames en Y:

Par le produit divisez la levée multipliée par 60 :

Le quotient sera le plus petit rayon que l'on puisse prendre pour le cercle à développer.

Il n’y aura aucun inconvénient à le prendre plus grand.

Exemplb. Quelle est la limite inférieure du rayon du cercle à développer pour former les cames d’un moulin à pilons, dans le cas des données suivantes :

On trouve

= 0ra.217.

Le rayon que l’on adopte ordinairement est environ le double de cette limite inférieure.

On tracera le cercle du rayon r ainsi déterminé, et on limitera la longueur de la courbe, comme il a été dit au numéro précédent, en portant sur la tangente une longueur égale à la levée, et en décrivant du centre de l’arbre h cames le cercle qui passerait par le point ainsi déterminé.

Le reste du tracé ne présente pas de difficultés.

536. Cames en épicycloïdes destinées a transmettre un mouvement circulaire alternatif. Pour construire les cames qui sont employées à soulever les marteaux des foulons, les marteaux frontaux, etc., on déterminera d’abord par l'amplitude du mouvement qu’on doit imprimer à ces outils la longueur de l’arc qui correspond à la durée du contact.

On se donnera pour le cercle à cames un rayon convenable

COMMUNICATIONS DD MOUVEMENT

d’après les proportions en usage, et suffisant pour que l’outil, en redescendant , ne rencontre pas la came avant d’être parvenu à sa position inférieure et d’avoir terminé son action.

Tracez le cercle primitif ca de la came , le cercle du rayon c'a et le cercle dont le diamètre est ca'.

Partagez ce dernier cercle et le cercle ca en parties égales, à partir de a, aux points 1, 2, 3, 4, 5.

Des points 1, 2, 3, 4, 5, de division du cercle ca, avec des rayons égaux aux cordes la, 2a, 3a, etc., du cercle de diamètre c'a, décrivez des arcs de cercle qui, par leurs intersections successives, formeront la courbe de l'épicycloïde de la came.

De a en b, sur le cercle diamètre c'a, portez un arc égal à celui pendant lequel la came doit conduire le manche. Du point c comme centre, avec un rayon égal à cb, décrivez une circonférence, qui limitera la longueur utile des cames.

Pour la facilité du dégagement du manche on donne à ces cames un flanc en ligne droite, dirigé suivant le rayon, et on en détermine la longueur d’après les dimensions du manche et le jeu nécessaire.

Ces cames n’étant pas exposées à être contremenées comme les engrenages ordinaires, il n’est pas nécessaire de leur donner j des deux côtés une cour-

bure symétrique , quoique cela se pratique ordinairement.