Manière de déterminer la pression supportée par un axe
Fig. 52.
dk rotation. Pour déterminer la pression supportée par un axe ou par un pivot, il se présente plusieurs cas à examiner.
1° Si toutes les forces agissent verticalement (fig. 52), ajoutez le poids M de l'arbre et de son équipage aux forces P qui agissent de haut en bas, ajoutez-y ou retranchez-en la somme des forces Q qui agissent de haut en bas ou de bas en haut : la somme ou le reste sera la pression cherchée.
FROTTEMENT
Pour les roues hydrauliqueson pourra, dansla plupartdes cas, négliger le poids de l’eau qu’elle contiennent par rapport à celui de la roue, et ne tenir compte que de l’effort P qu’elles transmettent à leur circonférence et de la résistance qu’elles éprouvent de la part du premier engrenage, ainsi que de leur poids.
2° S’il y a des forces verticales et des forces horizontales , faites Fig- 53. séparément les sommes A et B de chacun de
ces groupes de forces, en y comprenant le poids des arbres et de leur équipage.
Vous saurez presque toujours d'avance quelle est la plus grande des deux sommes; alors ajoutez les 0.96 de la plus grande aux 0.4 de la plus petite, vous aurez la pression . cherchée N à moins de ^ près.
Si l'on ignore quelle est la plus grande des deux sommes, ajoutez-les et prenez les 0.83 du total, vous aurez la pression cherchée N à moins de % près.
Cette approximation sera presque toujours suffisante.
3° S’il y a des forces dont la direction soit inclinée, décomposezles dans le sens vertical et dans le sens horizontal , et opérez sur les sommes des composantes comme dans le cas précédent.
4° Si, par suite de la direction et de l'intensité des forces, l’un des tourillons était pressé de haut en bas sur son coussinet et l’autre de bas en haut, calculez séparément la pression sur chacun d’eux d’après les règles précédentes.
Ce cas se présente rarement, et l’on doit l’éviter autant que possible dans les constructions.
349. Frottement sdr un plan incliné. Lorsqu’un corps est posé sur un plan incliné et soumis à l’action d’une force extérieure et de la pesanteur, il peut se présenter plusieurs cas.
1° Cas où le corps doit rester naturellement en repos. L’inclinaison qu’il conviendra de donner au plan pour que le corps y reste en repos et en équilibre, c’est-à-dire prêt à obéir au moindre effort extérieur, sera donnée par la relation
tang a — f,
a étant l’angle d’inclinaison du plan sur l’horizon,
/le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact.
Ajdb-Mémoire. 30
FROTTEMENT
Exemple. Quelle est l’inclinaison sur laquelle un vaisseau peut rester en équilibre sur ses chantiers ; les surfaces en contact étant en bois et enduites de savon, mais devenues onctueuses, le contact ayant duré quelque temps?
Le tableau du n° 342 donne f = 0,15 : on a donc
tanga = 0.15,
ce qui revient à dire que la hauteur du plan incliné doit être les 0.15 de sa base.
2° Le corps étant tiré de bas en haut par une force qui tend a le faire monter. En nommant a l’angle que fait le plan incliné avec l’horizon, b l’angle que fait la direction de la force avec le plan incliné, Q le poids du corps,
P l’effort capable de produire le mouvement ou d’entretenir un mouvement uniforme,
/le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact, dont on prendra la valeur ‘dans le tableau n° 542 s’il s’agit de déterminer l’effort capable de produire le mouvement, ou dans celui du n° 545 s’il s’agit de l’effort capable d’entretenir un mouvement uniforme, on aura la valeur de l’effet P par la formule
T, sine + feosa „
cos& -f- /sinô ’
qui revient à la règle suivante :
Pour déterminer l'effort de traction qu'il faut exercer de haut en bas sous un angle donné pour faire monter un corps le long d’un plan incliné.
Multipliez le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact par le cosinus de l'angle formé par le plan incliné avec l'horizontale; ajoutez le produit au sinus du même angle ;
Multipliez le rapport du frottement à la pression par le sinus de l'angle formé par la direction de la force avec le plan ; à la somme ajoutez le cosinus du même angle ;
Divisez la première somme par la seconde, et multipliez le quotient par le poids à élever :
Le produit sera l'effort cherché.
3° Le corps étant tiré par un effort horizontal qui tend a le
FROTTEMENT
faire monter. Dans ce cas, en conservant la notation ci-dessus, observant seulement que l’angle b — a, on calculera l’effort P par la formule „ u,„ao + , „
1 + /'tanga
qui revient à la règle suivante, pour l’application de laquelle on remarquera que la tangente trigonométrique de l’angle a est le rapport de la hauteur du plan incliné à sa base :
Pour déterminér l'effort horizontal de traction qu'il faut exercer pour faire monter un corps le long d’un plan incliné,
Ajoutez le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact à la tangente de V angle du plan incliné avec l'horizon;
Ajoutez l'unité au produit du même rapport par la même tangente, et divisez la première somme par la seconde;
Par le quotient multipliez le poids à élever :
Le produit sera l'effort de traction cherché.
4° Cas où la force tend a tousser le corps pour le faire monter. Si la force fait un angle b avec la direction du plan, on se servira de la formule
sina -f- /cosa
cosô — fsinb qui revient à la règle suivante :
Pour calculer l'effort à exercer pour faire monter un fardeau en le poussant sur un plan incliné.
Multipliez le cosinus de P angle d'inclinaison du plan avec l'horizon par le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact; au produit ajoutez le sinus de l'angle (T inclinaison du plan sur l'horizon;
Multipliez le sinus de l'angle que fait la direction de la force avec le plan par le rapport du frottement à la pression ; retranchez le produit du cosinus de l'angle formé par la force et le plan incliné;
Par le reste divisez la première somme, et multipliez le quotient par le poids à élever :
Le résultat sera l’effort à exercer.
Si la force est horizontale, on se servira de la formule T» tanga -K n 1 — f tanga u’
qui revient à la règle suivante :
Pour déterminer l’effort qu’il faut exercer horizontalement pour
FROTTEMENT
faire monter un poids Q le long d'un plan incliné, en le poussant.
Ajoutez la tangente de l'angle d’inclinaison du plan sur l'horizon au rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact;
Multipliez la même tangente par le rapport du frottement à la pression ; retranchez le produit de l'unité, et par le reste divisez la somme précédente :
Le quotient multiplié par le poids à élever sera l'effort à exercer.
5° Dans tous les cas précédents , si la force doit seulement soutenir le corps, l’empêcher de descendre ou modérer son mouvement, on suivra les mêmes règles, en y changeant seulement le signe du frottement, c’est-à-dire en retranchant les termes où il entre comme facteur là où ils étaient additifs, et les ajoutant là où ils étaient soustractifs.
380. De l’emploi du coin dans les presses. Dans les presses à coins, où l’on se sert ordinairement de deux coins qui glissent réciproquement l’un sur l’autre par leur face inclinée, le rapport de l’effet utile au travail dépensé est donné par la formule
1 — p — <2f tanga
v tanga,
(1—/-*) tanga +2/”
dans laquelle
a est encore l’angle des faces inclinées sur la base des coins, fie rapport du frottement à la pression pour ces faces, f la valeur du même rapport pour les bases des coins et les corps qu’elles poussent, et qui peut avoir une valeur différente du premier.
Cette formule revient à la règle suivante :
Pour calculer le rapport de l’effet utile au travail dépensé dans une presse à coins.
Multipliez la tangente de l’angle des coins par le double du rapport du frottement à la pression pour les coins ; au produit ajoutez le carré du même rapport ; retranchez la somme de l'unité;
Multipliez la tangente de l'angle des coins par l'unité diminuée du carré du rapport du frottement à la pression pour les coins; au produit ajoutez le double du rapport du frottement à la pression pour les coins et les corps à comprimer :
FROTTEMENT
Le quotient du premier reste par la seconde somme multipliée par la tangente de V angle des coins sera le rapport cherché du travail utilisé au travail dépensé.
Exemple. Quel est le rapport de l’effet utile au travail dépensé dans une presse à coins où, les surfaces étant toutes bien graissées, f—f' — 0.10; tanga =0.25, ou la hauteur des coins égale au quart de la base?
La formule ci-dessus donne pour le rapport la valeur 0.525 : ce qui' montre que, dans ce cas, il y a 0.475, ou plus des £ du travail dépensé qui est perdu, non compris encore la perte qui a lieu dans les machines de ce genre, où l’on agit par choc, par les effets de compression des corps choqués.
Si, les surfaces étant de bois mouillé, ’on avait eu f =f= 0.25, on aurait trouvé pour le rapport cherché la valeur 0.276 : ce qui prouve que, dans ce cas, on perd par le frottement seul 0.724, ou près des { du travail dépensé.
3iîi. Frottement de la vis et de son écrou. Lorsqu’une vis ou un écrou à filets carrés doit produire une pression donnée, on calculera la valeur de l’effort à exercer au bout du levier qui traverse la tôte de la vis ou l’écrou par la formule suivante :
A + 6.28/r 6.28 r — fh u’
dans laquelle on représente par Q la pression à produire,
P l’effort cherché, r le rayon du filet moyen de la vis,
R le bras de levier de l’effort, h le pas de la vis,
f le rapport du frottement à la pression pour l’écrou et la vis, et qui revient à la règle suivante :
Pour calculer t effort à exercer à l’extrémité d’un levier pour produire une pression donnée à l’aide d’une vis à filets carrés , Multipliez le rayon moyen des filets par le rapport du frottement à la pression pour la vis et son écrou , rapport ordinairement égal à 0.10 pour les vis en bon état, et par 6.28; au produit ajoutez le pas de la vis;
Multipliez 6-28 par le rayon moyen des filets; diminuez ce pro -
FROTTEMENT
duit de celui du pas par le rapport du frottement à la pression pour la vis et son écrou; divisez la première somme par ce reste;
Multipliez le quotient par le rapport du rayon moyen des filets au bras du levier de la puissance :
Leproduit multiplié par la pression à produireseraf effortcherché.
Exemple. Quel est l’effort que doit exercer la puissance à l’extrémité d’un bras de levier de lm.5 pour produire une pression de 6000 kil. à l’aide d’une vis à filets carrés de 0m.058 de diamètre moyen, et d’un pas h = 0"’.0104?
On a
r = 0n'-029, R = l".50, f= 0.10, si les surfaces sont passablement graissées; et la formule donne
0m-029 0™.0104-f 6.28X0.10X0.029 1-.500 X 6.28 X0“'.029 — 0.10 X 0-.0104 Xb = 0.00305 X 6000= 18kil.30.
Si l’on avait négligé l’influence du frottement, on aurait eu avec ces données
P= g-^ 0 =°.°011 Q = O.OOl 1 X 60()0 = 6lil.6,
ce qui montre que, par l’effet du frottement seul de la vis et de son écrou , l’effort ou le travail développé par la puissance doit être , dans le cas actuel , à peu près triple de celui qu’exigerait la résistance utile seule.
332. Déterminer la pression qü’un effort donné peut produire a l’aide d’une vis a filets carrés. S’il s’agit, à l’inverse, de déterminer la pression qu’une vis peut produire par l’action d’un effort donné, on déterminera cette pression par la formule
