En nommant

R la limite supérieure de l’effort d’extension ou de compression auquel on peut soumettre chaque uuilé de surface d’une manière permanente sans crainte que son élasticité ne soit altérée dans le sens parallèle aux fibres;

I le moment d’inertie de la section transversale du corps à l’endroit où la rupture tend à se faire, pris par rapport à la ligne dite des fibres invariables ;

v la plus grande ordonnée de la surface extérieure, ou la distance de la fibre de celte section la plus éloignée de la surface des fibres invariables, soit au-dessus, soit au-dessous,

Le produit — représentera la somme des moments de la résistance à la rupture de toutes les fibres de la section de rupture, et ce moment devra être égal à celui de la charge ou de l’effort qui tend à rompre le corps par rapport è la même section.

C’est d’après ce principe que sont établies les formules suivantes, dans lesquelles, pour obtenir des dimensions que l’on puisse adopter avec sécurité, on a donné, en général, au nombre

R, les valeurs ci-après ;

Fonte 75000001'1

Fer forgé 6000000

. . i de lro qualité 16660000

C1Cr | de qualité moyenne 1250^00^

Bois de chêne et de sapin 600000

375. Cas où l’on voudrait alléger les pièces. Lorsqu’on tiendra à alléger les pièces, on pourra augmenter les valeurs ci-dessus du nombre R d’un tiers environ, en employant des matériaux de qualité choisie. Ce qui donnera pour

La fonte R = 100000001'11

Le fer forgé 8000000

. , i de 1” qualité 22000000

aCiei | qualité moyenne 16633000

Bois de chêne ou de sapin 800000

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Cela reviendra à augmenter d’un tiers le diviseur des formules qui donneront les dimensions.

Au contraire, il arrive quelquefois que la nécessité de ne laisser prendre aux solides que des flexions très-petites, par suite de leur destination spéciale, oblige à diminuer les valeurs de R.

Quand, par des motifs quelconques, on n’aura pas employé pour l’établissement des formules pratiques les valeurs de R indiquées au n° 572, on aura soin d’en avertir et de donner la valeur mise en usage.

574. Observation relative a la destination des corps. Dans le calcul des dimensions h donner aux solides exposés à des flexions transversales, on doit distinguer les cas où les corps peuvent, sans inconvénients, prendre sous la charge une certaine flexion, de ceux où la flexion doit être excessivement petite.

Les poutres, les supports des constructions ordinaires, sont dans le premier cas.

Les arbres des roues hydrauliques ou des roues d’engrenage, les tourillons, etc., sont dans le second, et les coefficients numériques à employer doivent être choisis en conséquence.

57o. Solides encastrés par l’une de leurs extrémités. Dans les formules suivantes, nous appellerons P l’effort exercé sur le corps perpendiculairement à sa longueur c la longueur de la partie non encastrée, jusqu’au point où agit l’effort P, ou son bras de levier; p leAoi^du mètre courant du solide, en kilogrammes; a la largeur du solide dans le sens perpendiculaire au plan qui passe par l’axe longitudinal du corps et par la direction de l’effort P ;

b l’épaisseur du solide dans le sens de l’effort P ; d le diamètre du solide, s’il s’agit de corps ronds ou cylindriques.

Les poids ou les pressions seront exprimés en kilogrammes, les dimensions linéaires en mètres, à moins que le contraire ne soit formellement exprimé.

570. Soude prismatique encastré par l’une de ses extrémités; cas où l’on tient compte du poids du solide Les dimensions

RÉSISTANCB DES MATÉRIAUX. 347

transversales se détermineront à l’aide dos formules suivantes pour

la fonte *

(p+fV

le fer forgé

le bois de chêne ou de sapin. . ..

,,=(p+f)c ab 100000 ’

377. Cas où l’on peut négliger le poids du solide. Lorsqu’on pourra négliger le poids du solide, on emploiera les formules suivantes pour

la fonte

ab' —

le fer

ab' —

le bois de chêne ou de sapin. . . .

... ab' =

370. Cas où la charge est uniformément répartie. Si la charge est uniformément répartie sur la longueur du corps, on l’ajoutera au poids propre du solide; et, en nommant de même que ci-dessus p la charge par mètre courant, on emploiera les formules suivantes pour

la fonte le fer. .

pc'

ab-=:

; pc '

le bois de chêne ou de sapin ab '=

pc’

Nota. On observera que les formules précédentes donneront

* Nous ne donnerons pas la traduction en langage ordinaire de toutes les formules contenues dans ce chapitre, parce qu'elles sont assez simples pour être comprises A la première lecture.

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

des dimensions plus fortes pour les pièces en fer forgé que pour celles en fonte; mais, malgré sa flexibilité, le fer devra toujours être préféré à la fonte pour les pièces exposées à des chocs ou à des vibrations considérables.

579. Relation entre la largeur et l’épaisseur. Dans les applications on pourra élablir « priori une relation entre la largeur cl l’épaisseur du solide.

Pour les pièces de charpente en bois, l’expérience montre qu’il convient (l’élablir entre la largeur et l’épaisseur le rapport de 5 à 7 ; on a alors a = § è, et par suite la formule qui donnera la hauteur d’une pièce de charpente encastrée par l’une de ses extrémités et chargée à l’autre est

Exemple. Quelles doivent être la hauteur et la largeur d’une pièce de bois qui est encastrée à l’une de ses extrémités et qui doit porter à l’autre une charge de 750 kilogrammes, placée à lm.75 du point d’encastrement ï

La formule ci-dessus donne

1/ = 7 ,429' = 0.01 84, è=0'".264, et « = 0"'.1S9.

Quoique la proportion la plus convenable soit la précédente, l’économie engage souvent à refendre en deux les pièces de bois destinées à être employées dans les constructions. On fera alors a = \b dans la formule du n° 407, et l’on aura

580. Remarque générale relative au poids propre des solides. On observera que, quand on voudra tenir compte du poids propre du solide dont les dimensions ne sont pas connues, il faudra d’abord calculer ces dimensions en négligeant ce poids, puis le déterminer approximativement d’après cette première recherche, et ajouter la moitié de ce poids approché à la charge donnée pour calculer de nouvelles valeurs des dimensions, qui alors seront suffisamment exactes.

FORMULES PRATIQUES

D’après cette remarque, qui s’appliquera dans tous les cas où le poids propre du corps ou une charge uniformément répartie sur sa longueur pourrait avoir une influence notable sur sa résistance, nous nous bornerons à l’avenir à tenir seulement compte de la charge extérieure P.

381. Cas où la section transversale du corps est un carre. Si la section transversale est un carré, on a a — b, et les formules précédentes deviennent : pour

la fonte

le fer

le bois de chêne ou de sapin

.Pc

Exemple. Quel doit être l’équarrissage d’une pièce de bois ù section carrée encastrée à Tune de ses extrémités et chargée à l’autre d’un poids de 2000 kilogrammes, l^distancc de la charge au point d’encastrement étant c = lm.50?

d’où

382. Cas où la section transversale est un cercle. Si le corps est un cylindre à base circulaire, on aura pour

la fonle cP —

le fer cP —

le bois de chêne (P =

Exemple. Quel doit être le diamètre d’un boulon en fer exposé à un effort de GOO kilogrammes exercé perpendiculairement ù sa direction, à la distance de 0'‘'.06 du point d’encastrement?

583. Formule particulière tour les tourillons des roues hydrauliques. Pour les tourillons des roues hydrauliques, qui ne doivent point éprouver de flexion sensible, qui sont exposés à être mouillés d’eau et usés par le frottement du sable fin qu elle entraîne avec elle, et qui sont ordinairement en fonte, on prendra

On observera que celte formule donne aux tourillons une force double de celle qui correspondrait à la formule du n° précédent, ou revient à prendre R = 3750000lil.

Pour diminuer autant que possible la longueur de portée des tourillons, on est dans l’usage de faire c — d.

Premier exemple. La roue de Guebwiller (n° loi) pèse 25000 kilogrammes ; elle peut contenir 5me.500 d’eau : la charge totale sur ses deux tourillons est donc égale à 30 500 kilogr . , et chacun d’eux porte 15250 kilog. La longueur des tourillons est égale à leur diamètre.

La formule ci-dessus donne

Le constructeur anglais a fait

Cette roue a marché dix à douze ans.

Deuxième exemple. La roue de la filature du Logelbach, près Colmar, pèse 44000 kilog., chaque tourillon porte 22000 kilog. On a

et par suite la formule donne

FORMULES PRATIQUES

Le constructeur a fait

Cette roue marche depuis quinze ans.

584. Tourillons des arbres exposés a des chocs. La même formule servira pour les tourillons des arbres exposés à des chocs, tels que ceux des marteaux, des pilons, des bocards, etc.

585. Tourillons des arbres bien graissés. Pour les autres arbres de communications de mouvement, qui sontbien graissés et s’usent moins que ceux des roues hydrauliques, on prendra les formules du n° 582, qui deviennent, en y faisant e= d, pour

la fonte

le fer forgé

éP—

dî

Exemple. Quel doit être le diamètre d’un tourillon en fer, bien graissé, qui doit supporter une pression de 800 kilogr. ?

d’où

586. Essieux des voitures. La nécessité de diminuer autant que possible le travail consommé par le frottement des essieux des voitures a conduit à adopter, pour ce cas, la formule suivante, qui donne des dimensions plus faibles que les précédentes:

Essieux en fer,

Cette formule revient à prendre R = 7l30124kil.

On observera d’ailleurs que l’on emploie pour les essieux des fers de première qualité.

Le tableau suivant des dimensions adoptées par les meilleurs constructeurs de voitures en Angleterre montre que cette for-

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

mule reproduit, aussi exactement que possible, les dimensions déduites d’une longue expérience.

Nombre

Charge

Perlée

Diamètre

gros bout calculé par la formule.

Espaces de voitures.

roues.

chaque

essieu.

des

essieux.

au gros bout.

au petit bout.

Tilburv

kil.

cent.

c?nt.

Cabriolets

Britzchka

Char-à-bancs

Landau

Diligence.

Charrette

Wagon

Charrelto de roulage.

La charge totale des diligences des Messageries générales de France dépasse rarement 5C00 kil. Elle se compose du poids de la voiture, égal à 2000 kil. environ, sans ses roues; de 18 voyageurs, pesant moyennement 1200 kilogrammes; de marchandises, formant le complément, et pesant 1800 kilogrammes. Les deux premières porlions sont réparties à peu près symétriquement sur les quatre essieux, et les essieux de derrière portent environ les £ de la 3'. On a donc pour

chacun des essieux de derrière P = l475til

chacun des essieux de devant P = 1025™

La longueur commune de ces essieux est c = 0"’.277.

La formule ci-dessus donne pour les essieux de derrière

et pour les essieux de devant]

Dans les ateliers de construction de ces messageries, on donne

FORMULES PRATIQUES

respectivement à ces essieux, fabriqués avec beaucoup de soin, des diamètres égaux à 0m.068 et 0“.063 ; ce qui revient à prendre moyennement

Ainsi la règle ci-dessus donne des dimensions plus fortes qu’il n’est nécessaire.

387. Soudes d’égale résistance encastrés par i/une de leurs extrémités. Pour diminuer le poids des pièces de support chargées à leur extrémité, on peut leur donner, dans le sens de leur longueur, la forme d’un solide parabolique qui ait la môme résistance en un point quelconque de sa longueur.

Le profil longitudinal du corps est alors ordinairement une demi-parabole dont l’axe forme la partie supérieure ou inférieure du corps, ou une parabole entière.

La hauteur et la largeur du solide à la partie encastrée sont encore données par les formules des nc* 40d et suivants; et, quand on connaît ces dimensions, dont l’une des deux est arbitraire, on détermine le profil du solide ou la parabole par l’équation

y = ~cx'

dans laquelle

x représente les abscisses de la courbe du solide comptées à partir du point où agit la charge, y les ordonnées correspondantes dans le sens perpendiculaire à sa longueur.

Cette équation revient à la règle suivante 1 Pour déterminer la cmrbure parabolique que doit avoir un solide d'égale résistance,

Calculez d'abord, par les règles des n°‘ 40 o et suivants, la hauteur du solide à la partie encastrée si sa largeur est donnée, ou sa largeur si sa hauteur est donnée;

Cela fait, portez sur sa longueur, à partir de l'extrémité extérieure, des distances ou abscisses égales ; à l’ extrémité de chacune de ces abscisses élevez à la longueur du corps des perpendiculaires égales à la racine carrée de la quatrième proportionnelle à la lon- Aide-Mémoire. 23

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

gueur du solide, à l’abscisse correspondante et au carré de la hauteur au point d’encastrement.

Si le solide a la forme d’une demi-parabole, les ordonnées y se mesurent depuis l’axe de celle parabole ou des abscisses jusqu’à la courbe (fig. 54 et 55).

Kig. 54.

Fig. 55. Fig. 56.

S’il a la forme d’une parabole entière, ces ordonnées se mesurent d’une branche à l’autre de la courbe (fig. 56).

Celte forme convient particulièrement aux consoles ou corbeaux, chargés à leur extrémité ou destinés à supporter des arbres de transmission, etc.

388. Solides encastrés par l’une de leurs extrémités et ren- Fig. 57. forcés par des nervures. Lorsque le solide en- 1 üb castré par l’une de ses extrémités a la forme de la figure 57, la formule qui lie entre elles les m dimensions et l’effort supporté est pour les pièces en fonte.

as3 — (a — a')(z — bf +a'(b' + 6 — z?

Pc = 2500 000 X h + iy^rv »

dans laquelle

1 aè*-f a!b'i+2a'bb' z~2 ab + a'b'

Lorsqu’on adopte les proportions suivantes a' =b—{a et b' = a,

on a

La formule à employer pour calculer la valeur de a est

FORMULES PRATIQUES

Lorsqu’on adopte les proportions

a' — b = la et b'=%a, ü = ou environ £a,

La formule à employer pour calculer la valeur de a est

, Pc

Exemple. Quelle doit être la largeur d’une pièce en fonte destinée à supporter à son extrémité un poids de 600 kilogrammes, à la distance de 0n\80 du point d’encastrement, et pour laquelle on se donne a priori

a'—b=^a et b' — a.

La formule donne

d’où

, 600lilXOm.80 ~ 500000

a = 6’ = 0ni.099, t— a'=0“.0198 soit 0m.020.

389. Forme des consoles, corbeaüx db support, etc. Ce profil, qui convient particulièrement aux consoles, corbeaux, elc., se combine souvent dans le sens longitudinal avec la forme parabolique, dont la courbure se déterminera par la règle dun°387.

On calculera alors les dimensions du profil à la partie encastrée, en laissant à la face supérieure la même épaisseur et la même largeur sur toute la longueur, et l’on donnera à la nervure un profil parabolique dans le sens de la longueur.

La forme de ce profil sera déterminée par la relation

du n°387.

Exemple. Quelles doivent être les dimensions et le profil longitudinal d’une console en fonte dans les proportions de l’exemple du n° 588, et qui doit supporter à son extrémité un poids de 800 kilogrammes, à la distance de lm de la partie encastrée ?

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

On a d’abord, par la règle du n° 586,

d’où

800lil X 1 500000

Puis l’équation

de la courbe du profil longitudinal de la nervure donne successivement

Aux distances de l’extrémité égales à..

Les hauteurs

390. Autre forme en usage. Si le solide présente la forme de la fig. 58, on aura la relation

Pc al3 — 2a' b'3

Si, par exemple, on établit a priori les relations o' = ^a, b’=2a, b = 2.5a, la formule devient

Exemple. Quel est l’effort que peut supporter le balancier de la machine à vapeur des forges de Decazeville, de la force de 100 chevaux?

Le constructeur, M. Hallette, a fait

a=0ra.24, 5=lm.25, a'=0”.0876, 5'=lm.134, e=4m.40.

On trouve

P = ° 24X(1 X (1 ■ 134)» x 1250 Qoo 48662kil.

Le diamètre du cylindre=0m.850 ; la pression dans la chaudière est au plus de 4 atmosphères en sus de celle de l’air ; la machine

Fig. 58.

FORMULES PRATIQUES

est à haute pression. Le double de la pression supportée par le pislon (voir l’observation du n” 393) est donc

2 X4X 10330 X 470l4kil.

391. Balanciers. Ce profil est celui que l’on donne aux balanciers des machines à vapeur, des machines soufflantes, des pompes, etc. Mais, dans ce cas, la hauteur totale au milieu est ordinairement égale à 12 fois l’épaisseur du corps du balancier.

Les nervures de dessus et du dessous ont une largeur égale à | de la hauteur au milieu, ou à trois fois l’épaisseur, et une épaisseur égale à celle du balancier.

On a alors

a=\b, a' — ^b, b' — \b, et la formule ci-dessus devient pour les balanciers

Fig. 59.

c£îa J

en fonte

en bois

392. Autre proportion en usage pour les balanciers des machines a vapeur. On donne souvent aux balanciers une hauteur égale à 16 fois l’épaisseur du corps, et alors on a, à très-peu près, les proportions suivantes :

La formule devient alors, pour les balanciers en fonte,

393. Observation. Dans l’application des formules précédentes aux balanciers des machines à vapeur, il paraît que les constructeurs anglais sont dans l’ usage” d’estimer l’effort P supporté par l’extrémité du balancier au double de celui qui correspond à la pression habituelle de la chaudière, ce qui revient à prendre

* Traite' des machines à vapeur, par Trcdgold, page 400.

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Quoique la forme du profil longitudinal doive être parabolique et déterminée par la règle du n° 587, on est dans l’usage

de donner aux extrémités une hauteur égale au tiers de celle du milieu; et on l'ait passer pqj' les points ainsi détermines des arcs de cercle, ou la courbe d’une règle flexible , qui limitent le contour supérieur et inférieur du balancier.

Enfin pour compenser l’affaiblissement produit par le percement des trous de boulons pour l’assemblage du parallélogramme et des différentes tiges, on dispose au milieu, et suivant l’axe longitudinal de figure, une nervure de même épaisseur que les précédentes, et qui règne des deux côtés.

Exemple. Quelles doivent être les dimensions du balancier d’une machine à vapeur à basse pression dont le cylindre a un diamètre égal à 0m.90, la course du piston étant de 1IU.82?

La longueur totale du balancier est (n° 297)

on a donc

L’effort supporté parle piston, en admettant que la vapeur ait une pression de 1.25 atmosphère, doit, d’après l’observation précédente, être estimé à

La formule ci-dessus donne

d’où

Cet exemple est relatif à la machine à v apeur de la filature de Logelbach, construite par MM. Watt et Boulton. Ces ingénieurs ont donné au balancier une hauteur égale à 0m.750.

FORMULES PRATIQUES

94. Cas ou lr profil est renforcé par deux nervures. Lorsque le profil a la forme indiquée (fig. 61), la formule à employer Fig. 6i. pour les pièces en fonle est a

Pc a53 + 2a'6'3 1 2500U0 b *

Dans le cas particulier ou l’on fait

2a'-\-a — b et b' — a'.

la formule devient

Pc a 6’ 4- ba3 — a‘

et si de plus on se donne

la formule se réduit à

Si l’on fait la formule devient

a=\b = b'=za' ,

Si l’on avait négligé tout à fait l’influence de la nervure, on aurait eu

ce qui montre que dans ce cas les nervures augmentent peu la résistance de la pièce dans le sens de la dimension b.

Mais les pièces de cette forme sont habituellement employées comme supports horizontaux, mobiles autour de leur axe de figure; ou comme supports verticaux, et destinées alors à résister dans tous les sens, et Tusagc des nervures leur donne une grande rigidité dans le sens des diagonales.

«'•Xy

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

395. Bras en fonte des roues hydrauliques. Pour les bras des roues hydrauliques la forme ci-contre (fig. 62) est assez conve- Fig. 62. nable; mais alors l’effort exercé par l’eau à la circonférence de la roue étant dirigé dans le sens de l'épaisseur b, et les nervures étant toujours minces, leur effet se borne à peu près à empêcher le bras de fléchir , de fouetter dans le sens perpendiculaire à l’effort P, et l’on calculera les dimensions du bras par la formule

oé* =

dans laquelle il conviendra défaire a=%b et qui deviendra alors

js —

Si l’on fait a—$, on emploiera la formule

Ces formules reviennent à la règle suivante :

Multipliez l’effort auquel chaque bras doit résister par la longueur totale de ce bras, à partir de l’embrasure ou du moyeu ; Divisez le produit par

250000 sia — {b,

208000 si a = £ b,

La racine cubique du quotient sera l’épaisseur du bras dans le sens de l'effort qu'il doit supporter.

596. Exemple. Roue de la cristallerie de Baccarat. La force de la roue est au maximum (expériences déjà citées sur les roues hydrauliques, page 127) de 20 chevaux, à la vitesse ordinaire de lm.50 à la circonférence extérieure de la roue en une

seconde.

Le rayon extérieur de la roue est 2”‘.48

La longueur des bras est de 2m.03

11 y a quatre systèmes de bras.

FORMULES PRATIQUES

On a donc

= 305kil;

et comme a = [6,ona

Le constructeur a fait

5 = Om.ll4.

Cette roue marche depuis plus de vingt ans.

397. Proportions de la nervure pour les bras des roues hydrauliques. Quant à la nervure, si elle règne de part et d’autre du bras, on fera

a' = 1.5a et b' = 0.66a.

Si elle n’existe que d’un côté, ce qui convient dans certains cas pour les roues à aubes courbes et les roues à augets à joues en tôle ou en fonte, afin de faciliter leur circulation dans le coursier, on fera

b' = 0.66a et a' = 3a ou 4 a.

Pour les roues hydrauliques d’une grapde largeur, et dont les aubes ou augets, en fléchissant, pourraient tendre à rapprocher les joues ou les extrémités des bras, il conviendra d’augmenter l’épaisseur et la saillie de la nervure.

398. Observation. Les bras des roues hydrauliques et des roues d’engrenage étant également sollicités à rompre par les deux bouts, il convient de leur donner la même épaisseur b dans le sens de la résistance sur toute leur longueur.

Quant à la largeur a, elle reste aussi la même dans toute l’étendue du bras.

399. Règles pour déterminer l’effort que chaque bras d’une roue hydraulique doit être en état de supporter. L’effort P exercé à l’extrémité du bras est toujours facile à déterminer quand on connaît la quantité de travail transmise à la circonférence de la roue (voy. n° 148). Mais on observera que, s’il

RÉSISTANCE DES MATÉRIACX.

y a plusieurs systèmes de bras pour soutenir la roue, l’effort exercé par l’eau se répartit entre eux à peu près également. On divisera donc l’effort exercé par l’èau à la circonférence de la roue par te nombre de systèmes de bras qu’elle porte, et le quotient donnera la valeur de l’effort P que chaque bras, considéré isolément, doit être en état de supporter. Cette valeur est un peu trop grande, et conduit , surtout pour les roues en bois, h des dimensions plus que suffisantes. Mais l’humidité altérant le bois , il est prudent de tenir les bras des roues hydrauliques plus forts, à proportion, que d'autres pièces.

400. Bras des rodes d’engrenage. Pour les bras des roues d’engrenage en fonte on suivra encore la formule

ab 1 =

en négligeant l’effet de la nervure, qui est alors très-mince, et qui n’a guère pour objet que d’empêcher le bras de fléchir perpendiculairement au plan de la roue.

On fera alors 6 = 5.5a, et l’on emploiera, pour déterminer b, la formule

Cetfe dimension sera celle du bras près du moyeu et sur toute sa longueur.

Quant à la nervure, si on la répartit également des deux côtés du bras, près de l’anneau qui porte les dents, elle effleurera cet anneau de part et d’autre, et l’on fera a’=0.5a.

Si la nervure règne d’un seul côté du bras, ce qui se fait toujours pour les roues d’angle , elle affleurera encore le bord de l’anneau, et on fera a' = 0.5a.

Cette nervure aura, dans tous les cas, près du moyeu ou de l’axe, une largeur plus grande qu’auprès de l’anneau.

401. Exemple. — Rode d’engrenage de la filature de Gueb^willbr. Sur le premier arbre de couche conduisant toute la filature la force maximum de la roue hydraulique est de 49.4 chevaux, à la vitesse de 1B\54 à la circonférence extérieure. Le

FORMULES PRATIQUES

rayon du pignon intérieur est égal à 0“\89, celui de la roue d’engrenage est de 2m.63 : on a donc pour cette roue

d’où

5 = 0“'. 2 10 et a =0ro.038.

Le constructeur anglais a fait

6 = 0m.21 et o = 0m.047.

Cette roue a marché dix à douze ans.

402. Dents d’engrenage. Si l’on appelle a la largeur des dents parallèlement à l’axe de la roue, b leur épaisseur mesurée sur la circonférence du cercle primitif,

s la saillie sur l’anneau,

toutes ces dimensions étant exprimées en centimètres, on établira en général, pour les dents habituellement graissées et dont le cercle primitif n’aura pas une vitesse de plus de lm.50

par seconde, la relation a = 45

Si la vitesse à la circonférence du cercle primitif

dépasse lm.50 en 1", on fera a= 55

Si l’engrenage est exposé à être habituellement

mouillé d’eau, on fera a= 66

La saillie des dents sur l’anneau ne devra jamais

dépasser la limite 5=1.56

Ces relations établies, on calculera l’épaisseur des dents à la circonférence primitive par les formules suivantes : pour

La fonte ô=0.105v/P

Le bronze et le cuivre 6=0.131^P

Le bois dur, tel que charme, racine de poirier, de sorbier, etc ' 6=0,145/P

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Le creux entre les dents sera, pour les roues qui sont retaillées et très-bien exécutées, égal à

et pour les roues qui ne sont pas retaillées (1 + À)fr = 1-106-

403. Anneau et bras des roues d’engrenage. Pour les roues à dents en fonte l’épaisseur de l’anneau avec lequel elles font corps devra être les § de l’épaisseur des dents à la circonférence primitive, et il conviendra alors de renforcer cet anneau à l’intérieur par une nervure, placée au milieu , dont l’épaisseur et la saillie seront égales à celle de l’anneau.

Pour les roues à dents de bois , la largeur de l’anneau où elles sont encastrées doit être égale à celle des dents, augmentée de part et d’autre de la dent d’une quantité égale aux § de son épaisseur à la circonférence primitive.

L’épaisseur de cet anneau dans le sens du rayon doit être égale à celle des dents à la circonférence primitive.

La queue des dents, ou la partie qui s’engage dans l’anneau, a de part et d’autre deux à trois millimètres de moins dans le sens de la circonférence, et quatre ou cinq de moins dans le sens de l’axe, de sorte que la dent, chassée avec force, s’appuie contre la surface extérieure de l’anneau par des épaulements. *

La partie de la queue formant saillie de 20 à 25 millimètres à l’intérieur de Panneau est taillée à queue d’aronde. Entre deux dents l’on insère des coins de même forme qui les calent fortement, et des vis h bois placées de deux en deux joints empêchent ces coins de tomber, si les bois se dessèchent.

Quant au nombre de bras, on donne ordinairement

Aux roues de lm.30 et au-dessous 4 bras,

Aux roues de lra.30 à 2m.50." 6 bras,

Aux roues de 2m.50 à 5m.00 8 bras,

Aux roues de 5m.00 à 7m.00 10 bras.

Pour les roues de grand diamètre très-légères supportant de faibles efforts, il convient d’augmenter le nombre des bras, afin que l’anneau conserve sa forme en se refroidissant.

FORMULES PRATIQUES

404. Observation générale relative aux limites inférieures des épaisseurs a adopter. Dans l’application des règles des n°! 402 à 403 inclusivement on remarquera que, pour les roues qui ne transmettent que de faillies efforts, et qui ont en môme temps d’assez grandes dimensions, on serait conduit à des épaisseurs de métal qui seraient certainement capables de résister aux efforts que les bras auraient à supporter, mais qui seraient peut-être trop minces pour la coulée. Les limites inférieures des épaisseurs que l’on pourrait adopter en pareil cas dépendent de la nature de la fonte employée, et dès lors les dimensions à donner ne peuvent plus être déterminées par la considération des efforts à supporter.

403. Engrenages exposés a des vibrations. Lorsque les engrenages doivent conduire des machines dans la marche desquelles il se produit des chocs, les règles ordinaires ne peuvent plus être employées, et il faut se régler sur les dimensions indiquées par l’usage. Cette observation s’applique aux marteaux à engrenages , aux pilons , aux bocards, etc. On diminuera d’ailleurs beaucoup la fatigue des engrenages en employant des volants convenablement proportionnés.