Modification relative au cas ou les pignons sont

GRANDS ET LES EFFORTS A TRANSMETTRE TRÈS-FAIBLES. Au Contraire, si les rayons des roues sont grands et les etTorts à transmettre assez faibles, il pourrait arriver que les dents tracées par la méthode du n“ 555 fussent un peu courtes. Dans ce cas, au lieu de se borner à faire agir une dent pendant un intervalle égal à une fois le pas avant la ligne des centres et autant après cette ligne, on pourra prendre les arcs ab et ae égaux à une fois et demie ou deux fuis le pas, et faire le reste du tracé comme il est indiqué aux n“’ 553 et suivants.

540. Limite de la saillie des dents. Dans tous les cas, il ne convient pas que la saillie des dents sur l’anneau qui les porte excède 1,5 fois leur épaisseur mesurée sur le cercle primitif.

541. Engrenage intérieur d’une roue et d’un pignon. Lorsque la roue conductrice mène un pignon placé dans son intérieur, la courbe des dents de la roue et le flanc de celles du pignon doivent encore être tracés par la méthode du n» 355; mais ce tracé ne pourrait plus s’appliquer au flanc des dents de la roue et à la courbe de celle du pignon.

Celte courbe devrait alors être formée par une épicycloïde éngendréc par un point du cercle primitif de la roue roulant extérieurement sur le cercle primitif du pignon ; on la remplacera par un arc de cercle décrit de la naissance d’une dent avec

un rayon égal à la corde de l’arc qui mesure le pas sur le cercle primitif du pignon.

Quant au flanc de la dent de la roue, il se réduirait dans le tracé actuel au point de la circonférence primitive qui aurait décrit l’épicycloïde de la dent du pignon. Gela montre qu’alors la dent de la roue agirait avant la ligne des centres toujours par le même point, et sc creuserait d’autant plus promptement que ce genre d’engrenage est ordinairement employé pour transmettre le mouvement des roues hydrauliques, et qu’alors la roue et le pignon sont sans cesse mouillés et exposés à un frottement considérable .

Dans les cas ordinaires, où l’on aura eu l’attention de ne pas rig. «. faire le pignon trop petit et où il

f n’aura pas à supporter des efforts

/i 'x trop grands, il sera possible et pré- / / i ’\ férable de supprimer tout à fait l’en-

grenage avant la ligne des centres, et alors on opérera ainsi qu’il suit : oc' étant la ligne des centres (fig. 52), a le point de contact des cercles primitifs, prenez, pour les cas ordinaires, sur ces cercles un arc égala deux fois le pas; à l’extrémité de cet arc menez un rayon, qui rencontre le cercle dont le diamètre est égal à c'a=R'.

Joignez ce point de rencontre eü’extrémité de l’arc pris sur le cercle de la roue ; sur le milieu de la ligne de jonction élevez une perpendiculaire, dont la rencontre avec le cercle primitif co sera le centre des arcs de cercle qui formeront la courbe de la roue.

Le flanc du pignon aura la direction des rayons du cercle c. Du centre de la roue décrivez, comme au n» 340, une circonférence qui limitera la longueur des dents de la roue, de manière qu’une dent ne cesse de pousser que quand la seconde qui la suit arrive à la ligne des centres.

La longueur utile du flanc du pignon est ainsi déterminée; mais il est nécessaire de le prolonger en dehors du cercle primitif c'a de 0'",003 à 0"’,005, en arrondissant les angles à partir de la circonférence primitive avec un rayon égal à la corde du pas sur le cercle primitif du pignon.

De môme il faut mener du centre de la roue des rayons tangents aux faces de la dent pour former des flancs, qui ne servent à peu près alors qu’à donner une profondeur convenable au creux.

Les dents de la roue et du pignon étant ainsi limitées vers l’extrémité, donnez au creux une profondeur telle, qu’il y ait entre ces dents et le fond de ce creux 0”,008 à 0‘",010 de jeu au plus pour les grands engrenages, et seulement O^.OOk à 0“,005 pour les petits.

542. Modification pour le cas des petits pignons soumis a DE GRANDS EFFORTS. Si le piguon Ôtait trop petit, il pourrait arriver que les dents ainsi construites, pour qu’il y en ait toujours deux en contact à la fois , fussent trop minces à l’extrémité. Dans ce cas, recommencez le tracé en prenant des arcs égaux à 1,5, ou, s’il le faut, à une fois le pas. Ce cas se présentera rarement.

Les engrenages intérieurs ainsi tracés ne conviennent qu’au cas où la roue conduit le pignon.

345. Engrenage d’un pignon et d’une CRÉMAHiiRE. Pour tracer les dents d’un pignon qui doit conduire une crémaillère, il faut d’abord déterminer la hauteur dont la crémaillère doit s’élever pour un tour de pignon.

Alors appelant

h cette hauteur,

r le rayon du cercle primitif du pignon, on aura

Connaissant la résistance que la crémaillère oppose au pignon, on calculera l’épaisseur b de la dent du pignon, d’où l’on conclura le pas; puis le nombre m des dents du pignon sera réglé par la formule

27rr

On prendra pour m le nombre entier inférieur le plus voisin, et on déduira de la relation ci-dessus une valeur du pas a un Fig. 53. peu plus grande que la première que l’on avait trouvée, ce qui n'a pas d’inconvénients.

Gela fait, on enroulera un fil sur la circonférence du cercle primitif, et, avec une pointe ou un style placé à son extrémité, en déroutant ce fil on tracera la développante du cercle, qui sera ta courbe des deux faces de dent du pignon.

Deux rayons tangents aux naissances de ces courbes à la circonférence primitive forme- ^ J ront le liane des dents ; et, pour limiter la longueur utile de la courbe, de façon que le contact cesse à une distance donnée, que l’on essayera d’abord de rendre égale au pas, on portera sur la ligne des contacts une longueur ah égale à ce pas, et du centre c, avec ch pour rayon, on tracera une circonférence qui déterminera la longueur des dents du pignon.

Quant aux dents de la crémaillère, on les tracera avec une exactitude suffisante pour la pratique en décrivant, de la naissance d’uiie des dents comme centre, avec le pas comme rayon, un arc de cercle, qu’on limitera en d, à sa rencontre avec le cercle dont le diamètre est égal au rayon du pignon. Ges dents auront leurs lianes perpendiculaires à la direction du mouvement, et seront symétriques ainsi que celles du pignon.

La profondeur du creux et la saillie totale se régleront comme il a été dit aux n°* 550 et suivants.

11 arrive souvent pour cet engrenage que, d’après la dimension trouvée pour le pas, il ne serait pas possible de faire conduire avant et après le point de contact du cercle primitif et de la ligne da, à une distance égaie au pas, sans que les dents ne devinssent trop minces au bout. On restreindra alors l’amplitude du contact et l’on déterminera le rayon des courbes des dents de la crémaillère comme il a été dit au n" 558, pour les engrenages ordinaires.

544. Cames des pilons. Les cames des pilons se traceront de AIDE-MÉMOIRE. ’ 20

la môme manière que les dents du pignon qui conduit une crémaillère ; mais comme il n’y en a qu’un petit nombre dans la circonlérence , on peut se donner la condition que chacune d’elles agisse pendant une partie donnée de cette circonférence, et faire en sorte que le pilon ait le temps de retomber avant qu’une autre came soit arrivée pour le relever

Appelant

h la levée du pilon, ordinairement donnée d’avance,

«1 le nombre de cames qui agissent sur un même pilon dans une révolution de l’arbre,

fl le nombre de révolutions de l'arbre en 1',

f = — la durée d’une révolution, n

rie rayon du cercle primitif à développer, l’intervalle d’une levée à une autre serait

fil mn

Mais, attendu que les résistances passives peuvent un peu retarder la descente, on augmentera ce temps d’un sixième, pour ne pas être exposé à voir les menlonnets choquer les cames en descendant.

Faisant alors

eu calculera le rayon r par la formule

Cette formule revient à la règle suivante ;

Divisez lo durée d'une révolution de l'arbre à cames par le nombre de rames qui agissent sur un même pilon ; prenez les 5 de t e

Fig. Si.

temps, et rctranchiz-cn la racine carrée du double de la levée, divisée par 9,81; multipliez le reste par 0,28 fois le nombre de révolutions de l'arbre à cames en 1' :

Par le produit divisez la levée multipliée par 60 ;

Le quotient sera le pluspctit rayon que l’on puisse prendre pour le cercle à développer.

H n’y aura aucun inconvénient à le prendre plus grand.

E.xemple. Uuelle est la limite inférieure du rayon du cercle à développer pour former les cames d'un mooliu à pilons, dans le cas des données suivantes ;

A = 0"«,<i0, m=i, n=:26, t = — (^-j = 0, On trouve

Le rayon que l’on adopte ordinairement est environ le double de cette limite inférieure.

On tracera le cercle du rayon r ainsi déterminé, et on limitera la longueur de la courbe, comme il a été dit au numéro précédent, en portant sur la tangente une longueur égale à la levée, et en décrivant du centre de l’arbre à cames le cercle qui passerait par le point ainsi déterminé.

Le reste du tracé ne présente pas de difticullés.

54u. Cames en épicvloïdes destinées a transmettre un mouvement CIRCULAIRE ALTERNATIF- Pouf construire les cames qui sont employées à soulever les marteaux des foulons , les marteaux frontaux, etc., on déterminera d’abord par l’amplitude du mouvement qu’on doit imprimer à ces outils la longûcur de l’arc qui correspond à la durée du contact.

On se donnera pour le cercle à cames un rayon convenable d’après les proportions en usage, el suffisant pour que l’oulil,

en redescendant, ne rencontre pas la came avant d’ôlre parvenu à sa position inférieure et d’avoir terminé son action.

Tracez le cercle primitif ca de la came, le cercle du rayon c'a et le cercle dont le diamètre est ca'.

Partagez ce dernier cercle et le cercle ca en parties égales, à partir de a, aux points 1, 2, 3, 4, 5.

Des points 1, 2, 3, 4, 5, de division du cercle ca, avec des rayons égaux aux cordes la, 2a, 3a, etc., du cercle de diamètre c'a, décrivez des arcs de cercle qui, par leurs intersections successives, formeront la courbe de l’épicycloide de la came.

De a en b sur le cercle de diamètre c'a portez un arc égal à celui pendant lequel la came doit conduire le manche. Du point c comme centre, avec un rayon égal à cfc, décrivez une circonférence, qui limitera la longueur utile des cames.

Pour la facilité du dégagement du manche, on donne à ces cames un flanc en ligne droite, dirigé suivant le rayon, et on en détermine la longueur d’après les dimensions du manche et le jeu nécessaire.

Ces cames n’étant pas exposées à être contremenées comme les engrenages ordinaires, il n’est pas nécessaire de leur donner

Fig. 56.

des deux côtés une courbure symétrique, quoique cela se pratique ordinairement.

5^6. Engrenages coniques. L’angle formé par les deux axes de rotation étant donné, élevez en un point quelconque de scs deux côtés CM et C.\ des perpendiculaires qui soient entre elles dans le rapport inverse des vitesses angulaires ou des nombres de tours. Par les extrémités P el Q de ces perpendiculaires menez deux parallèles PA et QA

aux lignes CM el CN. La ligne CA partagera l’angle MCN en deux parties telles, que les cônes qui auraient pour génératrice celle ligne, tournant respectivement autour de CM etCN, rouleraient l’un sur l’aiitro en se transmettant des vitesses angulaires dans le rapport donné.

Ces cônes se nomment les cônes primitifs.

Si l’on appelle

R le rayon de la roue conductrice,

R' le rayon du pignon,

n le rapport des vitesses angulaires ou des nombres de tours,

on aura

R = uR',

et si l’on se donne l’un des rayons, l’autre sera déterminé.

On calculera, par les formules de la Résistance des Matériaux, l’épaisseur et la largeur des dents, et l’on en conclura le pas a.

Divisant ensuite la circonférence 27rR par le pas a, on aura le nombre m de dents de la roue; et, comme il sera généralement fractionnaire, on prendra pour m le nombre entier inférieur le plus voisin divisible à la fois par le nombre des bras de la roue et par le rapport n des vitesses, ce qui conduira à une nouvelle

valeur du pas égale à

2“:rR

ou au quotient de la circonférence

primitive par le nombre de dents adopté, et un peu supérieure à la précédente.

On aura ensuite le nombre de dents du pignon m'= ^ en

divisant celui des dents de la roue par le nombre de tours que le pignon doit faire par tour de roue.

La largeur des dents se porte de A en a sur la ligne CA, el l’on abaisse de a des perpendiculaires àb et ad, qui sont les rayons de deux nouveaux cercles.

C’est entre les cercles AB cl àb, AD et ad, qu’est comprise la denture.

Au point A on élève, sur la ligne CA, une perpendiculaire, dont les rencontres E el F avec les axes CB et CD donnent le sommet de deux nouvelles surfaces coniques perpendiculaires

aux précédentes, et qui forment les surfaces de tête de l’eiH grenage.

Gela fait, on développe les cônes dont les sommets sont en E Fig. 57. et F, et qui ont pour arêtes AE cl AP.

Les cercles AB et .AÜ, qui leur servent de bases, se touchent en A dans le développement, et on les regarde comme les cercles primitifs d’un engrenage plan, que l’on trace comme il est dit au 11“ 355.

On fait le tracé d’un certain nombre de dents sur une feuille flexible de tôle mince, que l’on découpe suivant le profil déterminé, et on la présente ensuite comme un gabarit sur la surface de tête de la roue correspondante, sur laquelle on trace rengrenage à la pointe.

On répète les mêmes opérations pour les surfaces coniques perpendiculaires en a aux cônes primitifs, et qui forment les surfaces de tête intérieures.

Les deux tracés ainsi reportés sur ces surfaces de tête étant repérés convenablement, les profils des dents sur l’un et sur l’autre se correspondront exactement; et, en traçant des lignes droites de l’un à l’autre des points homologues, on exécutera tonte la surface des dents.

Fig. 5».

547. Engrenages a développantes DE CERCLE. Lorsqu’uiic roue doit conduire plusieurs pignons de diamètres difïércnls, l’engrenage à épicycloïdes et le tracé pratique qu’on lui substitue (n“ 533) ne satisfont plus pour tous ces pignons à la condition de Iransinetlre la vitesse dans un rapport constant. Il convient, dans ce cas, d’employer l’engrenage dont les dents ont la forme de développantes, et l’on procédera ainsi qu’il suit :

On déterminera les rayons des cercles primitifs, l’épaisseur

UES PRINCIPALES COMMUNlCATiUNS DU MOUVEMENT. 311

Cl la largeur des dents, ainsi que k pas, comme il a été dit anx n°' 332 et suivants.

Cela foit, si l’on veut que les dents se conduiseni, avant et après la ligne des centres, d’une quantité égale au pas, on portera, à partir du point a, sur le cercle primitif du pignon, im arc ab égal an pas; on mènera le rayon c'b. Du point a on abaissera une perpendiculaire sur c'b, et du point c une parallèle ce à c'b. ün décrira des centres c et c' les circonférences qui auront pour tangente commune la ligne ae prolongée, et l’on enroulera sur ces circonférences nn fil dont l’extrémité soit fixée à un style; puis, en déroulant le fil, le style tracera successivement la déveloijpantc de ces deux circonférences. Les courbes ainsi obtenues seront celles des profils des dents.

Du centre c, avec un rayon égal ’i la distance de ce centre au pied de la perpendiculaire abaissée de a sur c’b, on décrira une circonférence de cercle qui limitera la longueur des dents de la roue.

La courbe de la dent du pignon, étant arrivée à une distance égale au pas, rencontrera la ligne ae en un point dont on prendra la distance au centre c' pour rayon d’une circonféjrcnec de cercle qui limitera les dents du pignon.

Pour la facilité du passage des dents dans les creux, il est nécessaire de donner aux dents des flancs formés par des rayons tangents à leur naissance, et dont la longueur mesurée en dedans des cercles développés ne doit pas excéder 0",004 à 0”,005 pour les petits engrenages, et û"‘,Oû8 à 0"“,010 pour les grands, ce qui détermine la profondeur des creux.

ôiU. Modification rf,lative au cas des pignons très-petits ET DES GRANDS EFFORTS. Si, pal' suilc dc lu graudc différence des rayons primitifs U et U' et de l’épaisseur à donner aux dents, la condition de faire agir les dents à une distance égale au pas avant et a|)l•é^ la ligne des centi es conduisait à avoir des dents trop minces au bout, on recoimueiicerait le tracé, en ne faisant agir les dents qu’à une distance égale aux trois quarts ou à la moitié du pas.

34y. Le tracé précédent s’applique aux roues d’angle, üe

tracé des engrenages à développantes de cercle peut être appliqué aux roues d'angle comme aux engrenages plans.

5tîO. Engrenage d’une vis sans fin conduisant un pignon. Pour tracer l’engrenage d’une vis sans fin conduisant un pignon, on déterminera d’abord l’épaisseur des dents et le pas d’après l’intensité des efforts à transmettre.

Le pas des filets de 1a vis à la circonférence primitive sera égal au pas de l’engrenage, et, comme alors il passera une dent du pignon à chaque tour de la vis , on pourra calculer le rayon du pignon de façon qu’il fasse un tour pour un nombre de tours donné de la vis.

Soit n ce nombre, on aura, pour déterminer le rayon du pignon , la formule

qui revient à la règle suivante :

Pour déterminer le rayon du cercle primitif d'un pignon qui doit être conduit par une vis sans fin,

Multipliez le pas par le nombre de tours que doit faire la vis par tour de pignon, et divisez le produit par 6,28 :

Le quotient sera le rayon cherché.

Le pas de la vis étant connu, on aura le diamètre du noyau , d’après les règles pratiques qui seront données au chapitre de la Résistance des Matériaux, par la formule

Quant à la ligne droite qui représenterait le cercle primitif de la vis , elle sera parallèle à l’axe de la vis et à une distance égale à 4^ r.

Cela fait, on tracera le profil des dents du pignon et celui des filets de la vis, comme pour un pignon conduisant une crémaillère (n» 545).

La vis sera ainsi entièrement déterminée.

Quant au pignon , il faut que ses dents soient inclinées sur son axe comme les filets sur celui de la vis. A cot effet, on

feia le tracé du profil des dents sur les deux faces de tête de rengrenage, on ploiera sur le cylindre qui contient les sommets des dents une ligne droite allant de rextromité d’une dent au point homologue de la dent précédente, dans le sens du mouvement; et, en opérant ainsi de proche en proche, à mesure que l’on creusera les dents du modèle on formera la surface gauche des dents du pignon.

DU FROTTEMENT

. 35i. On distingue deux genres de froltemenl, provenant, le premier, de la résistance qui se manifeste quand un corps glisse sur un autre, et le deuxième, de la résistance qu’un corps éprouve quand il roule sur un autre.

Dans le premier cas, la résistance prend le nom de frottement de glissement; dans le deuxième, celui de fromment de roulement.

De nombreuses expériences* faites sur tous les corps employés dans les machines et dans les constructions, sous des pressions comparables à celles qui ont lieu dans la pratique et avec tous les enduits en usage, ont prouvé que le frottement de glissement est

1" indépendant de la vitesse du mouvement,

2® indépendant de l’étendue de lu surface de contact,

3“ proportionnel à la pression, dans un rapport constant poulies mêmes corps dans le même état, et variable d’un corps à l’autre.

L’expérience a aussi appris que, quand les corps ont été quelque temps en contact, comme une vanne avec ses coulisses, le frqttcmcnl au moment où l’on veut les faire glisser l’un sur raulre est plus grand que quand ils sont déjà en mouvement. 11 faut donc distinguer ici deux cas : 1® celui où les corps ont été quelque temps en contact; 2® celui où les corps sont en mouvement les uns sur les autres.

Les valeurs du rapport du frottement à la pression, pour l’un et pour l’autre cas et pour tous les corps en usage dans les machines, sont consignés dans les tableaux suivants :

• Nouvelles expériences faites sur le frolleraent, faites à Metz en 1831 , 1832 , liS33, imprimées par ordre de l'Académie des sciences. — 1834, chez Mathias, libraire, à Paris.

DU FROTTEMENT