Des rouleaux de tension. Pour que la tension naturelle
des courroies reste constante, qu’elle atteigne et ne dépasse pas la valeur qu’on vient de calculer, il faut employer des rouleaux de tension.
On calculera le poids q de ces rouleaux irar la relation approximative
2Ti cos a
^ cos b ’
dans laquelle
a est la moitié de l’angle obtus formé par les deux brins de la courroie sur laquelle il pèse, angle que 1 on pourra se doniiei à priori.
b l’angle que fait la ligne AB avec l’borizontale (fig. 50).
Cette formule revient à la règle suivante ;
Pour calcukr, dans le cas de la fiqure 42, le poids d un rouleau de tension rapable de produire par sa' pression sur les dense Irrins (Tune courroie une tension naturelle donnée,
Multipiies la tension naturelle donnée par 2 /bis le cosinus de la moitié de l’atifjle obtus formé par les deux brins de la courroie, et
Fig 50.
DES PRINCIPALES COHITORICATIONS DD MODVEMENT. 295
divisez le produit par le cosinus de l'angle formé par la tangente commune aux deux tambours avec l’horizontale.
Dans la pose, on devra donner à la courroie une longueur telle, qu’au repos elle ne prenne que la flexion réglée, et la tension T aura alors à très-peu près la valeur qui lui aura été assignée.
On se réservera d’ailleurs, par les moyens connus, la faculté d’augmenter ou de diminuer à volonté l’action du poids du rouleau.
Nota. Si, pour certaines dispositions de tambours, le rouleau de tension ne devait pas agir verticalement, on pourra, par une combinaison convenable de leviers, diriger son action dans tel sens qu’il sera nécessaire, et alors on calculera l’effort qu’il devra exercer sur la couiToie, perpendiculairement à la ligne AB, par la règle ci-dessus, en y supposant l’angle b nul et son cosinus égal à l’unité.
Exemple. Dans l’exemple du numéro précédent, l’angle o étant de 85“, et l’inclinaison de la ligne AB de 10“, quel devra être le poids du rouleau?
La formule donne
Nous terminerons ce qui est relatif aux courroies en ajoutant qu’on peut, sans aucun risque et avec l’assurance qu’elles marcheront longtemps, leur faire supporter des tensions de 0'"',25 par millimètre carré de section, ce qui permettra de calctüer leur largeur quand on connaîtra l’épaisseur du cuir que l’on doit employer.
Enfin les poulies sur lesquelles passent les courroies en cuir doivent avoir une convexité égale à environ de leur largeur.
Des engreuages.
529. Règles pour déterminer les bayons des boues. Les engrenages étant destinés à transmettre le mouvement de rotation
296 DES PRINCIPALES COMMUNICATIONS DU MOUVEMENT, d’un axe à un autre dans un rapport constant, qu’on sc donne à priori, on déterminera d’abord deux cercles dont les rayons seraient entre eux dans le rapport inverse des nombres de tours que doit faire chaque roue.
Appelant
Il le rayon de l’un des cercles,
R' le rayon de l’autre cercle,
H le nombre de tours que le cercle de rayon R' doit faire pour un tour du cercle de rayon R, on aura
R = nR'.
Cette formule revient à la règle suivante :
Le rayon du pignon est au rayon de la roue comme Vunité est au nombre de tours que le pignon doit faire par tour de roue.
Si l’on se donne l’un des rayons, l’autre sera ainsi déterminé. Si la distance des centres des deux roues est donnée, en lu nommant d, on aura
et l’on calculera les rayons par les formules
nd
qui reviennent à la règle suivante :
Le rayon de la roue est égal au produit de la distance des centres par le rapport du nojnbre de tours que le pignon doit faire par tour de roue au même nombre augmenté de T unité.
Le rayon du pignon est égal à la distance des centres divisée par le nombre de tours du pignon par tour de roue augmenté de l unité.
530. DÉnNiTioNS. Ces cercles ainsi déterminés se nomment cercles primitifs ou proportionnels. Ils servent de base au tracé.
Vépaisseur des dents se mesure sur la circonférence de ces cercles.
L’intervalle d’une dent à l’autre s’appelle le creux.
La largeur des dents est leur dimension dans le sens de Taxe de rotation.
La partie des dents qui est en dehors des cercles primitifs sc nomme la face, celle qui est en dedans se nomme le flanc,
La somme de Tépaisseur et du creux, ou la distance de deux dents consécutives, mesurée de milieu en milieu, forme ce qu’on nomme le pas de l’engrenage^
331. Manière de calculer l’effort qu’une dent doit supporter. En divisant la quantité de travail qu’une roue doit transmettre par la vitesse de la circonférence de son cercle primitif, on aura l’effort que les dents doivent supporter.
Ce calcul devra être fait pour le cas où la quantité de travail transmise par la roue sera un maximum, ou quand l’usine marchera sous sa plus grande charge.
Connaissant l’effort P que doit supporter une dent d’engrenage, on déterminera l’épaisseur b à donner aux dents, mesurée sur la circonférence primitive, par les formules données au chapitre de la Résistance des Matériaux.
Leur largeur parallèle à l’axe sera aussi déterminée par les mêmes règles.
Le creux devra être égal à l’épaisseur, augmentée de 7^ à ^*5, selon le degré de perfection apporté à Texécution.
Le pas de l’engrenage sera, en l’appelant a, si les dents sont de même matière,
a=2,16 ou a = 2,0676,
selon la perfection d’exécution ; ou, si elles sont de matières différentes,
a==6-f-l,16' ou o = 6 + r,0676',
b étant alors l'épaisseur de la dent de la roue, et è' celle de la dent du piguon.
Nota. Dans les ateliers de construction, pour la facilité et l’économie d’exécution, on est quelquefois dans l’usage de calculer seulement les dimensions des dents en hois, et de faire les dents en fonte de même épaisseur.
298 DES PRINCTFALES COHMÜMCATIOKS DD MOUVEMENT.
539. Règles pour déterminer le nombre de dents des ROUES. Si l’on nomme
m le nombre de dents de la roue dont le cercle primitif a le rayon R,
m' le nombre de dents de la roue dont le cercle primitif a le rayon R',
on déterminera ce nombre de dents par les formules
2ttR 6,28R , m
m — =■— , et m=— .
Mais il arrivera presque toujours que ces nombres seront composés d'un nombre entier et d'une fraction; et comme d'ailleurs il convient, pour la symétrie et la facilité des assemblages, que le nombre de dents de la roue soit exactement divisible par le nombre de ses bras quand elle doit être de plusieurs pièces, on devra prendre pour le nombre m le nombre entier inférieur à celui qu'on a trouvé, et qui sera à la fois divisible par le nombre de bras de la roue et par le rapport n du rayon de la roue à celui du pignon. Le nombre m' s’en déduira par la relation
m = nm'.
Cette modification conduit à prendre le pas un peu plus grand, ou les dents un peu plus fortes que le premier calcul ne l’aurait donné ; ce qui n’a aucun inconvénient.
Nous ajouterons que, pour les bonnes exécution et proportion des engrenages, il convient que le pignon ait au moins vingt dents, sauf les cas exceptionnels où l’on serait forcé d’adopter un plus petit nombre.
Exemple. Une roue d’engrenage doit conduire un pignon, auquel elle fera faire quatre tours pendant qu’elle en fera un; la distance des centres est de 3"; la quantité de travail que la roue doit transmettre est de 1025‘“ en 1', et elle fait huit tours en 1' : ou a
ti=4,
nd 4x3"* n -f- l 5
la vitesse de la circonférence de la roue est
reffort qui doit être exercé par les dents est 1 025'‘”
Si les dents de la roue sont en bois dur, on a, d’après les forinules de la llésislance des Matériaux, pour leur épaisseur.
ft = 0,143 v^510=:3«"‘, 23.
Les dents du pignon seront en fonte, et leur épaisseur, calculée par les inéincs formules, sera
6' = 0,105v'5ÎÔ = 2''"',37.
En6n le pas sera alors
l’engrenage étant supposé exécuté avec soin.
La première valeur du nombre de dents de la roue sera
27tR 15,10
La roue devant avoir huit bras, on prendra »i=-256, qui esl à la fois divisible par 8 et par n = 4, et entre cliaque bra.s il y aura trente-deux dents.
Le pignon étant coulé d’une seule pièce, on prendra ni' = 64. On en déduira ensuite
2ttR 15,1 m 256
35Ô. TRAcé PRATIQUE DES ENGRENAGES. Lc jMis dc IVugienage et les rayons des cercles primitifs étant déterminés, on divisera leur circonférence en autant de parties qu’ils doivent contenir de dents en partant du point a où ces cercles coupent la ligne
des centres cc\ et on marquera sur ces circonférences Tépaisscur de chaque dent.
Pur le premier point b de division du cercle C'a du pignon,
placé à une distance de la ligne des centres égale au pas, on mènera un rayon C'6, qui rencontrera le cercle dont le diamètre est C'a en un point d. On joindra le point d avec le premier point b' de division du cercle primitif Ca de la roue ; sur le milieu de la ligne b'd on élèvera une perpendiculaire, laquelle rencontrera la circonférence de rayon Ca‘ en un point, qui sera pris pour le centre d'un arc de cercle dont le rayon sera la distance de ce môme point à è et h\ et qui sera la courbe de la dent.
Le rayon du cercle que l’on substitue à l’épicycloïde étant ainsi déterminé, on tracera toutes les dents avec la même courbure sur les deux faces.
î^34. Limite de la longueur des dents. Du point C comme centre, avec le rayon Cd, on décrira une circonférence de cercle, qui limitera la longueur des dents de la roue de manière que l’une cesse de pousser quand la précédente arrive à la ligne des centres.
355. Tracé du flanc. Par le centre C et par le point 6', on mènera un rayon, qui donnera la direction du flanc. On en fera autant pour l’autre face de la dent.
336. Dents du pignon. Pour les dents du pignon, on portera de môme de part et d’autre du point a, sur les cercles primitifs, des longueurs égales au pas. On mènera le rayon Ce du cercle primitif de la roue ; il rencontrera la circonférence dont le diamètre est Ca en un point g, qu’on joindra au premier point de division du cercle C', à partir de a ; sur le milieu de la ligne ainsi tracée on élèvera une perpendiculaire : celle ligne rencontrera le cercle de rayon C'a en un point, qui sera le centre d’un arc de cercle dont le ravon sera la distance du centre au
point e, et qui formera la face de la dent du pignon. Ce rayon servira à tracer de même les deux faces de chacune des dents du pignon. '
Du centre C', avec le rayon C'g, on décrira une circonférence qui limitera la longueur de toutes les dents du pignon , de manière qu’une de ses dents commence à être poussée par le flanc de celle de la roue, quand la précédente arrive à la ligne des centres.
Les circonférences des rayons Cd et Cg rencontrent la ligne des centres en des points en deçà desquels on portera jusqu’en n vers C et jusqu’en m vers G' sur Cl’/ une longueur égale à O", 004 à O^.COS pour les petits engrenages , ou à O^.COS et 0“,010 environ pour les grands ; puis des points m et n ainsi déterminés, avec les rayons Cm et Cn, on décrira des circonférences qui, en rencontrant les flancs des dents du pignon et des dents de la roue, limiteront leur longueur et formeront le fond du creux.
On adoucira par un petit raccordement curviligne le flanc et le fond creux, pour ne pas avoir d’angle rentrant à vive arête.
337. Observations sur le tracé généralement suivi par les PRATICIENS. Les praticiens sont dans l’usage de substituer aussi à i’épicycloidc un cercle, dont ils prennent le rayon égal, les uns à la corde du pas, les autres aux J de cette corde.
Cette méthode se rapproche beaucoup de celle que l’on vient d’indiquer , et peut , sans inconvénient , lui être substituée toutes les fois que les roues n’ont pas des rayons très-différents et que les dents ne doivent pas être très-épaisses. Mais, pour de petits pignons à grosses dents qui doivent être conduits par de grandes roues, elle ne conviendrait plus, et il faudra suivre celle qui précède.
338. Modification a apporter au tracé précédent pour le CAS de pignons très-petits soumis a de grands efforts. Les dents déterminées par le tracé du n» 353 pourraient être trop minces vers le bout dans le cas où le pignon serait très-petit et les efforts qu’il transmet très-grands.
302 OKS PHINOIPALES CUMMONICATIONS DU MOUVEMENT.
Le tracé l’indiquera : l’on sera forcé alors de renoncer à avoir deux dents en prise à la fois, et l’on devra recommencer l’opération en prenant les ares ae et ab décrits pendant la durée du contact d’abord égaux aux J du pas, et on opérera comme il a été dit aux n“ 355 et suivants. Si les dents étalent encore trop minces vers le bout et réduites à moins de la moitié de leur épaisseur à la naissance, on recommencerait de nouveau le ti acé en prenant ces arcs ab et ae égaux à la moitié du pas. .
Nota. Dans ce qui précédé nous avons toujours supposé qu’il s’agissait d’un pignon conduit par une roue, et nous n’avons pas parlé des lanternes , parce que cet engrenage vicieux doit être abandonné.
