Les surfaces commençant à se roder
DU FI\OTT£MENT
pour lever une vanne en chêne de 1“ de largeur sur 0“.05 d’épaisseur et 0™.35 de hauteur, fermant un orifice de 0®.30 de hauteur, et dont le milieu est à l^.SO au-dessous du niveau de l’eau ?
Le montant de la vanne est en chêne et a 0'",08 d’épaisseur sur 0'", 12 de largeur et 2“,30 de longueur, dont 1“,60 immergé dans l’eau.
La surface pressée par l’eau est égale à l'"X0'",35=0"‘“»,35.
La hauteur de la colonne d’eau qui presse son milieu étant l"’,50, la pression supportée par la vanne égale
Le frottement, au moment où la vanne commence à se mouvoir, est (tableau dun® 542).
Le poids de la vanne et de la portion du montant immergée dans l’eau est sensiblement égal à celui du volume d’eau qu’il déplace. Le poids de la partie non immergée de la tige est égal à
L’effort nécessaire pour soulever la vanne est donc
373W^6kii^05 = 379‘^05.
Lorsque le mouvement est acquis, l’effort nécessaire pour vaincre le frottement n’est plus, tableau n® 2, que
Deuxième exemple. Quel est l’effort nécessaire pour soulever une vanne en fonte de 3” de largeur sur 0®,45 de hauteur, fermant un orifice incliné à 40®, de 0"*,40 d’ouverture, et dont le milieu est immergé à O™, 60 au-dessous du niveau de l’eau?
(Par une disposition convenable de contre-poids, le poids propre de la vanne est équilibré, et l’appareil pour la manœuvre de la vfinne ne doit vaincre que le frottement de la vanne dans ses coulisses.)
La surface pressée par reau=3™ X0*",46= *1,35. La hau-
DU FROTTEMENT
leur du niveau sur son milieu étant de 0°',60, la pression totale=0“,60Xl“S35X 1000 = 810 kil.
Le frottement au moment du départ (tableau du n* 3K1) est
Troisièhe exemple. Quel est le frottement d’un châssis de scie en fonte, du poids de 50 kilogrammes, en mouvement dans des coulisses horizontales en bronze, avec enduit de saindoux ?
Le frottement est (tableau du n' .’iSa)
Si les surfaces n’étaient qu’onctueuses, quel serait le frottement?
Le frottement (tableau du n» 5152) =0,14X50^=7*.
384. Quantité de travail consommée par le frottement des SURFACES PLANES. Pour calculcr la quantité de travail consommée par le frottement de deux surfaces planes en mouvement l’une sur l’autre sur une longueur donnée
Multipliez la pression N par le rapport f du froltemenl à la pression correspondatü aux surfaces en contact, vous aurez la valeur du frottement;
Multipliez ce frottement par le chemin e ou l'espace dont les surfaces ont glissé Vune sur l'autre :
Ia> produit sera la quantité de travail cherchée .
Exemple. Quelle est la quantité de travail consommée par cha que course du châssis de scie horizontal du numéro précédent?
La course étant de 0“,65, cette quantité de travail est 0,14X 50*X0"‘,65=4*“,55;
et, s’il y a 100 coups en 1', la quantité de travail consommée en 1" est
388. Quantité de travail consommée par le frottement des tourillons. Pour calculer la quantité de travail consommée à
DD FROTTEMENT. 3S3
chaque (our par le frottement des tourillons d’un arbre sur ses coussinets.
Déterminez la pression N exercée sur les coussinets en tenant compte du poids de l'arbre et de son équipage, de l'e/fort de la puissance et de celui de la résistance (n“ 5ü7) ;
Multipliez cette pression N par le rapport f du frottement à la pression correspondant à l’état des corps en contact (tableau n° 382), vous aurez le frottement fN ;
Multipliez ce frottement par le chemin parcouru par les points en contact dans une révolution, ou par la circonférence 2nr=6,28 r du tourillon :
U produit 6,28 fNr sera le travail consommé par le frottement pour chaque tour.
Pour avoir le travail consommé dans chaque seconde, multipliez ce produit par le nombre n de tours faits par seconde :
Le produit 6,28 nfNr sera le travail consommé par seconde.
Premier exemple. Quelle est la quantité de travail consommée par seconde par le frottement des tourillons d’une roue hydraulique soumise à une pression de 12 000 kilogrammes?
Le rayon des tourillons est supposé de 0”,10 ; ils sont en fonte et reposent sur des coussinets en bronze enduits de saindoux. Lu roue fait cinq tours en 1'.
Le frottement des tourillons en fonte sur des coussinets en bronze est (tableau du n° 3u2)
l.e chemin parcouru par la circonférence des tourillons en l" est
La quantité de travail consommée par le frottement des tourillons est 840'‘X0"’,0523 = 44‘".
Deuxième exemple. Quelle est la quantité de travail consommée par le frottement des tourillons d’une roue hydraulique
dont l’effet utile est 3615^“ ou de 48,2 chevaux, dans les circonstances suivantes?
Le diamètre de celle roue =9®, 10.
L’effort exercé par l’eau à la circonférence de la roue est vertical, agit de haut en bas et est égal à 1374 kilogrammes.
La résistance verticale du pignon agit de bas en haut, et est
aussi égale à 1374 kilogrammes environ.
Le poids de la roue est de 25000^''
Le poids de l’eau contenue dans la roue est de . . . 1480^“
Le rayon des tourillons en fonte sur coussinets de bronze avec enduit de saindoux 0“, 1 18
La vitesse de la circonférence de la roue est de . . . 2®, 63
Il résulte des données ci-dessus que l’effort exercé par l’eau et celui qui est transmis au pignon sont à peu près égaux, dirigés en sens contraire, cl qu’ils se détruisent.
La pression sur les tourillons est donc égale à
Le rapport du frottement à la pression, pour les coussinets en bronze et les tourillons en fonte, avec enduit de saindoux, est (tableau du n® 552) égal à 0.08, et le frottement est en conséquence
Le chemin parcouru en 1" par la circonférence des tourillons est
Qni 11g
La (juantilé de travail consommée par le frottement de ces tourillons en 1" est donc
OU environ deux chevaux-vapeur.
DU FROTTEMENT
Troisièmeexemple. Quel était le travail consommé par seconde pour les tourillons en fonte de la roue hydraulique du laminoir de Framont, dont le rayon extérieur était 4®, 57, et qui tournait sur des coussinets en bronze avec enduit de suif?
La quantité de travail transmise à la circonférence
égale 4500^"*
La résistance opposée par le premier pignon à Teffort vertical exercé par l’engrenage est dirigée de bas en haut et égale à 2930
Le poids de l’eau contenue dans les augets était à peu près 550C''
Le poids de la roue hydraulique et de son équipage,
La vitesse de la circonférence de la roue 2"’, 30
Le rayon des tourillons . 0"‘,2l
La pression sur les tourillons était
Le frottement des tourillons enduits de suif était
Le chemin parcouru par la circonférence du tourillon étail
La quantité de travail consommée par le frottement de ces tourillons en 1" était •
3156. Quantité de travail consommée par le frottement des PIVOTS. Multipliez la pression N par le rapport f du frottement à la pression (tableau du n® 3152), vous aurez le frottement;
Multipliez ce frottement fN par les § de la circonférence extérieure de la base du pivot ^ ou par 4, 19r ;
326 DU FROTTEMENT
Le produit 4,19fNr sera le travail consommé à chaque tour par le frottement dupivot.
Pour avoir le travail consommé dans chaque seconde^ multipliez ceproduit par le nombi'e n de tours faits dans 1*'.
Le produit 4,19nfNr sera le travail cherché.
Exemple. Quelle est la quantité de travail consommée par seconde par le frottement du pivot d’un arbre vertical soumis à une pression de 3400 kilogrammes, faisant 150 tours en 1', le rayon du pivot en acier sur crapaudine en bronze étant de 0"*,03 ?
La régie ci-dessus donne, pour cette quantité de travail en 1", 4, 19 X 2,5 X 0,07 X 3400^''’ X 0“‘0,3 = 7^”», 48.
Fig. 59.
7i67. Maotère de détermipœr la pression supportée par un axe de rotation. Pour déterminer la pression supportée par un axe ou par un pivot, il se présente plusieurs cas à examiner.
1® Si toutes les forces agissent verticalement (fig. 59), ajoutez le
poids }i{ de V arbre et de son équipage aux forces P qui agissent de haut en bas, ajoutez-y ou retranchez-en la somme des forces Q qui agissent de haut en bas ou de bas en haut : la S07nme ou le reste sera la pression cherchée.
Pour les roues hydrauliques on pourra, dans la plupart des cas, négliger le poids de l’eau qu’elles contiennent par rapport à celui de la roue, et ne tenir compte que de l’effort P qu’elles transmettent à leur
circonférence et de la résistance qu’elles éprouvent de la part du premier engrenage, ainsi que de leur poids.
* 2® S'il y a des forces verticales et des forces
horizontales^ faites séparément les sommes A et B de chacun de ces groupes de forces^ en y comprenant le poids des arbres et de leur équipage.
Vous saurez presque toujours d'avance quelle est la plus grcmde
Fig. 60.
DO FROTTEMENT
des deux sommes; alors ajoutez les 0,96 de la plus grande aux 0,04 de la plus petite, vous aurez la pression cherchée N à moins de ^ près.
Si Von ignore quelle est la plus grande des deux sommes ajoutezles et prenez les 0,83 du total vous aurez la pression cherchée N à moins de i près.
Celte approximation sera presque toujours suffisante.
30 S*il y a des forces dont la direction soit inclinée, décomposezles dans le sens vertical et dans le sens hoi'izontal, et opérez sur les sommes des composantes comme dans le cas précèdent.
4« Si, par suite de la direction et de Vintensité des forces, Vun des tourillons était pressé de haut en bas su,r son coussinet et Vautre de bas en haut, calculez séparément la pression sur chacun d’eux df après les règles précédentes*
Ce cas se présente rarement, et l’on doit l’éviter autant que possible dans les constructions.
5S8. Frottement sur un plan incliné. Lorsqu’un corps est posé sur un plan incliné et soumis à l’action d’une force extérieure et de la pesanteur, il peut se présenter plusieurs cas.
1“ Cas ou le corps doit rester naturellement au repos. L’inclinaison qu’il conviendra de donner au plan pour que le corps y reste en repos et en équilibre , c’est-à-dire prêt à obéir au moindre effort extérieur, sera donnée par la relation
langa = /;
a étant l’angle d’inclinaison du plan sur l’horizon, fie rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact.
Exemple. Quelle est l’inclinaison sur laquelle un vaisseau peut rester en équilibre sur ses chantiers; les surfaces en çontact étant en bois et enduites de savon, mais devenues onctueuses, le contact ayant duré quelque temps ?
Le tableau du n° 542 donne f = 0,15 : on a donc
tanga = 0,15,
ce qui revient à dire que la hauteur du plan incliné doit être les 0,15 de sa base.
2® Le corps étant tiré de bas en haut par une force qui TEND A LE FAIRE MONTER. En iiommant
e Tangle que fait le plan incliné avec l’horizon,
ft Tangie que fait la direction de la force avec le plan incliné,
ü le poids du corps,
P refforl capable de produire le mouvement ou d’entretenir un mouvement uniforme,
f le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact, dont on prendra la valeur dans le tableau n® 342 s’il s’agit de déterminer l’effort capable de produire le mouvement, ou dans celui du n® 352 s’il s’agit de l’effort capable d’entretenir un mouvement uniforme,
on aura la valeur de l’effet P par la formule
sing + Z^cosa^ cos b-\-f sin b
qui revient à la règle suivante :
Pour délerminer l'effort de traction qu'il faut exercer de haut en bas sous un angle donné pour faire monter un corps le long d un plan inclinéf
. Multipliez le rapport du frolUmenl à la pression pour les surfaces en contact par le cosinus de l'angle formé par le plan incliné avec l'horizontale / ajoutez le produit au sinus du meme angle /
Multipliez le rapport du frottement à la pression par le sinus de l'angle formé par la direction de la force avec le plan; à la somme ajoutez le cosinus du même angle ;
Divisez la première somme par la seconde, et multipliez le quotient par le poids à élever :
Le produit sera l'effort cherché.
3° Le corps étant tiré par un effort horizontal qui tend A LE faire MONTER. Dans cc cas, en conservant la notation cidessus, observant seulement que l’angle b = a, on calculera l’effort P par la formule
tanga 4- rn
i-}-/*tanga'^* •
Dü FROTTEMENT.
qui revient à la règle suivante, pour l’application de laquelle on remarquera que la tangente Irigonométrique de l’angle a est le rapport de la hauteur du plan incliné à sa base :
Pour déterminer V effort horizontal de traction qu'il faut exercer pour faire monter un corps le long d'un plan incliné,
Ajoutez le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact à la tangente de V angle du plan incliné avec V horizon;
Ajoutez l’unité au produit du même rapport par la même tangente, et divisez la première somme par la seconde;
Par le quotient multipliez le poids à élever;
Le produit sera V effort de traction cherché.
4® Cas ou la force tend a pousser le corps pour le faire MONTER. Si la force fait un angle h avec la direction du plan , on se servira de la formule
sinfl-|-/^cos a cos b — f sin b
qui revient à la règle suivante :
Pour calculer l'effort à exercer pour faire monter un fardeau en le poussant sur un plan incliné,
Multipliez le cosinus de fangle d'inclinaison du plan avec l'horizon par le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact; au produit ajoutez le sinus de l'angle d'inclinaison du plan sur l’horizon ;
Multipliez le sinus de l'angle que fait la direction de la force avec le plan par te rapport du frottemervt à la pression ; retranchez le inroduit du cosinus de l’angle formé par la force et le plan incliné ;
Par le reste divisez la première somme, et multipliez le quotient par le poids à élever :
Le résultat sera l'effort à exercer.
Si la force est horizontale, on se servira de la formule
tanga±£o
1— /"tanga
qui revient à la règle suivante :
PùW' délerminer V effort quHl faut exercer horizontalement jwwr faire monter un poids 0 le long d'un plan incliné^ en lepoussantf
Ajoutez la tangente de Vangle d'inclinaison du plan sur Vhorizon au rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact;
Multipliez la même tangente par le rapport du frottement à la pression ; retranchez le produit de V unités et par le reste divisez la somme précédente :
Le quotient mxdtipliè par le poids à élever sera l'effort à exercer,
5“ Dans tous les cas précédents, si la force doit seulement soutenir le corps, l’empéclier de descendre ou modérer son mouvement, on suivra les mêmes règles, en y changeant seulement le signe du frottement, c’est-à-dire en retranchant les termes où il entre comme facteur là où ils étaient additifs, et les ajoutant là où ils étaient soustractifs.
350. De l’emploi du coin dans les presses. Dans les presses à coins, où l’on sc sert ordinairement de deux coins qui glissent réciproquement l’un sur l’autre par leur face inclinée, le rapport de l’effet utile au travail dépensé est donné par la formule
dans laquelle
1 — f' — tang a (1 — D tunga-1-2/"
tang a,
a est encore l’angle des faces inclinées sur la base des coins,
/"le rapport du frottement à la pression pour ces faces,
f la valeur du même rapport pour les bases des coins et les corps qu’elles poussent, et qui peut avoir une valeur différente du premier.
Celte formule revient à la règle suivante :
Pour colculer le rapport de l'effet utile au travail dépensé dans une presse à coins,
• Multipliez la tangente de l’angle des coins par le double du rapport du frottement à lu pression pour les coins; au produit ajoutez le carré du même rapport ; retranchez la somme de l'unité;
Multipliez la tangente de Vangle des coins par l'unité diminuée du carré du rapport du frottement à la pression pour les coins; au
DU FROTTEMEKT. 3S1
produit ajoutez le double du rapport du frottement à la pression pour les coins et les corps à comprimer :
Le quotient du premier reste par la seconde somme multiplié par la tangente de l'angle des coins sera le rapport cherché du travail utilisé au travail dépensé.
Exemple. Quel est le rapport de l’effet utile au travail dépensé dans une j)resse à coins où, les surfaces étant toutes bien graissées, f = f = 0,10; tang o = 0,25, ou la hauteur des coins égale au quart de leur base ?
La formule ci-dessus donne pour le rapport la valeur 0,525 ; ce qui montre que, dans ce cas, il y a 0,475, ou plus des ^ du travail dépensé qui est perdu, non compris encore la perte qui a lieu dans les machines de ce genre, où l’on a^it par choc, par les effets de compression des corps choqués.
Si, les surfaces étant de bois mouillé, on avait eu f=f'=0,2b, on aurait trouvé pour le rapport cherché la valeur 0,276 ; ce qui prouve que, dans ce cas, on perd par le frottement seul 0,724, ou près des ^ du travail dépensé.
3GO. Frottement de la vis et de son écrou. Lorsqu’une vis ou un écrou à filets carrés doit produire une pression donnée, on calculera la valeur de l’effort à exercer au bout du levier qui traverse la tête de la vis ou l’écrou par la formule suivante :
dans laquelle on représente par 0 la pression à produire,
P l’effort cherché, r le rayon du filet moyen de la vis,
R le bras de levier de l’effort , h le pas de la vis,
f le rapport du frottement à la pression pour l’écrou et la vis. et qui revient à la règle suivante ;
DU FROTTEMENT
Pour calculer C effort à exercer à V extrémité cCun levier pour produire une pression donnée à Vaide d'une vis à filets carrés ^
Multipliez le rayon moyen des filets par le rappoi't du frottement à la pression pour la vis et son écrou, rapport ordinairement égal à 0,10 pour les vis en bon état, et par 6,28; au produit ajoutez le pas de la vis;
Multipliez 6,28 par le rayon moyen des filets; diminuez ce produit de celui du pas par le rapport du frottement à la pression pour la vis et son écrou; divisez la première somme par ce reste;
Multipliez le quotient par le rapport du rayon moyen des filets au bras du levier de la puissance :
Le produit multiplié par la pression à obtenir sera l'effort cherché. •
Exemple. Quel est l’effort que doit exercer la puissance à l’extrémité d’un bras de levier de l'",5 pour produire une pression de 6000 kil. à l’aide d’une vis à filets carrés de O^jOSO de diamètre moyen, et d’un pas /t = 0"’,0l04?
On a
si les surfaces sont passablement graissées et la formule donne
Si l’on avait négligé riuüuence du frottement, on aurait eu avec ces données
ce qui montre que, par l’effet du frottement seul'de la vis et de son écrou, l’effort ou le travail développé par la puissance doit être, dans le cas actuel, à peu près triple de celui qu’exigerait la résistance utile seule.
561. Déterminer la pression qu’un effort donné peut produire A l’aide d’une vis a filets carrés. S’il s’agit, à l’inverse,
DU FROTTEMENT
de déterminer la pression qu’une vis peut produire par l’action d’un effort donné, on calculera cette pression par la formule
qui revient à la règle suivante :
Pour calculer la pression qu'un e/forl donné peut exercer à l'aide d'une vis à filets carrés,
Multipliez le rayon moyen des filets par 6, ü ; du produit retranchez celui du pas de la vis par le rapport du frottement à la pression pour la vis et son écrou, et dont la valeur habituelle est 0,10 pour des vis en bon état; divisez le reste par le pas, augmenté du rayon moyen des filets multiplié par le rapport du frottement à la pression et par 6,28;
Multipliez ce quotient par le rapport du bras de levier de la puissance au rayon moyen des filets :
Le produit multiplié par (effort donné sera la pression cherchée.
Exemple. Dans le cas des données de l’exemple précédent la formule donnerait
l^.SOO 6,28 X0°’,029 — 0,10 XQ", 0104
“ 0"’, 029^0-"0, 104 + 6, 28X0, 10 XO, 029 ’ ’
etsi l’effort de la puissance est de 20 kil., la pression produite par la vis sera
Si l’on avait calculé l’effet de cette vis sans tenir compte du frottement, on aurait eu
ce qui montre combien sont erronés les calculs de l’effet des vis où l’on néglige l’influence des frottements. Et l’on doit même observer que les formules précédentes ne tiennent pas compte du frottement des pivots, des épaulements et des guides, qui, bien que faibles par rapport à celui de l’écrou, consomment encore une portion notable du travail du moteur.
OU FROTTEMKNT.
502. Observation relative au frottement sur les voies DE FER. Des expériences nombreuses et récentes faites par MM. Poirée et Bochet, ingénieurs des ponts et chaussées, ont montré que, si aux petites vitesses le frottement des roues sur les rails suivait les lois et avait les valeurs précédemment indiquées, il n’en était plus de môme aux grandes vitesses.
Les flexions des rails, les vibrations modifient les lois et les valeurs de cette résistance, et la prudence doit engager les ingénieurs à ne compter, pour l’arrêt des trains en marche, que sur des valeurs environ moitié moindres du coefficient du frottement.
503. Résistance due a la roioeur des cordes. La roideur des cordes qui s’enroulent sur des poulies ou tambours, ou l’effort qu’il faut exercer pour vaincre leur résistance à renroulemcnt, se calcule par la formule
n A-fBO
dans laquelle on exprime par
R la roideur cherchée rapporlée à la circonférence moyenne de la poulie du diamètre D, y compris le diamètre de la corde,
A un nombre constant qui exprime en kilogrammes la roideur naturelle dépendante de l’état et du mode de fabrication de la corde,
B un fiicleur constant par lequel il faut multiplier la tension Q du brin qui s’enroule pour avoir la partie de la résistance qui dépend de cette charge.
Les expériences de Coulomb montrent :
l* Que pour les cordes en chanvre non goudronnées, qu’on appelle cordes blanches, sèches ou imbibées d’eau, en bon étal, les valeurs de A et B, en passant d’une corde à une autre, sont à peu près entre elles comme les carrés des diamètres ;
2" Que pour ces mômes cordes à demi usées les nombres A et B sont entre eux comme les racines carrées des cubes des diamètres;
DU FROTTEMENT
3“ Que pour les cordes goudronnées la quantité B est proportionnelle au nombre des fils de caret dont les cordes se composent.
C’est sur ces bases qu’a été calculé le tableau suivant, qui donne les valeurs de A et de B pour des cordes de différents diamètres, comprenant à peu près tous ceux qui sont en usage dans les machines employées à élever des fardeaux.
La première partie de ce tableau est relative aux cordes blanches, la deuxième aux cordes goudronnées.
Nombre de fils.
